METODO VARIAZIONALE PER

CAPITOLO METODO VARIAZIONALE PER OPERATORI IN FORMA DI DIVERGENZA Nel corso di questo capitolo saremo interessati allo studio del seguente operatore in forma di divergenza Au = D i (a ij D j u) + b i D i u + c u (.1) = div(a u) + b u + c u e al problema di Dirichlet ad esso connesso { Au = f in u = 0 su (.) nelle ipotesi che sia un aperto di R N e i coefficienti a ij Cb 1 () mentre b i, c C b (). Assumiamo anche che A sia uniformemente ellittico, cioè che esista una costante ν 0 > 0 tale che a ij (x)ξ i ξ j ν 0 ξ ξ R N, x (.3) Notiamo che la regolarità dei coefficienti del secondo ordine fa sì che A si possa riscrivere in forma di non divergenza. Una soluzione di (.) è una funzione u H () H 1 0 () che soddisfa l equazione differenziale. L obiettivo di questo capitolo è mostrare che è possibile ottenere una siffatta soluzione regolarizzandone una debole. Il metodo usato è noto come metodo variazionale e può essere sintetizzato nel modo seguente:

18 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza 1) si definisce una soluzione debole, attraverso l introduzione di forme quadratiche; ) se ne dimostrano esistenza e unicità, con il teorema di Lax-Milgram; 3) si regolarizza la soluzione ottenuta mediante il metodo delle traslazioni di L. Nirenberg, provando separatamente regolarità all interno e regolarità fino al bordo in un aperto regolare di R N. Infine si stabiliscono risultati di regolarità di ordine superiore, grazie alla quale è possibile pervenire ad una soluzione classica del problema..1 ESISTENZA E UNICITÀ DELLA SOLUZIONE DEBOLE: TEOREMA DI LAX-MILGRAM Siano f L () e u H () H 1 0 () tale che Au = f; moltiplicando ambo i membri di questa equazione per un arbitraria funzione test ϕ C 0 () e integrando per parti, risulta Au ϕ = = = ( N D i f ϕ. j=1 ) a ij D j u ϕ + a ij D i u D j ϕ + b i D i u ϕ + c u ϕ Questo calcolo è alla base della seguente definizione. b i D i u ϕ + c u ϕ Definizione.1.1 Chiamiamo soluzione debole o variazionale del problema di Dirichlet (.) una funzione u H 1 0 () tale che a ij D i u D j ϕ + b i D i u ϕ + c u ϕ = f ϕ (.4) per ogni ϕ C 0 () (o, equivalentemente per densità, per ogni ϕ H 1 0 ()). La scelta dello spazio funzionale H 1 0 () (più ampio rispetto ad H () H 1 0 ()), è sufficiente per dare senso a (.4), visto che sono coinvolte solo derivate prime di u. Il conto precedente ha infatti mostrato che un ordine di derivazione è stato scaricato da u sulle funzioni test. Nulla impedirebbe di scaricare due ordini di derivazione: questo vorrebbe dire considerare una soluzione del problema nel senso delle distribuzioni che è solo L ; tuttavia, trovare una soluzione in H 1 0 (), come vedremo, è abbastanza facile; ciò giustifica in primo luogo la nostra scelta. Inoltre, una funzione di H 1 0 ()

.1 Esistenza e unicità della soluzione debole: teorema di Lax-Milgram 19 verifica automaticamente le condizioni al bordo di Dirichlet, per cui basta che sia soddisfatta (.4) perchè sia risolto (debolmente) l intero problema (per altri esempi di condizioni al bordo si veda l Esercizio.1.5). Osserviamo che se una soluzione debole u appartiene anche ad H (), allora reintegrando per parti in (.4) risulta Au = f q.o. In realtà, questo è proprio quello che succede quando il dominio è abbastanza regolare. Introducendo nello spazio di Hilbert H 1 0 () la forma bilineare si vede che a(u, v) = ( N a ij D i u D j v ) b i D i u v c u v u è soluzione debole di (.) v H 1 0 () : a(u, v) = (f, v) avendo denotato con (, ) il prodotto scalare di L. L approccio variazionale è ora basato sul seguente teorema. (.5) Teorema.1. (Lax-Milgram) Siano H uno spazio di Hilbert e a : H H R una forma bilineare continua e coerciva su H, cioè tale che valgano rispettivamente a) esiste M > 0 tale che a(u, v) M u v u, v H; b) esiste α > 0 tale che a(u, u) α u u H; Allora, per ogni f H, con H duale topologico di H, esiste un unico u H, tale che a(u, v) = f(v) v H. Inoltre u α 1 f. DIM. Sia u un elemento fissato in H; allora a(u, ) definisce un funzionale lineare continuo su H. Pertanto, il teorema di rappresentazione di Riesz- Frechét assicura che esiste un unico w H tale che a(u, v) = (v, w) H per ogni v H. Siccome w è univocamente determinato da u, è ben posto il seguente operatore S : H H u Su := w. S è lineare e, siccome risulta (v, Su) H = a(u, v) M u v v H, prendendo v = Su, si ottiene che Su M u, cioè S è continuo. Inoltre, poichè a è coerciva, per ogni u H si ha α u a(u, u) = a(u, u) = (u, Su) H u Su

