Fonti e strumenti statistici per la comunicazione Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 018-019 Indici Medi Sintesi della distribuzione: gli indici medi Le distribuzioni delle variabili possono essere sintetizzate mediante un solo valore, calcolando un indice medio adeguato al tipo di variabile. Tipo di variabile Esempi Indici medi di sintesi Qualitativa sconnessa Qualitativa ordinale quantitativa -Sesso -Nazionalità -Professione -Titolo studio -Frequenza dell acquisto -Età -n. prodotti acquistati -spese effettuate Moda Moda Mediana Moda Mediana Media aritmetica 1
Le medie La media deve essere un valore omogeneo con i dati osservati compreso tra le modalità della distribuzione, tra le modalità minima e massima se si è in presenza di una mutabile ordinale o di una variabile secondo il principio di Cauchy Si distinguono: medie di posizione medie analitiche Medie di Posizione Moda e Mediana Si possono calcolare sia per caratteri qualitativi che quantitativi Modalità che occupano particolari posizioni all interno della distribuzione del carattere
Moda Si può calcolare sia per caratteri qualitativi che quantitativi Modalità cui corrisponde la max frequenza (assoluta, relativa o percentuale) Può non essere unica Se il carattere è diviso in classi Classe modale: classe di modalità a cui corrisponde la max densità media di frequenza Pagina 5 Esempio: qual è la moda? Distribuzione dei laureati di SDC nell a.a. 003/004 per Corso di Laurea CDL n i STC 48 SCPO 71 La moda è SCPO COOP 6 Totale 15 Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell a.a. 001/00 secondo la Soddisfazione della Scelta Universitaria Soddisfazione n i f i p i Per nulla 4 0.014 1.4 Poco 34 0.10 1.0 Abbastanza 185 0.654 65.4 La moda è ABBASTANZA Pienamente 60 0.1 1. Totale 83 1.000 100.0 Pagina 6 3
Esempio: qual è la moda? Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell a.a. 001/00 per Num. Corsi Frequentati Num. Corsi Freq. n i 1 15 43 3 103 Num. Corsi Freq. n i 1 15 43 3 103 4 80 5 3 6 8 7 Totale 83 4 80 5 3 6 8 7 La moda è 3 Totale 83 Pagina 7 Esempio: distribuzione multimodale Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell a.a. 001/00 per Tipo di Maturità Tipo di Maturità n i f i p i Classica 1 0,300 30,0 Scientifica 1 0,300 30,0 Tecnica 7 0,175 17,5 Altro 9 0,5,5 Totale 40 1.000 100.0 Tipo di Maturità n i f i p i Classica 1 0,300 30,0 Scientifica 1 0,300 30,0 Tecnica 7 0,175 17,5 Altro 9 0,5,5 Totale 40 1.000 100.0 La distribuzione è bimodale Le mode sono Classica e Scientifica Pagina 8 4
Esempio: classe modale Distribuzione degli studenti per voto di laurea. La classe modale è quella a cui corrisponde la max densità media di frequenza. Punteggio n j [87-98] 18 (98-10] 7 (10-105] 5 (105-109] 35 (109-111] 5 Qual è la classe modale? Voto Laurea n i [87-98] 18 (98-10] 7 (10-105] 5 (105-109] 35 (109-111] 5 a i 11 4 3 4 di=n i /a i 1,64 6,75 8,33 8,75 1,50 Totale 130 1-Ampiezza della classe: a i xi 1 xi - Densità media: ni di a i Totale 130 La classe modale è (109-111] Esercizio Qual è il valore modale del titolo di studio e della soddisfazione per la facilità di accesso al punto vendita? 5
La mediana Media di posizione calcolabile solo se il carattere è ordinabile. Valore della distribuzione che divide il collettivo in due parti uguali: costituiti rispettivamente da modalità inferiori e superiori alla mediana stessa La mediana rappresenta dunque quella modalità rispetto alla quale la metà delle unità statistiche osservate presenta una modalità inferiore o uguale e l'altra metà una modalità superiore o uguale. Mediana: esempio U.S. Alice Marco Elisa Lucia Fabio Modalità Basso Basso Medio Medio Alto Mediana modalità che bipartisce la graduatoria (crescente o decrescente) delle osservazioni Pagina 1 6
