LOICA FUZZY, I LOICA DI ÖDEL SINTASSI, SEMANTICA POLIVALENTE, COMPLETEZZA VINCENZO MARRA 1. Sintassi Si consideri nuovamente l alfabeto A = {(, ), X,, $,,,,, } impiegato per la logica proposizionale classica, e sia A l insieme delle stringhe su A. L insieme delle formule (ben formate) della logica di ödel è definito esattamente come nel caso classico, e parimenti denotato Form. Come nel caso classico, si scrive come abbreviazione di ( β) (( β) (β )). Inoltre, si omettono spesso dalle formule le parentesi non necessarie: ad esempio, in luogo di ( β) si scrive β. A rigore, ciò richiede che si fissino appropriate convenzioni sulle priorità dei connettivi logici, che non enunceremo esplicitamente. Si ricordi che le stringhe che compaiono nella condizione (1) della definizione di Form, cioè quelle della forma X }{{} $ Form n volte per n N, sono dette variabili proposizionali, o formule atomiche, o semplicemente variabili. L insieme delle variabili è denotato da Var. Come si è visto, si usa abbreviare X }{{} $ n volte con X n, per n N. Evidentemente continua a valere la leggibilità univoca delle formule. Si continuerà a indicare con Var () l insieme delle variabili di una formula Form, e con (X 1,..., X n ), per n N, una formula le cui variabili siano un sottoinsieme di {X 1,..., X n }. 2. Semantica polivalente Nella logica proposizionale classica, l insieme dei valori di verità è {0, 1}. La semantica della logica di ödel, invece, si fonda sull insieme di valori di verità [0, 1] R, cioè sull intervallo dei numeri reali compresi fra 0 (detto il falso, o il falso assoluto) e 1 (detto il vero, o il vero assoluto) Date: 13 novembre 2007. 1
2 italianv. MARRA Definizione (Assegnamento). Un assegnamento atomico nella logica di ödel è una qualunque funzione µ 0 : Var [0, 1]. Un assegnamento (o una interpretazione) nella logica di ödel è una funzione µ: Form [0, 1] che estende un assegnamento atomico µ 0 : Form {0, 1}, e soddisfa le condizioni seguenti per ogni, β Form. (1) µ( ) = 0 e µ( ) = 1. (2) µ( ) = { 1, se µ() = 0; 0, se µ() > 0. (3) µ( β) = min (µ(), µ(β)). (4) µ( β) = max (µ(), µ(β)). (5) µ( β) = { 1, se µ() µ(β); µ(β), altrimenti. In questa definizione, min: [0, 1] 2 [0, 1] e max: [0, 1] 2 [0, 1] sono gli operatori di massimo e minimo, rispettivamente. Come nel caso classico, continua a valere la estendibilità di un qualunque assegnamento atomico a esattamente un assegnamento µ: Form [0, 1]. Anche la logica di ödel, dunque, soddisfa il principio di vero-funzionalità: il valore di µ((x 1,..., X n )) dipende solo da µ(x i ), i {1,..., n}. Più in generale, µ() dipende solo dal valore che µ assegna alle sottoformule di. Esercizio. Sia µ un assegnamento che attribuisce solo i valori 0 e 1 (cioè, valori booleani o classici o crisp) alle formule e β. Si dimostri che la semantica della logica di ödel data dalla definizione precedente coincide con la semantica classica per le formule,,, β, β, β. Esercizio. Siano e β due formule. (i) Si dimostri che µ( ) = µ( ) per qualunque assegnamento µ. Ne segue che nella logica di ödel (e, usando l esercizio precedente, anche nella logica classica) la negazione è (semanticamente) definibile dalla negazione e dal falsum. (ii) Si dimostri anche che µ( β) = 1 se e solo se µ() = µ(β). Se invece µ( β) < 1, vale necessariamente µ( β) = 0? Esercizio Facoltativo (Residuazione). Si dimostri che l identità µ( β) = max {z [0, 1] min (z, µ()) µ(β)} vale per tutte le formule, β. Nelle logiche fuzzy basate sull insieme di valori di verità [0, 1], quando la semantica della congiunzione e quella della implicazione soddisfano questa identità si dice che l implicazione è ottenuta dalla congiunzione per residuazione. (Nota bene: ciò non significa però che sia definibile da nello stesso senso in cui, nella logica di ödel, è definibile da e.) In questo corso