0 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza da cui si ottiene che Su α u. Quest ultima disuguaglianza dimostra che S è iniettivo e che ha rango chiuso; se proviamo che Rg(S) è denso potremo concludere che S è suriettivo. Sia z Rg(S). Allora (z, Su) H = 0 per ogni u H; se in particolare u = z, si ha α z a(z, z) = (z, Sz) H = 0, da cui segue che z = 0. Quindi S è un isomorfismo. Sia adesso f H. Per il teorema di Riesz-Frechét, esiste un unico w H tale che f(v) = (v, w) H, per ogni v H. Posto u = S 1 w, risulta con u α 1 w = α 1 f. f(v) = (v, w) H = (v, Su) H = a(u, v) Osservazione.1.3 Se nel teorema di Lax-Milgram si assume che la forma a sia anche simmetrica (a(u, v) = a(v, u)), allora a è un nuovo prodotto scalare su H (equivalente a quello dato) e il Teorema di Lax-Milgram non è altro che una riformulazione del Teorema di Riesz-Frechét. Ci proponiamo, ora, di far vedere che la forma definita in (.5) è continua e debolmente coerciva, cioè è tale che a(u, u) α u H + λ 1 0 u L per ogni u H0 1 () e per opportune costanti α > 0, λ 0 R. A tale scopo cominciamo ad osservare che, per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, risulta ( N ) 1 ( a ij (x)ξ i a ij (x) N ) 1 ( ξ i N ) 1 = a ij (x) ξ, e quindi ( N a ij (x)ξ i ξ j j=1 a ij (x) ) 1 ξ ξj ( N ( N Posto L = sup a ij (x) ) 1 si ha allora x a ij (x)ξ i ξ j L ξ ξ R N, x. a ij (x) ) 1 ξ. Inoltre b i (x) D i u(x) = ( N ) 1 ( b i (x) N ) 1 D i u ( N b i (x) ) 1 u(x)

.1 Esistenza e unicità della soluzione debole: teorema di Lax-Milgram 1 e quindi, posto K = sup x ( N b i (x) D i u(x) u(x) b i (x) ) 1, risulta K ε K u(x) u(x) = u(x) + 1 ε K ε u(x) u(x) ε u(x), avendo usato la disuguaglianza a b 1 (a + b ) nell ultimo passaggio. Prendendo ε = ν 0 /K, si ha b i (x) D i u(x) u(x) ν 0 Pertanto, per ogni u H 1 0 (), vale a(u, u) = ν 0 sup c x a ij D i u D j u u(x) ν 0 u(x). x u(x) + K u(x). ν 0 b i D i u u c u u(x) K ν 0 Ponendo λ 0 = K + sup c + ν 0, si ottiene in definitiva ν 0 a(u, u) ν 0 u H 1 λ 0 u L u(x) che dimostra che a è debolmente coerciva in L. Usando le precedenti disuguaglianze e quella di Hölder, si prova che a è anche continua. Infatti, se u, v H 1 0 () allora a(u, v) = L a ij D i u D j v u v + b i D i u v K u v + c u v c u v L u L v L + K u L v L + c u L v L M u H 1 v H 1

Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza Per riferimenti futuri, ricordiamo che ( N K = sup b i (x) ) 1 x ( N L = sup a ij (x) ) 1 x λ 0 = K + sup c + ν 0 ν 0. x (.6) Teorema.1.4 Assumendo valida la notazione precedente, per ogni λ R con λ λ 0 e per ogni f L () esiste un unica u H 1 0 () tale che λ (u, v) + a(u, v) = (f, v), v H 1 0 () (cioè u è soluzione debole di λu Au = f). Inoltre, se λ > λ 0 si ha 1 u L f L, u L λ λ 0 ν 0 (λ λ 0 ) f L. (.7) DIM. Siano λ R, con λ λ 0 e f L (). Consideriamo su H 1 0 () la forma ã(u, v) = a(u, v) + λ(u, v), dove a è definita da (.5). Siccome a è continua, anche ã lo è. Inoltre ã(u, u) = a(u, u) + λ u L ν 0 u H 1 + (λ λ 0) u L ν 0 u H 1 (.8) cioè ã è coerciva su H0 1 (). Applicando il teorema di Lax-Milgram relativamente al funzionale v f v, otteniamo che esiste un unica u H0 1 () tale che a(u, v) + λ(u, v) = f v v H 1 0 (). Proviamo ora le stime (.7). Prendendo u = v nell uguaglianza precedente e usando la (.8) risulta f L u L f u = λ u + a(u, u) ν 0 u H + (λ λ 0) u 1 L da cui si ricavano e (λ λ 0 ) u L f L u L = u L f L λ λ 0 ν 0 u L ν 0 u H 1 f L u L f L λ λ 0.