Calcolo della mediana per una variabile: 1 Collettivo di n=5 unità Variabile osservata X = Altezza 1. Ordino le unità secondo un ordine crescente di Altezza L. Bocci Calcolo della mediana per una variabile: Collettivo di n=5 unità Variabile osservata X = Altezza. Identifico l unità centrale nella serie ordinata dei dati L.Bocci 7
Calcolo della mediana per una variabile: 3 Me=155 cm 3. La mediana è il valore che la variabile Altezza assume sull unità che divide il collettivo in due parti numericamente uguali Pagina 15 Formalmente n dispari Me=x [(n+1)/] =x [(5+1)/] =x 3 Me N.B. Le misure di posizione sono VALORI assunti dalla variabile, NON FREQUENZE!! L.Bocci 8
Mediana: il calcolo 1) Ordinare in senso crescente (decrescente) le u.s. rispetto alle modalità su di esse osservate del carattere in esame ) Individuare l unità che occupa il posto centrale n dispari Il posto centrale è n pari n 1 Ci sono due posti centrali : n e n 1 Pagina 17 Mediana: il calcolo 3) Calcolare la Mediana: è la modalità presentata dall unità individuata al punto ) n dispari La mediana è la modalità dell u.s. che occupa il posto n 1 cioè Me= x n1 n pari La mediana è rappresentata dalla coppia di modalità delle u.s. che occupano i posti n/ e (n/)+1 cioè Me= x (n/) e Me=x (n/)+1 Se il carattere è quantitativo, la mediana è la semisomma delle modalità individuate cioè x n x n 1 Me Pagina 18 9
Esempio Distribuzione unitaria dei giudizi di 5 studenti Senza ordine U.S. Giudizio U1 Buono U Insuf. U3 Discreto U4 Suff. U5 Ottimo Ordine crescente Posto U.S. Giudizio 1 U Insuf. U4 Suff. 3 U3 Discreto 4 U1 Buono 5 U5 Ottimo n 5 n 1 3 x n 1 x 3 Discreto La mediana è Discreto Pagina 19 Esempio Distribuzione unitaria dei voti di 8 studenti Senza ordine U.S. Voto U1 U 30 U3 8 U4 18 U5 7 U6 0 U7 5 U8 8 Ordine crescente Posto U.S. Voto 1 U4 18 U6 0 3 U1 4 U7 5 5 U5 7 6 U3 8 7 U8 8 8 U 30 n n n 8 1 5 4 x n x 5 x 7 4 x Me x x n 1 Le mediane sono 5 e 7 n n 1 x4 5 x 5 5 7 6 Pagina 0 10
Mediana: come si calcola a partire da una distribuzione di frequenze Ordinare in senso crescente la distribuzione individuare la modalità a cui è associata una frequenza cumulata almeno pari alla semisomma del collettivo; oppure Individuare la modalità a cui è associata una frequenza cumulata almeno pari alla metà del collettivo, o una percentuale cumulata almeno pari al 50%. Giudizio dei clienti sul packaging del prodotto Frequenza Frequenza cumulata Percentuale cumulata per niente 30 30,5 gradito poco gradito 175 05 16,8 abbastanza 584 789 64,5 gradito molto gradito 434 13 100,0 Il collettivo è formato da 13 unità. L unità che occupa la posizione centrale è : (13+1)/=61 Le frequenze cumulate superano la semisomma del totale e le percentuale cumulate superano il 50% in corrispondenza della modalità abbastanza gradito che è pertanto la mediana della distribuzione. Totale 13 Esercizio: mediana Si supponga di aver rilevato su 114 giovani il numero di cocktails bevuti nell ultimo fine settimana. Qual è la mediana? Numero di cocktails Frequenza assoluta 7 18 8 15 9 10 7 11 41 1 11 Totale 114 Frequenza cumulata % cumulata 18 15,79 33 8,95 55 48,5 6 54,39 103 90,35 114 100,00 Il collettivo è costituito da n=114 i posti centrali sono 114/=57 e (114/ )+1 = 58 A entrambi è associata la stessa modalità che ha una % cumulata almeno pari al 50%. La mediana è 10 11
Proprietà della Mediana 1) E sempre compresa tra la modalità minima x 1 e la modalità massima x K del carattere ) E robusta cioè è poco sensibile ai cambiamenti che possono avvenire sulle modalità estreme della distribuzione del carattere Pagina 3 I quartili AA 018-019 1
