SCHEMA DI CONTENUTI PER I CORSI COMUNI LABORATORIO DI MATEMATICA Il corso intende offrire un buon numero di occasioni pratiche per l approfondimento di quei metodi matematici elementari che gli studenti incontrano fin dal primo anno di studi. Lo scopo è di abituare gli studenti a confrontarsi con problemi sia numerici che simbolici (abbastanza semplici da poter essere compresi con le nozioni fornite durante il primo anno) e comprendere la ricerca di una (eventuale) soluzione. In parole povere, si intende offrire una palestra per l addestramento alla pratica matematica. Il corso è suddiviso in due parti in serie : 1) Matematica Computazionale, 2)Dimostrazioni e Paradossi. Si riportano di seguito obiettivi formativi, modalità di svolgimento e programma di massima. Lo studente è chiamato a sostenere l esame su entrambe le parti, ottenendo un unico voto finale. Ulteriori dettagli sulle due parti sono contenuti negli allegati. 1) Matematica Computazionale Obiettivi formativi. Fornire a tutti gli studenti una prima alfabetizzazione informatica ed avviarli all utilizzo del software matematico numerico e simbolico (pacchetti come MATLAB o MAPLE), come ausilio utilissimo per la ricerca e la pratica matematica. Grazie a tali strumenti, il laboratorio intende riprendere e sviluppare i concetti di base della matematica da un punto di vista algoritmico costruttivo, evidenziandone maggiormente gli aspetti operativi e concreti, lasciando ai corsi istituzionali il compito di trattare, ove necessario, le basi teoriche e formali. Il corso sarà quindi basato in modo essenziale sulla risoluzione al calcolatore di problemi matematici di analisi ed algebra provenienti da argomenti trattati nei corsi del primo semestre. Modalità disvolgimento. 2 ore la settimana di esercitazioni guidate al calcolatore, dall inizio del primo semestre fino alla 2a-3a settimana del secondo semestre. La frequenza alle prime 2 settimane, dedicate all alfabetizzazione informatica, è facoltativa. Programma di massima. Alfabetizzazione informatica; presentazione di MATLAB. Algebra vettoriale e matriciale nel calcolo simbolico e numerico. Studio grafico di funzioni. Tecniche iterative per lo studio di numeri primi e limiti di successioni e funzioni (caso simbolico e numerico). Algoritmo Euclideo. Soluzione simbolica e numerica di equazioni. 2) Dimostrazioni e Paradossi Obiettivi formativi. Presentare alle matricole il metodo dimostrativo matematico utilizzando casi semplici, il più possibile interessanti, e cercando di indurre gli studenti a meditare sul livello di chiarezza che una dimostrazione deve raggiungere per risultare tale. Modalità di svolgimento. 2 ore la settimana di teoria in aula per le ultime 8 settimane del secondo semestre. Programma di massima. Gli insiemi: gli approcci di Cantor, Frege e Russell, antinomie e paradossi, il superamento dei paradossi nelle proposte di Zermelo, Fraenkel e von Neumann. Procedimento diagonale di Cantor: X < 2 X. Pidgeonhole principle: per f: n n, f suriettiva se e solo se f iniettiva. Teorema del ventaglio: un albero infinito a diramazioni finite ha un cammino infinito. Problematica introduttiva all assioma di scelta. ANALISI MATEMATICA, MODULI 1, 2, 3, 4 1) Insiemi. Funzioni. Ordinamento. Struttura algebrica ed ordinata dei numeri reali. Estremo inferiore e superiore. Densità dei razionali e costruzione dei numeri reali. 2) Funzioni elementari. 1
3) Proprietà metriche e topologiche degli spazi euclidei. Limite e sue proprietà algebriche e rispetto all ordinamento. Proprietà delle funzioni monotone. Successioni. 4) Continuità. Teorema di Weierstrass. Immagine continua di un connesso. Continuità e monotonia. Continuità dell inversa. Uniforme continuità. e 5) Derivata. Studio di una funzione mediante le derivate. 6) Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange e loro conseguenze. Teorema di De l Hopital. Approssimazione di funzioni con polinomi, funzioni convesse. 7) Integrale di Riemann e di Cauchy. Integrabilità di funzioni continue; integrali definiti, funzioni integrali, integrali impropri. 8) Primitive di funzioni elementari. 9) Serie numeriche. Criteri di convergenza. 10) Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme, integrazione e derivazione per serie, convergenza totale, serie di potenze. 11) Equazioni differenziali ordinarie. Teoremi di esistenza e di unicità, integrale generale per equazioni lineari e risoluzioni per quelle a coefficienti costanti; risoluzione di alcune equazioni speciali ordinarie. 12) σ-algebra, misura; integrale di Lebesgue. 13) Funzioni implicite, invertibilità locale, estremi condizionati. 14) Forme differenziali su un aperto e differenziale; sottovarietà regolari. 15). Area di sottovarietà ed integrazione di forme. ALGEBRA 1 1) Teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi, applicazioni. Equipotenza e cardinalità. Relazioni di equivalenza, quozienti. Possibili estensioni e applicazioni: Costruzione di Z. Algoritmo di Euclide. Interi in base a. Congruenze e Zn. Teorema cinese dei resti. Permutazioni. Principio di induzione. Costruzione di Q. 2) Numeri complessi. Rappresentazione nel piano. Forma algebrica e trigonometrica. Radici n-esime dell unita. Teorema fondamentale dell algebra (cenno). Possibili estensioni e applicazioni: Insiemi di Mandelbrot. 3) Anello dei polinomi univariati. Zeri di un polinomio, Divisibilita, Fattorizzazione. Possibili estensioni e applicazioni: Fattorizzazione su Q e modulo p. Interi di Gauss. Strani polinomi. 4) Reticoli e grafi. Ordinamenti. Reticoli. Grafi. Alberi e grafi piani. Possibili estensioni e applicazioni: Colorazione di grafi. I ponti di Koenigsberg 5) Teoria dei gruppi. Gruppi, Gruppi abeliani finitamente generati. Possibili estensioni e applicazioni: Gruppi di trasformazioni ALGEBRA LINEARE 1) Calcolo combinatorio. Permutazioni; disposizioni semplici e con ripetizione; combinazioni semplici e con ripetizione; potenza di un binomio. 2) Sistemi di equazioni lineari e matrici. Matrici; sistemi a gradini e metodo di Gauss; rango di una matrice; determinante di una matrice quadrata: I e II teorema di Laplace; matrici invertibili e matrice inversa; teorema di Kronecker; teoremi di Rouchè-Cappelli e Kramer; metodi di risoluzione dei sistemi nel caso simbolico e nel caso numerico. 3) Spazi vettoriali. Dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione; sottospazi (intersezione, unione, somma diretta); formula di Grassmann. 3-bis) Applicazioni lineari. Nucleo ed immagine, isomorfismi lineari; corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici; matrice del cambiamento di base. 4) Diagonalizzazione di matrici. Similitudine e congruenza; autovalori, autovettori, autospazi. Endomorfismi semplici, matrici simmetriche reali. 2
5) Spazi affini. Giacitura e parallelismo; sottospazi, equazioni parametriche e cartesiane; sistemi di coordinate affini. 6) Parallelismo ed incidenza in R n,n=2,3. 7) Affinità. Cambiamento di coordinate affini; gruppo delle affinità. GEOMETRIA ANALITICA 1) Forme bilineari. Forme quadratiche (definite, semidefinite, indefinite): teorema di Sylvester e segnatura di una forma quadratica (reale); prodotto scalare e norma, basi ortonormali e ortonormalizzazione di Gram-Schimdt. 2) Spazi vettoriali euclidei. Operatori unitari e matrici ortogonali; spazi (affini) euclidei, spazio metrico associato e isometrie. Classificazione delle isometrie di R n, n=2,3, teoremi di Eulero e Chasles. 3) Geometria euclidea in R n, n=2,3. Distanze, angoli, piani, rette, rette sghembe... 4) Curve e superficie in R n, n=2,3. Superfici rigate (coni, cilindri,...), superficie di rotazione. 5) Simmetria, proiezioni e rotazioni. 6) Cenni di geometria differenziale. Retta tangente e piano osculatore ad una curva; piano tangente ad una superficie; triedro di Freńet (tangente, normale, binormale). 7) Coniche e quadriche. Proprietà metriche delle coniche (cenni); proprietà metriche delle quadriche (cenni); retta tangente ad una conica e piano tangente ad una quadrica. Riduzione a forma canonica di coniche e quadriche. 