6061-CES Terza Esercitazione (Effetti delle imposte, Sanità, Pensioni) 17 Maggio 2011 Esercizio 1 - Effetti delle imposte sull offerta di lavoro (tratto dal testo d esame del 20 Giugno 2008) Si consideri il problema di scelta di un individuo fra tempo libero,, e reddito, Y (ovvero consumo ad esso associato). Il reddito deriva esclusivamente dal lavoro. Il salario orario è w ed il tempo totale a disposizione dell individuo è di 24 ore. a) Si individui, graficamente, la scelta ottima in assenza di imposizione fiscale. Si introduca ora un imposta proporzionale sul reddito con aliquota t. b) Si individui la nuova scelta tempo libero/consumo. c) Si individuino l effetto di reddito e quello di sostituzione e l eccesso di pressione rispetto ad un imposta a somma fissa, di un ammontare tale da procurare un uguale perdita di utilità per l individuo. d) Facendo esplicito riferimento alle nozioni di effetto di reddito ed effetto di sostituzione, discutete la seguente affermazione: Una riduzione dell imposta sul reddito da lavoro, è sempre uno strumento di politica economica efficace per aumentare il numero di ore lavorate nell economia. a) Consideriamo un individuo la cui funzione di utilità, definita rispetto a tempo libero () e reddito (Y), sia rappresentata dalle curve di indifferenza in figura. Tale individuo fronteggia un vincolo di bilancio che rappresenta le combinazioni di reddito e tempo libero possibili. Esso è pertanto rappresentato da una retta con intercette 24 e 24w, essendo 24 il numero di ore disponibili per lavoro o tempo libero: Y = (24-)w. Dato il vincolo, la scelta ottimale dell individuo sarà in corrispondenza del punto E del Grafico 1, in corrispondenza, cioè, del punto di tangenza del vincolo di bilancio con la curva di indifferenza più alta possibile, rappresentata da I. Reddito da lavoro 24w T 24w(1-t) G E Eff. sost. F I I 0 Eff. reddito 24 Tempo libero Grafico 1 b) Introduciamo ora un imposta proporzionale sul salario, di aliquota t: il salario al netto dell'imposta diventa w(1-t) e il vincolo di bilancio diventa Y = (24-)w(1-t); l'intercetta sull'asse verticale, che rappresenta il massimo reddito conseguibile, passa da 24w a 24w(1-t), mentre quella sull'asse orizzontale resta immutata, dato che se non si lavora, non si paga alcuna imposta. Come si può notare, la nuova scelta ottimale avviene in corrispondenza del punto F, sulla curva di indifferenza I, associata ad un livello di utilità più basso. 1
c) analisi grafica ci permette di mettere in evidenza i due effetti che agiscono nella determinazione dell offerta di lavoro (teniamo presente che l offerta di lavoro è determinata in modo residuale a partire dalla determinazione della scelta ottimale di tempo libero): - effetto reddito: indica la variazione dell offerta di lavoro a seguito del diminuito potere d acquisto. Assumendo che reddito (consumo) e tempo libero siano beni normali, questo effetto riduce sia il consumo sia il tempo libero e quindi l offerta di lavoro aumenta: nel grafico, tale effetto è rappresentato dallo spostamento da E ad G; - effetto di sostituzione: indica la variazione dell offerta di lavoro dovuta alla variazione del costo opportunità del tempo libero. Poiché l imposta genera una riduzione di tale costo, l offerta di lavoro si riduce: nel grafico, tale effetto è invece rappresentato dallo spostamento da G a F. effetto complessivo sull offerta di lavoro è dato dall insieme degli effetti di reddito e di sostituzione: in generale, pertanto, il suo segno è indeterminato, dipendendo dalla forza relativa dei due effetti. Nel caso particolare considerato nel grafico, l effetto complessivo risulta una diminuzione dell offerta di lavoro (ovvero di un incremento della domanda di tempo libero), nel passaggio dal punto E al punto F. Per determinare l eccesso di pressione