4 CAMPI VARIABILI NEL TEMPO - EQUAZIONI DI MAXWELL

4 CAMPI VARIABILI NEL TEMPO - EQUAZIONI DI MAXWELL 1

modello Campi stazionari equazione costitutiva H J CAMPO ELETTROSTATICO E 0 D D E E 0 J 0 CAMPO DI CORRENTE STAZIONARIO CAMPO MAGNETOSTATICO B 0 E J J E B H E 0 E è conservativo H J H non è conservativo J 0 e B 0 J e B sono solenoidali D ρ D non è solenoidale

ҧ Campi stazionari In condizioni statiche le grandezze del modello elettrostatico തE e ഥD non sono legate alle grandezze del modello magnetostatico തB e ഥH e alle grandezze തE e Jҧ del modello del campo di corrente stazionario. In un mezzo conduttore, possono coesistere un campo elettrico e un campo magnetico, che insieme costituiscono un campo elettromagnetico. Il campo elettrico statico തE causa un flusso costante di correnti di conduzione di densità J, questo genera a sua volta un campo magnetico statico ഥH. Se il campo magnetico non varia nel tempo allora non ci sono f.e.m indotte e il campo ഥH non interferisce con il campo elettrico. In queste condizioni il campo തE è indipendente dal campo magnetico statico generato. Gli effetti cambiano se il campo elettrico non è statico o se il circuito è in movimento. Per comprendere questi effetti si intende studiare come una variazione di campo elettrico generi una variazione di campo magnetico e viceversa. 3

Campi non stazionari Per comprendere i fenomeni elettromagnetici in regime tempovariante, è necessario introdurre un modello elettromagnetico nel quale le grandezze relative al modello elettrostatico, തE e ഥD, e quelle relative al modello magnetostatico, തB e ഥH, e quelle del campo elettrico, തE e J, ҧ siano propriamente correlate. Legge di Faraday dell induzione elettromagnetica Michael Faraday nel 1831, scoprì sperimentalmente che in una spira conduttrice viene indotta una forza elettromotrice (f.e.m.) quando varia il flusso magnetico concatenato con la spira. La relazione quantitativa tra la f.e.m. indotta e la velocità di variazione del flusso concatenato, basata su dati empirici, è nota come legge di Faraday e costituisce un postulato fondamentale. 4

Legge di Faraday L intensità del campo elettrico തE in una regione dove la densità del flusso magnetico തB varia con il tempo non è conservativa e non può essere espressa con il gradiente di un potenziale scalare, ma è valida la legge di Faraday in forma differenziale: B E 0 E V E t Facendo l integrale superficiale su una superficie aperta S delimitata da un contorno C e applicando il Teorema di Stokes, si ottiene la legge di Faraday in forma integrale: Se il campo magnetico è stazionario: C B E dl d s t S B 0 E 0 t 5

ҧ Legge di Faraday La variazione della induzione തB può essere dovuta a: una variazione nel tempo delle correnti che generano il campo uno spostamento del conduttore nel campo magnetico. Per determinare l espressione generale della legge di Faraday, indicando con v la velocità di spostamento del conduttore si esamineranno i seguenti tre casi: 1. circuito fisso ( v ҧ = 0)in un campo magnetico variabile nel tempo: തB 0. circuito in movimento ( vҧ 0) in un campo magnetico statico തB = 0 3. circuito in movimento ( vҧ 0) in un campo magnetico variabile nel tempo തB 0 (sovrapposizione degli effetti dei casi 1 e ). 6

1) Per un circuito fisso con contorno C, che delimita una superficie S, e campo magnetico non stazionario ഥB 0 Il primo membro definisce la f.e.m. indotta e nel circuito: Il secondo membro è il flusso magnetico concatenato con il circuito si ottiene che : Legge di Faraday C E e dl C S B d s d dt E dl d e dt S V B d s [V] Wb 7

La legge di Faraday è diventata: Legge di Faraday e d dt Essa stabilisce che: la forza elettromotrice indotta e in un circuito chiuso stazionario è uguale alla velocità di incremento (o decremento) del flusso magnetico che concatena il circuito, cambiata di segno, perché è tale da opporsi alla causa che l ha generata. Ossia, il segno negativo sottolinea che la f.e.m. indotta e causerà una corrente in un circuito chiuso che sarà percorso in direzione tale da opporsi alla direzione del flusso magnetico concatenato. Questa asserzione è nota come legge di Lenz. Su tale fenomeno è basato il funzionamento della mutua induttanza e quindi del trasformatore. V 8