. Regolarizzazione delle soluzioni deboli 3 Il teorema precedente assicura così di poter risolvere, almeno in senso debole, l equazione λu Au = f, quando λ è abbastanza grande. E bene notare che questa restrizione su λ è parzialmente un problema legato alla tecnica dimostrativa, perchè il valore λ 0 trovato non è ottimale, e parzialmente una difficoltà intrinseca che non è possibile superare. Per esempio, il problema unidimensionale { λ u u = 0 in (0, 1) u(0) = u(1) = 0 in corrispondenza di λ n = n π, non ammette un unica soluzione, dato che accanto alla soluzione nulla ci sono anche le autofunzioni sin(nπx). Se invece λ 0, allora l unica soluzione è quella banale. In generale, la situazione può anche essere peggiore, nel senso che i valori di λ per cui non vi è risolubilità (o unicità) possono non essere solo un infinità numerabile come nel caso considerato. Esercizio.1.5 Siano un aperto limitato di classe C 1 di R N e f L (). Denotata con ν la normale esterna unitaria a, provare che (a) se u H () soddisfa u v = f v v H 1 () allora u = f e u = 0 su (la restrizione a è chiaramente ν tramite un operatore di traccia); (b) se u H () soddisfa a(u, v) = f v v H 1 () (con a definita da (.5)), allora Au = f e u ν N νi = a ij ν j, i = 1,..., N, è la cosiddetta conormale. j=1 = 0 su, dove. REGOLARIZZAZIONE DELLE SOLUZIONI DEBOLI Cominciamo con questa sezione a studiare la regolarità della soluzione debole ottenuta con il teorema di Lax-Milgram. Relativamente all operatore A definito in (.1), introduciamo le seguenti costanti: M 0 = max i,j { a ij, b i, c } (.9) N 0 = max i,j a ij.

4 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza Abbiamo provato che se λ λ 0, con λ 0 definito in (.6), allora l equazione λu Au = f L () ammette un unica soluzione debole u H 1 0 (). Se ora inglobiamo λ u nella parte di ordine zero dell operatore, allora possiamo considerare u soluzione debole di Au = f, ossia ( N ) a ij D i u D j v b i D i u v c u v = f v v H 1 0 (). Posto g := f + c u + b i D i u L () la precedente uguaglianza diventa a ij D i u D j v = g v v H0 1 ()...1 Regolarità all interno Come anticipato all inizio del capitolo, il metodo che useremo per regolarizzare la soluzione debole è basato sui quozienti differenziali. Se u L (R N ) e h R N, h 0, chiamiamo quoziente differenziale l espressione u(x + h) u(x) (D h u)(x) =. h È immediato verificare che per ogni u, v L (R N ) si ha (D h u) v dx = R N u D h v dx. R N (.10) Se u L () e ω è un aperto a chiusura compatta contenuta in, allora ha senso considerare D h u(x) per x ω e h < dist(ω, ). Il prossimo lemma mostra una caratterizzazione degli spazi di Sobolev in termini di quozienti differenziali. Lemma..1 Sia u L (). Sono equivalenti le seguenti proprietà: (i) u H 1 (); (ii) esiste C > 0 tale che per ogni ω aperto a chiusura compatta contenuta in (brevemente ω ) e per ogni h R N con h < dist(ω, ) risulta D h u L (ω) C. In tal caso si può prendere C = u L ().

. Regolarizzazione delle soluzioni deboli 5 DIM. (i) (ii) Supponiamo inizialmente che u C0 (R N ). Preso h R N, poniamo v(t) := u(x + th), con t R. Allora u(x + h) u(x) = v(1) v(0) = Di conseguenza, 1 0 v (t) dt = 1 1 u(x + h) u(x) h u(x + th) dt e, integrando su ω u(x + h) u(x) dx h ω 0 ω dx 1 1 = h dt 0 1 = h dt 0 0 ω 0 h u(x + th) dt. u(x + th) dt u(x + th) dx ω+th u(y) dy. Se h < dist(ω, ), allora esiste sicuramente un aperto ω tale che per ogni t [0, 1] si abbia ω + th ω ; dunque D h u L (ω) u L (ω ) u L (). (.11) Se u H 1 (), allora esiste una successione (u n ) n C0 (R N ) tale che u n u in L () e u n u in L (ω ), per ogni ω. Applicando (.11) a tutte le u n e passando al limite si ottiene la (ii). (ii) (i) Sia ϕ C0 (); consideriamo un aperto ω tale che suppϕ ω e sia h < dist(ω, ). Allora [u(x+h) u(x)]ϕ(x) dx = u(y)[ϕ(y h) ϕ(y)] dy C h ϕ L (). Ne segue che ϕ(y h) ϕ(y) u(y) h dy C ϕ L (). Preso h = te i, quando t 0 si ottiene, per convergenza dominata u(x) D i ϕ(x) dx C ϕ L (), sicchè ϕ u D i ϕ definisce un funzionale lineare e continuo su C 0 (), munito della norma L. Per densità tale funzionale può essere esteso a tutto L () e applicando il Teorema di Riesz, si determina un unica

6 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza funzione v i L () tale che u D i ϕ = v i ϕ ϕ C 0 (). Ne segue che esiste la derivata parziale di u rispetto a x i nel senso delle distribuzioni ed è data da v i, con v i L C. Siccome i è arbitrario, si ottiene che u H 1 (), che è la nostra tesi. Osservazione.. Lo stesso risultato vale con 1 < p < e si dimostra esattamente allo stesso modo. Esercizio..3 Se u W 1,p (), allora, posto h = te i, con 1 i N, risulta che D h u converge all i-sima derivata parziale debole di u per t 0 in L p (ω), per ogni ω. Il Lemma seguente è il passo fondamentale per ottenere regolarità all interno. Lemma..4 Sia u H 1 (B R ) tale che B R a ij D i u D j v = g v v C0 (B R ) B R con g L (B R ). Allora u H loc (B R) e per ogni r < R esiste una costante C = C(r, R, ν 0, M 0, N 0 ) tale che D u L (B r ) K( u H 1 (B R ) + g L (B R )). DIM. Sia r < R fissato e consideriamo η C0 (B R ) tale che suppη B R+r, 0 η 1 e η 1 su B r. Allora η u H0 1 (B R ) e per ogni v C0 (B R ) si ha B R a ij D i (η u)d j v = = = B R B R B R a ij u D i η D j v + a ij u D i η D j v + a ij v D i u D j η g η v B R B R j=1 B R B R B R a ij v D i u D j η a ij η D i u D j v a ij D i ud j (ηv) ( N ) D j a ij D i η u v = φ v(.1) B R

