RISOLUZIONI A CURA DEL PROF. ENRICO SAILIS I.I.S. A.GRAMSCI-E.AMALDI 1. UNA STORIA DI FAMIGLIA In una famiglia, ognuno dei figli può dichiarare di avere almeno un fratello e una sorella. Quanti figli ci sono, al minimo, in questa famiglia? Soluzione: 4 figli R I I N. UNA STRANEZZA DEL SIGNOR ROMAIN Romain ha scritto il suo nome su sei pedine, su ognuna delle quali c è una lettera. Le pedine sono disposte come in figura. Propone poi a Marion di fare degli scambi di due lettere legate tra loro da un segmento, in modo da trasformare ROMAIN in MARION. Qual è il numero minimo di scambi necessari per questa trasformazione? Soluzione: 3 scambi R
3. ALLA POSTA Ennio non ha voluto darmi il codice postale della sua città. Ecco come ha risposto alle mie domande in proposito: Come ogni codice postale italiano, esso è composto da cinque cifre. La somma della prima cifra con la seconda è 17. La somma della seconda con la terza è 1, come anche la somma della terza con la quarta. La somma delle ultime due cifre è 9. La somma dell ultima con la prima è 8. Qual è il numero di codice postale della città di Ennio? Soluzione: 89690 Indichiamo con 1 la prima cifra da sinistra, con la seconda cifra e così via, allora le condizioni assegnate si trasformano nel sistema seguente, di cui si riportano le soluzioni. 8 1 9 4 1 4 3 1 3 17 1 0 9 4 6 3 9 8 1 X X X X X
4. MELE E PERE Angelo e Rosi questa sera hanno invitato sette amici a cena. A fine pasto vorrebbero offrire della frutta fresca, delle mele e delle pere che coglieranno nel loro frutteto. Esso però è parecchio distante dalla casa e Angelo e Rosi, ormai avanti con gli anni, sanno di non poter portare più di 7 chili di frutta in due. D altra parte desiderano che ognuno dei loro invitati possa scegliere quali frutti mangiare. Una mela pesa 300 g; una pera 00 g. Qual è il numero massimo di frutti che essi possono cogliere recandosi una sola volta nel frutteto? Soluzione: 31 frutti Poiché ogni invitato deve poter scegliere il frutto da mangiare, ci devono essere almeno 7 mele e 7 pere il cui peso complessivo è 7*300 + 7*00 = 300 g. I restanti 300 grammi devono essere raggiunti con il maggior numero possibile di frutti, quindi Angelo e Rosi coglieranno il numero più alto possibile di mele che pesano meno e quindi il resto del peso in pere. Si osservi che non è possibile prendere solo mele in quanto 300 non è un multiplo di 00, pertanto, si considera il multiplo di 00 più vicino a 300, questo è 00*16= 300, il resto per raggiungere 300 è 300, esattamente il peso di una pera, pertanto il numero massimo di frutti che si possono cogliere é: 7 mele + 7 pere + 16 mele + 1 pera = 31 frutti. BUON COMPLEANNO Per i dodici anni di Jacob, i suoi genitori hanno ordinato al pasticciere dei dolci molto particolari a forma di triangolo con il perimetro di 1 cm. Tutti i lati dei triangoli hanno una misura in cm corrispondente ad un numero intero. Quante forme diverse il pasticciere potrà realizzare? Soluzione: 3 forme Le forme possibili sono solo quelle corrispondenti ai triangoli che hanno per misura dei lati, in cm, le seguenti terne di numeri interi: ; ;, 3; 4;, 4; 4; 4, tutte le altre possibili terne di numeri interi che hanno per somma 1 perimetro del triangolo non sono accettabili in quanto con dei segmenti con quelle misure è impossibile costruire un triangolo.
