XVIII Congresso Umi Bari 26 settembre 2007 TEORIA PRATICA Il raccordo Scuola Superiore - Università: dalla teoria alla pratica Osservazione delle difficoltà in delle matricole Interpretazione sulle cause delle difficoltà osservate Pietro Di Martino Dipartimento di Matematica - Università di Pisa - Mirko Maracci Dipartimento di Scienze Matematiche ed Informatiche - Università di Siena - Teoria sulle difficoltà in Progettazione e attuazione di interventi mirati Valutazione dell esperienza fatta con conseguenze sia sulla pratica che sulla teoria I dati ufficiali (pochi e un po datati) sottolineano le difficoltà delle matricole a sostenere l esame di Istituzioni di Matematica entro il primo anno Tali difficoltà contraddistinguono gli insegnamenti di rispetto a quelli delle altre discipline (anche di quelle nuove per gli studenti) L esperienza diretta (lezioni, tutorati, ricevimenti, esami) conferma tali difficoltà e permette di fare interpretazioni sulle cause Interpretazione più diffusa Difficoltà dovute essenzialmente a mancanza di conoscenze Scarsa preparazione Lacune di base Nessuno Interventi Precorsi di attivati{ azzeramento Scarsa conoscenza dei pre-requisiti dei vari Corsi di Laurea L attenzione è rivolta al dialogo tra Scuola e Università per un orientamento consapevole 1
Nel passaggio dalla Scuola Superiore all Università ( ) la difficoltà maggiore consiste, da sempre, nella scelta del corso di laurea: non tutti riescono ad effettuare una scelta consapevole e corrispondente alle proprie capacità e inclinazioni. (Prefazione al Syllabus 1999) Poco sembra essere cambiato, come sottolinea Anzellotti (2006) non esistono quadri di riferimento condivisi che stabiliscano le conoscenze di base richieste per l accesso ad un determinato Corso di Laurea né un sistema nazionale di test per auto-valutarsi rispetto a tali conoscenze. In poche parole MANCA un adeguata collaborazione tra Scuola e Università. Un interpretazione alternativa I corsi di Matematica NON sono selfcontained: è necessario identificare ed esplicitare dei prerequisiti minimi per i corsi. MA Le difficoltà degli studenti NON sono dovute SOLO a mancanza di conoscenze di base e SONO in parte legate ad aspetti specifici del passaggio Scuola Superiore Università. Lacune nelle conoscenze di base Lacune nelle conoscenze di base Difficoltà in Carenze in abilità trasversali Difficoltà in Carenze in abilità trasversali Atteggiamento negativo Atteggiamento negativo 2
Abilità trasversali Legate a fattori linguistici: Interpretazione, comprensione, produzione di un testo matematico. Comunicazione delle proprie conoscenze e idee. Gestione di diversi sistemi di rappresentazione. Legate a fattori metacognitivi: Organizzazione nello studiare un testo o nel prendere appunti. Gestione del tempo durante gli scritti. Organizzazione nella preparazione di un esame di Abilità trasversali Tali competenze (sempre decisive in ambito matematico) assumono una rilevanza particolare nel passaggio all Università. Spesso infatti gli studenti passano da un ambiente (la scuola) iper-prottettivo in cui sono accompagnati per mano da docenti e genitori in tutte le decisioni da prendere, ad uno in cui improvvisamente si chiede loro di camminare da soli e di decidere autonomamente e senza dover esibire giustificazioni se andare a lezione, se stare attenti, se studiare, se sostenere gli esami, etc. Gioca cioè un ruolo fondamentale la scarsa abitudine degli studenti a PRENDERE DECISIONI in maniera autonoma Lacune nelle conoscenze di base Difficoltà in Carenze in abilità trasversali L atteggiamento nei confronti della L atteggiamento negativo nei confronti della : analisi di un fenomeno allarmante per la cultura nel nuovo millennio Progetto Nazionale FIRB (2002) Atteggiamento negativo Sedi: PISA, ALESSANDRIA, NAPOLI, CAGLIARI, MODENA, GENOVA 3
