Capitolo XI: Analisi Armonica (Frequenziale)

polo XI: ls rmoc Frquzl -: Iroduzo L ls l domo dll frquz ls rmoc è u modo pr lo sudo dll dmc d ssm lr pr l progo dl ssm d corollo ch s bs su u modllo dl ssm rpprso dll rspos d u grsso susodl. I quso sso è dl uo quvl llo sudo l domo mpo rpprszo v Equzo Dffrzl, grsso grdo l domo d Lplc rpprszo v Fuzo d Trsfrmo, grsso mpulso. I pù, l ls frquzl cos d cqusr cooscz d svluppr cch qulch modo complmr, ch soo spcfch pr ssm soopos grss prodc, m ch soo dv d uso grl cosuscoo lm sszl dl bgglo culurl dll spro d corollo d procsso. If l ls frquzl prm u vluzo dll robuszz dl ssm d corollo co u procdur molo smplc d mp dffuso procss dusrl, rm d mrg d gudgo d fs. -.: Dfzo clcolo dll Fuzo rmoc L rspos d u ssm SISO lr sbl, d u grsso susodl, v mpzz frquz pulszo : x= s, dv llo szoro: y= s+ coè è crrzz dll sss frquz, d u mpzz d uo sfsmo gr soo fuzo dll frquz s h < uzo, rrdo x. s y. s+ Dfzo: S dfsc Fuzo rmoc F, l fuzo l ch l suo modulo è l rpporo r l mpzz dl sgl d usc d grsso, l su fs rpprs lo sfsmo r du sgl, ovvro: F : F ; F lcolo: S dmosr ch l Fuzo rmoc F può ors dll Fuzo d Trsfrmo s, sosudo l vrbl d Lplc s co clcoldo modulo rgomo dl umro complsso così ouo è l'uà mmgr, =-: F R Im F : Im * F rc R XI-

XI- -.: Dmosrzo S vrfc l rlzo * pr l cso d u ssm dl prmo ord po s grlzz pr ssm d ord. Pr sgur dgl dll dmosrzo soo suffc lcu ozo d bs su umr complss vd pù v. Vrfc pr ssm dl prmo ord L rspos d u ssm dl prmo ord u grsso susodl x vl vd SP-pp- p.ii-: rc ; ; s lm cos s Y Y I quso cso s vrfc mmdm l *, do ch: rc rc, ; b b b b s s Dmo pr ssm d ord L dmc d u ssm lr d ord è rpprs dll quzo dffrzl: 0 0.... 0 0 0 y d d y d y d x y d d y d y d L soluzo compl Y può ssr sprss com somm d du rm, uo Y om drv dll quzo omog uo Y p d u soluzo prcolr dll quzo compl; l cso d ssm sbl, l prmo rm d zro l mpo fo, pr cu: Y= Y om + Y p ; lm Y =Y p Nl cso d grsso susodl s h, pplcdo l formul d Eulro: ; s cos s s K K Y X p L cos s rcvo pr sosuzo ll quzo d prz, dopo vr clcolo l drv fo ll ord :

XI-3 ]. [... ]; [ ]; [ p p p Y d d Y d d Y d d S o così: ] [ ]... [.. ]... [ 0 0 L uguglz r l du sprsso è sscur s s h uguglz d modulo rgomo d du rm posvo gvo, oss svluppo pr l posvo: F F ; ]... [ 0 -: Rpprszo dll fuzo rmoc -.: Dgrmm rrsc L dmo dll fuzo rmoc F v rporo dgrmm clssc: d od, d Nyqus d Nchols. I dgrmm d od rporo fuzo dll frquz, l dmo dl modulo F, [do ch Rpporo d mpzz mplud Ro, R] dll fs coord Log/Log Log/L rspvm Log sprm l Logrmo bs 0. I quso modo possoo ssr spz rvll d frquz molo lv possoo ssr mss vdz gl dm soc ss Frquz F:0 l Frquz F:. Sorcm, vlor dl rpporo d mpzz R soo sprss dcbl d = 0 Log 0 R, mr vlor dll fs soo sprss rd o grd. D solo du dgrmm soo rpor sprm: LogR= f [Log], = f [Log]. I dgrmm d Nyqus soo dgrmm polr dll F pr =- +; og puo rpor qud l modulo l fs dll F. I dgrmm d Nchols soo dgrmm ch rporo scss l fs ord LogR. Qus dgrmm cosuscoo l bs pr l ls frquz pr l cch d progo svlupp l psso, m l loro uso è cor molo dffuso, do l smplcà d clcolo co pcch d sofwr pù comu l mmdzz dll rpprszo, u vol fmlrzzo co gl lm sszl.

-.: Esmp d rpprszo Ssm dl prmo ord s s ; b ; R ; log R log rc lcol ossrvzo b b b : - =- 0; R=; log R 0: soo ss Frquz F; - 0=rc-0=0; : - =0-0; R=0; log R log log log log soo d l Frquz F: clzo =rc-= -/4 - =rc-=-/; c : - =/ /; R=/ ; log R log ; - c =rc-=-/4; Lo sfsmo pss d =0, =-/, l vrr d d 0; quso è l corbuo dl polo gvo: = -/. ll frquz c s h ch l puo d coro dgl so: F: log R log log 0 F Spsso gl dm d R possoo ssr rcc Dgrmm d od co rfrmo gl so; l rror commsso è pccolo. I quso cso pr =/, R=/ =0.707 vlor pprossmo co gl so: R=. Dgrmm d od Nyqus d u ssm dl prmo ord XI-4

dmo l vrr d prmr Dgrmm d od: - l vrr d K p, cmb solo R: rslzo vrso l lo K p >; log R log K p log - l vrr dll cos d mpo cmbo s R s : s spos l puo d coro r du so c cu corrspod 4 c. od: vrzo d K Dgrmm d Nyqus - l vrr dl gudgo K p l curv s spdoo K p >; - l vrr d l dgrmm o cmb; l puo rpprsvo s rggug pr vlor d frquz mor l dgrmm polr è fuzo d ch rs cos. Nyqus: vrzo d K XI-5

b Ssm d ord s s s b R b b rc rc lcol ossrvzo 0 R log R 0 F ; rcg 0 0 4 R 0 log R log log F ; rcg 0, c R R, pr 0.5; rcg Lo sfsmo pss d =0, =-, l vrr d d 0; du pol gv corbuscoo co = *-/=-. L soo ll l frquz h u clzo =rc-=- 56 ; L curv prso u mssmo pcco d rsoz M R ll frquz R d rsoz; M R s h pr ; M R ; Pr =0, s h l frquz url dl ssm: R od R N Nyqus -/ - Dgrmm d od Nyqus d Ssm dl scodo ord l vrr d. XI-6