derivante dall introduzione di un imposta proporzionale sul reddito, confrontiamo il relativo gettito con quello di un imposta a somma fissa. Un imposta a somma fissa non è legata alle scelte dell individuo, e dunque non modifica la convenienza relativa di tempo libero e lavoro: ad essa è quindi associato un vincolo di bilancio parallelo a quello in assenza di imposta, spostato in basso di un ammontare corrispondente all imposta. Il reddito disponibile è ora pari al numero di ore di lavoro (24-), per il salario w, a cui dev essere sottratto l ammontare dell imposta, T: Y = (24 - )w - T. Per ipotesi, l ammontare dell imposta a somma fissa è tale da produrre la stessa perdita di utilità per l individuo rispetto all imposta proporzionale: il nuovo vincolo di bilancio sarà dunque tangente alla curva di indifferenza I. ammontare di T è indicato sull asse delle ordinate. Il punto scelto sarà adesso G. Reddito da lavoro 24w T 24w(1-t) Eccesso di pressione 0 G E A F B H I 24 I Tempo libero Grafico 2 Confrontiamo, pertanto, il gettito dell imposta proporzionale sul reddito e dell imposta in somma fissa in corrispondenza dello stesso livello di utilità. Quella proporzionale (equilibrio nel punto F del Grafico 2) porta l individuo a lavorare 24-H ore e a guadagnare un reddito lordo pari al segmento HA, cui corrisponde un reddito netto pari a HF ed entrate fiscali pari ad FA. D altra parte, l imposta a somma fissa (equilibrio nel punto G) garantisce lo stesso livello di utilità ma è associata ad un gettito fiscale maggiore: esso è pari a T = AB. a differenza, BF, rappresenta l eccesso di pressione, ovvero la perdita di gettito per l erario a parità di utilità per l individuo. eccesso di pressione si origina in quanto l individuo, in presenza di un'imposta che altera il costo opportunità del tempo libero rispetto al lavoro, per raggiungere il massimo livello di utilità possibile, modifica le proprie scelte e, così facendo, provoca una riduzione del gettito, rispetto al caso di un imposta non distorsiva che gli garantisse comunque tale livello di utilità. Alternativamente, si può mostrare che un imposta a somma fissa di ammontare pari ad AF permetterebbe all individuo di conseguire un livello di utilità superiore a quello associato ad I (curva d indifferenza indicata in rosso). 2
d) In base alle nozioni precedentemente fornite, non è possibile affermare che una riduzione dell imposta sia sempre uno strumento efficace per espandere l offerta di lavoro nell economia. Effetto di reddito e di sostituzione hanno segno opposto sull offerta di lavoro (il primo è positivo, il secondo negativo), per cui a priori, senza conoscere la forma delle curve d indifferenza, non è possibile conoscere l entità dell effetto netto, dunque quale dei due effetti predomina. Esercizio 2 - Trade-off tra equità ed efficienza nelle imposte sul reddito Si confrontino, attraverso l'analisi grafica, gli effetti di un'imposta proporzionale sul reddito e di un'imposta progressiva: in che senso sussiste un trade-off tra equità ed efficienza? Dal momento che lo Stato non conosce le caratteristiche personali degli individui, per perseguire obiettivi redistributivi e di finanziamento della spesa pubblica, non può ricorrere a trasferimenti in somma fissa personalizzati (ottimali sulla base del secondo teorema dell economia del benessere), bensì ad imposte sui flussi di reddito. Tuttavia, si trova di fronte al seguente problema: obiettivi di efficienza richiedono imposte a somma fissa uniformi, mentre obiettivi redistributivi richiedono imposte distorsive. Il sistema di imposizione ottimale è, pertanto, quello che garantisce una scelta tra equità ed efficienza in sintonia con l orientamento collettivo prevalente riguardo ai due obiettivi in conflitto. Consideriamo, ora, due distinte imposte sui