L atteggiamento nei confronti della L atteggiamento nei confronti della Visione della Disposizione emozionale Senso di auto-efficacia L atteggiamento nei confronti della Disposizione emozionale Emozioni forti collegate alla (odio, paura, etc.) possono portare al rifiuto della materia ed al tentativo di evitarla con ripercussioni per esempio sulle iscrizioni ai Corsi di Laurea scientifici. Ma anche ad indirizzare in maniera negativa il modo in cui una matricola di un Corso di Laurea scientifico affronta l insegnamento di obbligatorio. L atteggiamento nei confronti della L atteggiamento nei confronti della Visione della Visione della di tipo strumentale (Skemp, 1976) come insieme di regole e formule da ricordare e applicare a seconda dei vari casi. Attenzione morbosa al prodotto (risultato finale) senza curarsi del processo. Ne consegue spesso un approccio di tipo meccanico che richiede uno sforzo mnemonico immane e spesso improduttivo. Improduttività spesso frustrante per chi si impegna molto ma non ottiene risultati. Senso di auto-efficacia Dal bilancio tra le convinzioni sulla (in particolare le teorie del successo/attribuzioni di fallimento) e quelle su di sè all ingresso all Università emergono spesso convinzioni pericolose quali la convinzione di non poter riuscire in che inibisce qualsiasi comportamento efficiente per affrontare la, o viceversa la convinzione di non poter avere difficoltà che arreca gravi danni quando le prime (inevitabili?) difficoltà si presentano. 4
Progettazione e attuazione di interventi mirati Emerge una duplice complessità: intervenire sull atteggiamento significa lavorare su tre dimensioni. Inoltre i tre aspetti (conoscenze, abilità trasversali e atteggiamento) sono strettamente correlati. Interventi focalizzati su un unico aspetto presentano rischi elevati di scarsa efficacia. Organizzazione di interventi che permettano di lavorare contemporaneamente su conoscenze, abilità trasversali e atteggiamento. Progettazione e attuazione di interventi mirati In particolare necessità di: Individuare l insieme di conoscenze ritenute di base Scegliere una metodologia adatta a lavorare sui tre aspetti presentati Strutturare del materiale organizzato in maniera coerente con la metodologia e con gli obiettivi prefissati Progettazione e attuazione di interventi mirati A partire dall a.a. 2003/04: Precorsi di Matematica, Fisica e Chimica attivati dalla Facoltà di Scienze M.F.N. per gli studenti del primo anno dei CCdL della Facoltà. Il precorso di Matematica è stato progettato insieme a Rosetta Zan* e Mattia de Michieli Vitturi**. * Dipartimento di Matematica, Università di Pisa ** I.N.G.V. - Pisa Come organizzare il precorso? La strutturazione degli incontri 1. Lavoro autonomo (individuale o collettivo) degli studenti su materiale strutturato. 2. Confronto e discussione a partire dalle attività svolte; docente ~ moderatore. 3. Sintesi organizzata e sistematica del lavoro svolto. 5
Come Come organizzareil il precorso? Linee-guida Privilegiare problemi ad esercizi. Favorire sia il lavoro individuale che quello collettivo. Favorire la discussione tra gli studenti. Lasciare TEMPO per riflettere. Prestare ATTENZIONE AI PROCESSI. Non ignorare (NON CENSURARE) processi o prodotti inadeguati. Come organizzare il precorso? Aspetti contingenti Agenda (Time-schedule): Durata: una settimana N. incontri: 5 N. totale di ore: 12 Composizione classi : studenti iscritti allo stesso Corso di Laurea (o attigui ). Come organizzare il precorso? 