XI-7 --3: Rchm su umr complss b rzolzzzo b b b b b b coord rgolr b, b b c, polr b b b b rc rc d Formul d Eulro x x x x x x s cos s s cos r q p q p q p r rc

ovzo sull rozo sso Orro O: + sso Orro O : b L fuzo y=rcx, co x=b/, è df mo d mulpl d. y rcx XI-8

-3: rlzzzo dll rpprszo Ssm cosuo d prodo / frzo d FdT: 3 I Dgrmm d od ho vvo vgg d rpprszo dll fuzo d rspos rmoc complssv prdo d qull d sgol lm cosu; quso spo è cov qudo s vuol vdr cos succd pr ggu d lm ll s sblà, progo dl rgolor. R R R log R log R log R log R 3 3 R3 3 b Ssm cosuo d ssm dl ord sr s R R R R ; log R log R log R... log R lcol ossrvzo Lm pr d R d lm 0 : R lm log R log log R log log ; lm log R log log F: soo l Frquz, è u r cl d rc lm og lmo corbusc co Quso rsulo sd quo r gà so vso pr l ssm dl ord dl ord pr u compl grlzzzo bsog fr qulch ulror prcszo. XI-9

c Ssm co zro gvo s s ; =, = lcol ossrvzo rc / rc 0 0; R,log R log 0; rcg 0 0; ; F: clzo =0 ; R,log R ;log R log F: clzo =+/4 log log ; rcg ; c ; ; coro so F=F R ; log R log log 0: log ; c rcg 4 ; Lo sfsmo pss d =0, =+/, l vrr d d 0; quso è l corbuo dllo zro gvo: = +/. ll frquz c =/ s h ch l puo d coro dgl so: F: log R log log 0 F Dl cofroo co u ssm dl prmo ord polo gvo, s ossrv ch l dmo dl dgrmm d od è smmrco rspo ll ss logr=0. L dmo dl dgrmm polr Nyqus è u r prlll ll ss IM pr rl cos. Dgrmm d od Nyqus d u ssm co zro gvo XI-0

d rlzzzo pr ssm d ord, m o pol zr d s ll org; l cso d gror drvor è ro pù v s m j s p j j s z k' j m k' m j j z j p j, k' m j p j z j j 0 0 k' > <0, dpd d: sgk # z j +p j >0 p 0 j j 0 s s 0 0 0 0 j z j / / k' log R k' m m 0 k' 0 k' s s s s m m m m m log k' log[ z j ] log[ p j z j, p j log R logk ' m log soo orzzol pr m j soo co pdz rc m pr m j ] 0, co 0: vlor pr =0; : corbuo d pol zr pr =0 co: = -/; pr og polo p j <0 & pr og zro z j >0 S h ch: = +/; pr og polo p j >0 & pr og zro z j <0 0 m k l co: m: umro d zr ol; k: umro d zr posv; : umro d pol ol; l: umro d zr posv; XI-

s d Ssm co rrdo puro s ; Lo sfsmo è sprsso rd, do ch [rd/sc]. S ossrv ch quso cso o c è soo F, do ch: lm. Dgrmm d od Nyqus d u ssm co rrdo Poloml d Pdè s s bs s bs cs cs L poloml d Pdè h: 3 3 P s ; P s pol s z s z s z s z zr s p s p s p s p p z p z 0 0 LHP RHP P prché s z s p ; P pol 0 zr 0 S ossrv l pprossmzo d Pdè o h ffo sul modulo R mr roduc u rror su ch prs so ll l frquz; =3 prm u pprossmzo suffc ll rvllo d frquz d rss. Dgrmm d od d u ssm co rrdo pprossmo co Pdè. XI-

Ssm Fs No Mm NM Dfzo: U ssm è dfo Fs No Mm NM qudo è possbl rovr u ssm v lo ssso modulo fs mor vlor ssoluo. NM pr og sfsmo 0. NM NM o qus dfzo s ccomuo ssm ch prso crrsch prcolr, l qul cosuscoo u dffcolà comu pr l progo dl ssm d corollo o vrblà dl procsso, vd olr. Qus soo ssm co rrdo co zr posv: Rrdo : Zro posvo : s s ; ; s s. s 0 ;. I rmb cs l FdT vdz ch soo NM do ch:, 0 pr cu,. Forzzzo, Nl cso d FdT complss co zr 0 rrd s ffu u forzzzo modo d vdzr l pr fs mm l pr fs No Mm, scl modo d vr modulo uro NM ; qus pr è d ch pss uo ll pss,. S: s s s s s s NM M. NM M NM 0 0 0 0 0 L dmo rmdo dpd d vlor rlv d pol zr. XI-3

-5: Sblà d ssm l domo dll frquz Lo sudo dll sblà d ssm v ffuo co rfrmo l crro d od l orm d Nyqus rov l su rpprszo dgrmm omom. Il crro d od è u crro mprco, bso su ossrvzo sprml vl pr ssm sbl llo pro; olr può crr mbguà lcu cs prcolr [ssm co dmo o moooo d Il orm d Nyqus s bs su u dmosrzo mmc, vl pr u cs ssm sbl sbl; l crro d od può qud ssr vso com u cso prcolr dl orm d Nyqus: sorcm è so l prmo d ssr formulo l prm cch d progo soo s svlupp su dgrmm d od, ch rso pù dffus pr sud d sblà progo dl rgolor frquz. -5.: rro d od Il crro s bs sull ossrvzo sprml d od, dur l progo d u ssm d mplfczo d sgl pr l loro rsmsso dsz. L fgur soo schmzz u mplfcor; K: l rgolor Proporzol, Ps: l l d rsmsso co lm cpcv, r: sgl d rsmr, y: l usc rmb d po susodl. Il sgl dv ssr mplfco K> pr porlo rsmr d u cr dsz co u ssg mpzz. Ossrvzo d od - pr r= s, l usc rgm vlv: y= s +: - l mpzz dl sgl usc umv co l gudgo K dll mplfcor; - lo sfsmo r usc y grsso r dpdv dl ssm dll frquz; - qulch cso s vvo sblà: mplfczo oml dl sgl >>; - quso fomo vvv d u frquz *, ll qul *=- -- s =, llor l ssm r codzo d sblà mrgl oscllzo uososu; -- s >, l ssm dvv sbl. Spgzo d od - bs su cosdrzo llo so szoro llo pro: - l usc vl: y= s +; llo pro, l mpzz è proporzol l gudgo dll mplfcor: =K P. - ll frquz * s h: *=- y= s* -= - s* - s =, llor ch s r v ullo r=0, l grsso l rgolor = r-y y s*= r, coè u sgl ro l ssm s uos s mplfc s >. Su qus bs od formul l sgu crro: - U ssm v u FdT llo pro =P, è sbl llo chuso: -- s ll frquz crc * *: frquz ll qul lo sfsmo *= -, -- l rpporo d mpzz: R*= <. [Pr R*= s h sblà mrgl pr R*> l ssm è sbl]. È vd ch l crro ursco s bs su prcolr ossrvzo sprml o cosusc u prov sso mmco. XI-4

