METODO MECCANICO: LE NOSTRE VERIFICHE SPERIMENTALI

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1 METODO MECCANICO: LE NOSTRE VERIFICHE SPERIMENTALI "Mi par che nelle dispute di problemi naturali non si dovrebbe cominciare dalle autorità di luoghi delle Scritture, ma dalle sensate esperienze e dalle dimostrazioni necessarie" Galileo Galilei Le dimostrazioni meccaniche sono giunte fino a noi sotto forma di esperimento mentale, gli stessi che utilizzeranno anche Galileo Galilei ed Albert Einstein. Non dimentichiamo che per i matematici e i filosofi dell'antichità il piano teorico era nettamente superiore a quello della pratica. Noi abbiamo voluto testare sperimentalmente la Proposizione 2 del Metodo di Archimede sui Teoremi meccanici ad Eratostene, da una parte per desiderio di completezza, dall'altra spinti da curiosità e da senso critico. Ricordiamone l enunciato: Proposizione 2 Che qualunque sfera è quadrupla del cono avente la base uguale al circolo massimo della sfera e l altezza uguale al raggio della sfera; e che il cilindro avente base uguale al circolo massimo della sfera e altezza uguale al diametro della sfera è una volta e mezza la sfera. Abbiamo perciò fatto tre esperimenti per verificare quanto afferma. ESPERIMENTO 1: Verifichiamo che il volume del cilindro circoscritto ad una sfera è pari ai 3/2 del volume della sfera stessa. ESPERIMENTO 2: Verifichiamo che il volume di una sfera è pari al volume del cono avente la base uguale al cerchio di raggio massimo della sfera e l altezza uguale al raggio della sfera. ESPERIMENTO 3: Verifichiamo che il volume di un cilindro è pari alla somma dei volumi della sfera e del cono inscritti nel cilindro stesso.

2 VERIFICA SPERIMENTALE 1 Verifichiamo che il volume del cilindro circoscritto ad una sfera è pari ai 3/2 del volume della sfera stessa ossia, come dice Archimede, che il cilindro avente base uguale al circolo massimo della sfera e altezza uguale al diametro della sfera è una volta e mezza la sfera. oppure Considerazioni preliminari Pensiamo anche noi come Archimede che i due solidi siano composti o riempiti da tutti i loro elementi, cioè pensiamo ad ogni figura solida composta da infinite sezioni piane parallele aventi un peso reale ; la somma del peso di tali lastre piane mi darà il peso del cilindro e della sfera, rispettivamente. Considerando allora una bilancia a bracci diversi, verificare la relazione sopra scritta significa verificare che in condizione di equilibrio vale la relazione P 1 D 1 =P 2 D 2, dove P 1 e P 2 sono i pesi rispettivamente del cilindro e della sfera in esso inscritta, posti rispettivamente a distanza D 1 =2u e D 2 =3u dal fulcro (u=unità di misura sui bracci della leva) o equivalentemente D 1 =4u e D 2 =6u dal fulcro. Materiale Bilancia elettronica e calibro Bilancia a bracci diversi Cilindro cavo, in plastica, di raggio di base r e altezza 2r (con r=10cm) e massa m=73,4g Sfera cava, in plastica, di raggio r (con r=10cm) e massa m=52,0 g Acqua colorata con fluoresceina

3 Procedimento Pesiamo con una bilancia elettronica i due solidi cavi per misurare il loro peso e con il calibro misuriamo il diametro della sfera, il raggio di base del cilindro e la sua altezza, trovando conferma dei valori sopra scritti. Usiamo come unità di misura per i pesi il grammo peso (g) Posiamo la sfera e il cilindro nei piatti della bilancia a bracci e posizioniamo tali piatti in modo tale che il cilindro si trovi dal fulcro 4 unità mentre la sfera 6 unità. Ma il sistema non è in equilibrio. Infatti, il peso di ogni piatto è 75 g, della sfera 52 g e del cilindro 73,4 g; se vogliamo che le tare siano in equilibrio, per la legge della leva, i momenti dei due pesi devono essere uguali. Invece, se calcoliamo i momenti, tenendo conto dei bracci, abbiamo: M 1 = (P piatto + P cilindro cavo ) 4 = (75+73,4) 4= 593,6 g u M 2 = (P piatto + P sfera cava ) 6= (75+52) 6= 762 g u Perché i momenti siano uguali devo aggiungere ( ,6):4=42,1g al sistema piatto+cilindro. Li aggiungiamo e otteniamo finalmente una situazione di equilibrio. Riempiamo con acqua colorata con fluoresceina i nostri solidi (nella foto sottostante si può notare che mentre vengono riempiti solidi, i piatti sottostanti sono sorretti da una mano, semplicemente per non rovesciare il liquido). Si osserva che i solidi, una volta riempiti d acqua, si trovano ancora in equilibrio.

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5 Considerazioni finali Dato che i piatti della bilancia, quando abbiamo appoggiato la sfera e il cilindro+pesetti, erano in equilibrio, ne deduciamo che vale la legge della leva: (P piatto + P cilindro cavo + P pesetti ) D 1 =(P piatto + P sfera cava ) D 2 ossia (P piatto + P cilindro cavo + P pesetti ) 4=(P piatto + P sfera cava ) 6 Verifichiamo matematicamente che il momento M 1 della tara della cilindro+piatto+pesetti è uguale a quella M 2 dela sfera+piatto, attraverso un semplice calcolo : M 1 =(P piatto + P cilindro cavo + P pesetti ) 4 = (75+73,4+42,1) 4=762 g u M 2 =(P piatto + P sfera cava ) 6= (75+52) 6=762g u Dopo aver riempito i due solidi con l acqua la leva era ancora in equilibrio, per cui possiamo scrivere: (P piatto + P cilindro cavo + P pesetti + P cilindro ) 4=(P piatto + P sfera cava +P sfera ) 6 4(P piatto + P cilindro cavo + P pesetti )+ 4P cilindro =6(P piatto + P sfera cava )+6P sfera dove P cilindro e P sfera rappresentano il peso dell acqua con cui sono stati riempiti rispettivamente il cilindro e la sfera. Poiché sappiamo che il momento delle tare è uguale (lo abbiamo provato sia con il calcolo matematico sia sperimentalmente, in quanto le tare erano in equilibrio), possiamo semplificare la scrittura, ottenendo così: 4P cilindro =6P sfera ossia 2P cilindro =3P sfera Ricordiamo che il liquido contenuto nel cilindro e nella sfera è il medesimo, quindi con uguale densità, e che il Peso si calcola come P=mg=dVg; di conseguenza possiamo dedurre che vale anche la relazione 2V cilindro =3V sfera ossia che il doppio del volume del cilindro è pari al triplo del volume della sfera. L equilibrio osservato ci permette dunque di concludere che: