IL GRUPPO DELLE ROTAZIONI

Alma Mater Studiorum Università di Bologna Scuola di Scienze Corso di Laurea in Fisica IL GRUPPO DELLE ROTAZIONI Relatore: Prof. Roberto Zucchini Presentata da: Danica Sugic Sessione II Anno Accademico 2013/2014

(da scrivere) Sommario

0.1 Introduzione (da scrivere) 1

Capitolo 1 Gruppi 1.1 Gruppo delle rotazioni Definizione 1.1.1. Un gruppo (G, ) é un insieme G in cui é definita un operazione binaria detta legge di composizione, che ad ogni coppia di elementi a, b G associa un elemento a b G : (a, b) a b tale che: i) vale la legge associativa: a, b, c G, (a b) c = a (b c); ii) esiste un elemento neutro u G tale che: a G, a u = u a = a; iii) ogni elemento a G ammette l elemento inverso a 1 tale che: a a 1 = u = a 1 a. Definizione 1.1.2. Un sottoinsieme H di un gruppo G é detto sottogruppo se verifica le seguenti proprietá: i) chiusura: se a, b, H, allora (a b) H; ii) l identitá appartiene ad H: I H; iii) l elemento inverso di ogni elemento di H appartiene ad H: a H, a 1 H. 1

Si puó dimostrare che l insieme delle matrici non singolari n n M n (R) (cioé le matrici quadrate M ad elementi reali tali che det M 0) con il prodotto righe per colonne costituisce un gruppo. Definizione 1.1.3. Il gruppo generale lineare reale, denotato con GL(n, R) é l insieme delle matrici invertibili M n (R) con il prodotto righe colonne. Il gruppo speciale lineare reale, denotato con SL(n, R) é il sottogruppo delle matrici A GL(n, R) tali che det A = 1. Definizione 1.1.4. Il gruppo ortogonale O(n) é il sottogruppo delle matrici di GL(n, R) che conservano il prodotto scalare: O(n) = {A GL(n, R) Ax Ay = x y, x, y R n }. Osservazione 1. Dalla relazione A A = I segue che se A O(n), det A = ±1. Definizione 1.1.5. Il gruppo delle rotazioni - detto anche gruppo speciale ortogonale SO(n) - é dato da SO(n) = O(n) SL(n, R). Si possono distinguere le rotazioni proprie R pr SO(n) per le quali det R pr = +1; dalle rotazioni improprie R im SO(n) per le quali Valgono la seguenti relazioni: Nel caso generale si ha che R O(n) : det R im = 1. R pr x (R pr y R pr z) = +x (y z); R im x (R im y R im z) = x (y z); Rx (Ry Rz) = (det R)(x (y z)). 1.2 Gruppo SO(3) Si consideri il gruppo SO(3) per il quale n=3. Esso rappresenta il gruppo delle rotazioni nello spazio Euclideo R 3. Gli elementi del gruppo SO(3) sono descritti da tre parametri, esistono infiniti modi di scegliere questi ultimi. Verranno menzionate di seguito le parametrizzazioni piú utilizzate. 2

1.2.1 La parametrizzazione asse angolo Ogni rotazione R SO(3) puó essere parametrizzata attraverso due valori: un versore n, la cui direzione é quella dell asse di rotazione, e un angolo ϕ, che indica l ampiezza della rotazione attorno a tale asse. La parametrizzazione é assicurata dal seguente teorema: Teorema 1.2.1. Ogni matrice A SO(3), A I, é una rotazione di un angolo ϕ attorno a un asse di direzione n. Dimostrazione. Poiché ogni matrice A SO(3) ha (almeno) un autovalore uguale a +1, allora esiste un autovettore n tale che An = n. La retta individuata da n é invariante rispetto alla rotazione. Si consideri il piano π ortogonale a tale retta: π = {r π n r π = 0}. Poiché la matrice A é ortogonale, A(π) = π. Sia ê 1, ê 2 una base ortogonale su π, A puó essere scritta relativamente alla terna n, ê 1, ê 2 come: Inoltre, la matrice A = 1 0 0 0 a 1 a 2 0 a 3 a 4. [ ] A a1 a = 2 SO(2). a 3 a 4 SO(2) indica il gruppo delle rotazioni piane. Ció dimostra che A é una rotazione attorno alla direzione individuata da n. Osservazione 2. le coppie ( n, ϕ) e ( n, ϕ) rappresentano la medesima rotazione. Si puó dunque considerare ϕ [0, π]. Utilizzando questa parametrizzazione la rotazione viene indicata con R n (ϕ) e vale la seguente relazione: R = R n (ϕ) = n n + cos ϕ(i 3 n n sin ϕ*n); (1.1) Nella formula compaiono le matrici cosí definite: n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n 3 n n = n 2 n 1 n 2 n 2 n 2 n 3 ; *n = n 3 n 1 n 3 n 2 n 3 n 3 le quali, applicate al vettore r, danno i seguenti risultati: n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n 3 x (n n) r = n 2 n 1 n 2 n 2 n 2 n 3 y n 3 n 1 n 3 n 2 n 3 n 3 z 0 n 3 n 2 n 3 0 n 1 n 2 n 1 0 = (n r)n; ; 3