L uso dl crro d od pr sud d sblà è llusro l dgrmm rporo d soo. /K M * Sudo d sblà u dgrmm d od È oo ch ll umr dl gudgo, l curv R rslo, mr lo sfsmo l frquz crc o cmb: RK,= K *R; è vd qud ch u uco grfco prm l drmzo dl gudgo mssmo: K M =/R*. S può ch qufcr l dsz dll codzo d sblà rm d mrg d gudgo d fs vd olr. -5.: Torm d Nyqus U ssm v u FdT llo pro =P, co u umro d pol sbl llo pro pr N OL, è sbl crcuo chuso L s l umro d rozo sso orro O dll oro l puo -,0 pr = -+, è pr N OL. Og rozo mo sso O o pù sso O corrspod u polo L sbl. Pr l dmosrzo s rmd s clssc, d smpo: Mrro, 99. Ossrvzo: - gl dm dl dgrmm polr pr vlor d frquz gv <0, soo smmrc rspo ll ss rl, do ch l ssm è rpprso d quzo coffc rl l rdc complss soo coug; coè: -=-, - pol sull ss mmgro vo co com mzz rozo, - l cso d dgrmm co rm ll fo, s cov d complrl co u rozo sso orro, - l quvlz co l crro d od pr l cso d ssm sbl OL è vd: pr l ssm N OL =0 qud o s dvoo vr rozo oro l puo -,0; cò è quvl u dgrmm d od ll codzo: R*<, pr. L fgur rpor d soo llusr l suzo u dgrmm d Nyqus d vdz l quvlz co l crro d od pr u ssm OL sbl. I quso cso, l vrr dl gudgo K l curv s spdoo um l modulo o l fs. Sudo d sblà u dgrmm d Nyqus XI-5

-5.3: Esmp d sud d sblà compr S rporo d sguo lcu smp d sud d sblà llo chuso d u ssm, pr mzzo dl Luogo dll Rdc dll ls Frquzl, co drmzo d prmr crrsc gudgo mssmo K M frquz crc *. L rspos crcuo chuso pr K=K M rggug l codzo d sblà mrgl, co u oscllzo ch s uo-sos, ll frquz *. K M * cosuscoo l mmo d formzo sul procsso cu fr rfrmo pr l progo dl rgolor. Pr l grco ssm crcuo chuso, schmzzo ll fgur rpor d soo, l codzo lm d sblà può ssr rpprs modo quvl dl domo mpo, Lplc frquz, com dco. XI-6

lr smp d sudo d sblà compr pr ssm dvrs soo szz d sguo. Procsso Roo-Locus od Nyqus K g s s Il ssm è smpr sbl g s s K bs l ssm è smpr sbl sbl l lm Kc K g3 s 3 s bs cs Isbl pr K >K M, grl pr -m> g 4 s s K s Isbl pr K >K M pprox. Pdè: Rrdo zr >0 s g5 s ; s z 0; 0. Zro posvo: Isblà pr K >K M XI-7

-6: rrsch d rgolor sdrd PID L ls frquz dll dvrs crrsch d rgolor sdrd prm d mr vdz gl ff dll dvrs compo. -6.: Dgrmm d od Nyqus d ssm lmr os udgo: Rgolor P: kc R K ; log R log K 0; K ; K c c 0; c c 0; K, s mgoo cos l vrr dll frquz c Igror: R 0 R R 0 rc L gror dà uo sfsmo cos pr -/, u l frquz. Il dgrmm polr s svlupp uo sull ss Immgro gvo Im<0. XI-8

3 Doppo Igror: R 0 R R 0 ; rc 0 Il doppo gror dà uo sfsmo cos pr -, u l frquz. Il dgrmm polr s svlupp uo sull ss Rl gvo R<0. s 4 Rgolor PI: s I kc kc I s k I s c kc I I R 0 k c ; rc I I 0 R rc k R kc c rc 0 0 Ossrvzo: ll bss frquz prvl l compo Igrl 0 : o dy offs; ll l frquz prvl l compo Proporzol 0 : kc. d 0 XI-9

5 Rgolor PD: s k s k c R c D ; rc k c D D D 0 0 kc R kc rc 0 0 R rc Ossrvzo: ll ss Frquz prvl l compo P; ll l Frquz prvl D, co u corbuo pr +/ sull fs. 6 Rgolor PID: s k c Ds ; k c I s D I R I D k c ; I D rc I I 0 R0 rc 0 ss Frquz: prvl I R rc l Frquz: prvl D R k c rc 0 0 Frquz rmd: prvl P I D XI-0

-6.: Ossrvzo rssuv sull compo Igrl Drvv È oo ch l zo Igrl h l ffo d rdr mo sbl l rspos: rm d grdzz crrsch dll F quso s spg cosdrdo ch l compo grl roduc uo sfsmo gvo =-/ u l frquz; u ssm smpr sbl può dvr sbl pr ffo dll compo grl. Quso cso è llusro ll fgur soos: l ssm g sudo prcdz r smpr sbl, mr l ssm g rporo d soo dv sbl pr K> K M, cus dll ccssv zo grl. D rcordr ch l ffo posvo dll zo grl coss ll lmzo dll offs pr grss d po. È oo ch l zo Drvv h l ffo d rdr pù sbl l rspos: rm d grdzz crrsch dll F quso s spg cosdrdo ch l compo drvv roduc uo sfsmo posvo =+/ u l frquz; u ssm ch dv sbl pr K> K M, può ssr sblzzo pr og vlor d K cofror g 3 co g 3, oppur pr u rvllo mggor d vlor dl gudgo K K> K M, K M,> K M cofror g 3 co g 3b, pr ffo dll compo drvv. D rcordr ch l ffo gvo dll zo drvv coss l fo ch lm l offs d d mplfcr l rumor d fodo. dm qulv o compl!!! Procsso Roo-Locus od Nyqus g g PI s K' s bs s PI può sblzzr: g: sbl pr K c <K M ofror co g : sbl pr og K c g 3 K' g3pd Ds 3 s bs cs g3 PD sblzz: z > p + p + p 3 Sbl pr og K c ofror co g 3 g 3b K' g3pd Ds 3 s bs cs g3b PD sblzz: z < p + p + p 3 Sbl pr K c <K M : ofror co g 3 XI-

-7 Mrg d udgo d Fs -7.: Dfzo, rpprszo ossrvzo I Mrg d udgo d Fs fo rfrmo ll dsz dll codzo d Sblà Mrgl qud prmoo u vluzo dll sblà dl ssm dll robuszz dl rgolor ssblà ll vrzo prmr dl procsso. Dfzo: Pr u ssm corollo rrozo, v u fuzo d rsfrmo llo pro =P, s dfscoo Mrg d udgo M d Fs P M, rspvm: M ; * *: * P M ; :. Rpprszo dgrmm d od Nyqus: Ossrvzo: E vd l sgfco d dsz dll codzo d sblà mrgl ll du frquz crrsch, rspvm * frquz crc, ll qul lo sfsmo rsul pr 80 frquz ll qul l rpporo d mpzz rsul pr. Implczo pr l sblà dv ssr glob l vul compo dmc dl rgolor : - ll frquz * P M =0: M > mplc l sblà dl ssm M <: sblà; - ssumdo u vlor uro dl gudgo dl rgolor K c = s h ch l mrg d gudgo l gudgo mssmo cocdoo M =K M ; - grl pr u rgolor v gudgo K c l rpporo K M /K c rpprs l mrg d gudgo dl ssm ul. Il comdo Mlb mrg, forsc vlor d M, P M dll frquz crrsch *,. Può ssr uso pr u vluzo mmd dll sblà dl ssm K M *; l comdo può grr mbguà lcu cs. Sss: [m, Pm, wcp, wcg]=mrgg,w Implczo pr l robuszz: XI-

- M P M do u dczo dll rror ollrbl su udgo Fs pr mr codzo d sblà qud soo u dc d robuszz dl ssm d corollo. - M P M possoo ssr us ch com crro d progo dl rgolor: quso cso mrg cosuscoo l spcfch d prszo ssg. I vlor pù grd soo pù cosrvv: l ssm rsul pù ollr ll crzz, m l rspos ou srà pù l; solm s mpo: M > M m =. 6 P M >P M m =30 60. - Pù grl, vlor d M P M. possoo ssr us com crro d vluzo dll prszo d rgolor qud dll dvrs cch d ug. -7. Progo pr ssgzo d M P M Il progo dl rgolor pr rspr ssg spcfch rm d M P M può ssr ffuo pr v cso pù comu, oppur lcm cs prcolr. Progo pr v È l cc pù us prc: s r d fr vrr l gudgo dl rgolor o gl vul lr prmr modo d rspr rmb l spcfch. L ffuzo è mmd u dgrmm d od o Nyqus sovrppodo curv rlv vlor dvrs d prmr. Irprzo dll ffo dl ug dl rgolor frquz gdo su prmr d u rgolor co comp P, PI o PID è possbl sposr l puo rpprsvo dl ssm u poszo rbrr, com dco ll fgur, co rfrmo u dgrmm d Nyqus. L r compo dl rgolor PID gscoo ll r drzo dc Åsröm Hägglud, 995. scod d vlor rlv d prmr Kc, τ I, τ D l puo s spos poszo dffr. I prcolr l compo grl d dsblzzr l ssm roducdo u rrdo d fs. Effo dll compo proporzol P, grl I drvv D dl rgolor Pr rdrs coo dll problmch rlv d u ssgzo dr d mrg, s sm cos compor sposr l ssm dl puo, rpprsvo dl ssm llo pro [P o ], l puo, rpprsvo dl ssm llo chuso [= P o ], pr ffo d u rgolor PI vd fgur. I quso modo è possbl rcvr lcm vlor d prmr dl rgolor qud ffur u ug, m cò o grsc ch mrg so gr pr l ssm ll du frquz *. XI-3

XI-4 Schm pr l ssgzo dr d mrg S drm qud l rgolor ch muov u poszo rbrr. I pu possoo ssr sprss ll form polr lo sfsmo è msuro rspo ll ss rl gvo, ssuo vr: =π; vlor posv d soo ssoc rozo Orr., O PI O r P r P vdo dco co P l fuzo d rsfrmo dl procsso co PI qull dl rgolor. Qus ulm s può scrvr com. O PI r vrmo pro ch. r r r Il corollor dovrà qud ssr sclo modo l ch ; ; r r r pr u rgolor PI quso mplc ch. cos O I r r K If, poché l fuzo d rsfrmo dl rgolor è, O O O PI K K s h I O I O PI K r rc qud dovrà ssr O I I O I O rc

XI-5 I O I O r r r r r r r K cos s r r cos S l puo d prz è l codzo d sblà mrgl dl procsso, è l puo -/Ku, 0, r =/K u Φ =0. S o ch Φ dv ssr gvo pr or d prmr posv. Pro l puo s rovrà l scodo qudr rozo Orr dll ss mmgro. S può qud progr l rgolor pr ssgzo dl puo. ò prò o grsc u mrg d gudgo d fs dl ssm, poché l progo è bso su u puo solo dl dgrmm d Nyqus. ssgzo lc d M P M I cs prcolr clss d procss FOPTD, SOPTD, è possbl ssgr lcm M P M, pr rgolor PI o PID, roducdo lcu pprossmzo su vlor dll fuzo rcx. d smpo, Ho l. 995 ho rcvo l formul d ug d rgolor PI PID pr ssm FOPTD, ssg M P M. Pr u procsso: s s K P l rgol d ug pr u rgolor PI è 4 M M M M M I M P dov K K. I og cso l possblà d ssgr M P M grsc l sblà, m o l prszo; prà d M P M l rspos può ssr dvrs l vrr dl po d procsso.