Quartili Q 1 Me Q 3 Pagina 5 Esempio Distribuzione unitaria degli affitti settimanali in euro pagati da 19 studenti Senza ordine U.S. Affitto U1 40 U 43 U3 35 U4 33 U5 45 U6 40 U7 36 U8 36 U9 4 U10 38 U11 48 U1 51 U13 39 U14 4 U15 46 U16 59 U17 53 U18 55 U19 4 Ordine crescente Posto U.S. Affitto 1 U4 33 U3 35 3 U7 36 4 U8 36 5 U10 38 6 U13 39 7 U1 40 8 U6 40 9 U9 4 10 U14 4 11 U19 4 1 U 43 13 U5 45 14 U15 46 15 U11 48 16 U1 51 17 U17 53 18 U18 55 19 U16 59 Affitto 33 35 36 36 38 39 40 40 4 4 4 43 45 46 48 51 53 55 59 Primo Quartile è 38 La mediana è 4 Terzo Quartile è 48 Pagina 6 13
Esempio: mediana e quartili Calcolo di mediana e quartili MEDIANA n 19 n 1 19 1 0 10 Me x x n 1 10 4 QUARTILI n 19 4.75 5 4 4 Q 1 xn x5 4 3 n 35 15 4 38 Q 3 x n x15 3 4 48 Pagina 7 Quartili da una distribuzione di frequenze: esempio Possiamo affermare che il 5% degli utenti che hanno risposto alla domanda, hanno espresso una valutazione inferiore o pari a 5, il 50% inferiore o pari a 6; il l 75%, inferiore o pari a 7 1 quartile mediana 3 quartile 14
punti vendita. Esercizio Nella tabella seguente è presentata la distribuzione del Nella tabella seguente è presentatala distribuzione della variabile numero direclami rilevato su numero di addetti rilevata sui 115 radio locali. Calcolare i quartili della distribuzione e interpretare i risultati. punti vendita. Esercizio: soluzione Per individuare i quartili possiamo calcolare e frequenze cumulate e/o le percentuali cumulate. Nella tabella seguente è presentatala distribuzione della variabile numero direclami rilevato su Numeri addetti ni Ni Pi 10 18 18 15,65 1 15 33 8,70 14 5 58 50,43 16 10 68 59,13 18 9 97 84,35 0 18 115 100,00 Totale 115 Se osserviamo le frequenze cumulate cosa possiamo dire? Se osserviamo le percentuali cumulate possiamo individuare : I quartile: la modalità 1 che è stata rilevata in almeno il 5% dei casi ; II quartile o mediana : la modalità 14 che è stata rilevata in almeno il 50% dei casi III quartile : la modalità 18 che è stata rilevata in almeno il 75% dei casi 15
La media aritmetica E una media analitica E pari alla somma di tutti i valori di un carattere quantitativo divisa per il numero delle unità statistiche su cui tali valori sono stati rilevati Cognome Punteggio M = (98,7+99,9+80,+90+96,5)/5=93,06 Bianchi 98,7 Dandini 99,9 Moreno 80, Rossi 90,0 Valeri 96,5 Osservazioni: La media aritmetica realizza l equipartizione della variabile tra le unità della popolazione Risente fortemente dei valori estremi Media aritmetica: il calcolo da una distribuzione unitaria Nel caso di una distribuzione unitaria semplice del carattere X x 1, x,, x j, x n M x x 1 x 3 xi x n n n i1 n x i Cliente Gradimento 1 98 100 3 70 4 7 5 70 6 100 7 85 8 65 9 60 10 88 n 10 98 100 70 7 70 100 85 65 60 88 808 M 80.8 10 10 a.a 018-019 16
Media aritmetica: calcolo da una distribuzione di frequenza M k 1 i x i n n i k= numero di modalità n= numero delle u.s. MEDIA ARITMETICA PONDERATA Num. Richieste Freq (ni ) (xi) 1 15 43 3 103 4 80 5 3 6 8 7 Totale 83 Consideriamo la distribuzione di frequenza degli studenti di un ateneo per numero di esami superati in un semestre k 7 n 83 (115) (43) (3103) (480) (53) (68) (7 ) 95 M 3.36 83 83 a.a 018-019 Esercizio : media aritmetica a partire da una distribuzione di frequenze Data la seguente distribuzione di frequenza calcolare la media aritmetica del numero degli addetti delle radio locali. Radio locali per numero di addetti Numeri addetti ni 10 18 1 15 14 5 16 10 18 9 0 18 Totale 115 17