) circuito in movimento ( vҧ 0) in un campo magnetico statico തB = 0 Quando un conduttore si muove con velocità vҧ in un campo magnetico statico, una forza magnetica തF m causerà il libero movimento degli elettroni nel conduttore che verranno trascinati verso una estremità del conduttore, lasciando l altra estremità carica positivamente. Questa separazione delle cariche positive e negative crea una forza Coulombiana di attrazione തF e tra le cariche di segno diverso... dl.. B. F e F e --. F m.. F m. v... ++.. Legge di Faraday Il processo di separazione delle cariche continua sino a quando le forze elettriche തF e e le forze magnetiche തF m si bilanciano l una con l altra e si raggiunge, in un tempo molto breve, uno stato di equilibrio. 9

Legge di Faraday Per un osservatore in movimento con il conduttore non si ha un movimento apparente, e il campo elettrico indotto dalla forza magnetica può essere interpretato, per analogia con i campi elettrostatici, come un campo elettrico agente lungo il conduttore che produce una tensione: F m V1 dl v B dl q 1 1 In generale in un circuito chiuso con contorno C, la f.e.m. generata è: V ' v Bdl V C Notare che, solo la parte del circuito che si muove in direzione non parallela al campo magnetico contribuisce alla f.e.m. V. 10

Legge di Faraday 3) circuito in movimento ( vҧ 0) in un campo magnetico variabile nel tempo തB 0 Quando una carica q si muove con velocità vҧ in una regione dove esistono sia un campo elettrico തE e un campo magnetico തB, la forza elettromagnetica തF su q, come risulta da misure effettuate in laboratorio, è data dalla forza di Lorenz: F F e F m q( E u B) qe ' Per un osservatore che si muove con la carica q, non c è alcun movimento apparente e la forza sulla carica q può essere interpretata come dovuta a un campo elettrico equivalente ഥ E : E ' E u B 11

Legge di Faraday Se un circuito con un contorno C, che delimita una superficie S, si muove con una velocità തu in un campo, si ottiene la relazione, valida per un circuito in movimento in un campo magnetico che varia nel tempo, che rappresenta la forma generale della legge di Faraday : B E ' dl d s v Bdl V t C S C C E' dl f.e.m. indotta nel conduttore in movimento in un campo di induzione തB non stazionario. B d s t C S vb dl f.e.m. indotta dovuta alla variazione della induzione തB nel tempo. f.e.m. mozionale dovuta al movimento del circuito 1 all interno di un campo di induzione തB.

Oltre alle considerazioni fatte sulle interazioni dei campi elettrici e magnetici, in condizioni non stazionarie, la legge di Ampere valida per modello magnetostatico ഥH = Jҧ deve essere modificato per tener conto delle condizioni di campo elettrico variabile. Infatti in campi non stazionari la densità di carica varia nel tempo, e occorre tenere presente per il principio di conservazione della carica: A J 3 t m Perciò nel caso non stazionario Jҧ 0. Calcolando la divergenza del primo e del secondo membro della relazione ഥH = J, ҧ la II identità nulla non è più verificata, infatti: ma Legge di Ampere per la II identità nulla: H 0 H J con J 0 13

Quando la densità di carica varia nel tempo, per rendere coerente la relazione H : 0 Legge di Ampere essendo: J =0 t l equazione adattata e valida quando le grandezze di campo variano nel tempo diventa: H J t Poiché ഥD = ρ, D H J H J t D t 14

Per essere coerenti con l equazione di continuità e le condizioni di funzionamento nel caso di E e H variabili nel tempo, entrambe le equazioni rotoriche valide per l elettrostatica e per la magnetostatica sono state opportunamente generalizzate: E Leggi di Maxwell 0 E D H J H J t Con le due equazioni generalizzate, si hanno complessivamente quattro equazioni differenziali coerenti, note come equazioni di Maxwell che possono essere espresse anche in forma integrale, applicando il teoremi di Stokes e della divergenza. Quando le grandezze di campo non variano nel tempo, le relazioni si riducono a quelle valide per i modelli elettrostatici ed 15 magnetostatici. B t

