3 CAMPI MAGNETICI STATICI (o MAGNETOSTATICA)

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1 3 CAMPI MAGNETICI STATICI (o MAGNETOSTATICA) 1

2 Campo magnetico Un Campo Magnetico può essere generato: da un magnete permanente da correnti elettriche La limatura di ferro o piccoli pezzi di ferro sparsi su un foglio di carta possono essere usati per rilevare la presenza di effetti magnetici (ossia forze magnetiche) in prossimità di un magnete permanente, dove la limatura si distribuisce secondo linee che vanno da un polo all altro del magnete di un filo percorso da corrente elettrica, dove la limatura si dispone secondo linee concentriche circolari, perpendicolari alla direzione del conduttore. In entrambi i casi la distribuzione della limatura in presenza degli elementi che la generano, indica la presenza di un campo magnetico e indica la forma delle linee di flusso del campo magnetico, ossia le linee lungo le quali agiscono le forze del campo.

3 Magneti permanenti Un magnete permanente è un corpo che sottoposto agli effetti di un campo magnetico, è in grado di generare un campo magnetico proprio. Le linee di flusso magnetico seguono percorsi chiusi, da una estremità del magnete all altra estremità N S 3

4 Forza magnetica Sulla base di dati empirici si può affermare che ogni moto di cariche elettriche da luogo ad azioni magnetiche. Quando una carica elettrica q è in movimento in presenza di un campo magnetico, essa è sottoposta ad una forza, di natura diversa da quella del campo elettrico, detta forza magnetica: F m q v Dove തB, è chiamato vettore Induzione Magnetica തB o Densità di flusso magnetico. തF m è così caratterizzata: B Ampiezza: proporzionale a q, B e alla componente della velocita nella direzione normale a തB, nel punto in cui si trova la carica nell istante considerato Direzione: normale alla direzioni di vҧ e തB, nel punto in cui si trova la carica nell istante considerato Verso: definito dal prodotto vettoriale v ҧ തB 4

5 La forza elettromagnetica totale dovuta alla contemporanea presenza dei campi elettrostatico e magnetico, che agiscono su una carica q in movimento con velocità è vquindi: F F Fm q e Forza di Lorenz E v B [N] che è l espressione della forza di Lorentz, la sua validità è stata inequivocabilmente stabilita empiricamente. Analogamente a quanto fatto per il campo elettrico nell elettrostatica, per la definizione del vettore Induzione Magnetica തB è valida la seguente relazione : v B F q m 5

6 Per lo studio della magnetostatica nel vuoto è necessario considerare solo il vettore densità di flusso magnetico, i due postulati fondamentali della magnetostatica in forma differenziale sono: B 0 ҧ J è la densità di corrente Magnetostatica nel vuoto B o J μ 0 = 4π 10-7 [H/m] è la permeabilità magnetica del vuoto: Dal confronto tra le relazioni: B 0 E 0 si deduce come non ci sia alcuna grandezza magnetica analoga alla densità di carica elettrica. 6 B

7 Applicando il teorema della divergenza alla relazione si ottiene: Magnetostatica nel vuoto V B 0 BdV Bds 0 dove S è la superficie che delimita il volume arbitrario di integrazione. Bds 0 S Questa é la legge di Gauss ed esprime la legge di conservazione del flusso magnetico, perché essa afferma che il flusso totale uscente attraverso una superficie chiusa è nullo. Non esistono sorgenti di flusso magnetico, e le linee di flusso 7 magnetico si richiudono sempre su se stesse. S

8 Magneti permanenti La tradizionale definizione dei poli nord e sud in una barretta di materiale magnetico permanente non implica che esistano le cariche magnetica isolate. Infatti se il magnete viene tagliato in due parti compaiono in ciascun elemento un polo nord e un polo sud, ottenendo così due nuovi magneti più piccoli. Questo processo si potrebbe ripetere sino a che i magneti assumono dimensioni atomiche N N N S S N S N N S N S S S 8

