MATEMATICA LEZIONE 9 ARGOMENTI POTENZE DI NUMERI RELATIVI (Prof. Daniele Baldissin) 1) Definizione di potenza di un numero relativo 2) Le proprietà delle potenze (un ripasso) Prendiamo un numero relativo che chiameremo a. Ora supponiamo che il numero n sia un numero intero positivo (esempio +1, +2, + 3, +4, ecc..). Chiameremo potenza n-essima (si legge ennesima) di a il prodotto di n fattori uguali ad a. Questa potenza si rappresenta col simbolo a n. Esso sta ad indicare che dobbiamo moltiplicare a per se stesso n volte. (+2) 3 = (+2) x (+2) x (+2) (-5) 4 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) (-3) 5 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3). Il numero a prende il nome di base, mentre n si dice esponente o grado della potenza. Per convenzione si ha che: a 1 = a mentre
a 0 = 1 a condizione che a sia diverso da zero, cioè avremmo 0 0 che non ha significato.. Infatti, se a fosse uguale a zero, Ricapitolando: a n a n a n a 1 NUMERO RELATIVO NUMERO INTERO POSITIVO potenza n-essima di a (si legge potenza ennesima di a) significa moltiplicare a per se stesso per n volte BASE ESPONENTE = a a 0 = 1 Vediamo ora come si esegue la potenza di un numero relativo, posto che n sia un numero intero positivo (delle potenze di numeri relativi con esponente negativo parleremo in seguito). La potenza del numero relativo a n si determina nel modo seguente: Cioè: il suo valore assoluto si ottiene moltiplicando il valore assoluto per se stesso per n volte. il suo segno sarà positivo se l'esponente è pari, mentre risulterà invariato rispetto al segno della base se l'esponente è dispari. a n a x a x a... (per n volte) valore assoluto (+2) 3 valore assoluto del risultato: 2 x 2 x 2 = 8 positivo se n è pari segno (+2) 2 valore assoluto del risultato: 2 x 2 = 4
segno: n = 2; pari; segno + (+2) 2 = +4 invariato se n è dispari (+2) 3 valore assoluto del risultato: 2 x 2 x 2 = 8 segno: n = 3; dispari; segno uguale a quello della base, cioè + (+2) 3 = +8 La potenza gode delle stesse proprietà delle potenza proprie dell'aritmetica. Le ricordiamo di seguito. Esse sono importanti perchè permettono di semplificare numerosi calcoli. PRIMA PROPRIETA Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla somma degli esponenti. a m a n = a m+n POSITIVI. - ponendo come condizione che m ed n siano NUMERI INTERI (-2) 2 (-2) 3 = (4) (-8) = 32. Come possiamo notare la base dei due fattori del prodotto è la stessa (-2).
Come possiamo osservare il risultato è uguale. SECONDA PROPRIETA Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla differenza degli esponenti. a m : a n = a m-n ponendo come condizione che m sia maggiore di n (si scrive m > n). (3) 4 : (3) 3 = 81 : 27 = 3. Come possiamo notare la base del dividendo e del divisore è la stessa (pari a 3).
Come possiamo osservare il risultato è uguale. TERZA PROPRIETA La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. (a m ) n = a mn - ponendo come condizione che m ed n siano NUMERI INTERI POSITIVI. (-3 2 ) 3 = (9) 3 = 729. Anche in questo caso il risultato è lo stesso. QUARTA PROPRIETA Il prodotto tra due o più potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
a m b m = (a b) m. (-3) 2 (+2) 2 = (+9) (+4) = +36. Anche in questo caso il risultato è lo stesso. QUINTA PROPRIETA Il quoziente tra due potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. a m : b m = (a : b) m. (-6) 2 : (+2) 2 = (+36) : (+4) = +9. Il risultato, come si può notare, è lo stesso.