redditi, un imposta proporzionale e un imposta progressiva per detrazione: nel primo caso, il debito di imposta ammonta a T = t 1 Y, mentre nel secondo a T = t 2 Y f (immaginiamo che chi percepisce un reddito inferiore a f / t 2 riceva un sussidio dallo Stato). Rappresentiamo, quindi, nel grafico seguente il vincolo di bilancio in assenza di imposte, il vincolo di bilancio in caso di imposta proporzionale sul reddito e infine il vincolo di bilancio in caso di imposta progressiva, con aliquota marginale costante e sussidio implicito pari a OG. Richiediamo, inoltre, che i vincoli di bilancio con imposta siano tangenti alla stessa curva di utilità: Consumo A 2 VdB con imposta proporzionale A 1 E 1 E 2 VdB con imposta progressiva G O avoro Possiamo notare che, a parità di utilità per gli individui, all imposta progressiva è associato un gettito (A 1 E 1 ) inferiore rispetto a quello associato all imposta proporzionale (A 2 E 2 ): nel primo caso, infatti, l aliquota marginale è maggiore e quindi il più ampio effetto di sostituzione che ne deriva procura una maggiore perdita di benessere sociale. Inoltre, la perdita di benessere aumenta all aumentare del grado di progressività dell imposta. Il trade-off tra equità ed efficienza consiste dunque nel fatto che se da un lato un imposta progressiva permette di perseguire meglio fini equitativi rispetto ad un imposta proporzionale, dall altro risulta più inefficiente, con associata una maggiore perdita di benessere. 3
Esercizio 3 Enunciate e fornite una derivazione analitica completa della cosiddetta regola di Ramsey. In che senso tale regola identifica un trade-off tra efficienza ed equità? Si veda libro pagg. 177-181. Esercizio 4 a) Considerate due beni: caviale e latte in polvere per neonati. a domanda di caviale è caratterizzata da un elasticità al prezzo tripla rispetto a quella della domanda di latte in polvere per neonati. Sapendo che l aliquota d imposta ad valorem sul caviale è del 15%, si determini l aliquota d imposta ad valorem sul latte in polvere che minimizza l eccesso di pressione. b) Commentate il risultato precedente in termini di trade-off efficienza equità. a) Per minimizzare l eccesso di pressione occorre uguagliare la perdita secca per unità di gettito per i ~ due beni: caviale (C) e latte (): C ~ C con ~ aliquota d' imposta ad valorem elasticità della domanda al prezzo Dal testo dell esercizio sappiamo che: C 3 Quindi: 0,15*3 ~ da cui: ~ * 0,45 b) ~ ~ C Trade-off efficienza-equità: per minimizzare l eccesso di pressione occorre tassare maggiormente i beni che presentano minore elasticità rispetto al prezzo, che sono generalmente i beni di prima necessità, come il latte. Una struttura efficiente delle aliquote risulterebbe quindi essere regressiva. Esercizio 5 - Sanità Considerate una comunità composta da individui con differenti probabilità di ammalarsi: individui di tipo H, che rappresentano il 55% della popolazione, con una probabilità di ammalarsi pari al 70%; individui di tipo, che rappresentano il 45% della popolazione, con una probabilità di ammalarsi pari al 30%. In caso di malattia il danno è pari a 100 per entrambi i gruppi. In un mercato perfettamente concorrenziale e in assenza di costi di amministrazione, si determinino i premi richiesti ai due tipi di individui per unità di materia assicurata e si dica se gli individui scelgono di acquistare una copertura completa o parziale nel caso in cui: a) l informazione sia perfetta; 4