1. Insiemi numerici. definire, argomentare, spiegare, usare simboli riflessione critica su nozioni familiari abilità trasversali sono 2. Equazioni e disequazioni. definire, argomentare, usare promosse simboli lavorando su riflessione critica su nozioni familiari contenuti matematici 3. Lezione universitaria/lettura di un testo universitario. trigonometria ritenuti adatti e anche prendere appunti, comprensione di un testo articolato importanti 4. Definizioni. aritmetica, analisi gli argomentare, incontri usare incentrati diversi sistemisu di rappresentazione un 5. Dimostrazioni. contenuto prevedono aritmetica comunque analisi di una dimostrazione, un lavoro confronto mirato tra argomentazioni su molte abilità trasversali. 1 - Insiemi numerici. Riflessione su e risistematizzazione di elementi di aritmetica di base: definizioni dei diversi sistemi numerici e relazioni tra essi, definizioni delle operazioni definite in questi sistemi e loro rispettive proprietà. 6
Qui di seguito sono elencati alcuni termini e simboli che useremo spesso. Conosci il significato di alcuni di questi? Prova a spiegare il significato di quelli che conosci: - Numeri naturali - Numeri interi - Numeri razionali - Numeri irrazionali - Numeri reali Insiemi numerici - N - Z - Q - R Sistemi numerici: risposte studenti Naturali: tutti i numeri interi 0 Interi: tutti i numeri naturali maggiori, minori o uguali a zero Naturali: numeri interi positivi Interi: numeri interi positivi e negativi Naturali: numeri che vanno da 0 a + Interi: insieme di numeri comprendenti anche i loro opposti, es:+2, -2 Naturali: sono tutti i numeri senza segno Interi: sono tutti quei numeri senza la virgola Naturali: una successione di numeri positivi ognuno dei quali è sempre equidistante dal precedente e dal successivo con distanza uguale a 1 Naturali: sono i numeri che servono per contare 2 - Equazioni e disequazioni Mettere in crisi la associazione automatica (dis)equazione-algoritmo; Risolubilità e risoluzione di (dis)equazioni a partire dalle proprietà di campo ordinato dei numeri reali e dalle definizioni dei simboli usati. Equazioni e disequazioni Vogliamo risolvere l'equazione: ax 2 + bx + c = 0 (1) Possiamo supporre a 0 (Perché?) Se a = 1 e b = 0 la (1) diventa: x 2 + c = 0 (2) che ha soluzione:... [ ] Tentiamo di trasformare l'equazione (1) in una equazione del tipo (2) senza cambiare l'insieme delle soluzioni. [ ] Cominciamo: a(x 2 + b/a x) + c = 0 (3) Vogliamo che il coefficiente di a sia un quadrato, quindi dobbiamo aggiungere... [ ] Quindi la 3 diventa:... E alla fine troviamo: (x +b/2a) 2 = (b 2-4ac)/ 4a 2 Quindi possiamo concludere:... 7
3 - Lezione universitaria (Lettura di un testo) Risistematizzazione di definizioni e relazioni trigonometriche fondamentali. Prendere appunti, individuare le parti più importanti di una lezione o di un testo, saper ricostruire quanto ascoltato o letto. Lezione/Lettura di un testo Sono state date delle definizioni? Quali nozioni vengono definite? Dai una di queste definizioni in un modo che ritieni preciso e completo. Ci sono alcune nozioni per cui viene data più di una definizione? Se sì per quali nozioni? Le definizioni date sono equivalenti? L eventuale equivalenza viene: dimostrata, spiegata, mostrata con esempi, data per scontata. 4 - Definizioni Recuperare la centralità della definizione Forzare il ricorso alla definizione come criterio ultimo per Considera il seguente quesito. Sia X l'insieme { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ed Y l'insieme { a, b, c, d, e}. Esistono funzioni di X in Y? Ecco alcune risposte: Carlotta risponde: Sì, ad esempio la funzione definita così: g(1)=a, Alice g(2)=b, risponde: g(3)=c, g(4)=d e g(5)=e No, perché X contiene numeri e Y contiene Beppe risponde: No, perché lettere. X ha più elementi di Y e quindi ad alcuni elementi di X dovrei associare uno stesso elemento di Y e quindi non otterrei una funzione. Definizioni 8