Leggi di Maxwell Il modello matematico per la risoluzione dei campi può essere descritto mediante le seguenti Equazioni di Maxwel forma differenziale E δ B δ t Legge di Faraday C forma integrale E dl S db ds d t H J δ D δ t Legge di Ampere H dl J D t C S ds D Legge di Gauss S Dds V ρ dv B 0 Legge di Gauss S B d s 0 16

ҧ Funzioni potenziale Il concetto di potenziale vettore magnetico é stato introdotto sulla base della solenoidalità del vettore തB: T B 0 B A nella forma differenziale, in base alla legge di Faraday: B E A A t E E t t B A 0 si ottiene una relazione tra il campo elettrico തE e il vettore potenziale A in forma compatta. Poiché la somma delle due quantità vettoriali tra parentesi risulta irrotazionale essa può essere espressa come il gradiente di un potenziale scalare, ossia: A E t V 17

ҧ Funzioni potenziale Quindi nel caso più generale di campi variabili con il tempo, il campo elettrico തE è funzione potenziale elettrico scalare V e del potenziale magnetico vettoriale A: A V E V t m dipende: dalle concentrazioni di carica attraverso il termine ഥ V dai campi magnetici tempo-variabili attraverso il termine A t Se ci mettiamo in condizioni statiche, ritroviamo: B t 0 A t 0 E -V V m 18

ҧ In condizioni di quasi stazionarietà e Jҧ è possibile utilizzare le formule valide per le condizioni di funzionamento statiche per determinare V e A ottenibili dalle equazioni di Poisson: ρ 1 ρ V V dv' ε 4πε R A μ che sostituite nella relazione: Funzioni potenziale 0 J E consentono di risolvere i campi in condizioni quasi statiche. Per ottenere invece un modello esaustivo dei campi elettromagnetici variabili nel tempo non possono essere trascurati gli effetti di ritardo temporale dovuti alla velocità di propagazione finita. 19 A V μ0 4π V' A t 0 V' J R dv' V m

Per la legge di Ampere o per la II equazione di Maxwell: e per le relazioni costitutive: si può scrivere: essendo: B A Funzioni potenziale B μ H J e H E E ε t J B μ V δ D δ t e A t D εe A μj με t V A t 0

ҧ Funzione potenziale Ma il rotore del rotore di un vettore può essere espresso come: A A A per cui: A A A με t A μj με A μj A μj με V t t V A με t t A με V t o Poiché la definizione di un vettore richiede la specificazione sia del rotore che della divergenza, essendo il rotore di Aҧ già definito dall equazione തB = ഥ A, possiamo scegliere opportunamente il valore della sua divergenza. 1

ҧ ҧ ҧ Equazione d onda per il potenziale vettore magnetico Assumendo: A με V t La divergenza di A è definita con la condizione di Lorentz per i potenziali (coerente con ഥ A =0 per i campi statici ), da cui si ottiene l equazione dell onda non omogenea per il potenziale vettore A: A V A με μj A με t t A A με μj t Si chiama equazione d onda perché le sue soluzioni sono onde che viaggiano ad una velocità pari u= 1 /

Equazione d onda per il potenziale scalare elettrico L equazione d onda non omogenea corrispondente per il potenziale scalare V può essere ottenuta dalla relazione: E V A t e dalla equazione di Maxwell ഥ ഥD = ρ, essendo ഥD = ε തE si ottiene: A D εe ε -V- = V A t t Per ottenere una relazione espressa in funzione della sola grandezza V, si utilizza la condizione di Lorentz: A με l equazione d onda non omogenea per il potenziale scalare V V V με t V t 3

Nel caso di campi statici e quasi statici: A V 0 e 0 t t le Equazioni d onda non omogenee per campi variabili nel tempo si riducono alle Equazioni di Poisson. Infatti: Equazioni d onda non omogenee Equazioni di Poisson e soluzioni A A με μj t V V με t dove: V potenziale elettrico scalare A Equazione d onda per il potenziale scalare elettrico potenziale magnetico vettoriale. μ0 J A μ0 J A dv' 4π R V' ρ 1 ρ V V dv' ε 4πε R 0 V' 4

Condizioni al contorno Per risolvere problemi elettromagnetici che interessano regioni con parametri costitutivi, e diversi, é necessario conoscere le condizioni al contorno che le grandezze E, D, B e H devono soddisfare nelle interfacce. a n D C an A B w mezzo 1 mezzo a n1 Le condizioni al contorno si ottengono applicando le equazioni di Maxwell nella forma integrale in una piccola regione nella interfaccia tra i due mezzi 1 e, analogamente a quanto fatto per i 5 campi statici.