b) l'impresa assicuratrice non riesca a discriminare tra i due tipi di individui (asimmetria informativa) ed offra ad entrambi i gruppi lo stesso contratto con un premio tale da rendere i profitti complessivi nulli (in valore atteso). Si discutano brevemente i problemi che sorgono in questa situazione. a) In un mercato perfettamente concorrenziale, deve valere la condizione di profitti attesi nulli: E(P)=0. E possibile mostrare che, con informazione perfetta (simmetrica), tale condizione implica che l impresa richieda ad entrambi i tipi di individui il pagamento di premi attuarialmente equi, cioè pari alla probabilità dell evento negativo. Indicando con N la numerosità della popolazione, con q il livello di copertura scelto, con p i e con π i rispettivamente il premio pagato e la probabilità di ammalarsi per il tipo i-esimo: E(P)= 0,55 N p H q 0,55 N π H q + 0,45 N p q 0,45N π q = 0 da cui segue: p H = π H = 0,7 per gli individui H e p = π = 0,3 per gli individui. In questo caso entrambi i gruppi chiedono copertura completa: q = d = 100. b) Se l'informazione è asimmetrica, l'assicuratore non discrimina tra agenti H e e può essere indotto ad offrire a tutti un unico contratto. Se la popolazione è sufficientemente numerosa e i rischi indipendenti, il profitto atteso può essere scritto come: E(P)= Npq 0,55 N π H q 0,45N π q In questo caso, assumendo che tutti gli individui accettino di sottoscrivere il contratto, la condizione di profitti attesi nulli impone la richiesta di un premio pari alla probabilità media di malattia per l intera popolazione. Pertanto, E(P)=0 se e solo se: p = 0,55 π H + 0,45 π = 0,55 x 0,7 + 0,45 x 0,3 = 0,52. I problemi derivano dal fatto che questo premio è superiore alla probabilità di ammalarsi per gli individui di tipo, i quali quindi non si assicureranno e usciranno dal mercato. Questo implica che la qualità media degli assicurati diminuisce (fenomeno di selezione avversa), le imprese aumentano i premi (per evitare profitti negativi), rimangono solo individui di tipo H e il premio aumenta fino a raggiungere il valore massimo per gli individui ad alto rischio (nel nostro caso 0,7). Esercizio 6 - Sanità Il paese X decide di iniziare a fornire i farmaci gratuitamente. a funzione di domanda della collettività stimata è la seguente: q = 10000 10 p dove q indica la quantità di farmaci richiesta e p il prezzo medio di tali farmaci. Il prezzo medio per farmaco è di 300. a) Definire il concetto di azzardo morale. Come si applica alla situazione del paese X? b) Calcolare la perdita di bilancio rispetto alla situazione di perfetta informazione nel caso si pongano problemi di azzardo morale. c) In seguito ad un attenta analisi, il governo di X si rende conto di non avere alcuna possibilità di controllare il comportamento dei consumatori. Allo stesso tempo, però, per ragioni di finanza pubblica, la spesa farmaceutica a carico dello stato non può in alcun caso eccedere il tetto di 1.800.000. Quali manovre potrebbe attuare al fine di raggiungere questo livello di consumo farmaceutico? 5
a) AZZARDO MORAE: poiché l impresa di assicurazione non è in grado di controllare il comportamento degli assicurati dopo la stipula del contratto, l individuo può domandare più cure di quanto strettamente necessario, oppure può influenzare la probabilità che si verifichi l evento negativo. Nel nostro caso la quantità di farmaci venduta in corrispondenza di un prezzo pari a 300 (quantità con perfetta informazione) è: q PI = 10000 10 p = 10000 10 (300) = 7.000. Il problema di azzardo morale nasce dal fatto che nel paese X gli individui ricevono farmaci gratuitamente (quindi, per i cittadini-consumatori, p = 0), mentre il prezzo effettivo è pagato dal governo. a quantità domandata (quantità con moral hazard) sarà dunque pari a: q MH = 10000 10 p = 10.000. I pazienti fanno quindi ricorso a cure addizionali rispetto a quelle cui farebbero ricorso qualora non esistesse un sistema farmaceutico pubblico e gratuito. b) Nell ipotesi di azzardo morale, la spesa farmaceutica per il governo del paese X è: q MH p = 10000 x (300) = 3.000.000. Nell ipotesi di perfetta informazione si ha invece che: q PI p = 7000 x (300) = 