5 - Dimostrazioni Recuperare la centralità della dimostrazione per favorire il passaggio da un visione strumentale della ad una relazionale. Dimostrazioni Al punto 10 Hai si già usato nella Dimostriamo che il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto tra due numeriricorda interi. che dimostrazione n è il Leggi attentamente la dimostrazione dispari. che In segue: quale ragionamento ai 1) Dimostriamo per assurdo. 2) Se 2 fosse razionale allora punto esisterebbero l'avevamo punti 8 e 9? due numeri interi m e n tali che: dedotto? Perché? 2 =m/n (*) 3) Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè che la frazione m/n sia ridotta ai minimi termini. 4) Dall'uguaglianza (*) segue che m 2 = 2n 2. 5) Poiché m 2 è pari, anche m è pari e quindi Perché n deve si essere può dispari. 6) D'altra parte se poniamo m = 2k abbiamo supporre m 2 = 4k 2. 7) Quindi: 2n 2 = 4k 2, cioè n 2 = 2k 2. 8) Da cui ne consegue che n 2 è pari. che m e n 9) Quindi anche n è pari. siano primi 10) Ma avevamo n dispari. tra loro? 11) Quindi siamo arrivati ad un assurdo. I precorsi hanno avuto ogni anno valutazioni molto positive dagli studenti ma sussistono alcuni aspetti problematici (alcune delle quali sottolineate dagli stessi studenti): La difficoltà di lavorare con gruppi molto grandi e eterogenei (nella preparazione) di studenti. Prima di iniziare il corso chiedere la scuola di provenienza. Un bilancio Visto i diversi livelli di preparazione potrebbe essere utile un corso differenziato a seconda del proprio livello di preparazione. Progettazione e attuazione di interventi mirati I precorsi hanno avuto ogni anno valutazioni molto positive dagli studenti ma sussistono alcuni aspetti problematici (alcune delle quali sottolineate dagli stessi studenti): La difficoltà di lavorare con gruppi molto grandi e eterogenei (nella preparazione) di studenti. La scarsità del tempo a disposizione (una settimana intensiva). I precorsi sono troppo brevi. È un corso molto utile, ben organizzato ma troppo breve! Una durata maggiore! 9
Progettazione e attuazione di interventi mirati I precorsi hanno avuto ogni anno valutazioni molto positive dagli studenti ma sussistono alcuni aspetti problematici (alcune delle quali sottolineate dagli stessi studenti): La difficoltà di lavorare con gruppi molto grandi e eterogenei (nella preparazione) di studenti. La scarsità del tempo a disposizione (una settimana intensiva). Il fatto di operare quando lo studente ha già scelto il Corso di Laurea (non servono ad orientare). Estendere i precorsi anche ai mesi di luglio e inizio settembre affinché gli studenti indecisi su che Facoltà scegliere si possano rendere conto a che cosa andranno incontro. Progettazione e attuazione di interventi mirati I precorsi hanno avuto ogni anno valutazioni molto positive dagli studenti ma sussistono alcuni aspetti problematici (alcune delle quali sottolineate dagli stessi studenti): La difficoltà di lavorare con gruppi molto grandi e eterogenei (nella preparazione) di studenti. La scarsità del tempo a disposizione (una settimana intensiva). Il fatto di operare quando lo studente ha già scelto il Corso di Laurea (non servono ad orientare). Inoltre l organizzazione dei precorsi non interviene sul rapporto Università-Scuola. Il Progetto P.O.R.T.A.: Progetto Orientamento Riduzione Tasso Abbandoni Ha permesso di sperimentare i precorsi per gli studenti di quarta e quinta superiore e dunque di: Lavorare con un numero prefissato di studenti. Avere più incontri e a distanza di una settimana l uno dall altro. Lavorare anche in ottica di un orientamento universitario consapevole. Grazie Collaborare con le scuole: in particolare fornire il materiale degli incontri e discutere della metodologia adottata (nell ottica di permettere in futuro ai docenti di auto-organizzare iniziative del genere). 10