. Regolarizzazione delle soluzioni deboli 7 dove φ = g η D j (a ij D i η u) a ij D i u D j η. Naturalmente φ L (B R ) e φ L (B R ) g L (B R ) + C(r, R, M 0, N 0 ) u H 1 (B R ). (.13) Sia h R N \ {0}, h < R r. Poniamo z := ηu e v := D h D h z. La scelta 4 di h fa si che v H0 1 (B R ) (perchè il suo supporto è compatto e contenuto in B R ), per cui v è una funzione test che può essere inserita in (.1). Da questa segue che B R a ij D i z D j (D h D h z) = φ (D h D h z). B R Siccome il quoziente differenziale e la derivata commutano, per la proprietà (.10) si ha: B R D h (a ij D i z) D j (D h z) = φ (D h D h z). B R Tenendo conto che D h (a ij D i z)(x) = D h a ij (x) D i z(x) + a ij (x + h) D h (D i z)(x) = D h a ij (x) D i z(x) + a ij (x + h) D i (D h z)(x) si deduce successivamente B R B R a ij (x + h) D i (D h z)(x) D j (D h z)(x) = D h a ij (x) D i z(x) D j (D h z)(x) + φ(x) (D h D h z)(x). B R Grazie alla condizione di ellitticità, possiamo stimare il primo membro dal

8 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza basso ottenendo ν 0 B R D h z = B R a ij (x + h) D i (D h z)(x) D j (D h z)(x) B R D h a ij (x) D i z(x) D j (D h z)(x) + φ(x) (D h D h z)(x) B R C(N 0 ) z L (B R ) D h z L (B R ) + φ L (B R ) D h D h z L (B R ) dove R è un opportuno raggio strettamente minore di R, la cui esistenza è garantita dalla scelta di h. Applicando il Lemma..1, si ha che D h D h z L (B R ) D h z L (B R ) e quindi ν 0 D h z L (B R ) C(N 0 ) z H 1 (B R ) D h z L (B R ) + φ L (B R ) D h z L (B R ). Dividendo per D h z L (B R ) e applicando ancora il Lemma..1, si deduce che z H 1 (B R ), ossia z H (B R ) e inoltre D z L (B R ) C(N 0) ν 0 z H 1 (B R ) + 1 ν 0 φ L (B R ). A questo punto, siccome u z su B r, abbiamo che u H (B r ) e, ricordando la stima (.13), con C = C(r, R, ν 0, M 0, N 0 ). D u L (B r ) C ( u H 1 (B R ) + g L (B R )) Segue ora facilmente il seguente teorema di regolarità interna in una palla. Non è possibile dedurre regolarità fino al bordo perchè non stiamo richiedendo alcuna condizione al contorno (si ricordi l Osservazione 1.3.6). Teorema..5 Sia u H 1 (B R ) soluzione debole di Au = f L (B R ). Allora u H loc (B R) e per ogni r < R esiste C = C(r, R, ν 0, M 0, N 0 ) tale che u H (B r) C( u H 1 (B R ) + f L (B R )). DIM. Basta applicare il lemma precedente con g = f + c u + è in L (B R ). b i D i u che

. Regolarizzazione delle soluzioni deboli 9 Una conseguenza della tecnica usata è la regolarità globale nell intero spazio. Teorema..6 Sia u H 1 (R N ) soluzione debole di Au = f L (R N ). Allora u H (R N ) ed esiste C = C(ν 0, M 0, N 0 ) tale che u H (R N ) C ( u H 1 (R N ) + f L (R N )). DIM. E sufficiente ripetere la dimostrazione del Lemma..4 senza introdurre il cut-off η e la funzione z, ponendo v = D h D h u. Osservazione..7 Ricordando le stime del Teorema.1.4 e usando il teorema precedente, si può maggiorare direttamente u H 1 (R N ) con f L (R N ), a meno di una costante moltiplicativa, se λu Au = f, con λ > λ 0... Partizioni dell unità Prima di passare al caso di regolarità interna in un aperto arbitrario, ci occorrono dei risultati tecnici preliminari. Lemma..8 Siano K e sottoinsiemi rispettivamente compatto e aperto di R N, con K. Allora esiste φ C 0 () tale che 0 φ 1 e φ 1 su K. DIM. Sia r < 1 dist(k, ). Poniamo K r := {x R N dist(x, K) r}. Per costruzione, K è un compatto contenuto in. Presa η C0 () tale che suppη B 1 (0), 0 η 1 e η = 1, sia η R N ε (x) = 1 η( x ε N ε ) la successione di mollificatori corrispondente. Se ε < r, la funzione φ = η ε χ Kr soddista le condizioni dell enunciato. Lemma..9 Siano K un compatto di R N e {U i } r un ricoprimento aperto di K. Allora, per ogni i = 1,..., r, esiste un aperto V i U i (a chiusura r compatta in U i ) tale che K V i. DIM. Per ogni x K, esiste i {1,..., r} tale che x U i ; inoltre, siccome U i è aperto, esiste un intorno sferico di x, B x, a chiusura contenuta in U i. Chiaramente, {B x } x K è un ricoprimento aperto di K da cui, come conseguenza dell ipotesi di compattezza, se ne può estrarre uno finito { B xj } s j=1. A questo punto, posto V i := { Bxj B xj U i } risulta che ogni V i è un aperto con V i U i e, siccome è un ricoprimento di K. i = 1,..., r r V i = s B xj, {V i } j=1