(*n) r = 0 n 3 n 2 n 3 0 n 1 n 2 n 1 0 x y z = n r. Di conseguenza applicando la matrice R al vettore r si ottiene: Rr = (n r)n + cos ϕ(r (n r)n) + sin ϕn r. (1.2) Data la matrice di rotazione R n (ϕ) é possibile ottenere la matrice corrispondente alla rotazione effettuata lungo l asse n = R n e stesso angolo ϕ; dove con R si indica una rotazione arbitraria. La relazione é: Rotazioni improprie R n (ϕ) = RR n (ϕ)r 1. (1.3) Una formula analoga alla 1.2 puó essere ricavata per le rotazioni improprie. Si consideri la matrice paritá P : 1 0 0 x P r = 0 1 0 y, 0 0 1 z tale che P r = r; essa genera una rotazione impropria in quanto det P = 1. Teorema 1.2.2. Ogni rotazione impropria R im é il prodotto di P e una rotazione propria R pr : R im = P R pr. Dimostrazione. Poiché ogni matrice propria puó essere vista come prodotto di due matrici improprie, si consideri R pr tale che R pr = P R im, con det R pr = det P det R im = 1. Si applichi la matrice P ad entrambi i membri dell equazione: P R pr = P P R im P R pr = R im. Applicando il teorema 1.2.2 ad una rotazione impropria R im (ϕ, n) e facendo uso della relazione 1.2 si ricava la seguente espressione valida per le rotazioni improprie: R im = (n n + cos ϕ(i 3 n n sin ϕ*n). (1.4) 4

Rotazioni attorno agli assi x, y, z Si consideri la rotazione del vettore r effettuata attorno all asse x, il cui versore é n = ê 1 = î, attraverso la formula (1.2) si ricava la seguente: 1 0 0 x Rr = 0 cos ϕ sin ϕ y. (1.5) 0 sin ϕ cos ϕ z Analogamente, nel caso di rotazione attorno all asse y, con versore n = ê 2 = ĵ, risulta: cos ϕ 0 sin ϕ x Rr = 0 1 0 y. (1.6) sin ϕ 0 cos ϕ z Nell ultimo caso di rotazione attorno all asse z, con versore n = ê 3 = k, si trova: cos ϕ sin ϕ 0 x Rr = sin ϕ cos ϕ 0 y. (1.7) 0 0 1 z (DISEGNO ESEMPIO DI ROTAZIONE LUNGO UN ASSE) 1.2.2 Angoli di Eulero Si consideri un sistema di riferimento cartesiano fisso (1, 2, 3) e uno ruotato (1, 2, 3 ) aventi origine comune. É possibile passare dall uno all altro mediante l applicazione di tre successive matrici di rotazione. Gli angoli di Eulero (α, β, γ) individuano l orientamento di (1, 2, 3 ) rispetto a (1, 2, 3) con 0 α, γ 2π e 0 β π. Viene definita, inoltre, una linea dei nodi corrispondente alla retta di intersezione dei piani (1, 2) e (1, 2 ) la cui direzione é quella del versore N. É possibile descrivere ogni rotazione in termini di angoli di Eulero: R(α, β, γ) = R 3 (γ)r N(β)R 3 (α) (1.8) (DISEGNO ROTAZIONI SUCCESSIVE pag6) É conveniente esprimere R(α, β, γ) in termini di rotazioni intorno agli assi fissi. Utilizzando l equazione 1.3 si possono scrivere le relazioni: R 3 (γ) = R N(β)R 3 (γ)r 1 N (β); R N(β) = R 3 (α)r 2 (β)r 1 3 (α); che, inserite nella 1.8, conducono alla seguente espressione: 5