-7.3 Mrg d gudgo d fs dll cch d ug Tcc d ug d Zglr-Nchols o rfrmo ll rprzo frquz dll ffo d rgolor sdrd dl loro ug, dmo vlur mrg d udgo d Fs dll cc d Zglr-Nchols; prmr dl rgolor vgoo clcol bs prmr crc dl procsso: K u, Pu P * * bs ll sgu bll: K I D P K u / - - PI K u /. P u /. - PID K u /.6 P u / P u /8 K u P u, olr ch dllo sudo frquz dl modllo dl procsso P, possoo ssr rcv sprmlm usdo u corollor proporzol pr l procsso d umdo l gudgo fo porr l ssm codzo d sblà mrgl. Il vlor dl gudgo dl rgolor qus codzo è l gudgo ulmo K u, mr l prodo dll oscllzo è P u. Ossrvzo: Il rpporo K u /K c è pr pr u rgolor proporzol. ò sgfc ch è ollr u vrzo d u for sul gudgo dl rgolor, prm d rggugr codzo d sblà. Nl cso d u rgolor PI, l rpporo K u /K c um. prché l ffo dll compo grl dl rgolor è sblzz. Ivc scd.6 pr u rgolor PID poché l compo drvv h u ffo sblzz sul ssm. osdrdo gl ff dll compo I D, l ug ZN può ssr cosdro rgovol. L formul d ug sopr scr grscoo M = solo l cso cu vg ulzzo u rgolor proporzol; gl lr cs l rpporo K u /K M do dl crro Z-N o cocd co M qud o è gro l rspo d mrg cs srm possoo dr luogo sblà. If usdo u rgolor PI sozzo scodo Zglr- Nchols, l puo crco P, d coord -/K u,0 v sposo u puo P opporuo, m quso o grsc comuqu sblà prszo do ch s rv solo su u puo. M P M dvoo ssr clcol pr l =P, do coo qud dl rgolor. Effo dl ug ZN sull fuzo Åsröm Hägglud 995 llusro com l puo -/Ku, 0 cu l curv dll fuzo d rsfrmo dl procsso cor l ss dll scss gv sul dgrmm d Nyqus, v sposo dll prsz d u corollor PI o PID, sozz scodo l cc d Zglr- Nchols. Nl cso PI s h: Ku K 0.45 Ku. Pu I 0.83 5.35.. u I u Prcò l fuzo d rsfrmo dl rgolor ll frquz ulm ω u è: PI u K 0.45 Ku 0.45Ku 0.9. u 5.35 XI-6

Imgry xs Imgry xs I corrspodz dll frquz ω u ss rl gvo, l procsso zl Pω u v sposo ll uov poszo l scodo qudr: Pω u PI ω u, ovvro v gguo u rrdo d fs: =rcg-0.9/=rcg-0.9= -0.8. Ossrvzo: ll lr frquz l puo v sposo modo dffr No v è crzz sull ffo dl ug, ch dpd dl prcolr po d procsso. Nll fgur sgu soo rpor du smp: l prmo l ssm corollo l cou è sbl, mr l scodo s h sblà pur vdo ulzzo l sss rgol d ug qud K = 0.45 K u rmb cs. 0.5 Nyqus Dgrm -0.04,0.08 0 -/K u,0 -,0-0.04,0.08 0 = PI P =P* PI -,0 -/K u,0-0.5 - P P =P* PI Sbl = PI P -0.5 - -.5 P P Isbl -.5 - - -.5 - -0.5 0 0.5 Rl xs -.4 -. - -0.8-0.6 Rl -0.4 xs -0. 0 osdrzo coclusv M P M prmoo d vlur l robuszz dll dvrs cch d ug, vs com ollrz gl rror vrzo d prmr, ch s rfloo rror su. Ho l 995b, vluo M P M d dvrs formul d ug rpor lrur. om vso prm, l cc d Zglr-Nchols dà vlor d M P M ch possoo vrr molo scod dl procsso qulch cso vc ll sblà, cs srm sbl: qud, ch l prszo soo vrbl. M P M possoo ssr clcol co formul lch pprossm pr clss d procss. Occorr soolr l fo ch lcu cch d progo oml l domo mpo, ch s bso sull mmzzzo d dc d prszo qul ISE, IE, ITE, possoo rsulr poco robus. L formul ch omzzo l rspos pr l bbmo dl dsurbo ho M P M mor d qull ch omzzo l rspos pr vrzo d s-po. Pr cocludr, è pro opporuo fr sgur l progo dl rgolor u vrfc su M P M. XI-7

-8: ssgzo spcfch cch d progo l domo Olr l rfrmo mrg d gudgo d fs, l progo dl rgolor può ssr ffuo co rfrmo d lr spcfch d prszo formul l domo dll frquz. L rspos d u ssm corollo può ssr sprss com: Y r P P r r; Y d P d d ; r - P d y Spcfch d prszo possoo ssr ssg quvlm: - Su vlor d lcu prmr crrsc dll rspos l domo mpo, - Sull poszo d pol crcuo chuso rdc dll quzo crrsc +Ps=0, md cch d ssgzo d pol dl ssm, - Su vlor modulo fs dll fuzo crrsch dll llo chuso frquz; pù grl qus cch rovo pplczo l progo d rgolor pr rsmsso sgl o poz ssm lrc, opr su sgl prodc. Nl cso prcolr d procss dusrl c rsso du cs d rspos pr sgumo dl rfrmo Y r, pr cmbo grdo dl s po rspos pr bbmo dl dsurbo Y d, pr dsurb ch possoo vr compo prodch. Rgurdo gl dm dl modulo dll fuzo d ssblà εω complmr d ssblà ηω l vrr dll frquz, s possoo fr lcu ossrvzo, ssumdo ch l fuzo d llo pro s propr, ovvro grdo dl domor m grdo dl umror. ll bss frquz ω0 s h: lm 0 0 K... ssz d zo grl = 0... prsz d zo grl lm 0 K 0 0 K... ssz d zo grl =... prsz d zo grl ll l frquz ω s h: lm k... l cso =m =... l cso >m k lm... l cso =m k = 0... l cso >m dm pc soo rpor ll fgur ch sguoo. XI-8

dm d εω ηω l cso d zo grl m D qus rlzo dscdoo l lmzo r l progo dl rgolor: - ll bss frquz, prsz d zo grl è possbl vr rror ullo ll sgumo dl rfrmo [η0= Y r = r] pr bbmo dl dsurbo [ε0=0 Y d =0] - ll l frquz, o è possbl ppur v orc rggugr l codzo d corollo prfo, do ch η, ε 0, pr og ssm fsco propro. Quso problm ch è rlv l cso d rsmsso d sgl d l frquz, o cosusc u problm l cso dl corollo d procss dusrl, dov l cmpo dll frquz d rss è rlvm bsso s ho cus prch ch lmo l mssm frquz ll qul è possbl oprr vd olr rrd crzz. l dm frquz rmd dpdoo d prmr dl procsso dl rgolor possoo ssr modfc fs d progzo cch d loop shpg modo d rggugr cr spcfch dsdr sull rpos. XI-9

-8. Progo pr sgumo dl rfrmo cmbo d s po Y r I quso cso l spcfch sull rspos l mpo possoo ssr sprss rm d prmr qul: mpo d rsl, sovr-logzo, mpo d sssmo, rpporo d dcdmo. È possbl rovr u corrspodz r l dmo dll fuzo complmr d ssblà frquz l rspos l mpo Y. L log r Y r è rpor l grfco ch sgu rgolor PI. ll umr dl gudgo dl rgolor K c, l rspos Y dv pù vloc oscll: prlllm l fuzo prs u mssmo pù grd s spos vrso l l frquz. L log può ssr szz ll corrspodz r prmr dll fuzo complmr d ssvà: bd pss b mssmo pcco:, prmr dll rspos l mpo: mpo d rsl R sovrlogzo l domo mpo S E. 0.707 b L bd pss dl ssm è df com l frquz b ll qul l fuzo complmr d ssblà scd soo u cro rpporo rspo l vlor ll frquz =0. o rfrmo ll problmch d rsmsso d u sgl prodco, l sgfco d b è qullo d frquz olr l qul u sgl rsul ssblm uo rspo l vlor ll bss frquz =0. : b b 0.707 0 XI-30