9 Magneti permanenti La definizione di polo nord e sud è coerente con il fenomeno fisico, verificabile empiricamente, per il quale una barretta magnetica liberamente sospesa sotto l effetto del campo magnetico terrestre, tende a disporsi secondo la direzione nord sud. Precisamente il polo magnetico nord della barretta punta nella direzione del nord geografico. Polo Nord S Il polo magnetico terrestre nella regione artica (polo nord) deve essere un polo magnetico sud. Il polo magnetico terrestre nella zona antartica (polo sud) deve essere un polo magnetico nord. N S N Polo Sud 9

10 Legge di circuitazione di Ampere Integrando su una superficie aperta, entrambi i membri dell equazione B J e applicando il teorema di Stokes: Bd s μ o J d s S si ottiene la Legge della circuitazione di Ampere C B dl Dove il percorso C dell integrale lineare é il contorno che delimita la superficie S, e I è la corrente totale che fluisce attraverso la superficie delimitata da tale percorso. Il senso di percorrenza del contorno C e il flusso seguono la regola della mano destra. o μ o S I 10

11 ҧ ҧ Potenziale vettore magnetico Il postulato ഥ തB = 0 garantisce che തB sia solenoidale. Quindi per le proprietà dei vettori, തB può essere espresso come il rotore di un altro vettore di campo vettoriale, chiamato A, tale che: B A [T] infatti per la II identità nulla: div (rot (A)) ( A) 0 Il vettore vettoriale. ҧ A Wb m B=0 B A così definito è chiamato potenziale magnetico ҧ Quindi si può determinare il potenziale magnetico vettore A di una distribuzione di corrente e calcolare തB in funzione di A con l operatore differenziale (il rotore). 11

12 Potenziale vettore magnetico Questa procedura è del tutto simile a quella usata per introdurre del potenziale elettrico scalare V per il calcolo del campo elettrostatico തE con la relazione: E V Tuttavia, in questo vaso il potenziale Aҧ è un campo vettoriale e per definirlo bisogna specificare sia del rotore che la divergenza. Come scegliere la ഥA? L obbiettivo è arrivare a scrivere una espressione di A, ҧ che presenti analogie con l espressione scalare di Poisson valida per l elettrostatica, per la quale sono note le soluzioni analitiche. 1

13 ҧ ҧ ҧ Dalle relazioni: Potenziale vettore magnetico B μj o B A A e ricordando che il rotore del rotore di un vettore è: A A ( A) Questa espressione può essere usata per trovare la definizione del Laplaciano di A: A A In coordinate cartesiane è dimostrabile la validità della relazione: le componenti del laplaciano A di sono i laplaciani (divergenza del gradiente) delle componenti di A (ciò non è vero per gli altri sistemi di coordinate) A Ax ax Ay ay Az az μj o 13

14 ҧ Equazione di Poisson vettoriale e si ottiene l equazione di Poisson vettoriale, espressa con il potenziale vettore magnetico A : A μj A a A a A a J a J a J a x x y y z z x x y y z z Dalla quale è possibile scrivere tre equazioni scalari equivalenti per le quali è calcolabile la soluzione: Ciascuna di queste equazioni è matematicamente analoga alla equazione scalare di Poisson valida per l elettrostatica e analogamente risolvibile. o A A A x y z μ μ μ o o o J J J x y z 14

15 Equazione di Poisson Nel modello elettrostatico nel vuoto: l equazione di Poisson ha la soluzione particolare: V ρ ε 0 Si avrà: A A A x y z V μ μ μ o o o J J J x 1 4 o V ' y z dv R ' μ J o x A x dv' 4π R v' μ J o y A y dv' 4π R v' μ J o z A z dv' 4π R v' 15

16 ҧ Combinando le tre componenti, si ha quindi l espressione della soluzione in forma vettoriale compatta: A A A x y z Equazione di Poisson μo 4π μo 4π μo 4π V' V' V' Jx R J y R Jz R dv' dv' dv' μo J Wb A dv' 4π R m tale equazione consente di determinare il potenziale magnetico vettore A dalla densità di corrente volumica J. ҧ Le equazioni di Poisson possono essere risolte anche con il metodo FEM imponendo che un funzionale sia minimo, in quanto la funzione da determinare soddisfa alle seguenti proprietà: nel volume o dominio V ol : div(k grad )= - k = - dove k e sono funzioni scalari generalmente continue assegnate in V ol ; V' 16