italianloica FUZZY, I 3 non tratteremo la residuazione nella sua generalità. Per una trattazione completa si veda il libro di testo di Hájek. È istruttivo confrontare la definizione seguente con la sua controparte classica. Definizione (Verità, Non verità e Falsità). Sia Form, e sia µ: Form [0, 1] un assegnamento. La terminologia che segue si riferisce alla logica di ödel. Si dice che è vera secondo µ, o anche vera nell interpretazione µ, o che µ è un modello di, se µ() = 1; altrimenti, si dice che è non vera secondo µ, o anche non vera nell interpretazione µ. In particolare, si dice che è falsa secondo µ, o anche falsa nell interpretazione µ, se µ() = 0. Si dice che è una tautologia se è vera secondo tutti i possibili assegnamenti µ: Form [0, 1]. Si dice che è una contraddizione se è falsa secondo tutti i possibili assegnamenti µ: Form [0, 1]. Si dice che è soddisfacibile se è vera secondo almeno un assegnamento µ: Form [0, 1], ossia se ha un modello. Infine, si dice che è refutabile, o che ha un contromodello, se è non vera secondo almeno un assegnamento µ: Form [0, 1] (nel qual caso µ è il contromodello di ). Notazione. Si usa la notazione seguente. µ = µ = = = µ è un modello di µ è un contromodello di è una tautologia è refutabile In questa tabella, la lettera indica che la logica coinvolta è la logica di ödel. Si noti che non introduciamo una terminologia o una notazione specifica per indicare che una certa formula è falsa in qualche modello, o in tutti i modelli. Le prime differenze fra la semantica della logica classica e quella della logica di ödel si possono apprezzare riesaminando le tradizionali leggi logiche viste nella prima dispensa alla luce della definizione precedente. Esercizio. Stabilire quali delle formule seguenti sono tautologie della logica di ödel per ogni scelta di, β Form. (1) (Terzo Escluso) (2) ( ) (Non Contraddizione) (3) (Legge della Doppia Negazione) (4) ( β) β (Leggi di De Morgan, I ) (5) ( β) β (Leggi di De Morgan, II ) (6) β (Ex Falso Quodlibet) (7) ( β) (β ) (Prelinearità) Suggerimento. Il Principio del Terzo Escluso e la Legge della Doppia Negazione non sono tautologie, le altre formule sì (per ogni e β). Si noti che la Legge della Doppia Negazione è la congiunzione di con : la prima formula è una tautologia della logica di ödel (per ogni ), la seconda no. Si è visto poc anzi che la semantica della logica di ödel si riduce a quella classica per valori booleani delle variabili. L esercizio precedente, d altronde, mostra che vi sono alcune tautologie della logica classica che non sono tautologie della logica di ödel. Riassumendo:
4 italianv. MARRA Proposizione. Se è una tautologia della logica di ödel, allora è una tautologia della logica classica, ma il viceversa non vale. 3. Assiomi e regole d inferenza Come nel caso classico, siamo interessati a un meccanismo puramente sintattico che permetta di isolare le tautologie della logica di ödel dalle altre formule ben formate. A tale scopo, diamo alcune definizioni. Definizione (Assiomi della logica di ödel). Date formule arbitrarie, β, γ Form, si considerino le formule seguenti. (A1) (β ) (A2) ( β) (( (β γ)) ( γ)) (A3) (β ( β)) (A4) ( β) (A5) ( β) β (A6) ( β) (A7) β ( β) (A8) ( γ) ((β γ) (( β) γ)) (A9) ( β) (( β) ) (A10) ( β) (A12). L insieme Axiom Form costituito dalle