USO DELL ORTOGONALITÀ E DELLE UNITÀ APPROSSIMANTI

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1 1. C INFINITO CI 1 USO ELL ORTOGONALITÀ E ELLE UNITÀ APPROSSIMANTI Umberto Marconi ipartimento di Matematica Pura e Applicata Padova 1 C infinito ci Consideriamo la funzione reale di variabile reale: { ( ) exp 1 per s < 1 s ψ(s) = 2 1 per s 1 Osserviamo che la funzione ψ è di classe C, a supporto compatto, pari, non negativa e ψ() >. Fissato ξ in R n, consideriamo per ogni R > la funzione ψ R così definita in coordinate sferiche di centro ξ, con r = x ξ : ( r ψ R (r) = R n ψ La funzione ψ R ha supporto contenuto nella palla B R di centro ξ e raggio R ed è di classe C perché r 2 è di classe C. Calcoliamo l integrale della funzione non negativa ψ R, usando le coordinate sferiche e tenendo conto che ψ R è nulla per r R: R n ψ R (x) dx = + = σ n 1 R r = Rs ( r r n 1 R n ψ dr ( r R n r n 1 ψ dr S n 1 1dσ = 1 = σ n 1 R n R n 1 s n 1 ψ(s)r ds = 1 = σ n 1 s n 1 ψ(s) ds L integrale della famiglia di funzioni ψ R ha dunque un valore costante positivo c indipendente da R. Se consideriamo ora le funzioni k R (r) = c 1 ψ R (r), esse hanno tutte le proprietà di ψ R e il loro integrale è costantemente uguale a 1. Si osservi che al tendere di R a + il supporto di queste funzioni si strizza a ξ e il valore massimo assunto in ξ tende a + (i grafici sono stalagmiti sempre più sottili e allungate). Le funzioni di questo tipo si chiamano mollificatori. Nel nostro caso, se le scriviamo in coordinate cartesiane abbiamo: k R (x ξ) = c 1 R n ψ(r 1 x ξ )

2 2 Sia un aperto connesso di R n e sia f una funzione scalare continua su. Fissato ξ, sia R tale che la palla di centro ξ e raggio R è tutta contenuta in. Per ogni R < R definiamo: (k R f)(ξ) = f(x)k R (x ξ) dx La funzione integranda è nulla per x ξ R. imostriamo che: R +(k R f)(ξ) = f(ξ) Fissato ε >, scegliamo R 1 > tale che f(x) f(ξ) < ε per ogni x B R1. La differenza fra l argomento del ite e f(ξ) è: f(x)k R (x ξ) dx f(ξ) 1 = B R = f(x)k R (x ξ) dx f(ξ) k R (x ξ) dx = B R B R = (f(x) f(ξ))k R (x ξ) dx B R Vista la scelta di R 1, per ogni R < R 1 il modulo di tutta l espressione è maggiorato da: f(x) f(ξ) k R (x ξ) dx εk R (x ξ) dx = ε B R B R La definizione di ite conclude la dimostrazione. Supponiamo ora che sia itato e consideriamo lo spazio lineare C() costituito dalle funzioni continue sulla chiusura di. Esso contiene come sottospazio lineare proprio lo spazio lineare Cc () delle funzioni C a supporto compatto contenuto in (per continuità tali funzioni si possono estendere alla frontiera ). Consideriamo su C() il prodotto scalare di L 2 (). Corollario 1 L ortogonale di Cc () in C() è nullo, cioè se fg = per ogni g Cc (), allora f è identicamente nulla. imostrazione. Poiché le funzioni k R (x ξ) appartengono a C c () per R < R, dall ipotesi si ha che (k R f)(ξ) = per ogni R < R e passando al ite si ottiene f(ξ) =. La conclusione segue dall arbitrarietà di ξ. a questo corollario vogliamo dedurre che C c () è denso in L 2 (). Per i teoremi di decomposizione ortogonale negli spazi di Hilbert si ha: L 2 () = (C c ()) C c () Intersecando con C() otteniamo: ( ) C() = (Cc ()) C() Il corollario assicura che il primo addendo è nullo e quindi: C() C c () ( ) Cc () C()

