APPUNTI SUGLI ERRORI Prof. Romano 5 novembre 2018
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Indice 1 Richiami sugli errori di misura 1 1.1 Misure dirette non ripetute.................... 1 1.2 Misure dirette ripetute...................... 2 1.3 Misure indirette. Propagazione degli errori........... 4 1.3.1 Propagazione degli errori in prodotti e quozienti.... 4 1.3.2 Propagazione in somme e dierenze........... 5 1.3.3 Scrittura corretta della misura.............. 6 2 Esercizi svolti 7 2.1 Cifre signicative......................... 7 2.2 Propagazione in somme, prodotti etc............ 8 iii
iv INDICE
Capitolo 1 Richiami sugli errori di misura In queste note richiamo brevemente i concetti di misura ed errore nei casi rilevanti per il corso. In questo capitolo inserisco alcuni richiami teorici mentre nel prossimo vediamo applicazioni. 1.1 Misure dirette non ripetute In laboratorio abbiamo misurato alcune lunghezze con l'uso del calibro. Quando misuriamo una grandezza in questo modo (semplicemente leggendo la misura sulla scala o il display di uno strumento) si dice che la misura è diretta. In tale caso, la valutazione dell'incertezza è un'operazione banale. Ad esempio, potremmo aver misurato la larghezza di un libro col risultato (16.2 ± 0.1) cm Altri casi di misure dirette riguardano la misura di una temperatura col termometro o di una massa con la bilancia. La scrittura col più o meno indica che noi non conosciamo il valore vero della lunghezza l ma, a causa degli errori sperimentali sappiamo che essa è compresa in un intervallo che dipende dall'incertezza. Nel caso in esame tale intervallo è 16.1 cm < l < 16.3 cm. Quando si legge una scala si dice che l'errore corrisponde alla sensibilità dello strumento. Si tratta della più piccola variazione della grandezza che lo strumento può misurare. Nel caso di una scala, tale sensibilità è la dierenza tra i valori di due tacche. Per sapere quanto vale occorre leggere i valori di riferimento su una scala. Ad esempio nella gura a pagina seguente, l'errore 1
2 CAPITOLO 1. RICHIAMI SUGLI ERRORI DI MISURA Figura 1.1: La lettura in gradi centigradi si ottiene leggendo la scala cercando di capire qual è la tacca più vicina all'indice. In questo caso, essendo una tacca pari a 1 C, la lettura vale (27 ± 1) C di lettura, ossia il valore di una tacca, vale 1 C. Per questa ragione il risultato della misura si scriverà (27 ± 1) C. Talvolta capita che il valore di una tacca possa essere modicato agendo sullo strumento. Gli amperometri ad esempio, sono strumenti a scala per la lettura della corrente. Ogni amperometro permette di misurare una corrente massima regolando il cosiddetto fondoscala (o valore massimo o portata). Con un pulsante possiamo ad esempio aumentarlo di cento o anche mille volte. Questo signica che potremo misurare, senza rompere lo strumento, correnti sempre più alte. In tale caso la dierenza tra due tacche dipende dalla scelta del fondo scala. Se devo misurare una corrente di cui so già l'ordine di grandezza, ad esempio 1 A, non sceglierò come fondoscala 500 ma ma dieci ampere e così via. 1.2 Misure dirette ripetute In sica capita che ripetendo il risultato di una misura otteniamo valori diversi. Possono esserci fondamentalmente due ragioni per cui questo accade: il valore della grandezza è eettivamente cambiato abbiamo lievemente cambiato il nostro modo di misurare (oppure la misura è stata fatta da un'altra persona)