Le condizioni di continuità al contorno per le componenti tangenziali e normali di തE e ഥH, si ottengono dalle equazioni rotoriche di Maxwell espresse in forma integrale: S δ B E δ t db E ds ds d t C E dl E Condizioni al contorno S E d dt 1t t Le equazioni sono analoghe a quelle trovate per i campi elettrostatici e magnetostatici in quanto il contributo della integrazione dei termini തB e ഥD risulta trascurabile. t t 6 S C δ D H J δ t D H d s J d s t S D H dl J d s t S a H H J n 1 S

Condizioni al contorno Analogamente le condizioni al contorno per le componenti tangenziali e normali di ഥD e തB, si ottengono dalle equazioni di Maxwell nelle quali compare l operatore divergenza in forma integrale : V D dv S D d s V V ρ dv ρ dv V S B dv 0 B d s 0 an D1 D ρs B B 1n n Le equazioni sono analoghe a quelle trovate per i campi elettrostatici e magnetostatici, perché ricavate dalla stesse equazioni della divergenza i Maxwell. 7

Per le condizioni al contorno in un campo elettromagnetico valgono le seguenti condizioni generali: la componente tangenziale di un campo തE è continua attraverso l interfaccia: la componente tangenziale di un campo ഥH è discontinua attraverso l interfaccia dove è presente una corrente superficiale, e la variazione è determinabile con l equazione: a Condizioni al contorno H H J J a H H 1 S se 0 n 1 n S 0 La componente normale del campo ഥD é discontinua attraverso una interfaccia dove esiste una carica superficiale e la discontinuità è determinabile con l equazione: 1 S S n 1 an D D ρ ρ a D D E 1t Et se 0 0 la componente normale del campo തB é continua attraverso l interfaccia: B1n Bn 8

9 Un mezzo lineare privo di perdite può essere specificato dalla permettività la permeabilità, ponendo = 0. Generalmente non ci sono ne cariche libere, ne correnti di conduzione nella interfaccia tra i due mezzi privi di perdite. Nelle equazioni generali che esprimono le condizioni al contorno si pone: ottenendo le condizioni al contorno tra due mezzi privi di perdite. 0 0 S ρ e J n n n n n n n n t t t t t t t t H μ H μ B B E ε E ε D D μ μ B B H H ε ε D D E E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Interfaccia tra due mezzi lineari privi di perdite

Campo elettrico e magnetico all interno E di un conduttore All interno del conduttore il campo elettrico തE é nullo, e le cariche presenti si distribuiscono solo sulla superficie. Le interrelazioni tra ( തE, ഥD) e ( തB, ഥH) attraverso le equazioni di Maxwell comportano che anche ഥB e ഥH siano nulli all interno del conduttore in condizioni di funzionamento tempo variante. Se si considera una interfaccia tra un dielettrico privo di perdite (mezzo 1) e un perfetto conduttore (mezzo ), per il mezzo conduttore si può subito scrivere: E 0, D 0, B 0, H 0 30

Interfaccia tra un dielettrico e un conduttore perfetto Supponendo il mezzo 1 dielettrico e il mezzo conduttore perfetto, le equazioni generali per una interfaccia diventano: E 1t E t essendo E t 0 E 1t 0 1 t n 1 a n H H J essendo H 0 a H J a n a n D 1 D E 1 1 ρs ρ S essendo D n 0 a n D 1 ρ S B1n Bn essendo Bn 0 B1n 0 31

Interfaccia tra un dielettrico e un conduttore perfetto Nella interfaccia tra un dielettrico 1 privo di perdite e un perfetto conduttore, le condizioni al contorno diventano: dielettrico E a a B 1t n n 1n 0 H D 1 0 1 J ρ S S conduttore perfetto E H D B t t n n 0 0 0 0 il versore normale a n é uscente dal mezzo. തE é normale e uscente dalla superficie del conduttore, se la superficie è caricata positivamente തE é normale e entrante nella superficie del conduttore, se la superficie é caricata negativamente. 3