30 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza Lemma..10 (Partizione dell unità) Siano dati un compatto K di R N e {U i } r, ricoprimento aperto finito di K. Allora esistono delle funzioni θ 1,..., θ r di classe C, verificanti le seguenti proprietà (1) supp θ i U i, () 0 θ i 1, (3) r θ i (x) = 1, in un intorno di K. Chiamiamo l insieme {θ 1,..., θ r } una partizione dell unità (di classe C ) subordinata al ricoprimento {U i } r. DIM. Il Lemma..9, applicato due volte, assicura la possibilità di costruire a partire dal primo ricoprimento {U i } r, altri due ricoprimenti di K, {V i } r e {W i} r, tali che W i V i U i. Fissato un indice i {1,..., r}, poniamo d i := min{dist(w i, V i ), dist(v i, U i )}. Sia η i C0 (R N ), positiva, con supp η i B d i (0) e η i = 1. R N Se ψ i := η i χ{ Vi, allora ψ i C0 (R N ) e suppψ i suppη i + suppχ Vi = B d i (0) + V i = x R N dist(x, V i ) d } i U i. Inoltre, preso x W i, risulta ψ i (x) = χ Vi (x y) η i (y) dy = 1 B di (0) grazie alla scelta di d i. r Siccome ψ i 1 su W := r W j, per continuità si avrà j=1 un certo intorno aperto W di W. A questo punto, poniamo θ i (x) = ψ i(x) η(x) r j=1 ψ j(x), r ψ i 1 su dove η C0 ( W ) con η 1 su W. E immediato verificare ora che le funzioni {θ 1,..., θ r } soddisfano le proprietà richieste. Facciamo a questo punto alcune precisazioni sullo spazio W 1,p loc (). E chiaro che L p loc ()={u : R misurabile u K L p (K) per ogni K compatto }. Per descrivere W 1,p loc (), ci sono invece due possibilità {u L p loc () D iu L p loc (), i}, (.14)

. Regolarizzazione delle soluzioni deboli 31 dove D i u denota l i-esima derivata distribuzionale di u oppure {u L p loc () u W 1,p ( ), }. Evidentemente il primo insieme è contenuto nel secondo, poichè D i (u ) = (D i u). Un argomento basato sulle partizioni dell unità mostra che vale anche l altra inclusione. Lemma..11 Sia = j, con { j } j N aperti. Se u L p loc () è tale j N che u j W 1,p ( j ) per ogni j, allora u W 1,p loc () così come definito in (.14). DIM. Si tratta di far vedere che le derivate distribuzionali di u sono funzioni localmente p-sommabili. Consideriamo D 1 u. Per ipotesi, per ogni j esiste v j L p ( j ) tale che v j = D 1 (u j ). Proviamo che v i = v j q.o. su i j (se quest intersezione è non vuota): per ogni φ C0 ( i j ) risulta v i φ = v i φ = D 1 φ u = D 1 φ u = v j φ i j i i i j i j (avendo sintetizzato nell ultimo passaggio gli stessi conti ripetuti con j al posto di i). Pertanto v i = v j q.o. su i j. E così ben definita su una funzione v tale che v j = v j e l obiettivo è provare che v = D 1 u. Se ψ C0 (), indicato con K il suo supporto, per compattezza è possibile ricoprire K con un numero finito di aperti { i1,..., ir } scelti tra quelli che ricoprono. Se {φ 1,..., φ r } è una partizione dell unità subordinata a { } r r ij, risulta ψ φ i = ψ e D 1 (ψ φ i ) = D 1 ψ, quindi u D 1 ψ = r j=1 = ij u D 1 (ψ φ j ) = ψ v il che completa la dimostrazione. r j=1 ij ψ φ j v = r j=1 ψ φ j v..3 Regolarità all interno (continuazione) Riprendiamo ora la regolarità ellittica all interno di un aperto arbitrario. Proposizione..1 Sia un aperto di R N e sia u Hloc 1 () soluzione debole di Au = f, con f L loc (). Allora u H loc (). DIM. Sia B R (x 0 ) una palla a chiusura compatta contenuta in. Per ipotesi u H 1 (B R (x 0 )) e f L (B R (x 0 )), per cui, applicando il Teorema