6. LA NUMERAZIONE DELLE PAGINE Per numerare le pagine di un grosso quaderno, Pietro ha dovuto scrivere un numero di cifre doppio rispetto al numero di pagine di questo quaderno. Quante pagine ha il quaderno di Pietro? Soluzione: 108 pagine Il numero di pagine non può essere esprimibile con una sola cifra perché il numero di cifre scritte numerando le pagine è esattamente uguale al numero di pagine e non al doppio. Il numero di pagine non può essere espresso neanche con due cifre perché se lo fosse, questo numero dovrebbe soddisfare la condizione: 9 + -9 = dove il primo membro rappresenta il numero di cifre scritte numerando pagine nell'intervallo dei numeri a due cifre da 10 a 99. La precedente equazione non ha soluzioni in quanto si riduce a 9 = 0. Mostriamo ora che, se il numero di pagine ha tre cifre allora la soluzione è 108, infatti, il numero di pagine cercato deve soddisfare l'equazione: 9 + 90* + 3-99 = dove il primo membro esprime il numero di cifre che si scrivono per numerare un numero a tre cifre delle pagine del libro. La soluzione di questa equazione è proprio = 97 189 = 108
6 6 1 1 4 3 4 4 6 6 1 3 7. LA TANA DI CAMILLA La tana della talpa Camilla è formata da quattro stanze collegate da sei gallerie. Una di queste stanze è la camera da letto di Camilla; le altre tre servono da dispensa: Camilla vi deposita le sue riserve di vermiciattoli. Camilla purtroppo ha la memoria debole come la sua vista e allora ha messo in ogni galleria un piccolo cartello sul quale annota le differenze tra il numero dei vermiciattoli il più grande meno il più piccolo delle due stanze situate alle estremità della galleria stessa. Ecco i numeri che si leggono sui sei cartelli: 1,, 3, 4,, 6. Quanti vermiciattoli contiene ogni stanza-dispensa di Camilla, dalla meno alla più fornita? Nota: naturalmente la stanza da letto non contiene alcun vermiciattolo. Soluzioni: 1; 4; 6 e ; ; 6
8. LE BARRETTE DI CIOCCOLATO I miei quattro cugini arrivano a casa nostra domenica mattina all ora della colazione e si fermano per dodici giorni di vacanza. Sono molto golosi, come noi del resto! Per fortuna la mamma, previdente, ha comperato 168 barrette di cioccolato in modo che ognuno possa durante i dodici giorni, mangiarne una a colazione e una a merenda. Purtroppo, alla sera del nono giorno, i nostri cugini devono interrompere il loro soggiorno e rientrare a casa. Noi continuiamo, malgrado la loro assenza, a gustarci le barrette di cioccolato con la stessa frequenza. In quale giorno della settimana mangeremo l ultima barretta? Soluzione: Lunedì Per risolvere il problema determiniamo prima quante persone mangeranno i cioccolati oltre alla mamma vi è anche il papà? Ci sono dei fratelli?. Se vi sono 168 barrette di cioccolato da destinarsi due a ciascuna persona per 1 giorni in totale ci saranno: 168 barrette : barrette a persona al giorno * 1 giorni = 7 persone Ora 7 persone mangiano in 9 giorni esattamente 14 barrette al giorno * 9 giorni = 16 barrette le barrette restanti, precisamente 168 16 = 4 saranno mangiate dei 3 componenti della famiglia ospitante in: 4 barrette : barrette a persona al giorno * 3 persone = 7 giorni Complessivamente, a partire dalla domenica di arrivo dei cugini, trascorrono ben 9 + 7= 16 giorni, domenica compresa e dal grafico seguente si ottiene che il giorno della settimana è lunedì. 1 3 4 6 7 do lu ma me gi ve sa 8 9 10 11 1 13 14 do lu ma me gi ve sa 1 16 17 18 19 0 1 do lu ma me gi ve sa
9. PER CONFONDERE L AVVERSARIO Durante le ultime partite prima della finale della coppa di basket, abbiamo visto in tribuna una spia della squadra nostra futura avversaria. Essa prendeva appunti circa la nostra tattica abituale. A questo punto dobbiamo scombussolare i punti di riferimento dei nostri avversari. Abbiamo così deciso di ridistribuire le nostre cinque maglie numerate in modo che nessuno di noi cinque indossi la maglia abituale. In quanti modi possiamo effettuare questa ridistribuzione? Soluzione: 44 Per calcolare il numero di modi in cui si possono ridistribuire le cinque maglie procediamo per gradi, supponendo prima che vi siano solo giocatori, poi 3, poi 4 e infine giocatori, immaginiamo che le maglie siano numerate e rappresentiamo i giocatori con dei quadrati disposti in fila. Con giocatori lo scambio può avvenire in un solo modo: Numerazione iniziale Ridistribuzioni possibili 1 1 Con 3 giocatori lo scambio può avvenire in modi: Numerazione iniziale Ridistribuzioni possibili 1 3 3 1 3 1 Con 4 giocatori lo scambio può avvenire in 9 modi: Numerazione iniziale Ridistribuzioni possibili 1 3 4 1 4 3 4 1 3 3 4 1 3 1 4 3 4 1 3 4 1 4 1 3 4 3 1 4 3 1
Con giocatori lo scambio può avvenire in 44 modi, infatti consideriamo le possibili disposizioni che soddisfano i requisiti imposti con il al posto dell'1 1 4 3 1 3 4 3 1 4 4 1 3 1 3 4 3 1 4 4 1 3 4 1 3 3 4 1 4 3 1 4 3 1 Queste disposizioni sono in totale 11. Se consideriamo ora le disposizioni con i requisiti imposti con il 3 al posto dell'1 si ottengono altre 11 disposizioni, altrettanto dicasi ponendo il 4 e poi il al posto dell'1. Complessivamente si ottengono 11*4 = 44 disposizioni con i requisiti richiesti e queste comprendono tutti i casi possibili.