17 ҧ Potenziale vettore magnetico Quindi è possibile determinare le 3 soluzioni relative alle 3 componenti A x, A y e A y del potenziale vettore A a partire delle tre componenti del vettore densità volumica di corrente. La soluzione in forma vettoriale compatta è: μ J Wb 4π R m o A dv' v' Determinato A, ҧ la densità di flusso magnetico തB può essere ottenuta dalla relazione B A differenziando in maniera analoga a come fatto per ottenere il campo elettrostatico തE dalla relazione തE = ഥ V. 17

18 ҧ ҧ Potenziale vettore magnetico Il potenziale vettore Aҧ lega il flusso magnetico attraverso una superficie data S delimitata da un contorno C in modo semplice, infatti: Φ B d s poiché poiché തB = Φ B ds S ҧ A, applicando il teorema di Stokes, si ha: A ds A dl [Wb] S Questa espressione fornisce il significato fisico del vettore potenziale A. L integrale lineare di A lungo un qualsiasi percorso chiuso è uguale al flusso magnetico totale Φ che attraversa l area delimitata da tale percorso. Nel SI il flusso magnetico Φ si misura in Weber [Wb]=[T m ]. S C

19 La legge di Biot-Savart In molte applicazioni è richiesta la determinazione di തB dovuto a un circuito attraversato dalla corrente I. Nel caso semplice di un filo sottile con sezione trasversale S di area costante, volume dv =S dl, attraversato da una corrente I: dv S I dl Jdv' JS dl' I dl' A con J e dv' S dl' m m 3 19

20 L espressione del potenziale vettore dovuto alla densità di corrente Jҧ μo J Wb A dv' 4 R m V' Se la sezione del conduttore è costante, l integrale volumico si semplifica in una relazione funzione di I con un integrale lineare: A La legge di Biot-Savart 0 J Sdl ' 0I dl ' Wb 4 R 4 R m v' dove il simbolo di integrale circolare indica che la corrente fluisce in un circuito chiuso C di sezione costante S. la densità di flusso magnetico തB sarà dunque: C' B oi dl ' oi dl ' A 4 R 4 R C' C' 0

21 La legge di Biot-Savart L integrando può essere espanso in due termini usando la seguente identità: f G f G f si ha, ponendo f = 1/R e G = dl ; G B μo I 4π C' 1 R dl' 1 R dl' In questa espressione l operatore rotore comporta il calcolo delle derivate rispetto alle coordinate spaziali in un punto del campo, mentre l integrale è fatto rispetto alle coordinate della sorgente. Questo implica che le coordinate utilizzate per il calcolo del rotore e quelle dell integrale sono indipendenti. Perciò ഥ dl ҧ = 0 e il primo termine del secondo membro si annulla. 1

22 La legge di Biot-Savart La distanza R é misurata a partire da dl, quindi a partire da (x,y,z ) sino al punto del campo (x,y,z). Quindi si ha: 1 R 1 x x' y y' z z' R x R y R z R a x a y a z a x x x' a y y y' a z z z' R 1 a 3 3 R R R x x' y y' z z' dove തa R é il vettore unitario diretto dal punto sorgente al punto del campo.

23 La legge di Biot-Savart L espressione di തB può essere scritta: μ I 1 μ I a μ I dl ' ar B dl' dl' T 4π R 4π 4π o o R o R R C' C' C' questa relazione è nota come equazione di Biot-Savart. La formula della legge di Biot-Savart, consente di determinare തB in dovuto alla corrente I che circola nel circuito chiuso C, in un punto dello spazio vuoto a distanza R dal circuito. Il contributo db alla densità di flusso magnetico dovuta alla corrente elementare I dl sarà: μi o dl ' ar db T 4π R 3

24 La legge di Biot-Savart La legge di Biot-Savart viene dunque usata per determinare തB, integrando d തB su tutto il circuito C : B C' db La legge di Biot-Savart risulta analiticamente più complessa della legge della circuitazione di Ampere: C Bdl l applicazione della legge della circuitazione di Ampere è però limitata, perché utilizzabile solo quando è nota I e può essere definito un percorso chiuso lungo il quale l induzione തB ha ampiezza costante. μ o I 4