3 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza..5, deduciamo che u H (B R (x 0 )). Sia ora un aperto a chiusura compatta in e consideriamo un numero finito di palle {B Ri (x i )} che ricoprono e tali che i B Ri (x i ). Dal passo precedente abbiamo che u H (B Ri (x i )), per ogni i, e quindi, tenendo conto del Lemma..11, deduciamo che u H loc ( ib Ri (x i )) e pertanto u H loc ( ). Dall arbitrarietà di segue la conclusione. Il seguente corollario mostra che aumentando la regolarità dei coefficienti dell operatore e del dato f, aumenta quella della soluzione: precisamente questa ha due ordini di regolarità in più rispetto a f (poichè l operatore A è del secondo ordine). Corollario..13 Sia un aperto di R N ; supponiamo che a ij C k+1 (), b i, c C k () e che f Hloc k (). Allora se u H1 loc () è soluzione debole dell equazione Au = f, risulta u H k+ loc (). DIM. Procediamo per induzione su k. Per k = 0, la tesi è vera grazie alla Proposizione..1. Supponiamola vera per k e proviamola per k + 1. Assumiamo quindi che a ij C k+ (), b i, c C k+1 () e che f H k+1 loc (). La funzione u verifica per ipotesi ( N ) a ij D i u D j φ b i D i u φ c u φ = f φ per ogni φ C 0 (); in particolare a ij D i u D j φ = g φ φ C 0 () con g data da f + b i D i u + c u. Per ipotesi induttiva u H k+ loc (), per cui g H k+1 loc (). Per provare la tesi, facciamo vedere che u Hk+ loc (). Mettiamo D r φ al posto di φ nell uguaglianza precedente e otteniamo a ij D i u D jr φ = g D r φ = (D r g) φ.

. Regolarizzazione delle soluzioni deboli 33 Integrando per parti si ha quindi (D r g) φ = = = = + D r (a ij D i u) D j φ a ij D i (D r u) D j φ a ij D i (D r u) D j φ + a ij D i (D r u) D j φ + D r a ij D ij u φ. (D r a ij ) D i u D j φ D j [D r (a ij ) D i u] φ D jr (a ij ) D i u φ Si trova così che D r u è a sua volta soluzione debole dell equazione ellittica [ a ij D i (D r u) D j φ = φ D r g + D jr a ij D i u + ] D r a ij D ij u dove la funzione in parentesi quadre è in Hloc k (). Applicando allora l ipotesi induttiva deduciamo che D r u H k+ loc () e quindi, data l arbitrarietà di r, che u H k+ loc (), cioè u Hk+3 loc (). Corollario..14 (Ipoellitticità) Se a ij, b i, c sono di classe C () e anche il dato f C (), allora u Hloc 1 () soluzione debole di Au = f è anch essa di classe C (). DIM. Basta usare le immersioni di Sobolev, giacchè u Hloc k () per ogni k...4 Regolarità fino al bordo Di seguito, consideriamo come aperto la semipalla di centro l origine e raggio R contenuta nel semispazio R N + = { x R N x N > 0 }, denotata con B + R, e facciamo vedere che la soluzione debole del problema di Dirichlet con dato in L, è H in una qualunque semipalla di raggio più piccolo. Il procedimento seguito consiste nell usare il metodo dei quozienti differenziali per stimare le derivate tangenziali di D i u e l equazione differenziale per ricavare l ultima derivata D NN u.

34 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza Lemma..15 Sia u H0 1 (B + R ) soluzione debole dell equazione Au = f L (B + R ). Se r < R allora esiste una costante C = C(r, R, ν 0, M 0, N 0 ) tale che per ogni i = 1,..., N 1 si ha D i u H 1 (B r + ) e D ij u L (B r + ) C ( u H 1 (B + R ) + f L (B + R )) j = 1,..., N. (.15) DIM. Identica a quella del Lemma..4, usando quozienti differenziali, come nel caso dell intera palla, rispetto a traslazioni tangenziali h = (h 1,..., h N 1, 0). Infatti lo spazio H0 1 è invariante rispetto a tali traslazioni nel senso che v H0 1 (B r + ) = D h v H0 1 (B + R ) con h sufficientemente piccolo. La stima di D NN è ottenuta nella proposizione seguente. Proposizione..16 Sia u H0 1 (B + R ) soluzione debole dell equazione Au =f L (B + R ). Se r < R allora u H (B r + ) e dove C = C(r, R, ν 0, M 0, N 0 ). D u L (B r + ) C ( u H 1 (B + R ) + f L (B + R )), (.16) DIM. Per la Proposizione..1, u Hloc (B+ R ) e quindi Au = f q.o. Allora a ij D ij u + β i D i u + c u = f q.o. dove β i = b i D j a ij e quindi j=1 D NN u = [ (i,j) (N,N) a ij D ij u + a NN ] β i D i u + c u + f Dalla condizione di ellitticità si ha che a NN ν 0, per cui D NN u 1 ν 0 (i,j) (N,N) La tesi segue subito dal Lemma..15. a ij D ij u + β i D i u + c u + f. Segue ora un risultato di regolarità globale nel semispazio analogo a quello già visto in R N.