Il progo dl rgolor co rfrmo spcfch l domo dll frquz può ssr formulo rm grl com: m f [ ] ; d smpo: - vcolo su sovrlogzo vlocà d rspos: ; & b m - vcolo su sovrlogzo mssm vlocà: & : mx ; b I vlor umrc propos l progo soo covzol fo rfrmo ll vluzo rm d dcbl db: - = 3db ll dfzo dll bd pss, -. 6 = db, ll dfzo dl mssmo dll fuzo. Qud l progo dl rgolor v ffuo pr v ssmc, gdo su prmr dl rgolor modo d mporr spcfch s sull bd pss, s sul pcco dll fuzo complmr d ssvà. Nl cso d PID s ho r prmr K, I, D l progo può ssr bbsz lboroso. U cc pprossm propos suggrsc d scglr l vlor dll cos d zo grl modo d ffur u psudo-vrso dl procsso vd olr, scodo l rlzo: / / p, I l gudgo K modo d lmr l mssmo dll fuzo complmr d ssblà l cos D modo d or l mssm bd pss. -8. Progo pr bbmo dl dsurbo Y d o rfrmo llo schm grl rporo fgur s h: P Y d d d Pd d P d r - P P d y Schm rrozo co vdz l dmc dl dsurbo N cs: - P d =: l dsurbo gsc sull usc dl procsso, - P d =P: l dsurbo gsc sull grsso dl procsso, - P d P: dsurbo procsso ho dmch dvrs. Tpc dm dll fuzo d ssblà frquz εω l vrr dl gudgo dl rgolor pr u ssm srm propro m co zo grl, soo rpor ll fgur soos. XI-3

pslo 0 0 0 0-0 - 0-0 - 0 0 dmo dll fuzo εω l vrr dl gudgo dl rgolor Nl cso d dsurbo sull usc P d =, l dmo d εω rpprs l rpporo Y d /d. om prcdm ossrvo, o è possbl vr bbmo dl dsurbo ll l frquz, vrù dll crrsch dl procsso. S ssum covzolm ch l ffcc dl rgolor s vld fo d u frquz b df ch ss bd pss pr l problm oggo, ll qul s h: εω b < ε = /, sgfcr ch l mpzz dll prurbzo usc è u l 70.7% dl vlor d grsso. I qulch cso s pprossm ω b ll frquz ll qul εω b =, sgfcr ch l dsurbo pss sz uzo. Pù grl, può ssr df u frquz mssm ω* f ll qul è possbl ur l mpzz dl dsurbo u rpporo ssgo vd fgur d sguo. gdo sul rgolor è possbl umr ro cr lm l rvllo d frquz fo l qul l rgolor è ffcc ll bbmo dl dsurbo. 0 rspos l dsurbo frquz 0 0 0-0 - w* 0-3 0-0 - 0 0 0 0 frquzrd/sc Il dsurbo llo chuso εω è uo d u for 0 /=0. fo ll frquz ω* Nl cso d dsurbo grsso l procsso P d =P, l rpporo Y d /d è do d P εω. L dmo dll fuzo ε ω = P εω è rporo fgur. Nl cso d procsso srm propro, l fuzo d zro ll l frquz qud c srà u frquz, olr l qul l uzo dl dsurbo v ffu dl procsso ssso. I quso cso soo l frquz rmd r l du dc co ω* fgur, crr d problm d mc uzo. ch quso cso l progo dl rgolor può ssr mro d or l rspo dll spcfch u rvllo d frquz dsdro. XI-3

pslo 0 rspos l dsurbo frquz 0 0 w* w* 0-0 - 0-3 0-0 - 0 0 0 0 frquzrd/sc Il dsurbo è uo d u for 0 /=0. ll sro dll rvllo d frquz dco. P d ω, εω, P εω Pù grl, l cso d dmc qulss Pd P, l spcfc sull uzo d u dsurbo susodl d= sω pr og frquz, può ssr ssg com: Yd Pd, ; Pd, ; qud ch: W, ; pc W,. dov Wω v df fuzo pso d prszo prm d formulr u problm d bbmo dl dsurbo l domo dll frquz. Qus cosdrzo sro rprs pù v codzo d prszo oml robus. Rfrm: Åsröm K. J., Hägglud T.: PID orollrs: Thory, Dsg d Tug, d Edo; Isrum Socy of mrc; pg. 40, 995. Ho K. W., Hg., o L. S.: Tug of PID corollrs sd o d Phs Mrg Spcfcos, uomc, 33, pp. 497-50, 995. Ho K. W., Hg., Zhou J. H.: Prformc d d Phs Mrgs of wll-kow PI ug formuls, IEEE Trs. o orol Sysms Tchology, 3, pp. 45-48, 995b. Mrro. oroll uomc. Ed. Zchll, olog, 998. XI-33

ppdc su Sblzzzo d Ssm sbl llo pro U ssm è sbl llo pro s u prurbzo grsso d à lm provoc u vrzo usc d à o lm. Vdmo lcu smp d ssm sbl llo pro. Ror chmco sormo co rffrddmo sro Rzo co ΔH<0 Obvo orollo dll mprur dl ror md rgolzo dllo scmbo d clor r mzzo rzo ssm d rffrddmo. lor ro: Q H Vr g lor Soro: Q US T T F T T s c p dov: - V : volum dl ror; - S : suprfc d scmbo; - ρ, p : dsà clor spcfco dll sosz rg; - T, T, T c : mprur ror, mprur rg, mprur rfrgr; - U : coffc globl d scmbo d clor; - r : vlocà d rzo, sprss dll rlzo d rrhus com r xp E / RT, dov co s dc l cocrzo d rg l ror. Pr l corollo d mprur: - T = cos - V dt / d Q Q 0 p s g S rpor grfco l dmo dl clor gro dmo o lr dl clor soro dmo lr fuzo dll mprur. om s o c soo 3 possbl pu d lvoro: L, M N. dq - L N soo pu d lvoro sbl quo: s dq g dt u prurbzo ΔT è prcò dt rssorb. XI-34