R(α, β, γ) = R 3 (α)r 2 (β)r 3 (γ). (1.9) Ogni rotazione, perció, puó essere decomposta nel prodotto di rotazioni attorno agli assi fissi ê 2 ed ê 3. Tale caratteristica evidenzia il vantaggio di esprimere le rotazioni in termini di angoli di Eulero. 1.3 Rotazioni infinitesime Si consideri una rotazione di asse n e angolo ϕ, facendo uso dell espressione 1.2 per le rotazioni finite, si faccia tendere l angolo ad un infinitesimo δϕ (ϕ δϕ) e si sviluppino cos ϕ = 1 + o(δϕ 2 ) e sin ϕ = δϕ + o(δϕ 2 ). Il risultato é l espressione per la matrice delle rotazioni infinitesime: R n (δϕ) = (n n + (1 + o(δϕ 2 ))(I 3 n n δϕ*n) = I 3 δϕ*n; (1.10) che, applicata ad un vettore r, conduce alla seguente formula: (elemento algebra di Lie) 1.3.1 Algebra di Lie di SO(3) R nr (δϕ) = r + δϕn r. (1.11) Un gruppo di Lie é per defnizione un gruppo di trasformazioni che dipendono in modo continuo da alcuni parametri. Studiando le trasformazioni infinitesime generate dal gruppo, cioé trasformazioni che differiscono di poco dall identitá, si ottiene l algebra di Lie del gruppo. L algebra di Lie del gruppo SO(3) é indicata con so(3) ed é l insieme delle matrici corrispondenti a rotazioni infinitesime, cioé matrici della forma *u dove u un vettore unitario: 0 u 3 u 2 *u = u 3 0 u 1. u 2 u 1 0 Dati *u, *v so(3), vale la seguente relazione: [ *u, *v] = (*u *v). (1.12) 6

Proprietá di so(3) L esponenziale di un numero reale x R é definito come e x = n=0 x n n! ; in modo analogo si puó definire l esponenziale di una matrice: Definizione 1.3.1. Data A SO(3), si definisce l esponenziale di A come e A = n=0 Si puó dimostrare che data una matrice A = *u so(3) corrispondente a una rotazione infinitesima, il suo esponenziale e A corrisponde a una rotazione propria finita e A SO(3) e vale la seguente relazione: A n n!. R n (ϕ) = e ϕ*n = n n + cos ϕ(i n n) sin ϕ n. (1.13) Si consideri la figura refimmrotinf nel quale sono state rappresentate N rotazioni successive attorno all asse n e di angolo ϕ. Si intuisce che per N molto grande si ottengono N delle rotazioni infinitesime il cui risultato é una rotazione finita con asse n e angolo ϕ: Infatti se N >> 1 si ha [ R n (ϕ) = R n ( ϕ ] N N ). R n ( ϕ N ) I 3 ϕ N *n; rammentando che e x = lim N (1 x N )N, passando al limite N si ottiene: 1.3.2 Generatori (dubbi su relazione con so(3)) [ lim I 3 ϕ ] N N N *n = e ϕ*n. Definizione 1.3.2. Si definiscono generatori di un gruppo gli elementi dai quali tutti gli altri elementi del gruppo possono essere ricavati. 7

Si consideri il sottogruppo di SO(3) definito come l insieme delle rotazioni attorno ad un asse n. Vi é un isomorfismo tra ogni sottogruppo di questo tipo e il gruppo delle rotazioni SO(2) nel piano perpendicolare all asse n. Si puó associare ad ogni sottogruppo un generatore denotato con J n tale che ogni rotazione appartenente al sottogruppo possa essere riscritta nel seguente modo: R n (ϕ) = e iϕjn. (1.14) Applicando l identitá 1.3 si ottiene RJ n R 1 = J n, ne consegue che quando una rotazione é applicata a J n, nonostante quest ultima sia una matrice di ordine 3, essa si comporta come un vettore di direzione n. Si considerino, quindi, le matrici 1.5, 1.6, 1.7, associando ad esse rotazioni di angoli infinitesimi, si possono dedurre le matrici J n lungo gli assi del sistema di riferimento fisso (1, 2, 3): J 1 = 0 0 0 0 0 i 0 i 0, J 2 = 0 0 i 0 0 0 i 0 0, J 3 = 0 i 0 i 0 0 0 0 0 Teorema 1.3.1. I generatori {J k, k = 1, 2, 3} soddisfano la seguente algebra di Lie:. (1.15) [J k, J l ] = iε klm J m. (1.16) 8