. Regolarizzazione delle soluzioni deboli 35 Proposizione..17 Sia u H 1 0 (R N + ) soluzione debole di Au = f L (R N + ). Allora u H (R N + ) ed esiste una costante C = C(ν 0, M 0, N 0 ) tale che u H (R N + ) C ( f L (R N + ) + u H 1 (R N + ) ). DIM. Come per il Teorema..6 è sufficiente adattare (e semplificare) la dimostrazione del Lemma..15 e della Proposizione..16 al caso del semispazio. Definizione..18 Se T = {x R N : x N = 0} = R N + R N 1, indichiamo con H 1 T (B+ R ) la chiusura nella norma H1 delle funzioni u C (B + R) nulle in un intorno di T B + R (cioè nulle solo vicino al bordo piatto di B + R). Osservazione..19 Se u HT 1 (B+ R ) e η C 0 (B R1 ) con R 1 < R, allora ηu H0 1 (B + R ). Infatti, per definizione esiste una successione (u n) C (B + R) tale che u n = 0 in un intorno di T B + R e u n converge a u in H 1 (B + R ). Ne segue che ηu n C 0 (B + R ) e chiaramente ηu n ηu in H 1. Inoltre se h è un vettore tangenziale, cioè h = (h 1, h,, h N 1, 0) e h < R R 1 allora il quoziente differenziale D h (ηu) appartiene a H 1 0 (B + R ), perchè D h (ηu n ) C 0 (B + R ). Teorema..0 Sia u HT 1 (B+ R ) soluzione debole dell equazione Au = f, con f L (B + R ). Allora per ogni r < R, u H (B r + ) ed esiste una costante c = c(r, R, ν 0, M 0, N 0 ) tale che D u L (B + r ) c ( f L (B + R ) + u H 1 (B + R ) ). DIM. Si procede come nel caso di H0 1 (B + R ) (Proposizione..16), tenendo conto dell Osservazione..19. Lemma..1 Sia u H (B r + ) HT 1 (B+ R ), con r < R. Allora per ogni i {1,,, N 1} si ha che D i u HT 1 (B+ r ). DIM. Sia η C (R N ) tale che η 1 in B r e supp η B r+r. Allora z = ηu H0 1 (B + R ). Inoltre, se h = te i, con 1 i N 1, per l Osservazione..19, si ha che D h z H0 1 (B + R ), per h sufficientemente piccolo e D hz D i z in norma H 1, per t 0 (cfr Esercizio..3). Ne segue che D i z H0 1 (B + R ) e siccome z u in B r, D i u HT 1 (B+ r ). Teorema.. Sia u H 1 T (B+ R ) soluzione debole dell equazione Au = f. Supponiamo inoltre che a ij C k+1 (B + R), b i, c C k (B + R) e f H k (B + R ). Allora u H k+ (B + r ) per ogni r < R.

36 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza DIM. Procediamo per induzione su k. Il caso k = 0 è provato dal Teorema..0. Assumiamo che la tesi sia vera per k e proviamola per k + 1. Supponiamo pertanto che a ij C k+ (B + R), b i, c C k+1 (B + R) e f H k+1 (B + R ). Per ipotesi induttiva u H k+ (B r + ) per ogni r < R. Sia ora s {1,,, N 1} e consideriamo la derivata tangenziale D s u. Per il Lemma..1 D s u HT 1 (B+ r ), r < R, e derivando l equazione rispetto a x s risulta a ij D i (D s u)d j φ = vφ φ C0 (B r + ) B + r i,j dove v = D s (f + cu + i b id i u) + i,j (D jsa ij )D i u + i,j (D sa ij )D ij u (cf Corollario..13). Siccome v H k (B r + ), applicando l ipotesi induttiva a D s u deduciamo che D s u H k+ (B r + ). Per come è stato scelto s, resta la derivata rispetto a x N di ordine k + 3: u. Per questa, basta derivare k + 1 volte l equazione rispetto a x N e ricavare D k+3 N u. Si trova così Dk+3 N u espressa in funzione di tutte le altre derivate, già stimate; da qui la tesi. D k+3 N B + r Corollario..3 Se a ij, b i, c, f C (B + R), allora u C (B + r ) per ogni r < R. Corollario..4 Sia un aperto limitato di classe C k+, oppure = R N, oppure = R N +. Se a ij C k+1 (), b i C k (), c C k (), f H k () allora u H k+ (). DIM. Per = R N basta iterare il Teorema..6. Per = R N + si ripete lo stesso argomento del Teorema.. senza fare alcun troncamento. Per aperto limitato di classe C k+ si procede mediante carte locali e partizioni dell unità. Corollario..5 Supponiamo che u H 1 0 (R N + ) sia soluzione debole dell equazione λu u = f, con λ > 0. Se f C (R N + ) è a supporto compatto in R N allora u H k (R N + ), per ogni k. In particolare u C b (RN + ). Lo studio della regolarità delle soluzioni deboli in semipalle consente di passare a quello al bordo di aperti regolari mediante l uso di carte locali. Il lemma successivo mostra che tramite un cambio di variabili l operatore di partenza si trasforma in un altro operatore uniformemente ellittico del secondo ordine. Lemma..6 Sia un aperto di classe C, sia (U, H) una carta locale su. Sia inoltre u H 1 0 (U ) tale che U a ij D xi ud xj ϕ = U gϕ ϕ C 0 (U ) (.17)