2.100.000. a perdita di bilancio dovuta all asimmetria informativa è pertanto di 900.000. c) Al fine di disincentivare l eccessivo consumo di farmaci, è prassi utilizzare sistemi di compartecipazione al finanziamento delle spese sanitarie: il paese X introduce a tal fine i ticket. Pertanto, il prezzo medio per farmaco, p = 300, è coperto per un ammontare fisso (x) dal cittadinoconsumatore, e per il restante ammontare (300 - x) dallo Stato. Dal momento che il cittadino-consumatore paga x per ogni unità di farmaco, la domanda di farmaci sarà: q = 10.000-10x. Pertanto, la spesa farmaceutica complessiva a carico dello Stato è: (10.000 10x) (300 x) Dato il vincolo di spesa che lo Stato deve rispettare, otteniamo: (10.000 10x) (300 x) = 1.800.000 che equivale a: 10x 2 13.000x + 1.200.000 = 0 x = 100*. Il governo del paese X dovrebbe, pertanto, richiedere ai cittadini-consumatori di coprire 1/3 del prezzo medio dei farmaci. *a quota di compartecipazione al prezzo x pagata dal consumatore non può eccedere il prezzo complessivo del bene acquistato. Per tale ragione la radice x = 1220 non può essere la soluzione del quesito posto. Esercizio 7 - Sanità Si consideri una collettività costituita da 2 individui, uno giovane e uno anziano. Entrambi hanno un reddito pari a 30 e subiscono un danno pari a 100 in caso di malattia. Il giovane ha una probabilità G =0,2 di ammalarsi, mentre l anziano ha una probabilità A =0,7. I due individui sono perfettamente distinguibili dalle compagnie assicurative. 6
a) Si determini il grado di copertura ottimale q* scelto da ciascun individuo in corrispondenza di un premio attuarialmente equo. b) Si calcoli il premio complessivo che ciascun individuo dovrebbe pagare per ottenere la copertura desiderata. c) Quale problema si pone? Commentate, alla luce di questo risultato, l intervento pubblico nell organizzazione, prevalentemente privata, del sistema sanitario degli Stati Uniti. a) a copertura ottimale richiesta da individui avversi al rischio in corrispondenza di premi attuarialmente equi è la copertura completa. b) Il premio complessivo per il giovane sarà: p G q = 0,2 100 = 20 e per l anziano: p A q = 0,7 100 = 70. c) esercizio mostra come un sistema sanitario di natura privata fallisca nel garantire una copertura sanitaria alla cittadinanza nel suo complesso, dal momento che possono esistere persone bisognose di cure, ma non in grado di pagare il premio previsto per vincoli di reddito (l anziano ha un reddito di 30, ma dovrebbe pagare un premio di 70!). Si rende pertanto necessario l intervento dello Stato per garantire la copertura a taluni segmenti della popolazione. Questo è, ad esempio, ciò che succede negli USA dove è presente un sistema di assicurazioni sanitarie private ma lo Stato interviene a sostegno degli anziani e dei poveri mediante i programmi denominati MEDICARE e MEDICAID. Esercizio 8 - Sanità a popolazione del paese X è composta per il 50% da individui (tipo A) che hanno una probabilità di ammalarsi pari al 20% e per il restante 50% da individui (tipo B) che hanno una probabilità di ammalarsi pari al 70%. Sia gli individui di tipo A che gli individui di tipo B guadagnano, in condizioni normali, un reddito di 1000 che si riduce, in caso di malattia, a 200. Gli individui hanno la possibilità di acquistare un assicurazione. a) Si ipotizzi che la compagnia assicuratrice sia in grado di distinguere perfettamente i due tipi A e B e offra loro l assicurazione dietro il pagamento di un premio attuarialmente equo. Si determini (distinguendo, se necessario, tra gli individui): 1. il premio unitario; 2. la quantità di assicurazione acquistata e il premio complessivo; 3. il reddito degli individui al netto dei premi assicurativi; 4. il profitto atteso dell impresa assicuratrice. b) Si ipotizzi ora che l impresa non sia in grado di distinguere i due tipi di individui e che offra a tutti un unico contratto con un premio che le consenta di conseguire profitti attesi nulli. 5. A quanto ammonterà il premio unitario che l impresa deciderà di applicare? 6. Chi beneficerà dell assenza di perfetta informazione? 7. Si modificheranno le scelte assicurative delle due tipologie di individui? 8. Se sì, con quali conseguenze per il mercato assicurativo? a) Informazione perfetta 7