Interfaccia tra un dielettrico e un conduttore perfetto Inoltre dalle precedenti relazioni: e a H J H sen J H J n 1 S 1 1 S 1t S a D ρ D cos ρ D ρ n 1 S 1 1 S 1n S si può dedurre che: H H J e E E 1 1t S 1 1n ρ ε S 1 Le correnti nei mezzi con conducibilità finita sono espresse in termini di densità di corrente volumica, e le densità di corrente superficiali, definite come correnti che fluiscono attraverso uno spessore infinitesimale, sono nulle. Ciò consente di ritenere che la componente tangenziale di ഥH sia continua attraverso l interfaccia con un conduttore avente conducibilità finita. 33

Soluzioni delle equazioni d onda per i potenziali Per ricavare le soluzioni delle equazioni d onda non omogenee si seguono i seguenti passi: 1. Si considera da prima il caso più semplice di un campo elettromagnetico generato da una carica elementare puntiforme q=(t) v al tempo t. si estende il procedimento al caso più generale di una distribuzione di cariche qualsiasi, sommando gli effetti di tutte le cariche elementari in una regione data. 3. Infine si esamina il caso di una distribuzione continua di cariche e si procede analogamente a quanto già fatto per le condizioni statiche, sostituendo all operatore sommatoria l operatore integrale. 34

Soluzioni delle equazioni d onda per il potenziale scalare Per determinare la soluzione della equazione non omogenea per il potenziale scalare: z P(R,t) V V με t x ρ(t) si consideri da prima la soluzione per il caso di una carica elementare puntiforme al tempo t, q=(t) v localizzata nell origine degli assi. In questo caso é conveniente considerare le coordinate sferiche, cosicché il potenziale V(R,t) in un punto P dipende dalla sola coordinata R, distanza del punto dalla carica ρ(t), e dal tempo t. R dv y 35

Soluzioni delle equazioni d onda per il potenziale scalare V V με t In coordinate sferiche: 1 V V R με 0 R R R t V V R R t R με R 0 La funzione potenziale V(R,t) soddisfa l equazione omogenea per tutti i punti, fatta eccezione per l origine dove è localizzata la carica elementare (per R=0 l equazione omogenea non è valida). Se si introduce una nuova variabile U(R,t) legata a V dalla relazione: 1 U U V(R, t) UR, t με 0 R R t si ottiene l equazione d onda omogenea unidimensionale in una forma più semplice. 36

Soluzioni delle equazioni d onda per il potenziale scalare Si può dimostrare per sostituzione diretta che ogni funzione f: f U R t R με o f t R με due volte differenziabile, é una soluzione della equazione d onda omogenea unidimensionale, quindi U si può esprimere come : U(R,t) U με t f(t με ) La funzione di (t+r/u) non può essere una soluzione fisica, ma solo una soluzione matematica perché é impossibile che l effetto della densità di carica sia sentito in un punto distante dalla sorgente prima che la sorgente abbia iniziato a trasmettere o abbia iniziato a variare nel tempo (non causalità). R 0 37

Soluzioni delle equazioni d onda per il potenziale scalare U(R,t) f(t R με ) rappresenta un onda che viaggia in direzione radiale R con velocità di propagazione u = 1Τ με. Il tempo di trasmissione t dell onda, dalla posizione della sorgente nell origine degli assi al punto P distante R, è t=r/u=r με. La funzione nel punto P distante R+R e nel tempo t+ t sarà: U(R ΔR, t Δt) f t Δt R ΔR με f t ΔR με R ΔR με f t R με U(R, t) Quindi la funzione, traslando nello spazio e al variare del tempo, conserva comunque la sua forma e si può quindi scrivere: 1 1 V(R,t) U / R R R, t f(t R u) x ρ(t) z dv R P ΔR y 38 P

Soluzioni delle equazioni d onda per il potenziale scalare In condizioni statiche, il potenziale V dovuto a una carica statica puntiforme q= v disposta nell origine, è pari a: ρδv' ΔV R 4πεR Per i campi variabili nel tempo si adatta questo modello matematico tenendo conto del ritardo R/u con cui si sente l effetto della densità di carica alla distanza R, in modo che sia soddisfatta anche l espressione: 1 V(R,t) f(t R/u) R Per cui: ΔV 1 ρ t R/u R 4πεR R,t Δf t R/u Δv' 39