3 2. PRINCIPIO I IRICHLET 3 Poiché C() è denso in L 2 (), passando alla chiusura del termine a sinistra otteniamo: e dunque C c () è denso in L 2 (). L 2 () = C() C c () Osservazione. iamo per scontato, senza dimostrazione, che C c () è denso in L p (), 1 p < +, anche se non è itato. 2 Principio di irichlet Quanto segue è solo un conto, le cui motivazioni sono assolutamente incomprensibili senza aver studiato il paragrafo 4.83 a pag di [Taylor]. Siano F, G, H e (f 1, f 2 ) come in 4.83 di [Taylor]. Fissata f F, l insieme delle funzioni che coincidono con f su è la classe laterale f + G (varietà affine). Supponiamo esista f (f + G) di norma minima. Ovviamente f + G = f + G perché f f G. Possiamo esprimere la nostra ipotesi assumendo che f sia l elemento di norma minima nel chiuso convesso f + G. Tenendo conto che (f + g) = f + g, il quadrato della norma di un elemento di questa classe laterale è dato da: N 2 (f + g) = ( f + g) ( f + g) dx + (f + g) 2 dσ obbiamo imporre che N 2 sia minima in f. Fissato g G, se ciò succede la derivata direzionale lungo la retta (f + tg) t R deve essere nulla per t =. Scriviamo: N 2 (f + tg) = ( f + t g) ( f + t g) dx + (f + tg) 2 dσ Tenendo conto che g è nulla su si ottiene: N 2 (f + tg) = ( f + t g) ( f + t g) dx + f 2 dσ eriviamo rispetto a t, osservando che tutto è uniformemente continuo, perché è compatta, e dunque l operatore di derivazione si può portare dentro all integrale: d dt N 2 (f + tg) = 2 ( f + t g) g dx + Per t = questa derivata deve essere nulla e quindi otteniamo: ( f) ( g) = Applicando l identità di Green (alias per parti) si ha: ( g) ( f) = g( f) ν dσ g( 2 f) dx Il primo addendo del secondo termine è nullo perché g è nulla su. Poiché la derivata deve essere nulla lungo tutti i vettori direttori g G, otteniamo che ( f)g = per ogni funzione g di classe C 2 su e nulla su. Poiché Cc () G, ne consegue per il Corollario 1 che f =. In conclusione abbiamo dimostrato che se esiste l elemento di norma minima in f + G, tale elemento è una funzione armonica h e dunque f = g h, ove h è la proiezione di f su H.

4 4 3 Unità approssimanti Consideriamo le funzioni k R (ξ x) definite nel primo paragrafo (si tenga presente che la funzione generatrice ψ è pari). Esse hanno le seguenti proprietà: i) sono di classe C in x e in ξ; ii) fissato ξ, il supporto di K R è contenuto in B R, palla di centro ξ e raggio R; iii) R n K R (ξ x) dx = B R K R (ξ x) dx = 1. Sia un aperto connesso di R n. Se f è una funzione reale localmente integrabile su e R < R, l espressione (k R f)(ξ) = f(x)k R (ξ x) dx = f(x)k R (ξ x) dx B R definisce una funzione per ξ R = {ξ : dist(ξ, ) > R }. Una maggiorazione immediata mostra infatti che la funzione integranda è sommabile su B R. L operazione si chiama prodotto di convoluzione. Poiché la funzione K R (ξ x) è di classe C in ξ, i teoremi di derivabilità per integrali dipendenti da parametro assicurano che K R f è di classe C. Per questo i nuclei integrali K R si chiamano mollificatori. Nel primo paragrafo abbiamo dimostrato che se f è continua in ξ allora: R +(k R f)(ξ) = f(x)k R (ξ x) dx = f(ξ). R + Si dimostra che se f L q (), allora K R f L q ( R ) e che inoltre tali convoluzioni tendono a f nella norma q se R +. Supponiamo ora che sia itato e consideriamo lo spazio lineare C = C() con la norma del massimo. Fissato p, possiamo considerare il funzionale δ p C definito da: δ p (f) = f(p) È quasi ovvio che la norma operatoriale di δ p è uguale a 1. Il funzionale δ p si chiama delta di irac, o massa unitaria concentrata in p. Se R < dist(p, ), possiamo considerare anche i funzionali K p R (f) = (k R f)(p) = f(x)k R (p x) dx Questi funzionali hanno norma operatoriale K R(p x) dx = 1. Poiché f è continua abbiamo inoltre: R Kp + R (f) = δ p(f) per ogni f C. Se R varia in una successione infinitesima, la successione di funzionali K p R converge alla δ p su ogni punto f C. Otteniamo così che la delta di irac, che non è una funzione, si può pensare come ite debole dei nuclei integrali K p R. Per questo motivo le funzioni K R si chiamano unità approssimanti. Siccome tali unità hanno valore massimo che tende a + per R +, se uno pensa alla delta come funzione, dice che la delta vale in tutti i punti tranne p, dove vale +. Osservazione. Le ipotesi che abbiamo messo sulle unità approssimanti sono un po troppo restrittive. Per una caratterizzazione si veda [Lax, Cap. 11, Teorema 1].

5 3. UNITÀ APPROSSIMANTI 5 Bibliografia [Lax] P. Lax, Functional Analysis, Wiley-Interscience (22). [Taylor] A. E. Taylor, Introduction to Functional Analysis, John Wiley&Sons Inc., New York (1964).