Capitolo 2 Le rotazioni in meccanica quantistica 2.1 L operatore di rotazione Fino ad ora non sono state utilizzate nozioni di meccanica quantistica. É interessante studiare gli effetti di una rotazione su un sistema quantistico. Esiste un omomorfismo tra il gruppo delle rotazioni SO(3) e il gruppo degli operatori di rotazione Û(R), questi ultimi verificano la stessa legge di composizione del gruppo originale. Si consideri uno stato fisico α e lo si ruoti con un operatore Û(R) agente su di esso ed associato ad una matrice di rotazione R. Lo stato fisico corrispondente al sistema ruotato differirá dallo stato fisico originale: α R = Û(R) α. Si noti che la matrice R trasforma un vettore di dimensione 3 in un altro vettore di dimensione 3, mentre l operatore Û(R) agisce su un ket appartenente allo spazio di Hilbert le cui dimensioni dipendono dal sistema fisico in questione; l ordine della matrice Û(R) dipende, quindi, dal sistema considerato. Al fine di ricavare l espressione dell operatore rotazione si proceda con l esempio alquanto significativo presentato nel prossimo paragrafo. 2.1.1 Il cannone elettronico (DISEGNO CANNONE ELETTRONICO) Si considerino degli elettroni il cui stato é descritto dalla funzione d onda ψ(x) e di momento p = 2mνk, dove ν indica l energia degli elettroni e k il versore lungo la direzione del cannone elettronico. 9

Ruotando il cannone attraverso R, il versore k si trasforma in modo tale che k Rk e conseguentemente gli elettroni sono preparati con momento Rp. L effetto é quello di cambiare lo stato degli elettroni, cioé la loro funzione d onda. Si vuole trovare l espressione dell operatore applicato alla funzione d onda. Si consideri una rotazione infinitesima R n (δϕ) = I 3 δϕ*n, con inversa R 1 = I 3 + δϕ*n e si calcoli la funzione d onda R ψ(x) = ψ(r 1 x) ruotata attraverso R: R ψ(x) = ψ(r 1 x) = ψ(x δϕn x) = ψ(x) (δϕn x) ψ(x) + O(δϕ 2 ) = = ψ(x) δϕn x ψ(x) + O(δϕ 2 ) = ψ(x) i δϕn( i )x ψ(x)o(δϕ2 ). Indicando con L l operatore momento angolare orbitale, definito come si ottiene la seguente espressione: Lψ(x) = i x ψ(x), R ψ(x) = ψx i n Lδϕψx + O(δϕ 2 ). In conclusione indicando con ψ lo stato originale e con R ψ lo stato dell elettrone ruotato attraverso R n (δϕ), vale la seguente relazione: ( R ψ = Î i ) n Lδϕ ψ, dove L corrisponde al generatore infinitesimale della rotazione e ( n Û n (dϕ) = I i L ) dϕ é l operatore che descrive una rotazione infinitesima. Nel caso di rotazioni finite si ha perció Si denota con [ ( ϕ )] N R n (ϕ) = lim R n ; N N [ R ψ = lim Î i N n L ϕ ] N ( ψ = exp i ) N n Lϕ ψ, ( Û n (ϕ) = exp i ) n Lϕ (2.1) l operatore che descrive la trasformazione dello stato di una particella quantistica sulla quale si effettua una rotazione R n (ϕ). 10