. Regolarizzazione delle soluzioni deboli 37 dove g L (U ). Allora, posto v(y) := u(h(y)), y B + R si ha che v H 1 0 (B + R ) e soddisfa B + R h,k=1 α hk D yk vd yh ψ = B + R g ψ ψ C 0 (B + R ) (.18) dove g = (g H) JacH L (B + R ) e i coefficienti α hk C 1 (B + R ) verificano la condizione di ellitticità uniforme. DIM. Sia ψ C0 (B + R ); poniamo ϕ(x) := ψ(j(x)), dove J indica la funzione inversa di H e x U. Allora ϕ C0(U 1 ) e D xi u(x) = Dunque si ha = = D yk v(jx)d xi J k (x), D xj ϕ(x) = k=1 U a ij (x)d xi u(x)d xj ϕ(x) dx U h,k=1 a ij (x) B + R h,k=1 D yh ψ(jx)d xj J h (x). h=1 D yk v(jx)d xi J k (x)d yh ψ(jx)d xj J h (x) dx ( aij (H(y))D yk v(y)d xi J k (H(y))D yh ψ(y)d xj J h (H(y)) JacH ) dy, in base alle usuali formule sul cambio di variabili in un integrale. Pertanto, posto risulta U α hk (y) := a ij (H(y))D xi J k (H(y))D xj J h (H(y)) JacH (y) a ij (x)d xi u(x)d xj ϕ(x)dx = B + R h,k=1 α hk (y)d yk v(y)d yh ψ(y)dy. (.19) Siccome i coefficienti a ij sono di classe C 1 e le funzioni H, J di classe C, i nuovi coefficienti α hk appartengono a C 1 (B + R ) e inoltre soddisfano la condizione di ellitticità. Infatti per ogni ξ R N, usando il fatto che le matrici

38 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza iacobiane JacH e JacJ non sono singolari risulta h,k=1 α hk ξ h ξ k = D altra parte si ha h,k=1 = JacH JacH ν 0 U a ij D xi J k D xj J h JacH ξ h ξ k ( N )( N ) a ij D xi J k ξ k D xj J h ξ h N gϕ dx = k=1 h=1 ( N ) D xi J k ξ k β ξ. B + R k=1 (g H)ψ JacH dy (.0) per cui, combinando (.17), (.19), e (.0) si ottiene la tesi. Giungiamo infine al risultato più importante di questo capitolo. Teorema..7 Siano aperto limitato di classe C, u H 1 0 () soluzione debole di Au = f, f L (). Allora u H () ed esiste una costante C = C(ν 0, M 0, N 0, ) tale che u H C ( f L + u H 1). DIM. Siccome è un aperto di classe C, dalla Definizione 1.0.1 segue che per ogni x esistono U x intorno di x in R N e J x : U x B 1 biiettiva, di classe C con la sua inversa H x, tali che J x (U x ) = B + 1 e J x(u x ) = B + 1 {x N = 0}. Poniamo V x := H x (B 1 ). Per ogni x sia B R x (x) una palla contenuta in. Siccome è compatto, possiamo determinare intorni {V xi },...,n1 e palle { B Rxi (x i ) } i=n 1+1,...,n interne ad, tali che = n 1 V i n j=n 1 +1 B Rxj (x j ). Poniamo V i = V xi, R j = R xj e n = n 1 + n. Sia {θ i } n una partizione dell unità relativa a questo ricoprimento di n. Allora, in particolare θ i = 1 in un intorno di, e quindi possiamo scrivere n n u = θ i u = u i in. A questo punto si tratta di provare che u i H (), per ogni i = 1,..., n.

. Regolarizzazione delle soluzioni deboli 39 Se i = n 1 +1,..., n allora supp(u i ) B Ri (x i ), per cui dal Teorema..5 applicato alle palle B Ri (x i ) e B Ri (x i ) otteniamo u i H () = u θ i H (B Ri (x i )) C i u H (B Ri (x i )) C i C(R i, R i, ν 0, M 0, N 0 )( f L (B Ri (x i )) + u H 1 (B Ri (x i ))) C(ν 0, M 0, N 0, ) ( f L () + u H 1 ()) Sia adesso i n 1 ; la funzione u i = θ i u appartiene ad H 1 0 (U i ), siccome u H 1 0 () e supp θ i V i e soddisfa U i h,k=1 a hk D h u i D k v = U i g i v v C 0 (U i ) con g i L (U i ) che verifica g i L (U i ) C(M 0, N 0, ) [ u H 1 () + f L ()] (si veda la dimostrazione del Lemma..4). Consideriamo la funzione v i := u i H i. Per il Lemma..6 risulta che v i H0 1 (B 1 + ) e risolve un altra equazione ellittica del secondo ordine, relativa alla semipalla B 1 +. Applicando la Proposizione..16, deduciamo che v i H (B + 1 ) e v i H (B + 1 ) = v i H (B + 1 ) C(ν 0, M 0, N 0, ) [ g i L (B + 1 ) + v i H 1 (B + 1 )] e quindi u i H (U i ) C(ν 0, M 0, N 0, )[ f L () + u H 1 () + u i H 1 ()] da cui infine Siccome u = u H () u i H () C(ν 0, M 0, N 0, )[ f L () + u H 1 ()]. n u i su, concludiamo che u H () e che n u i H () C(ν 0, M 0, N 0, ) ( f L () + u H 1 ()). Concludiamo adesso con un risultato di regolarità di ordine superiore, di cui non diamo la dimostrazione poichè tecnicamente analoga a quelle precedenti. Teorema..8 Sia aperto limitato di classe C k+ e sia f H k (). Se a ij C k+1 (), b i C k () e c C k (), allora la soluzione debole di Au = f appartiene ad H k+ (). Osservazione..9 Se k > N allora u C () (per le immersioni di Sobolev) e diventa come tale soluzione classica del problema di Dirichlet.