1.2. MISURE DIRETTE RIPETUTE 3 Il primo caso si verica ad esempio quando misuriamo la temperatura di una stanza a distanza di ore. In quel caso, essa in generale cambierà. Un esempio ulteriore è il cosiddetto problema di denizione. Supponiamo di dover misurare l'altezza del vano di una porta. Scopriamo con nostro grande dispiacere, che il lato superiore del vano non è regolare ma ondulato. In tale situazione non si pò parlare evidentemente di un'unica altezza ma di varie altezze e dopo vedremo come tirar fuori una sola misura. Il secondo caso si verica nella misura di intervalli dei tempo con un cronometro. Lo sperimentatore fa partire e fermare il cronometro con tempi non sempre uguali, anche se ce la mette tutta. Dunque in quel caso la fonte di errore è lui stesso, non lo strumento. Anche in questa circostanza ci sono dei metodi per tener conto del suo tempo di reazione (che non è detto sia costante) ma per il momento non ne parliamo. Supponiamo per fare un esempio, di aver misurato tre volte la durata dell'oscillazione di un pendolo con un cronometro con la sensibilità di 0.01 s e di aver ottenuto i risultati : Calcoliamo la media : T = T (s) Sensibilità (s) 2.02 0.01 2.08 0.01 2.07 0.01 (2.02 + 2.08 + 2.07) s 2 = 2.056 666 667 s Mentre per l'errore prendiamo la cosiddetta semidispersione: T = (2.08 2.02) s 2 = 0.03 s In ultimo scriviamo il risultato armonizzando misura ed errore con opportuni arrotondamenti: T : (2.06 ± 0.03) s Notiamo che nelle misure ripetute abbiamo un errore che è più grande della sensibilità del cronometro. Questo risultato non sempre avviene. Se avessimo ottenuto un T addirittura minore della sensibilità avremmo dovuto dare come risultato la sensibilità. In breve dobbiamo scegliere come errore il maggiore dei due. Se ad esempio avessimo ottenuto tre periodi uguali (ad esempio 2.20 s,2.20 s e 2.20 s), la semidispersione sarebbe venuta nulla e noi avremmo dovuto dare come risultato la sensibilità.
4 CAPITOLO 1. RICHIAMI SUGLI ERRORI DI MISURA 1.3 Misure indirette. Propagazione degli errori 1.3.1 Propagazione degli errori in prodotti e quozienti Si dice che la misura di una grandezza è indiretta se essa non è misurata per confronto con un campione omogeneo (attraverso uno strumento) ma viene calcolata tramite una formula. Ad esempio, la densità d è calcolata mediante una formula: d = M V Il suo errore non è nè M nè V ma una loro combinazione. La teoria ci da (senza dimostrazione) questa formula: ( M d = d M + V ) V dove la quantità e d = ( M + ) V M V è l'errore relativo della densità. Questo è calcolato a partire dagli errori relativi di massa e volume. Dunque, se una grandezza è data dal rapporto di due grandezze, il suo errore relativo si calcola con la formula indicata, e non con con la solita formula e d = d d perché in questo caso non abbiamo d. Minitest Abbiamo misurato la massa e il volume di un solido ottenendo i valori M : (160 g ± 1 g) e V : (20.002 cm 3 ± 0.001 cm 3 ). Determina l'errore relativo della densità. Soluzione Applicando la formula data nel testo otteniamo: ( 1 e d = 160 + 0.001 ) = 0.0063 20.002 Come ulteriore esempio di propagazione abbiamo il calcolo del volume di un cubo. La formula per il suo calcolo è V = L 3 = L L L. Se conosciamo l'errore sul lato L, l'errore sul volume è dato dalla formula: ( V = V 3 L ) L Da notare che questa volta nella formula compaiono due prodotti (quelli del lato per se stesso) e la formula per l'errore nale è la stessa dell'esempio