2.1.2 Momento angolare totale (ma l elettrone non ha spin 0!!) Le conclusioni tratte nel paragrafo precedente sono valide nel caso in cui lo spin della particelle considerate abbia valore pari a 0. Se ció non si verifica, il generatore della rotazione non é il momento angolare orbitale, bensí un operatore chiamato momento angolare totale Ĵ il quale é definito come: Nel caso di rotazione infinitesima si ha: Ĵ = L + Ŝ. Û n (dϕ) = I i ( ) n Ĵ dϕ. (2.2) Nel caso di rotazione finita: Û n (ϕ) = exp ( i ) n Ĵϕ. (2.3) Significato fisico dei generatori I generatori J k con k = 1, 2, 3 descritti dalle matrici 1.15 hanno un significato fisico molto importante in quanto corrispondono a osservabili fisiche, cioé quantitá misurabili. In particolare essi sono associati alle componenti dell operatore momento angolare totale Ĵ. Quindi in meccanica quantistica é proprio Ĵ a generare le rotazioni infinitesime. Autovalori ed autovettori del momento angolare totale Poiché i generatori delle rotazioni infinitesimali non commutano mutuamente perché vale la 1.16, é conveniente definire un operatore Ĵ 2 = Ĵ Ĵ = Ĵ 2 1 + Ĵ 2 2 + Ĵ 2 3 il quale verifica [Ĵk, Ĵ 2 ] = 0, per k = 1, 2, 3. Proof La base di stati viene convenzionalmente scelta con j, m, che sono gli autovettori simultanei di Ĵ 2 e Ĵz: Ĵ 2 j, m = j(j + 1) 2 j, m ; Ĵ z j, m = m j, m ; dove j é intero o semintero ed m = j, j + 1,..., j 1, j. 11

2.2 Proprietá dell operatore di rotazione Definizione 2.2.1. Si definisce operatore unitario un operatore  tale che Dalla definizione discende che per un operatore unitario vale Gli operatori unitari, inoltre, conservano la norma:   =  = I. (2.4) A =  1. (2.5) Âψ 1, Âψ 2 = ψ 1,  Âψ 2 = ψ 1,  1 Âψ 2 = ψ 1, ψ 2. (2.6) Si puó dimostrare che l operatore di rotazione Û(R) é un operatore unitario nello spazio di Hilbert e che, quindi, verifica le equazioni 2.4, 2.5 e 2.6. 2.3 Elementi della matrice dell operatore di rotazione Per un dato valore del momento angolare j, l operatore di rotazione Û(R) é rappresentato, nella base j, m del momento angolare, da una matrice di ordine 2j + 1, i cui elementi sono indicati con D (j) m m (R). Si ha: Û(R) j, m = D (j) m m (R) j, m, (2.7) ( ) D (j) m m (R) = j, ij nϕ m exp j, m. (2.8) Si noti che nella formula 2.8 non compaiono elementi di matrice per stati con diverso valore di j: essi infatti sono banalmente nulli poiché Û(R) j, m é ancora un autovettore di J 2 con autovalore j(j + 1) 2 : J 2 Û(R) j, m = ÛJ2 j, m = j(j + 1) 2 Û j, m, si deduce, perció, che le rotazioni non possono modificare il valore di j. Il valore di m, contrariamente, viene modificato, per dimostrare ció si espanda 2.7 nel seguente modo: Û(R) j, m = j, m j, m Û(R) j, m = j, m D (j) m m (R). (2.9) m m Gli elementi della matrice possono essere riscritti anche in termini di angoli di Eulero: ( D (j) m,m (α, β, γ) = j, m exp ij ) ( zα exp ij ) ( yβ exp ij ) xγ j, m = = e i(m α+mγ) j, m exp 12 ( ij yβ ) j, m. (2.10)

Esempio: Momento angolare 1 2 Si consideri il caso j = 1, per il quale J 2 k = σ k 2, dove con σ k si indicano le matrici di Pauli: [ 0 1 σ 1 = 1 0 dalla 2.10 si ricava: ] [ 0 i, σ 2 = i 0 ( D 1 2 e iα/2 cos β (α, β, γ) = 2 e iγ/2 e iα/2 sin β 2 e iγ/2 ] [ 1 0, σ 3 = 0 1 e iα/2 sin β 2 eiγ/2 e iα/2 cos β 2 eiγ/2 ] ; (2.11) ). (2.12) 13

Capitolo 3 Le simmetrie In meccanica quantistica si puó parlare di due tipi di simmetria: 1. La simmetria di uno stato. Uno stato ψ si dice simmetrico se é invariante sotto la trasformazione operata da Û, in modo tale che: Û ψ = ψ. 2. La simmetria di un operatore. Un operatore  é simmetrico se il suo valore di aspettazione é invariante per trasformazioni dello stato: cioé  é simmetrico se per ogni stato ψ vale ψ Û ÂÛ ψ = ψ  ψ. Poiché la condizione deve valere per ogni stato, essa puó essere riscritta in termini di soli operatori: Û ÂÛ = Â. Il comportamento di un sistema quantistico é descritto dall operatore hamilitoniano Ĥ. In particolare si definisce sistema simmetrico sotto la trasformazione operata da Û il sistema quantistico descritto da un hamiltoniana che verifica la condizone: Û ĤÛ = Ĥ. Poiché Û é un operatore unitario, la condizione puó essere riscritta come ] ĤÛ [Û, = ÛĤ Ĥ = 0. Se l operatore simmetrico Û é generato dall operatore hermitiano Ĝ, cioé Û = e i Ĝ, allora [Ĝ, Ĥ] = 0. (3.1) 14