dqg dqs - M è u puo d lvoro sbl quo: dt dt u prurbzo ΔT>0 spos l puo d lvoro vrso N, u prurbzo ΔT<0 spos l puo d lvoro vrso L. Può ssr cssro oprr l puo M, pr sgz d covrso o pr vr mprur roppo lv; l ssm d corollo pro dv ssr grdo d sscurr l sblà dl ssm u puo d lvoro sbl llo pro. Srboo co scrco forzo S vuol rpprsr l vrzo dl lvllo h dl srboo pr u vrzo dll por grsso q usc q u. Ipos: - dsà lqudo cos; - szo cos; - pomp volumrc qu qu ; - V h So szoro zl: h0 h0 q0 qu0 q0 d q qu h d h0 h0 I rm d vrbl d scosmo: h h0 h d q qu h q q0 q d qu q0 q h0 0 u Podo: dy X X q qu d Y h Y 0 0 L dmc dl ssm è rpprs d u Equzo Dffrzl Ordr EDO dl ord. Il ssm è do cpcà pur gror. Il ssm è sbl llo pro o h u uo-qulbro; l rspos f dvrg s X 0, coè s q qu, ovvro l vrzo dll por grsso usc o soo ugul r loro: y x d, o s h uo-qulbro pr X 0 lm y 0 XI-35

lr smp d ssm sbl llo pro s rovo lr cmp dll ggr, co dmch complss d s. l lcoro dmch molo smplc d s. l bccl. I u cs, l obvo dl ssm d corollo è ruscr sblzzr l ssm OL sbl, grdo dll spcfch d prszo. odzo d sblà llo pro Fcdo rfrmo ssm lr l sblà d u ssm è lg ll poszo d pol. L rspos y d u ssm lr, co dmc dscr dll FdT s, d u grsso x è d, l cso d pol ds, d: y L s X s p p p xp xp... xp E vd ch bs l prsz d u solo polo co pr rl posv pr drmr u dmo dvrg qud sbl pr. Può pro ssr formulo l sgu crro d sblà: odzo cssr suffc prché u ssm lr mpo vr s sbl è ch ssu polo pprg ll pr dsr dl po complsso. so prcolr l ssm gror co polo ll org; l ssm è sbl pr grsso grdo polo doppo ll org. Possblà d sblzzzo Do u ssm OL sbl dv ssr progo u ssm d corollo grdo d sblzzr l rspos; lo schm d rfrmo è l sgu: s Ps dov Ps è l procsso ssgo s l rgolor d progr. L suzo pù smplc è qull cu s cosdro solo gl ff dl gudgo dl rgolor, globdo l pr dmc. s c s P s. K s L sblzzzo s o ll umr dl gudgo K g sblzbly. Soo possbl 3 dvrs suzo smplfc d sguo: - Sblzzzo Impossbl: o è possbl sblzzr l ssm md umo d gudgo; s dv gr sull pr dmc progr l cs modo opporuo, o s gsc su K. - Sblzzzo Possbl: è possbl pr Kc Kc,m - Sblzzzo odzo : è possbl solo s Kc,m Kc Kc,mx è l cso pù comu pr ssm d ord lvo. XI-36

Ssm dl I ord s s p ; Oss: 0 K 0 p p E.. : K 0; s p K 0 ; s p K 0 s K p Km Esmpo umrco s s 3 Rlocus s rpprs l cso Kc 0, qud KK c p 0 sblzzbl pr Kc Km No: co Kc 0, ovvro Rlocus- s, l ssm o è sblzzbl. Ssm dl II ord s ; l codzo grl pr sblzzblà è: s p s p Vr cs: p, p 0 pol OL sbl Esmpo umrco s s3 s5 0 0 3 5 K p Rlocus s Ssm sbl K c 0 s ' K 0 ss rl s#dsppol+zr Rlocus XI-37

Rlocus- s Prsz d u rmo smpr sbl K c 0 s Rlocus ' K 0 ss rl s#prpol+zr p p 0, 0 L codzo grl pr sblzzblà è: p p Esmpo umrco s co p 3, p 5 qud p p: sblzzbl. s5 s3 0 0 3 5 K p Rlocus s Ssm sbl s K Km 3 c s s3 s5 co p 5, p 3 qud p p : o sblzzbl. 0 0 3 5 K p Rlocus s Ssm sbl pr prsz d u rmo smpr ll pr dsr dl po. XI-38

Ssm dl III ord U ssm d ord =3 s prs ll form: 3 s s p s p s p 3 S: pol sbl p 0, p, p3 0 l ssm rsul sbl Kc Rlocus- s 3 0 K c Prsz d u rmo smpr sbl. Rlocus s 3 0 K c Prsz d du rm smpr sbl. polo sbl p 0, p, p3 0 l ssm rsul sbl, m prs possblà d sblzzzo. Eq.. : Kc3 s 0 K c 0 s p s p s p 3 s p s p s p K 0 3 c s p p p s p p p p p p s K p p p 0 3 3 3 3 c 3 posso scrvr: s s s K c 3 3 0 dov: XI-39

p p p3 p p p p3 p p3 3 p p p3 Lo sudo dll sblà dl ssm è fo md l TELL d ROUTH 3 - Kc 3 - b 0-3 0 c 0 dov: K c 3 b c K c 3 L sblà s sud d coffc dll prm colo; coffc dll prm colo dvoo ssr u posv ffché o s bb lcu vrzo d sgo, pr cu: p p p 0 3 p p p3 0 p p p3 ^ ONDIZIONE ND odzo sruurl b 0 K c 3 0 l domor è posvo ND prcò: Kc K c 3 0 K ^ ONDIZIONE ND odzo dpd dl rgolor 3 mx gudgo mssmo K mx 3 c 0 Kc c 3 0 K p p p K 3^ ONDIZIONE ND3 odzo dpd dl rgolor 3 3 m gudgo mmo K m S mpo ch Kmx Km, prcò: XI-40

K K coè 0, m 0 ND pro lo sudo dl sgo mx 3 3 m s rduc llo sudo d: p p p p3 p p3 0 dvddo uo pr p p p 3 quà posv ogo: ND odzo sruurl pr l sblà p p p 3 Rplogdo s soo ou 4 codzo: ND: p p p3 ND: Kc 3 Kmx ND : p p p 3 ND3 : Kc 3 p p p3 Km D sguo s rporo smp umrc pr vrfcr quo mrso. Esmpo umrco 3 s s p s s 3 qud p 0, p, p3 3. p 6 ND: p p p3 6 5 NO! L prm codzo o è soddsf, l ssm o è sblzzbl. Rlocus s 3 S o l prsz d u rmo smpr sbl. XI-4