25 Magnetostatica nel vuoto I postulati fondamentali della magnetostatica nel vuoto sono: forma differenziale forma integrale B 0 S Bds 0 B o J C Bdl μi o 5

26 Dipolo Magnetico Per determinare il momento di un dipolo magnetico si determina la densità del flusso magnetico in un punto posto ad una certa distanza da una spira circolare elementare di raggio b, attraversata dalla corrente I, che costituisce un dipolo magnetico. B I b z R P(R,;/) R 1 Si vuole determinare തB in P, la cui distanza R dal centro della spira soddisfi la relazione R>>b. Si sceglie inoltre il centro della spira come origine del sistema di coordinate sferiche. x P dl y 6

27 Dipolo Magnetico Si determina da prima e quindi B A, dalla relazione: A A μ0 I dl' Wb 4π R m C' 1 dove R 1 indica la distanza tra la sorgente elementare dl in P e il punto P. Se assumiamo un sistema di coordinate sferiche, si dimostra che, : 0Ib A a sin 4R e dalla relazione: B A si ottiene: B 0Ib a R cos 3 4R a sin 7

28 Dipolo Magnetico nei punti distanti dai dipoli: le linee di flusso sono le stesse per campo elettrico e magnetico in prossimità dei dipoli: le linee di flusso del dipolo magnetico sono continue, mentre le linee di flusso del dipolo elettrico terminano sulle cariche, partendo dalla carica positiva verso la carica negativa. 8

29 Magnetizzazione Secondo il modello elementare atomico della materia, tutti i materiali sono composti di atomi, ciascuno con un nucleo carico positivamente e un numero di elettroni carichi negativamente che orbitano intorno al nucleo. Gli elettroni che orbitano, causano correnti di circolazione e formano microscopici dipoli magnetici. Inoltre, sia gli elettroni che i nuclei di un atomo ruotano intorno ai loro assi (spin) con determinati momenti di dipolo magnetici. Perciò si attribuiscono le proprietà macroscopiche di una barretta magnetica alle correnti atomiche di circolazione (correnti amperiane) causate da elettroni che orbitano e ruotano su se stessi (orbiting and spinning). 9

30 Magnetizzazione Il momento di un dipolo magnetico di un nucleo che ruota su se stesso (spinning) è generalmente trascurabile rispetto a quello di un elettrone che orbita o ruota su se stesso, perché il nucleo ha una massa maggiore e una velocità angolare minore. In assenza di un campo magnetico esterno i dipoli magnetici degli atomi della maggior parte dei materiali, (fatta eccezione per i magneti permanenti) presentano orientazioni casuali, con un momento magnetico netto risultante nullo. L applicazione di un campo magnetico esterno causa: 1. l allineamento dei momenti magnetici dovuto alla rotazione degli elettroni su se stessi. un momento magnetico indotto dovuto alla variazione del movimento orbitale. 30

31 Magnetizzazione Per determinare la variazione quantitativa della densità di flusso magnetico dovuta alla presenza di materiali magnetici, essendo: ഥm k momento del dipolo magnetico di un atomo: n V numero di atomi per unità di volume, si definisce vettore di magnetizzazione ഥM : m a n IS M lim Δ v0 n Δ v k1 m Δ v k A m ഥM è la densità volumica del momento del dipolo magnetico alla quale si può associare una densità di corrente volumica fittizia tale che: A J m M m 31

32 Potenziale vettore e magnetizzazione Valutiamo il contributo del momento magnetico ഥm del singolo dipolo al potenziale vettore: m a zi b a zi S a zm Am Di dimostra che il potenziale vettore dovuto al momento di magnetizzazione in un punto dello spazio libero a distanza R è: μ m ar 4πR 0 A Wb / m Si noti come il vettore potenziale potenziale scalare V ҧ A presenta una analogia con il 3

33 Potenziale vettore e magnetizzazione Il momento del dipolo magnetico dm di un volume elementare dv è: dm Mdv', che in accordo con la relazione: μ0 m a 4πR A da luogo ad un potenziale magnetico vettoriale: R 0 M a d A 4 R A m di dimostra che è possibile tradurre l effetto del vettore di magnetizzazione su A come dovuto a una equivalente densità di corrente volumica e a una densità di corrente superficiale definite rispettivamente: r dv' Wb / m A A ' m m J m M J ms M an 33