10. L ALFABETO DEL MILLENNIO A=000 B=A-999 C=A+B-998 D=A+B+C-997......... Z=A+B+C+ +Y-97 Qual è il valore di Z? Nota: l alfabeto è composto da 6 lettere! Soluzione: Z = 16810770431 Da B=A-999 e da C=A+B-998 si ricava C = A - 998 +B = A 998 1 + 1 + B = A 999 + B + 1 = B + B + 1 ossia C = B + 1, analogamente si ricava: D= C + 1,... Z = Y + 1 e quindi: Z = X + 1 + 1 = X + + 1 = = W + 1 + + 1 Z = 3 W + + + 1 =... = = 4 B + 3 + +... + + 1 Poiché B = 000 999 = 1001, e 3 + +... + + 1 = 4 1, si ha: Z = 4 1001 + 4 1 Z = 16810770431 Per la somma delle potenze di due si è usata la formula della somma di potenze di base q: 1 3 q n 1 1 q q q... q n q 1
11. LA CALCOLATRICE DI MAURO Sulla calcolatrice di Mauro, dei tasti da 1 a 9, ne funzionano ormai solo tre. Mauro somma i sei numeri di due cifre distinte che può formare utilizzando soltanto questi tre tasti. Miracolo! La somma che compare utilizza ancora queste tre stesse cifre. Quale è questa somma? 3 Soluzioni: 13; 64; 396 1. UNA MOLTIPLICAZIONE In questa moltiplicazione la cifra 7 appare una e una sola volta. Così, ogni X rappresenta una cifra da 0 a 9 diversa da 7. Inoltre, la scrittura di nessuno dei numeri che vi compare comincia per 0 zero. XXXX * XX7X = ---------- XXXXX XXXX XXXX ----------------- XXXXXXXX Qual è il risultato? Soluzione: 10 188 640 una delle possibili 13 * 870 = ---------- 8640 464 986 ----------------- 10188640
13. IL RADAR DEL PENTAGONO La sede dello Stato Maggiore dell'esercito degli Stati Uniti è un edificio a forma di pentagono regolare, detto appunto il Pentagono. I servizi segreti vi hanno installato un radar rivoluzionario la cui zona di segnalazione, che copre anche l esterno dell'edificio, è un pentagono identico che gira attorno ad un vertice situato al centro del Pentagono. Quale è, al massimo, la percentuale della superficie del Pentagono coperta dalla zona di segnalazione del radar, in grigio sulla figura? Nota: all'occorrenza si prenderà,36 per la radice quadrata di e si arrotonderà all'intero più vicino. Soluzione: 31,07809% L'area massima dell'intersezione tra i due pentagoni si otterrà per questioni di simmetria, quando i due pentagoni sono disposti come nella figura seguente. Vedere i disegni nella pagina seguente e i calcoli.
31,06% risultato : perviene al si, - che 18 1-18 36 conto che : pentagono poligonooabcd percentuale richiesto OH poligonooabcd OCD OBC OAB poligono OABCD ' ' ' ' ' ' e Tenendo OH OH R rapporto R A OA B OB OBA A OB OH B OB OH A OA 18 36 18 1 100 36 18 36 100 100 18 36 36 18
14. IL FOGLIO DI FRANCOBOLLI È possibile ottenere tutte le somme intere da 1 a 36 staccando uno o più francobolli da un foglio rettangolare, di due francobolli per tre, portante i valori di 1,, 3,, 8 e 17 e sommando questi valori. I francobolli restanti devono però formare sempre un "pezzo" solo devono cioè rimanere "attaccati " almeno per un lato. 1 3 8 17 Potete ricostruire questo foglio di francobolli mettendo il più piccolo dei valori nell angolo in alto a sinistra? L esempio della figura non va bene in quanto è impossibile ottenere le somme 7, 10, 1, 1, 4, 7 e 3. Soluzione: 1 3 17 8