1.3. MISURE INDIRETTE. PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI 5 precedente pur di contare tanti errori relativi quante sono le occorrenze della grandezza nella potenza (potenza 2, due errori relativi, potenza 3 tre errori relativi e così via ). Minitest Abbiamo misurato il raggio di una circonferenza ottenendo il risultato r : (10.3 ± 0.1) cm. Calcolare la circonferenza, il suo errore e l'errore sulla circonferenza. Soluzione La formula perla circonferenza è C = 2πr. L'errore ha formula: ( 2 C = C 2 + π π + r ) r I primi due errori relativi in parentesi sono nulli (perchè i numeri esatti come 2 o π non hanno errore). Dunque la formula nale è C = C ( ) r r. Inserendo i valori otteniamo : C = 2 π 10.3 cm = 32.3584 cm. Per l'errore abbiamo: ( ) 0.1 C = 32.3584 cm = 0.3 cm 10.3 Il risultato della misura è pertanto C : (32.4 ± 0.3) cm Domanda lampo: scrivi la formula per il calcolo dell'errore sull'area di un quadrato di lato L. 1.3.2 Propagazione in somme e dierenze Supponiamo di voler misurare una grandezza sommandone altre due (o sottraendole). Ad esempio vogliamo misurare la dierenza di due volumi e calcolarne l'errore: V = V 2 V 1. Quanto vale l'errore su V? La risposta, che ci viene dalla teoria, è : V = V 1 + V 2 Si noti la presenza del segno più (quindi non si tratta di un errore di battitura!) Per le somme vale sattamente la stessa formula. Notiamo la sostanziale dierenza tra questo metodo e quello della propagazione della sezione precedente. Per altri esempi si rimanda al prossimo capitolo.
6 CAPITOLO 1. RICHIAMI SUGLI ERRORI DI MISURA 1.3.3 Scrittura corretta della misura Finora abbiamo sempre parlato della scrittura corretta di una misura. Di cosa si tratta? Tornando agli esempi precedenti, avrete notato che una volta calcolato l'errore assoluto (i famosi ) prima di scrivere l'intervallo di incertezza, abbiamo approssimato l'errore ad una cifra signicativa. Questo risultato ha una sola eccezione: se l'errore è del tipo 100, ossia una cifra seguita da soli zeri, si può lasciare l'errore così. Ad esempio se abbiamo misurato un volume di 12 700 cm 3 con un errore di 190 cm 3 è del tutto accettabile scrivere (12700 ± 200) cm 3, dopo aver arrotondato l'errore. Facciamo qualche esempio: 1. T = 0.062 s, T = 2.689 53 s. Si ha : T : (2.69 ± 0.06) s 2. L = 0.0312 m, L = 10.278 m. Si ha : L : (10.28 ± 0.03) m 3. d = 0.9126 kg/m 3, d = 750.86 kg/m 3. Si ha d : (750.9 ± 0.9) kg/m 3
Capitolo 2 Esercizi svolti 2.1 Cifre signicative Ricordiamo che le cifre signicative in una misura sono tutte le cifre esatte più la prima incerta. Per convenzione, data la misura di una grandezza, le cifre signicative si cominciano a contare dalla prima cifra diversa da zero, no all'ultima cifra scritta( anche se è zero). Per applicare questa denizione facciamo qualche esempio indicando con C.S. l'abbreviazione di cifre signicative. ESERCIZIO 1: Determina le cifre signicative nella seguente lista (le risposte sono sulla destra). Soluzione 5438 54380 0.06 0.060 0.0601 47 10 3 47 10 2 47 10 4 0.4 10 9 60 10 15 4C.S. 5C.S. 1C.S. 2C.S. 3C.S. 2C.S. 2C.S. 2C.S. 1C.S. 2C.S. 7