. p 4 ND: p p p3 4 5 OK! ND: Kc 3 p p p 3 3 4 p p p3 p p p p3 p p3 8 6 K 4 8 6 4 4 4 4 0 K c c 0 K mx ND3: Kc 3 p p p3 K 4 3 4 K c c 4 K m è u cogruz, poché Km Kmx. Il ssm o è sblzzbl; s vd ch mpodo l codzo ND : NO! p p p 3 4 4 3 If: Rlocus 3 s S o l prsz d u rmo smpr sbl. XI-4

3. p ND: p p p3 5 OK! ND: Kc 3 p p p 3 3 6 p p p3 4 p p p p3 p p3 6 3 K 6 4 6 3 6 4 6 4 0 K c c 0 K mx ND3: Kc 3 p p p3 K 3 6 K c c 6 K m Vrfco ch Kmx Km.om ulror vrfc s mpo l ulm codzo: ND : p3 p p OK! 3 Rlocus s 3 Il ssm è sblzzbl scgldo 6 K c 0 XI-43

Sblà s ssm sbl llo pro v ls frquzl Pr lo sudo dll sblà v ls frquzl s dv rcorrr l orm d Nyqus, ch vl pr u cs ssm sbl sbl, l cu uco è: odzo cssr suffc ffché u ssm crrzzo d u umro d pol sbl llo pro pr N OL s sbl crcuo chuso è ch l su FdT comp N OL rozo sso orro oro l puo -;0 pr S rcord ch l crro d od l orm d Nyqus cocdoo l cso d u ssm sbl, coè qudo N OL è pr zro pro o s dvoo rozo oro l puo -;0. Esmp umrc. Ps co p 0 s p p p P p p p p P p p Il dgrmm d Nyqus è l III qudr dl po complsso, poché s, 0. P p P rcg p 0 P0 p 0 P 0 0 polo gvo Il dgrmm d Nyqus ppr così: XI-44

Il ssm comp u rozo sso orro pr 0 d è sblzzbl pr K Km p lcm pr vdr l sso d rozo s dv vrfcr l dmo dllo sfsmo co l frquz, coè: d 0 pr l rozo orr lo sfsmo um d 0 rcg rcg p d rcg d rcg p d d p p p 0 d 0 d p 0. P s s p s p P p p co p 0 p 0 P p p p p p p XI-45

P p p P rcg rcg p p 0 P0 0 pp P 0 0 polo gvo polo posvo Il sso d rozo qud srà fuzo dl vlor d pol p p ch do u corbuo d sgo dvrso qud ll rozo sss. If s: p p p O O p O O prvl l rozo orr, o s sblzz. prvl l rozo orr, s sblzz. lcm: d 0 d p p 0 p p p p Esmpo. P s s p s p p p XI-46

Mgl co Rozo orr, è possbl sblzzr l rspos. I fgur s vd com vro l curvd blu ross ll umr dl gudgo, ddo crcodr l puo -;0 b. P s s p s p p p Mgl co Rozo Orr, o è possbl sblzzr l rspos. Pr ruscr sblzzr l rspos dvoo ssr prs mgl sso orro, po gdo su Kc crco d crcodr l puo -;0. 3. P3 s co p 0 p, p3 0 s p s p s p Nl domo s: 3 3 p p p è smpr sbl; codzo pù rsrv pr vr sblà. p p p 3 I ls frquzl: P3 p p p 3 p p p3 P3 p p p p p3 p3 3 3 XI-47

P p p p 3 P rcg rcg rcg p p p 3 Qud: 0 P0 0 p p p 3 3 P 0 0 3 polo gvo polo posvo L possblà d sblzzzo dpd dl sso d rozo. Impodo l codzo: d 0 d 0 d d rcg rcg rcg d 0 d p p p3 3 p p p p p p 3 0 0 p p p 3 XI-48

p p p 3 L codzo rov ω cocd co l codzo rsrv rov s. D sguo s rpor l dgrmm d Nyqus pr l procsso pr l ssm cosdrdo du cs d Km K mx. osdrdo u Km K Kmx s rsc crcodr l puo -;0 co l mgl co rozo orr, com s vd ll fgur rpor d sguo: XI-49

s 4. P4 s s p I ω: co p 0 P4 s p Qud: P p P rcg p 0 P0 0 p P 0 0 0 s vro f rozo sso orro. XI-50

L possblà d sblzzzo dpd dll possblà d vr rozo orr ll zo, ffo dl polo sbl 0 ch prvl su ffo dl rrdo 0 : Rozo Orr: No sblzzbl Rozo Orr: Sblzzbl L codzo s rov lcm mpodo: d 0 d 0 XI-5

P p. XI: ls Frquzl poché rcg p d 0 d 0 p p p 0 L codzo d soddsfr è qud: p Ossrvzo: - l codzo è cor dl po d d, coè: d d sfsmo > 0 Rozo orr sfsmo < 0 Rozo orr s L codzo è solo cssr pr l ssm P4 s, m o suffc s p grl può o ssr é cssr, é suffc - Pr lmo rzol d d, pr l rrdo d p d - L sss suzo può ssr rrov s v Pdè Esmpo umrco s Ps s p s S lzz l procsso pr sudr l sblzzzo l domo dll frquz: Ps p Il ssm è OL sbl pr l prsz d u polo posvo. S ggug zlm u Rgolor Proporzol po u Rgolor Proporzol Igrl. Rgolor Proporzol Kc, Kc p XI-5

P p. XI: ls Frquzl p 4 0 p 0 rcg rcg p 0 0 Pr vlur l vrso dll rozo s sud l drv dll f rspo d ω, s è mggor d zro l sso d rozo srà orro: d d p 0 0 p p 4 0 S o u codzo sul rrdo: p 0 p p p pr l cuslà dl ssm: 0 p OK! 0 0 p Il ssm comp u rozo orr, può ssr sblzzo pr umo d gudgo. Nll smpo fgur 0.3, p, K 0 c XI-53

P p. XI: ls Frquzl Rgolor Proporzol Igrl L FdT dl Rgolor Proporzol Igrl è: PI s ch rporo l domo dll frquz dv s Il ssm dv l domo dll frquz: p PI. p p p 4 0 0 p 4 0 0 XI-54

Imgry xs P p. XI: ls Frquzl rcg rcg rcg rcg p 0 Pr l sblzzzo bsog mporr l codzo sull drv dll fs: d d p 0 0 p p 4 0 p p p p pp 0 p p p 0 p 0 p 0 p d smpo scgldo p 0., K 0.7, 0. l dgrmm d Nyqus è l sgu: c Nyqus Dgrms p = 0. =. = 0 K = 0.7.5 0.5 0-0.5 - -.5 - - -.5 - -0.5 0 0.5.5 Rl xs XI-55