1. In caso di informazione perfetta il premio unitario attuarialmente equo per i due tipi di individui corrisponde alle rispettive probabilità che si verifichi l evento negativo: p A = π A = 0,2 p B = π B = 0,7 2. In presenza di premi attuarialmente equi gli individui sceglieranno di acquistare una quantità di assicurazione che consenta loro di avere copertura completa (q=d): q A = q B = q = d = 1000 200 = 800 Il premio complessivo per A e per B sarà quindi rispettivamente: p A q = 0,2 x 800 = 160 p B q = 0,7 x 800 = 560 3. Quando gli individui acquistano copertura completa (q=d), il reddito degli individui al netto dei premi assicurativi è costante nei due stati del mondo (salute e malattia) ed è quindi pari a: Y A = 1000 0,2 x q = 1000-160 = 840 Y B = 1000 0,7 x q =1000-560 = 440 4. Il profitto atteso dell impresa assicuratrice sarà (la popolazione è equamente distribuita tra individui di tipo A e di tipo B): E(P) =0,5N (p A q - π A q + p B q π B q) = 0 b) Asimmetria informativa 5. In caso di asimmetria informativa l impresa assicuratrice non discrimina tra gli individui a basso e ad alto rischio e può essere indotta ad offrire a tutti un unico contratto. Il premio unitario che verrà proposto dall impresa (che rende i profitti complessivi nulli in valore atteso) è pari alla probabilità media di malattia per l intera popolazione. p= 0,2 x 0,5 + 0,7 x 0,5 = 0,1 + 0,35 = 0,45 6. e persone che hanno probabilità maggiore di ammalarsi (tipo B) possono sfruttare a loro vantaggio l assenza di perfetta informazione che pesa sull impresa assicurativa. Infatti si troveranno a pagare un premio unitario (0,45) inferiore alla loro probabilità di malattia (0,7). 7. e scelte assicurative per i due gruppi di individui si modificheranno: infatti gli individui a più basso rischio (tipo A) decideranno di non assicurarsi perché il premio medio (0,45) risulterà più elevato rispetto alla probabilità che si verifichi l evento negativo (0,2) (selezione avversa). 8. a fuoriuscita dal mercato assicurativo degli individui a basso rischio comporterebbe una riduzione della qualità media degli assicurati con la conseguenza che le imprese assicuratrici sarebbero costrette ad aumentare i premi per evitare perdite, peggiorando ulteriormente il problema della selezione avversa. Il premio unitario salirà fino al valore massimo per gli individui di tipo B (0,7), ormai i soli presenti sul mercato. Esercizio 9 - Pensioni 8
a) Qual è la differenza tra sistema pensionistico a ripartizione con metodo contributivo e sistema pensionistico a capitalizzazione? b) Si supponga che ciascuna generazione viva per due periodi: nel primo lavora e versa contributi previdenziali, nel secondo cessa di lavorare e percepisce una pensione. Ipotizzando che nel paese il monte salari W t del primo periodo sia pari a 100, che l aliquota contributiva α sia del 30%, il tasso di crescita della produttività m del 2% e quello dell occupazione n dell 1% e il tasso di interesse corrente i sia dell 1%, si calcolino: - i contributi versati in t (C t ) - il monte pensioni in t+1 (P t+1 ) - il rendimento ottenuto dalla generazione che lavora e versa i contributi in t a seconda che venga applicato un sistema pensionistico a ripartizione o a capitalizzazione. a) In un sistema a ripartizione i contributi riscossi in ogni periodo sono destinati al finanziamento delle prestazioni