8 CAPITOLO 2. ESERCIZI SVOLTI 2.2 Propagazione in somme, prodotti etc ESERCIZIO 2: Si misurano due lunghezze l 1 ed l 2 ottenendo i valori: l 1 : (5.2 ± 0.1) cm ed l 2 : (9.3 ± 0.1) cm. Determina la loro somma s e la dierenza d con i rispettivi errori. Soluzione. Per la somma abbiamo: s = l 1 +l 2 = 14.5 cm, con un errore s = 0.1 cm+0.1 cm = 0.2 cm. La dierenza vale: d = l 2 l 1 = 4.1 cm, mentre l'errore è lo stesso di prima (dopo tutti questi esempi spero ormai sia chiaro). ESERCIZIO 3: Si sono misurati i due lati di un rettangolo ottenendo i risultati: a : (2.15 ± 0.01) cm, e b : (9.51 ± 0.03) cm. Determinare la misura dell'area col relativo errore e scrivere il risultato corretto. Soluzione Abbiamo : A = a b, A = A ( a + ) b a b. Inseriamo i dati e otteniamo: A : (2.15 cm) (9.1 cm) = 20.4465 cm 2 L'errore invece è dato da: ( 0.01 A = 0.1596 cm 2 2.15 + 0.03 ) 9.51 In denitiva: A : (20.4 ± 0.2) cm 2 = 0.1596 cm 2 0.2 cm 2 ESERCIZIO 4: Si denisce velocità di usso di un liquido in una condotta, e si indica con Q, il rapporto tra il volume di liquido V e l'intervallo di tempo t. Ciò premesso si risolva il seguente esercizio. In una condotta vengono misurati Q e t con i risultati: V : (10.2 ± 0.1) cm 3 e t : (5.84 ± 0.01) s. Calcolare la velocità di usso e scrivere il risultato della misura. Soluzione La velocità di usso vale: Q = V = t L'errore vale: Q = 1.746 575 cm 3 /s Dunque Q : (1.75 ± 0.02) cm 3 /s. 10.2 cm3 5.84 s = 1.746 575 cm 3 /s. ( 0.1 10.2 + 0.01 ) cm 3 /s. 5.84
2.2. PROPAGAZIONE IN SOMME, PRODOTTI ETC 9 ESERCIZIO 5: Una sfera ha un raggio la cui misura è : r : (12.0 ± 0.1) cm. Determina il volume e scrivi il risultato della misura. Soluzione Abbiamo: V = 4 3 πr3, V = V (3 ) r r. Quindi: V = 4 3 π(12.0 cm)3 = 7238.229 47 cm 3 V = 7238.229 47 cm 3 ( 3 0.1 ) = 180.9557 cm 3 200 cm 3 12.0 La misura è quindi V : (7200 ± 200) cm 3. Abbiamo spiegato nel primo capitolo che questa scrittura, sebbene l'errore non sia scritto con una cifra signicativa, è accettabile. Volendo essere pignoli, si possono nascondere i due zeri con una potenza (in questo modo si riduce il numero di cifre signicative, come nel primo esercizio): V : (72 ± 2) 10 2 cm 3 ESERCIZIO 6: Un cilindro metallico avente diametro di base pari a (0.995 ± 0.005) cm e altezza (5.015 ± 0.005) cm ha massa (32.7 ± 0.5) g. Determina la densità del solido, il suo errore e scrivi il risultato in modo corretto. Soluzione Calcoliamo anzitutto il volume con la formula: V = πr 2 h: ( ) 2 D V = π h = πd2 h (0.995 cm)2 = π (5.05 cm) = 3.899 482 541 cm 3. 2 4 4 La densità invece vale: d = M V = 32.7 g 3 = 8.385 728 g/cm3 3.899 482 541 cm L'errore è dato dalla formula. d = d ( M + ) V M V. In tale relazione compare l'errore relativo sul volume, errore che a sua volta possiamo V calcolare partendo dalla formula del volume: = ( ( 2 D + h) = V D 2 0.005 + 0.005 0.995 5.015) = 0.01. Completiamo col calcolo dell'errore sulla densità senza ulteriori commenti: ( ) 0.5 d = 8.385 728 g/cm 3 32.7 + 0.01 = 0.212 g/cm 3 Scrittura corretta: d : (8.4 ± 0.2) g/cm 3.