Soluzioni delle equazioni d onda per il potenziale scalare In base a tale relazione si ottiene il potenziale V dovuto a una distribuzione di carica in un volume V, che tenga conto del tempo di propagazione : 1 ρ t R / u V R, t dv ' 4πε R V ' Questa equazione é chiamata equazione del potenziale scalare ritardato, essache il potenziale scalare V(R,t) in un punto P alla distanza R dalla sorgente e al tempo t, dipende dal valore che la densità di carica ha assunto all istante precedente (t-r/u), ossia é richiesto un tempo R/u perché l effetto della densità di carica sia sentito alla distanza R. 40

Soluzioni delle equazioni d onda del poten Analogamente si deduce la soluzione della equazione dell onda non omogenea per il potenziale magnetico vettoriale ഥA detta equazione del potenziale vettore ritardato: Per i campi statici o quasi statici velocità di trasmissione è infinita u= A R, t t μ J Wb dv' 4π R m V' Per i campi dinamici la velocità di trasmissione è finita u 1 με A R,t μ J t R/u Wb dv' 4π R m V' 41

ҧ Le grandezze del campo elettromagnetico തE e തB si ottengono differenziando le espressioni di A e di V e risultano anch esse funzione di (t-r/u) e quindi ritardate nel tempo. Nel modello dinamico : Soluzioni delle equazioni d onda E V(R,t) B A(R,t) A(R,t) t Il tempo di trasmissione delle onde elettromagnetiche non è trascurabile (Δt 0). La velocità di propagazione finita implica che gli effetti delle cariche e delle correnti variabili vengano sentite ritardo in punti distanti da queste. Nel modello approssimato quasi statico: si trascura l effetto del ritardo temporale (velocità di trasmissione u = ) e si assume una risposta istantanea (tempo di trasmissione Δt=0). Tale modello è assunto implicitamente nella trattazione dei 4 problemi circuitali.

Equazioni d onda in funzione delle grandezze di campo in una regione priva di sorgenti Se l onda si propaga in un mezzo non conduttore (con conducibilità γ=0 J=0) lineare, isotropo e omogeneo caratterizzato da e costanti le equazioni di Maxwell diventano: δ B δ H E B H E δ t δ t D E H J J 0 e D E H t t D 0 e D E E 0 B 0 B H H 0 43

Equazioni d onda in una regione priva di sorgenti Si ottiene un equazioni differenziali del primo ordine nella variabile തE calcolando il rotore delle equazione rotorica: Il primo membro: H E t 0 E E E E Il secondo membro: H E μ H μ t t t si ottiene: 1 u E t E 0 con u 1/ με 44

Equazioni d onda in una regione priva di sorgenti Si ottiene un equazioni differenziale del primo ordine nella variabile ഥH calcolando il rotore delle equazioni rotoriche: Il primo membro: E H t H H H H 0 Il secondo membro: E H E μ t t t si ottiene: 1 H H u t 0 con u 1/ με 45

Equazioni d onda in una regione priva di sorgenti Le equazioni così ottenute sono chiamate Equazioni d onda vettoriali omogenee: 1 E E u t 1 H H u t con In coordinate cartesiane ognuna equivale a tre equazioni d onda scalari unidimensionali, omogenee. Ciascuna componente delle due grandezze di campo di campo ( E x, E y, E z e H x, H y, H z ), deve soddisfare equazioni del tipo: U U 0 R t Le cui soluzioni sappiamo essere delle funzioni d onde. 0 0 u 1/ με 46

Equazioni d onda convenzionali in funzione delle grandezze di campo in assenza di sorgenti Le soluzioni dell equazioni d onda convenzionali in una regione priva di sorgenti descrivono come si propagano le grandezze di campo in mezzi non conduttori e privi di cariche libere sono le Equazioni delle le onde elettromagnetiche. Esse servono per determinare la distribuzione del campo in mezzi non conduttori, in funzione del tempo e dello spazio. In altri termini ci permettono studiare non solo come le onde magnetiche sono originate, ma come si propagano focalizzando questo ultimo aspetto. Queste equazioni si chiamano equazioni della diffusione essendo formalmente identiche alle equazioni utilizzate per risolvere problemi di diffusione del calore. 47