34 Densità di corrente di magnetizzazione della relazione: μ0 J Wb A dv' 4π R m V' Dove Aҧ è espresso in termini di densità volumica di corrente, suggerisce di scrivere: A V' d A μ0 4π V' J R Quindi la determinazione di Aҧ dovuto ad una assegnata densità di momento del dipolo magnetico ഥM si riduce alla determinazione delle correnti di magnetizzazione. m dv' μ0 4π S' J R Di seguito il vettore di densità di flussi magnetico തB determinato dalla relazione: B A ms ds' può essere 34

35 L equivalenza della densità volumica del momento del dipolo magnetico con la densità di corrente volumica e la densità di corrente superficiale può essere qualitativamente spiegata considerando una sezione di materiale magnetizzato. a n Densità di corrente di magnetizzazione M, uscente dal foglio a n ҧ Si assume che un campo magnetico esterno abbia causato l allineamento delle correnti di circolazione atomiche. La forza di questo effetto di magnetizzazione é misurata con il vettore ഥM. Sulla superficie del materiale ci sarà una densità di corrente J ms J ms M a n ' A m 35

36 ҧ ҧ Densità di corrente di magnetizzazione Se ഥM é uniforme all interno del materiale le correnti nei bipoli atomici adiacenti, che fluiscono in direzioni opposte, si annullano ovunque producendo delle correnti nette nulle all interno. Questo é insito nella equazione: A J m M m poiché le derivate spaziali di una costante ഥM sono nulle. Se ഥM varia nello spazio, le correnti atomiche interne non si annullano, dando luogo a una densità di corrente volumica netta J n ҧ. Sarebbe possibile giustificare le relazioni quantitative tra ഥM e le densità di corrente J m e J ms derivandole dalle correnti atomiche sulla superficie e all interno del materiale magnetico. 36

37 ҧ Poiché l applicazione di un campo magnetico esterno provoca: un allineamento dei momenti dei dipoli interni induce un momento magnetico in un materiale magnetico la densità del flusso magnetico risultante in presenza di un materiale magnetico sarà diversa da quella che il campo genera nel vuoto: B o L effetto macroscopico della magnetizzazione può essere studiato incorporando la sola densità di corrente equivalente volumica J m nella equazione rotorica di base valida per il vuoto, ottenendo: 1 o Campo magnetico J B o B H J con H M o B J J m J M o M J 37

38 Campo elettrostatico VS Campo magnetostatico Campo elettrostatico Campo magnetostatico P lim Δv0 nδ k1 p Δv k C m M lim Δ v0 nδ v k1 m Δ v k A m V 1 4π 0 P a R V ' R dv' V da μ 0 M a 4π R r dv' Wb m ε E P ρ o C m 3 B μ o M J A m D ε o E P C m H B μ 0 M A m 38

39 ҧ Campo magnetico Esaminando le relazioni precedenti si vede che quando il campo magnetico si sviluppa nella materia, le correnti di circolazione presenti nella materia interagiscono con il campo magnetico alterandone la distribuzione rispetto a quella che si avrebbe nel vuoto. Per poter tener conto di questo effetto si definisce la grandezza fondamentale intensità del campo magnetico ഥH che tiene conto della magnetizzazione del materiale: B A H M μ m 0 Attraverso semplici passaggi, l equazione rotorica nel vuoto, può essere scritta: A H J m Dove J é la densità volumica nel vuoto delle correnti di circolazione. 39

40 Campo magnetico M B/ 0 M M B/ 0 B M μ 0 M B/ 0 a) Campo magnetico preesistente B/μ 0 e campo magnetico prodotto dal corpo ferromagnetico con un Momento magnetico M b) Campo risultante deviato dal campo indotto con Momento magnetico M 40

41 Calcolando l integrale superficiale scalare di entrambi i membri della ഥ ഥH = Jҧ si ha: Applicando il teorema di Stoke: dove: Legge di circuitazione di Ampere H d s J d s I S C H dl C é il contorno che delimita la superficie S e I I é la corrente totale di circolazione che attraversa la superficie S. Le direzioni e i versi del contorno orientato C e del flusso della 41 corrente seguono la regola della mano destra. S S H ds H dl A c