8) Introduzione alla geometria proiettiva. Lo spazio proiettivo (sistemi di coordinate); la retta proiettiva (il birapporto); il piano proiettivo; immersione dello spazio affine in quello proiettivo. CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA Il corso fornisce gli strumenti di base per la trattazione matematica dei fenomeni con informazione parziale (per mancanza o difficoltà o impossibilità pratica di acquisizione). Il corso si propone inoltre di abituare lo studente ad articolare in tre fasi la corretta applicazione della teoria: (a) scelta di un modello matematico, (b) elaborazione matematica del modello scelto, (c) interpretazione dei risultati ottenuti. 1) Caso, eventi e probabilità. Assiomi. Esperimento aleatorio e cenni alle motivazioni degli assiomi. 2) Spazidiprobabilità finiti. Proprietà elementari della probabilità. Indipendenza di eventi. Formula della probabilità totale. Probabilità condizionata e formula di Bayes. Costruzione di modelli probabilistici per semplici esperimenti aleatori. 3) Variabili aleatorie discrete. Variabili aleatorie a valori interi, legge di una variabile aleatoria discreta, legge di Bernoulli, legge geometrica, legge binomiale, legge di Poisson, speranza, varianza, diseguaglianza di Chebichev, indipendenza di un numero finito di variabili aleatorie discrete. Schema di Bernoulli. 4) Variabili aleatorie reali. Legge di una variabile aleatoria reale, densità di una legge, densità uniforme su un intervallo, densità esponenziale e sua caratterizzazione con la proprietà di assenza di memoria, densità normale (o gaussiana) standard. Speranza, varianza, diseguaglianza di Chebichev, coefficiente di correlazione. Trasformazioni di variabili aleatorie reali, leggi gamma e del chi-quadrato, legge di Student. Indipendenza di variabili aleatorie reali. 5) Leggi dei grandi numeri e Teorema Limite Centrale. Legge debole dei grandi numeri per variabili aleatorie non correlate, legge forte dei grandi numeri. Cenno al teorema limite centrale. 6) Media e varianza empirica, stima dei parametri, regressione lineare. Generazione di numeri casuali con distribuzione data. 3
MECCANICA E TERMODINAMICA 1) Punto materiale. Grandezze cinematiche. Leggi di forza fondamentali e fenomenologiche. Primo e secondo principio della meccanica. Moti notevoli. Lavoro. Energia. 2) Sistemi di punti. Terzo principio. Centro di massa. Teoremi di conservazione. Moto dei pianeti. Urti. 3) Termodinamica. Insufficienza delle grandezze meccaniche. Equilibrio termodinamico. Energia e primo principio della termodinamica. 4) Irreversibilità esecondoprincipio. Entropia. Gas ideale. Transizioni di fase. GEOMETRIA 1 1) Topologia generale. Spazi topologici (aperti, chiusi, intorni); interno, chiusura, derivato,frontiera; sottospazi, prodotti, quozienti; spazi metrici; assiomi di numerabilità; connessione (locale, per archi); compattezza (locale); spazi metrici completi; varietà topologiche (definizione ed esempi). SISTEMI DINAMICI E MECCANICA ANALITICA 1. Studi qualitativi del moto. Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie. Oscillatore armonico, smorzato e forzato. Studio qualitativo dei moti 1-dimensionali e dei moti centrali. Moti kepleriani. 2. Cinematica e dinamica relativa del punto materiale. Sistemi di riferimento e osservatori. Velocita angolare e formule fondamentali della cinematica relativa. Dinamica relativa. 3. Meccanica del corpo rigido. Corpi rigidi discreti e continui. Riferimenti solidali e velocita angolare. Rappresentazione delle quantità meccaniche fondamentali. Dinamica del corpo rigido libero e/o vincolato. Studio qualitativo della trottola di Lagrange. 4. Meccanica lagrangiana. Sistemi olonomi discreti. Spazio delle configurazioni. Coordinate libere. Vincoli ideali ed equazioni di Lagrange. Integrali primi del moto e coordinate cicliche. Hamiltoniana e conservazione dell energia. 5. Meccanica hamiltoniana. Trasformazione di Legendre. Equazioni di Hamilton. Integrali primi e parentesi di Poisson. Variabili cicliche e riduzione di sistemi hamiltoniani. 