pensionistiche erogate nello stesso periodo. Il metodo contributivo prevede in particolare che la pensione annuale sia determinata uguagliando il montante contributivo individuale (MC) al valore attuale delle pensioni future (VA), dove il montante contributivo è ottenuto capitalizzando i contributi versati ad un tasso prefissato r. Nel sistema pensionistico a capitalizzazione i contributi che ogni lavoratore versa nel periodo di attività sono investiti sul mercato dei capitali (al tasso di interesse di mercato i) e destinati a finanziare la pensione del lavoratore stesso. Il calcolo delle prestazioni pensionistiche è analogo a quello del sistema a ripartizione con metodo contributivo, con la differenza che il MC è determinato sulla base del rendimento effettivamente ottenuto sui contributi investiti sul mercato dei capitali. b) Monte salari W t = 100 α = 0.3 m = 0.02 n = 0.01 i = 0.01 In un sistema pensionistico a ripartizione si avrà che: Contributi versati in t = C t = α W t = 0.3*100 = 30 Monte pensioni in t+1 = P t+1 = C t+1 = α W t+1 = α W t (1+m)(1+n) = 0.3*100(1.02)(1.01) = 30.906 Rendimento implicito ottenuto dalla generazione che lavora e versa i contributi nell anno t: (P t+1 / C t )-1 = (P t+1 /α W t )-1 m + n = 0.02 + 0.01 = 3% In un sistema pensionistico a capitalizzazione si avrà che: Contributi versati in t = C t = α W t = 30 Monte pensioni in t+1 è pari ai contributi versati nel periodo precedente, capitalizzati al tasso di interesse corrente i: P t+1 = C t (1 + i) = α W t (1 + i) = 30 (1.01) = 30.3 9
Rendimento ottenuto dalla generazione che lavora e versa i contributi nell anno t è pari al tasso di interesse corrente i = 0.01 = 1%. Esercizio 10 - Pensioni Un individuo ha lavorato per 35 anni percependo per i primi 10 anni uno stipendio annuo di 30, nei successivi 20 di 40 e negli ultimi 5 di 50. Si calcolino la pensione cui ha diritto il lavoratore ed il tasso di sostituzione nei casi seguenti: a) metodo di calcolo retributivo: a. coefficiente di rendimento 2%, retribuzione pensionabile pari alla media delle retribuzioni dell intera vita lavorativa, nessuna rivalutazione delle retribuzioni; b. coefficiente di rendimento 2%, retribuzione pensionabile pari alla media delle retribuzioni degli ultimi cinque anni, nessuna rivalutazione delle retribuzioni; b) metodo di calcolo contributivo: aliquota contributiva del 20%, nessuna rivalutazione dei contributi, tasso di sconto del valore futuro delle pensioni pari a 0 e speranza di vita del lavoratore al momento del pensionamento di 20 anni. Nel caso in esame si ha: numero di anni di contribuzione: = 35 anni; salario primi dieci anni: w 1 = 30; salario successivi vent anni: w 2 = 40; salario ultimi cinque anni: w 3 = 50; coefficiente di rendimento: = 2%. 1. Metodo retributivo Ricordando che le formule per calcolare la pensione e il tasso di sostituzione sono rispettivamente: P = R P ; s = P / R ; dove R P = retribuzione pensionabile e R = ultima retribuzione percepita, avremo: a) P = 2% x {[(30 x 10 + 40 x 20 + 50 x 5) / 35] x 35} = 27 s = P / R = 27 / 50 = 54% b) P = 2% x {[(50 / 5) x 5] x 35 } = 35 s = P / R = 35 / 50 = 70% 2. Metodo contributivo Poiché il tasso di sconto del valore futuro delle pensioni r Z è pari a 0, la pensione è data da: P = MC/e() dove MC è il montante contributivo individuale e e() è la speranza di vita del lavoratore al momento del pensionamento. 10