42 Mezzi lineare e isotropi La legge della circuitazione è molto utile per la determinazione di campi magnetici dovuti alla corrente, quando esistono simmetrie cilindriche, cioè quando esiste un percorso chiuso intorno alla corrente I nel quale il campo magnetico è costante. Quando le proprietà magnetiche del mezzo sono lineari e isotrope il momento magnetico ഥM è direttamente proporzionale alla intensità del campo magnetico ഥH attraverso la relazione costitutiva: M m H Dove χ m é un quantità adimensionale chiamata suscettività magnetica. χ m è un parametro analogo alla suscettività elettrica χ e che ritroviamo nell equazione: P ε χ E 0 e 4

43 Nei materiali in cui è valida: Mezzi lineare e isotropi M m H Si ottiene: B H M B μ 1 χ H μ μ H μh μ 0 dove : μ 1 χ r m 0 m 0 r 1 H B μ μ μ μr permeabilità relativa del mezzo μ0 permeabilità del vuoto μ permeabilità assoluta del mezzo 0 A m Wb m 43

44 Campo elettrostatico VS Campo magnetostatico Si sono così trovate delle relazioni analoghe tra le grandezze elettrostatiche e quelle magnetostatiche, in base alle quali la maggior parte delle equazioni che legano le grandezze fondamentali in elettrostatica possono essere convertite nelle corrispondenti relazioni analoghe nella magnetostatica. Elettrostatica Magnetostatica E D P V B H 1/ M J A 44

45 Conduttore rettilineo indefinito Si consideri un conduttore omogeneo cilindrico rettilineo di grande lunghezza, percorso dalla corrente I. Con un flussometro é possibile calcolare in ogni punto della regione circostante il vettore തB. Se lo spazio circostante é omogeneo e isotropo il vettore induzione per r > r o (r o raggio del conduttore) ossia all esterno del conduttore, risulta: il modulo direttamente proporzionale ad I ed inversamente proporzionale alla distanza r del punto considerato dall asse del conduttore e dipendente dalla natura del mezzo la direzione normale al piano contente il conduttore e il punto considerato il verso definito dal senso di rotazione della vite destrogira, avanzante nel senso positivo della corrente. 45

46 Conduttore rettilineo indefinito Tali risultati sperimentali possono essere espressi analiticamente dalla seguente relazione: I r P B B μ I πr Nella formula l influenza della natura del mezzo é indicata dalla grandezza, ossia dalla permeabilità magnetica del mezzo. Il fattore 1/ é utilizzato per ottenere formule semplificate dette razionalizzate. Il campo magnetico in ogni punto sarà: H B in modulo H B I r 46

47 La relazione trovata: che esprime la legge di Biot e Savart, mostra che il campo magnetico non dipende dalla natura del mezzo quando questo è omogeneo ed isotropo in tutto lo spazio. Quindi nella regione dello spazio esterna al conduttore, per r > r o, H(r) ha l andamento di una iperbole equilatera. All interno del conduttore, nella ipotesi di densità di corrente uniforme (basse frequenze), in ogni sezione generica di raggio r < r o sarà: Conduttore rettilineo indefinito ro r H I r I I I I r J J J J I I r r r ; ro r ro r S r r S ro r o ro e il campo in un punto distante r sarà: Ir r I r H r o r 47

48 Conduttore rettilineo indefinito Quindi nella regione dello spazio interna al conduttore, per r < r o, H(r) ha l andamento di una retta. Nella regione interna al conduttore, per r < r o : nella regione esterna al conduttore, per r > r o : H I r H r o I H r r ro r 48

49 I postulati fondamentali della magnetostatica: forma differenziale forma integrale B 0 H J Magnetostatica Se il materiale e lineare ed isotropo: H legge di circuitazione di Ampere C S C B dl I A Bds 0 H dl I 1 A B μ m 49