6. Sistemi dinamici e stabilità. Sistemi del primo ordine in R 2. Sistemi lineari del primo ordine in R 2 e classificazione dei loro punti singolari. Stabilita alla Liapunov per sistemi del primo ordine in R n. Criterio di Liapunov. Esempi: Lotka-Volterra e oscillatore di Van der Pol. Stabilita di una configurazione d equilibrio di un sistema olonomo conservativo. Linearizzazione e piccole oscillazioni. ELETTROMAGNETISMO ED OTTICA 1) Elettromagnetismo. Legge di Coulomb. Principio di sovrapposizione. Conservazione della carica. Quantizzazione della carica. Campo elettrico da distribuzioni discrete e continue di carica. Potenziale del campo elettrostatico. Equazione di Laplace con applicazioni. Elementi della teoria dei circuiti in continua. Effetto Joule. Elementi della teoria dei dielettrici omogenei isotropi e lineari. Vettore induzione magnetica B. Ferromagnetismo. Legge di Faraday-Neuman. Impedenza di un circuito in corrente alternata. Equazioni di Maxwell. Dipolo oscillante ed emissione delle onde elettromagnetiche. 2) Ottica. Onda piana e relativa propagazione. Interferenza e diffrazione di onde piane. Onda piana in un mezzo trasparente. Lente sottile. Immagine di una sorgente Puntiforme. 4
ALGEBRA 2 Nel corso di ALGEBRA 2 si metteranno in evidenza i presupposti della teoria degli anelli commutativi e alcuni aspetti applicativi. Sono previste esercitazioni al calcolatore. Lo studente imparera ad utilizzare un sistema di calcolo simbolico (CoCoA, Maple,...) 1) Teoria degli anelli, premesse teoriche. Anelli commutativi, sottoanelli, ideali, ideali primi e massimali. Anelli integri e campi. Caratteristica di un campo. Anelli euclidei. Anelli fattoriali. Possibili estensioni e applicazioni: Algoritmo euclideo e algoritmo euclideo esteso, Il teorema cinese dei resti. Lo squarefree di un polinomio. Equazioni diofantee. 2) Campi ed estensioni. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo. Campi finiti: K \{0} e ciclico. Possibili estensioni e applicazioni: Polinomi minimi e caratteristici di matrici. Applicazioni alla teoria dei codici e alla crittografia (cenni). Moltiplicazione logaritmica in un campo finito. Trisezione di un angolo. Risolubilita per radicali. Interi algebrici. 3) Anello dei polinomi multivariati. Termini. Descrizione ricorsiva e distributiva. Ideali monomiali, ordinamenti di monomi, cenni alle basi di Groebner. Polinomi e ideali omogenei. Eliminazione (cenni). Possibili estensioni e applicazioni: Algoritmi di divisione multivariata. Polinomi simmetrici. Sistemi di equazioni polinomiali (cenni). Dimostrazione automatica di teoremi di geometria elementare (cenni). FONDAMENTI DI CALCOLO NUMERICO (4 cr. teoria + 2 cr. lab) Complessita computazionale, aritmetica di macchina, errore. Zeri di equazioni non lineari: metodi di iterazione funzionale e Newton. Soluzione di sistemi lineari quadrati: condizionamento di matrici e metodo di eliminazione gaussiana con pivoting parziale. Minimi quadrati discreti: risoluzione tramite equazioni normali. Retta e parabola d interpolazione. Integrazione numerica: formule di quadratura generalizzate dei trapezi e di Cavalieri-Simpson. Metodo di Eulero per la soluzione numerica di equazioni differenziali. CALCOLO NUMERICO (5 cr. teoria + 2 cr. lab) Fattorizzazioni LU e Cholesky; stabilita dei metodi. Applicazione ai sistemi lineari; caso delle matrici a banda. Fattorizzazione QR di matrici rettangolari; applicazione ai minimi quadrati discreti. Metodi iterativi per sistemi lineari: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR. Autovalori: localizzazione e perturbazione. Metodo delle potenze e sue varianti; metodo QR. Riduzione per similitudine a forma di Hessenberg o tridiagonale. SVD e applicazioni al problema dei minimi quadrati. Polinomio interpolatore e studio del resto. Interpolazione con funzioni spline. Approssimazione ai minimi quadrati nel continuo. Polinomi ortogonali. Formule di quadratura Gaussiana. PROGRAMMAZIONE 1) Introduzione. Breve descrizione della struttura e funzionamento del calcolatore. Il sistema operativo come gestore delle risorse del computer. File, Directory, naming, protezioni, login, processi. Il problema della programmazione di un calcolatore. 5
2) Il Linguaggio C. Dichiarazioni ed istruzioni base del C. Istruzioni ripetitive del C. Tipo di dato array in C. Tipo di dato strutture (record) in C. Input/output in C. Funzioni (e procedure) in C. Struttura dei programmi C e scopo delle dichiarazioni. Funzioni (e procedure) ricorsive in C. Tipo di dato puntatori in C. 6