Dati: δ = aliquota contributiva = 20%; r = tasso di rivalutazione dei contributi = 0; e() = 20 anni, si ha: P = [20% x (30 x 10 + 40 x 20 + 50 x 5)] / 20 = 13,5 s = 13,5 / 50 = 27% Esercizio 11 - Pensioni Il Sig. A vive nel Paese X dove è in vigore un sistema pensionistico a ripartizione con metodo di calcolo retributivo; egli lavora per due periodi percependo rispettivamente un salario di 100 e 110. a) Calcolate la pensione del Sig. A, sapendo che la retribuzione pensionabile è pari alla media delle retribuzioni dell intera vita lavorativa (due periodi) rivalutate al tasso r pari al 4% e che il coefficiente di rendimento è il 20%. b) Come cambierebbe la pensione percepita dal Sig. A se nell ambito del sistema a ripartizione venisse applicato il metodo di calcolo contributivo? Rispondete utilizzando un aliquota contributiva del 30%, un tasso di rivalutazione dei contributi del 3%, una speranza di vita al momento del pensionamento pari a 3 anni e un tasso di sconto r z pari a zero. a) Con il metodo retributivo la pensione è pari ad una percentuale (uguale al coefficiente di rendimento) della retribuzione pensionabile moltiplicata per il numero di anni di contribuzione: P R p Nel caso in esame R p è la media delle retribuzioni percepite durante l intera vita lavorativa. Nell ipotesi che le retribuzioni crescano al tasso m e che siano rivalutate al tasso r, la retribuzione pensionabile si può esprimere in generale come: R p 1 j j R1 (1 m) (1 r) j 1 dove R 1 (1+m)=R 2, R 1 (1+m) 2 =R 3, R 1 (1+m) -1 =R. Date le retribuzioni ricevute dal sig. A nei due periodi di attività lavorativa, la retribuzione pensionabile sarà semplicemente: R1(1 r) R2 100(1 0.04) 110 Rp 107 2 2 a pensione sarà quindi: A P = 0.2 x 107 x 2 = 42.8 b) Con il metodo contributivo, si costituisce un montante contributivo attraverso la capitalizzazione, ad un tasso fissato convenzionalmente pari a r, dei contributi versati dal lavoratore. Ovvero: MC j 1 R ( j 1) ( j ) 1 (1 m ) (1 r ) dove è l aliquota contributiva, r il tasso di rivalutazione dei contributi, m è definito come sopra e R 1 (1+m)=R 2, R 1 (1+m) 2 =R 3, R 1 (1+m) -1 =R. a pensione annua si ottiene poi (nell ipotesi di tasso di sconto pari a zero) dividendo il montante contributivo per la speranza di vita al momento del pensionamento, cioè: MC P e() 11
Nel caso in esame, applicando un aliquota contributiva pari al 30% e un tasso di rivalutazione dei contributi r pari al 3%, il montante contributivo è: MC R1 ( 1 r ) R2 0.3 100 (1 0.03) 0.3 110 63.9 Data e()=3, la pensione è quindi pari a: A 63.9 P 21.3 3 Esercizio 12 - Pensioni Si consideri un paese in cui esiste un sistema pensionistico a ripartizione. In questo paese, il salario medio pro-capite dei lavoratori attivi è w=100; la pensione media pro-capite costituisce l'80% del salario medio pro-capite. a) Sapendo che nel paese ci sono 5000 pensionati e 10000 lavoratori, si calcoli l'aliquota contributiva di equilibrio del sistema. b) Si immagini che nel paese arrivino 1000 giovani immigrati, che lavorano percependo un salario di w=100 e pagano contributi (i pensionati continuano ad essere 5000 ed il rapporto tra la pensione media pro-capite e il salario medio pro-capite è l 80%). Qual è la nuova aliquota contributiva di equilibrio? c) Se volessimo mantenere la stessa aliquota contributiva calcolata nel primo punto anche dopo l'arrivo dei 1000 immigrati, a quanto ammonterebbe il rapporto tra la pensione media pro-capite e il salario medio pro-capite? equilibrio finanziario del sistema pensionistico (a ripartizione) richiede che: x w x N = P x N P. Con w = 100, P = 0.8 x w = 80, avremo: a) = (P x N P ) / (w x N ) = (80 x 5000) / (100 x 10000) = 0.4. b) N = 10000+1000 = 11000 = (P x N P ) / (w x N ) = (80 x 5000) / (100 x 11000) = 0,364. aliquota contributiva diminuisce, perché aumenta il numero dei lavoratori che pagano contributi a parità di numero di pensionati e di rapporto tra pensione media pro-capite e salario medio pro-capite. c) P / w = ( x N ) / N P = (0.4 x 11000)/ 5000 = 0.88 Il rapporto tra pensione media pro-capite e salario medio pro-capite aumenta, perché aumenta il numero dei lavoratori che pagano contributi a parità di numero di pensionati e di aliquota contributiva. 12