50 Condizioni al contorno per i campi magnetostatici Se il vettore തB o ഥH attraversa una superficie di separazione di due mezzi quando nessuno dei due è un conduttore perfetto, si ha una rifrazione delle linee di campo: H 1 H1 1 B 0 H J Le relazioni tra le componenti tangenziali e normali del campo H si ottengono applicando alla I il Teorema della Divergenza alla II il Teorema di Stokes 50

51 Condizioni al contorno per i campi magnetostatici 1 B1 a n1 S h H 1 w a μ1 mezzo 1 a n B b c d h μ mezzo H B dv 0 B da 0 B 0 V S H J H da J d A H dl J d A A A C A 51

52 Da: Condizioni al contorno per i campi magnetostatici A BdA 0 dove V è il volume racchiuso dalla superficie A elementare disposta in corrispondenza della interfaccia dei due materiali. Trascurando i contributi sulla superficie laterale del cilindro elementare, si può facilmente dimostrare che: B 1n =B n [T] Da: H dl J d A C A se si calcola l integrale lineare lungo un percorso elementare chiuso a-b-c-d che passi per entrambi i mezzi e trascurando i contributi relativi ai tratti di percorso normali alla interfaccia, si ottiene: H t1 -H t =J n Dove J sn è la componente di J normale alla superficie di separazione. La normale è legata al verso di percorrenza di a-b-c-d dalla regola 5 della mano destra

53 Condizioni al contorno per i campi magnetostatici Quando la densità di corrente superficiale J n è uguale a zero e i due mezzi sono lineari ed isotropi, essendo B= H, troviamo che: H t1 =H t e B 1n = B n Quindi se la densità di corrente superficiale J s è uguale a zero, anche la componente tangenziale è continua. Dal B 1n = B n esprimendo B in funzione di H, si ottiene: Questo implica che: 1 H 1n = H n tan tan

54 Condizioni al contorno per i campi magnetostatici 1 H1 tan tan 1 1 Se la densità di corrente superficiale J sm è nulla, il campo attraversando una superficie di separazione tra due mezzi forma un angolo con la normale alla superficie, che diminuisce ( < 1 ) passando da un mezzo a permeabilità 1 ad un mezzo a permeabilità, ciò comporta che: < 1, ossia la direzione del campo in un punto di una interfaccia, tende ad avvicinarsi alla direzione della normale alla superficie in quel punto, passando in un mezzo a permeabilità più bassa. H 1 H 54

55 Condizioni al contorno per i campi magnetostatici In particolare se il mezzo 1 non è un materiale magnetico ( 1 = 0, ad esempio l aria) e il mezzo ha >> 1 (materiale ferromagnetico), dalla relazione: tan tan 1 1 tan tende a 0 sarà circa uguale a 90. Ciò significa che per angolo arbitrario di incidenza del campo 1, il campo magnetico nel mezzo ferromagnetico diventa quasi parallelo alla interfaccia. Se il mezzo 1 é ferromagnetico e il mezzo é aria << 1, risulta che tan tende a 0 e =0 ; cioé se il campo magnetico passa da un mezzo ferromagnetico all aria, le linee di flusso assumono nell aria una direzione quasi normale alla interfaccia. 55

56 Induttanza e induttori Si considerano due circuiti elementari C 1 e C costituiti da due spire chiuse poste in vicinanza l una rispetto all altra come riportato in figura: I1 C1 C Se una corrente I 1 circola in C 1, un campo magnetico തB 1 si concatena anche con il circuito C messo in prossimità di C 1, passando attraverso la superficie S delimitata dal contorno C. 56

57 Si definisce il flusso indotto dalla corrente I 1 sul circuito C 1 come flusso mutuo 11 : Nelle espressioni del flusso è implicito che la permeabilità del mezzo non cambi con la corrente, ossia che il mezzo sia lineare. In base alla legge di Biot-Savart: B 1 I 1 Φ 11 B 1 S 1 I1 per un mezzo lineare, il rapporto tra il flusso magnetico concatenato c 11 = N 1 11 e la corrente che circola nello stesso circuito si definisce autoinduttanza del circuito C 1 : C11 L11 [H] I Dove N 1 sono le spire di C 1. Induttanza e induttori Φ B 11 1 d s 1 B S Wb 1 1 S 1 57