formule (A1) (A10) e (A12) al variare di, β, γ Form è detto insieme degli assiomi della logica di ödel. Il sistema di assiomi Axiom è ottenuto dal sistema di assiomi Axiom per la logica classica eliminando l assioma (A11):. Si è visto poc anzi in un esercizio che (A11) non è una tautologia della logica di ödel, e quindi non può certo essere incluso fra gli assiomi di questa logica: per ottenere il Teorema di Completezza, è infatti necessario (seppur non sufficiente) che tutti gli assiomi siano tautologie. L unica regola d inferenza della logica di ödel coincide con la regola d inferenza usata per la logica classica: Definizione (Modus Ponens). Siano, β Form. Si dice che la formula γ Form è deducibile da e β (tramite modus ponens) se = (β γ). Anche la definizione di formula dimostrabile ricalca il caso classico: Definizione (Dimostrabilità). Una formula Form è dimostrabile nella logica di ödel, o è deducibile nella logica di ödel, o è conseguenza sintattica degli assiomi della logica di ödel, se esiste una successione finita di formule 1,..., n, per un n N, tale che n =, e per ogni i {1,..., n} valga una delle condizioni seguenti. i Axiom. Esistono indici j, k {1,..., n} con j, k i tali che i sia deducibile da j e k per modus ponens. Una tale successione di formule è una dimostrazione (formale) di.
italianloica FUZZY, I 5 Notazione. Si usa la notazione seguente. è dimostrabile non è dimostrabile Come sopra: la lettera indica che la logica coinvolta è la logica di ödel. Proposizione. Ogni formula dimostrabile nella logica di ödel è anche dimostrabile nella logica proposizionale classica. Dimostrazione. Basta notare che Axiom Axiom, e applicare la definizione di formula deducibile. Commento. In analogia con la proposizione enunciata alla fine della sezione precedente, verrebbe da aggiungere all enunciato qui sopra che il viceversa non vale. Sebbene, in effetti, il viceversa non valga esiste una formula tale che ma dimostrarlo non è semplicissimo. Si noti che questo fatto è comunque una conseguenza immediata del Teorema di Completezza, che adesso enunceremo. Come nel caso classico, il fatto di massima importanza logica intorno alle nozioni introdotte sopra è il seguente. Teorema (Teorema di Completezza della logica di ödel). Per ogni Form si ha che se e solo se =. Detto in parole, nella logica di ödel le formule deducibili coincidono con le tautologie. Il Teorema di Completezza asserisce l equivalenza fra una nozione sintattica (la deducibilità) e una nozione semantica (la tautologicità). Non ne daremo la dimostrazione, che per risultare agevole richiede tecniche di algebra universale non trattate in questo corso. Esercizio. Dimostrare che tutti gli assiomi della logica di ödel sono tautologie. Dimostrare inoltre che se una formula γ è dedotta per modus ponens dalle formule e β, e se sia che β sono tautologie della logica di ödel, allora anche γ è una tautologia della logica di ödel. Concludere che, per ogni Form, implica =. Questa parte del Teorema di Completezza, che delle due è la più facile, è spesso enunciata come un risultato a sè, il Teorema di Correttezza (o di Validità). Esso ammonta semplicemente a dire che (i) li assiomi sono tautologie, e (ii) le regole di inferenza (nel nostro caso, il modus ponens) preservano la tautologicità delle formule. Riferimenti bibliografici [1] P. Hájek, The metamathematics of fuzzy logic, Kluwer, 1999. (V. Marra) Dipartimento di Informatica e Comunicazione, Università degli Studi di Milano, via Comelico, 39-41, I-20135 Milan, Italy E-mail address: marra@dico.unimi.it