Ogni operatore  verifica la seguente equazione di Heisenberg, che determina l evoluzione temporale dell operatore: dâ dt = 1 [Â, Ĥ]. (3.2) i Se un sistema é simmetrico sotto la trasformazione operata da Û, allora gli autovettori di Û sono anche autovettori del suo generatore Ĝ. Tale proprietá porta alla definizione di un concetto fondamentale in fisica: le leggi di conservazione. Il generatore Ĝ verifica dĝ dt = 0 (3.3) e rappresenta, quindi, una osservabile invariante rispetto all evoulzione temporale del sistema quantistico di hamiltoniana Ĥ. É interessante analizzare il caso dal punto di vista degli autovalori di Ĝ: si consideri un autoket di Ĝ Ĝ g = g g, denotando con Û(t, t 0) l operatore di evoluzione temporale tale che g, t 0 ; t = Û(t, t 0) g, e considerato che da 3.1 e 3.3 si deduce che Ĝ commuta con Û(t, t 0), si ottiene: ] ] Ĝ [Û(t, t0 ) g = Û(t, t0)ĝ g = g [Û(t, t0 ) g Ĝ g, t 0 ; t = g g, t 0 ; t. Nel paragrafo successivo viene analizzata in dettaglio la simmetria di un sistema invariante per rotazioni. 3.1 Simmetria di rotazione Si consideri un sistema fisico descritto da un hamiltoniana Ĥ. Se quest ultima é invariante per rotazioni, si ha [Ĵ, Ĥ] = 0, inoltre exp ( i ) ( ) i n Ĵδϕ Ĥ exp n Ĵδϕ = Ĥ. Tali proprietá di Ĵ comportano la conservazione del momento angolare per sistemi invarianti rispetto alle rotazioni. 15

3.1.1 Degenerazione dei livelli di energia Il concetto di degenerazione giá noto in meccanica classica assume un ruolo molto importante in meccanica quantistica. Si supponga che per l operatore simmetrico Ŝ valga [Ĥ, Ŝ] = 0, sia n un autoket dell energia con autovalore E n. Allora anche dell energia, con stesso autovalore E n, infatti: Ŝ n é un autoket Ĥ(Ŝ n ) = ŜĤ n = En(Ŝ n ). Se n e Ŝ n rappresentano diversi stati, essi sono per definizione degeneri. Si consideri il caso in cui l operatore Ŝ coincida con l operatore di rotazione Û(R), allora l Hamiltoniana é invariante per rotazioni: [Ĥ, Û(R)] = 0, inoltre [Ĵ, Ĥ] ] = 0, [Ĵ2, Ĥ = 0. Poiché Ĥ, Ĵ, Ĵ2 commutano mutuamente, si possono considerare i loro autostati simultanei denotati con n; j, m, i quali, sotto la trasformazione operata da Û(R), si trasformano in stati con la medesima energia. In particolare applicando la formula 2.9 si ottiene: Û(R) n; j, m = m n; j, m D (j) m m (R). Si ha, quindi, una degenerazione di 2j + 1 stati con diverso valore di m e stessa energia E n. 16

Capitolo 4 Applicazioni molecole 17

Bibliografia [1] Michael Artin Algebra, Prentice Hall 1991; [2] Andrew Baker Matrix Groups - An Introduction to Lie Group Theory, Springer 2002; [3] Wu-Ki Tung Group Theory in Physics, World Scentific 1985; [4] J.J. Sakurai, Jim Napolitano Modern Quantum Mechanics, Pearson; [5] Prof. Roberto Catenacci, Universitá degli Studi del Piemonte Orientale Amedeo Avogadro Appunti su alcune classi importanti di matrici e gruppi di matrici, file presente al link http://people.unipmn.it/catenacc/geo/matrici.pdf in data 28/07/2014; [6] Dr. Jasper van Wezel, University of Bristol Quantum Mechanics Lecture Notes ; 2013 18