58 Induttanza e induttori 1 1 Φ B1 d s B S Wb B I Φ B S I l espressione generalizzata del flusso concatenato con la spira sarà: Ф c1 =N 1 = L 1 I 1, dove L 1 è chiamata mutua induttanza tra i due circuiti C 1 e C. L 1 C 1 Reciprocamente quando il circuito inducente è C e quello indotto è C 1, i coefficiente di auto e mutua induzione saranno: Φ 1 1 S C L = [H] I I 1 C1 L 1 [H] I 58

59 Induttanza e induttori I coefficienti di mutua induttanza L 1 e L 1 sono uguali e vengono indicati con M. I coefficienti di autoinduttanza vengono indicati semplicemente con L 1 e L. Quando si ha un accoppiamento perfetto i flussi dispersi 1d e d sono nulli (bobine concentriche perfettamente serrate), e i flussi concatenati per singola spira tra circuito indotto e circuito inducente sono uguali: 1d = 11-1 =0 e d = - 1 =0 L1I1 MI1 N1 L1 Φ11 Φ1 N1 N N M LI MI N1 M Φ Φ1 N N1 N L dalle due ultime relazioni si ottiene la condizione di accoppiamento perfetto: L L M M L L

60 In generale nei casi reali si hanno dei flussi dispersi e l accoppiamento non è perfetto per cui: L L > M M < L L 1 1 Si definisce coefficiente di accoppiamento K: M K= con K=0 1, M= K L L LL K Induttanza e induttori quando l'accoppiamento tende a essere perfetto Il segno dipende dal senso di avvolgimento delle spire e dal verso delle correnti. Si definisce inoltre il coefficiente di dispersione dell accoppiamento mutuo : σ = 1 - K 60

61 Induttanza e induttori Un conduttore disposto in aria o su un nucleo secondo una certa forma è chiamato induttore. L autoinduttanza dipende: dalla forma geometrica e dalla natura fisica del materiale del conduttore con il quale è stata realizzata la spira o il circuito dalla permeabilità del mezzo. In un mezzo lineare l autoinduttanza non dipende dalla corrente nella spira I o nel circuito ne dalla intensità del campo magnetico H o dal flusso. Essa esiste (e dunque può essere definita) indipendentemente dal fatto che la spira o circuito siano aperti o chiusi, o che siano posti in prossimità di un altro circuito o spira. Come il condensatore è in grado di immagazzinare energia elettrica, analogamente un induttore è in grado di immagazzinare energia magnetica. 61

62 Induttanza e induttori La procedura generale per determinare l autoinduttanza di un induttore è la seguente: 1. Stabilire il sistema di coordinate appropriato in base alla geometria dell induttore (coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche);. Assumere il valore della corrente I nel filo conduttore, e in funzione di questa determinare തB per mezzo della: legge della circuitazione di Ampere, se തB si può ritenere costante lungo il percorso chiuso scelto l che si concatena con la corrente B dl μi l' legge di Biot-Savart, in tutti gli altri casi: B μi o dl' a 4π R l' r 6

63 Induttanza e induttori 3. calcolare il flusso che si concatena con ciascuna spira. Se l induttore è formato da N spire, calcolare il flusso concatenato c moltiplicando il flusso per il numero delle spire: Φ c N S Bds 4. calcolare L dal rapporto: Φ c L= I 63

64 dr Bobina toroidale con N spire avvolte su un supporto a sezione rettangolare. Per la geometria é consigliabile usare un sistema di coordinate cilindriche: B a B dl a rd I Autoinduttanza di una bobina toroidale r N r a a b calcolando la circuitazione al vettore lungo un percorso circolare di raggio r con a < r < b: h 0 B c rd c H dl B dl rb c c B B a NI o o dl a NI B B rd NI o oni r 64

65 Autoinduttanza di una bobina toroidale Il flusso sarà: μ0ni Φ B d s a a hdr πr S μ0nih dr μ0nih b ln π r π a il flusso concatenato e l autoinduttanza saranno: b a μ N Ih b μ N h b o o N ln L ln c π a π a S L autoinduttanza L non dipende dalla corrente I (per un mezzo a permeabilità costante) e neanche dalla intensità del flusso c 65