MATEMATICA CORSO A I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 6 1. Una soluzione è un sistema omogeneo prodotto dallo scioglimento di una sostanza solida, liquida o gassosa (soluto) in un opportuno liquido (solvente). La concentrazione di una soluzione, espressa solitamente in percentuale, è il rapporto tra la massa del soluto e quella della soluzione. a) 25 g di sale vengono disciolti in 175 g di acqua; quanto vale la concentrazione della soluzione? b) Aggiungendo 100 g di solvente ad una soluzione al 20% si ottiene una soluzione finale al 8%; calcola la massa iniziale della soluzione.
2. Un sacchetto contiene 4 palline Rosse, 6 palline Verdi e 8 palline Blu; si estraggono 3 palline senza rimessa. a) Calcola la probabilità che tutte e 3 siano Rosse. b) Calcola la probabilità che 2 siano Blu e 1 Verde. c) Calcola la probabilità che almeno 1 sia Rossa. 3. Fai un esempio di funzione lineare crescente tale che f(1) =-1. SOLUZIONE: Indicando f(x)=mx+q si ha f(1)=m+q=-1, da cui q=-1-m; affinchè f(x) sia crescente deve essere m>0, quindi basta scegliere un valore di m>0 per ottenere una funzione che soddisfa ai requisiti richiesti, ad esempio m=1, da cui f(x)=x-2. 4. Risolvi la seguente disequazione 1-x x 2 2x Disegna l insiema S T, dove S={(x,y) RxR:y 1-x } e T={(x,y) RxR:y x 2 2x}
5. In una data popolazione un allele dominante è responsabile di una certa malattia M. Sia 0.1 la frequenza di tale allele nella popolazione e supponiamo che la popolazione sia in equilibrio di Hardy-Weinberg. a) Qual è la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione sia affetto dalla malattia M? b) Qual è la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione sia affetto da M, sapendo che il padre è affetto da M e la madre è sana? c) Sapendo che, in una coppia con 3 figli, il padre è affetto da M e la madre sana, qual è la probabilità che almeno un figlio sia sano? SOLUZIONE:a) (0.1) 2 + 2(0.1)(0.9)=0.19 b) E richiesto il calcolo di P(FM PM MS), dove si è indicato con FM l evento figlio malato, con PM l evento padre malato e con MS l evento madre sana, si ottiene P(FM PM MS)= (0.01 +2(0.1)(0.9)(1/2))/0.19 = 0.1/0.19 = 10/19; c) Calcoliamo la probabilità dell evento contrario tutti i figli sono malati, vale a dire P(3FM PM MS)=(0.01 + 2(0.1)(0.9)(1/2) 3 ) /0.19= (0.0325)/0.19 = 13/76, per cui la probabilità dell evento richiesto almeno un figlio sano è 1-13/76= 63/76 6. Paolo e Francesca hanno deciso di divorziare. Essendosi sposati in comunione dei beni, devono stabilire come suddividere i loro averi. a) Su suggerimento degli avvocati, decidono di vendere la loro auto ricavandone 10 000 euro. Gli avvocati suggeriscono anche di suddividere questa cifra in modo proporzionale alla percentuale d'uso dell'auto da parte dei due (ex-)coniugi nell'ultimo anno. Sapendo che nell'ultimo anno Paolo ha guidato l'auto per per 360 ore mentre Francesca l'ha guidata per 840 ore, calcola la percentuale di utilizzo dell'auto di Paolo, e quanti euro del ricavato vanno a Francesca. b) Sapendo che il numero di ore di guida di Paolo è stato calcolato con un errore relativo del 10%, tra quali valori può variare il ricavo di Francesca? c) Paolo e Francesca avevano investito in azioni. All'inizio del divorzio, il valore totale delle azioni a loro disposizione era di 15 000 euro; di queste, il 40% era a nome di Paolo. Inoltre, ciascuna azione valeva 7.5 euro. Alla fine del divorzio, Paolo ha dovuto cedere il 20% delle sue azioni a Francesca. Sapendo che nel frattempo il valore totale delle azioni è diminuito del 10%, qual è il valore delle azioni rimaste a Francesca alla fine del divorzio? d) Paolo e Francesca avevano investito anche in BOT. All'inizio del divorzio, Paolo possedeva il 40% dei BOT; alla fine del divorzio, ha dovuto cedere il 20% dei suoi BOT a Francesca. Sapendo che nel frattempo il valore totale dei BOT da loro posseduti è diminuito del 20%, alla fine del divorzio il valore dei BOT posseduti da Francesca è aumentato o diminuito? SOLUZIONE: a) Le ore di utilizzo sono in tutto 1200, da cui 360/1200=30% percentuale di utilizzo dell auto da parte di Paolo, quindi la percentuale di uso di Francesca è 70%, quindi a Francesca vanno 70%10000= 7000 euro; b) essendo le ore di guida di Paolo calcolate a meno di un errore relativo del 10%, le ore di guida di Paolo possono essere 360±36 e quindi la percentuale di utilizzo di Paolo è compresa tra 324/1200=27% e 396/1200=33%, quindi la percentuale di utilizzo di
Francesca varia tra il 67% e il 73% e quindi il suo ricavo può variare tra 6700 e 7300 euro; c) Paolo possiede prima del divorzio il 40% delle azioni, dopo il divorzio cede il 20% del suo 40% a Francesca, quindi possiede alla fine l 80% (40%)= 32% delle azioni e quindi Francesca, dopo il divorzio, possiede il 68% delle azioni. Il valore delle azioni è diminuito del 10% ed è quindi 15000(0.9)=13500 euro. Il valore delle azioni rimaste a Francesca è quindi 13500(0.68)= 9180 euro; d) Indichiamo con VI il valore totale iniziale dei BOT (che non conosciamo), Francesca possedeva il 60% di VI, quindi 0.6 VI. Ora, dopo il divorzio, Paolo ha ceduto il 20% del suo 40% dei BOT a Francesca e quindi, come nel caso delle azioni, Paolo detiene il 32% dei BOT e Francesca il 68%. Il valore dei BOT è diminuito del 20% ed è quindi 0.8VI, dunque il valore dei BOT posseduti da Francesca dopo il divorzio è 0.68(0.8)VI, poiche 0.6>0.68(0.8)=0.544, il valore dei BOT posseduti da Francesca dopo il divorzio è diminuito rispetto al valore dei BOT posseduti da Francesca prima del divorzio.