SUL VOLUME DEI SOLIDI: ARCHIMEDE, KEPLERO E CAVALIERI

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1 SUL VOLUME DEI SOLIDI: ARCHIMEDE, KEPLERO E CAVALIERI Francesca Gatti e Marina Brentegani ARCHIMEDE (287 a.c. 212 a.c. circa) Quadratura della parabola Sfera e cilindro (I e II) Metodo Conoidi e sferoidi Misura del cerchio 1

2 KEPLERO ( ) Nova stereometria doliorum vinariorum (1615) Stereometria Archimedea Supplementum ad Archimedem CAVALIERI ( ) Geometria degli indivisibili (1635) 2

3 CONFRONTO TRA ARCHIMEDE E KEPLERO Il rapporto tra il volume del cilindro e della sfera inscritta è uguale a 3/2. Archimede, Sfera e cilindro, corollario alla proposizione 34 Archimede, Metodo, proposizione 2 Keplero, Stereometria archimedea, teorema 11 DIMOSTRAZIONE DI ARCHIMEDE : IL METODO DI ESAUSTIONE Metodo per assurdo, quindi l uguaglianza tra due figure si dimostra negando la possibilità che la prima possa essere maggiore o minore della seconda Metodo dell avvicinamento indefinito Confronto tra segmenti aventi tra loro rapporto minore di quello esistente tra le figure considerate. Ciò è possibile in base alla proposizione 2 del primo libro di Sfera e cilindro: Date due grandezze disuguali, è possibile trovare due rette disuguali tali che la retta maggiore abbia rispetto alla minore rapporto minore di quello che la grandezza maggiore ha rispetto alla grandezza minore. 3

4 DIMOSTRAZIONE da Sfera e cilindro Archimede ricava il rapporto tra sfera e cilindro dal fatto che il volume della sfera è il quadruplo di quello del cono avente per base il cerchio massimo e per altezza il raggio della sfera. Viene utilizzato il metodo di esaustione, ragionando per assurdo sulle figure ottenute ruotando i poligoni inscritti e circoscritti al cerchio massimo della sfera. METODO DI ESAUSTIONE Metodo indiretto Metodo rigoroso Archimede ne fa uso per dimostrare rigorosamente anche teoremi la cui tesi è stata raggiunta mediante altri metodi. METODO MECCANICO Metodo diretto Metodo non rigoroso Applica il principio di equilibrio delle leve 4

5 DIMOSTRAZIONE da Metodo Dalle considerazioni meccaniche, AEF + sfera = 1/2 EFGL ma EFGL = 3 AEF, quindi AEF + sfera = 3/2 AEF semplificando: sfera = 1/2 AEF = 4 ADB Il cilindro considerato appare in figura come EFGL, si considera come seconda figura l insieme del cono AEF e della sfera AC. I solidi vengono considerati come somma di sezioni piane pesanti. Le sezioni di sfera e cono vengono traslate in modo che il baricentro sia nel punto H (con HA uguale al diametro AC). Sia K il baricentro del cilindro EFGL. Si applica il principio di equilibrio alla leva di fulcro A considerata, ottenendo la proporzione AH : AK = cilindro : (sfera + cono). DIMOSTRAZIONE DI KEPLERO Keplero suddivide la sfera BG in infiniti coni con vertice nel centro della sfera. Il cerchio BC è il quadruplo del cerchio massimo della sfera, e quindi ha area uguale alla superficie della sfera. BDC = BG BCIA = 3 BDC NMLK = 1/2 BCIA NMLK = 3/2 BDC = 3/2 BG 5

6 SUPPLEMENTUM AD ARCHIMEDEM Solidi generati dalla rotazione di: Circonferenza Ellisse Parabola Iperbole ANELLO APERTO SFERA ANELLO CHIUSO CEDRO MELA 6

7 Asse parallelo all asse maggiore UOVO ANELLO ELLITTICO CHIUSO MELA COTOGNA ANELLO ELLITTICO APERTO OLIVA Asse parallelo all asse minore LENTE LENTE CON DUE RIENTRANZE ANELLO ELLITTICO CHIUSO LARGO ANELLO ELLITTICO APERTO LARGO PRUGNA 7

8 Asse parallelo all asse di simmetria CONOIDE PARABOLICO CRATERE ACERVO PARABOLICO MAGGIORE CORNO ACERVO PARABOLICO MINORE (ACUTO) Asse perpendicolare all asse di simmetria SOLIDO CON RIENTRANZE SEMIANELLO PARABOLICO FUSO PARABOLICO SEMIANELLO PARABOLICO CHIUSO 8

9 Asse parallelo all asse di simmetria CONOIDE IPERBOLICO CRATERE ACERVO IPERBOLICO MAGGIORE CORNO ACERVO IPERBOLICO MINORE (OTTUSO) Asse perpendicolare all asse di simmetria SOLIDO CON RIENTRANZE SEMIANELLO IPERBOLICO FUSO IPERBOLICO SEMIANELLO IPERBOLICO CHIUSO 9

10 METODO A BUCCIA Nel Supplementum ad Archimedem Keplero suddivide i solidi di rotazione in cilindri cavi coassiali di spessore costante. Tali cilindri vengono quindi trasformati in prismi aventi lo stesso volume, detti zoccoli, ed infine sommati. Si ottiene un solido avente per base la figura generatrice del solido di rotazione e per altezza la circonferenza disegnata dal suo punto più distante dall asse di rotazione. 10

11 DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA 22 La zona di un cedro troncato da entrambe le parti da due cerchi uguali è composto dal volume del cedro minore creato dallo stesso segmento circolare che dà luogo alla parte esterna della zona e dal volume del segmento di cilindro la cui base maggiore è il segmento circolare che genera il cedro escluse le parti tolte e la cui base minore è il segmento circolare che genera il cedro minore, di altezza uguale alla circonferenza troncante. La figura a sinistra mostra il risultato del metodo a buccia applicato al cedro. I disegni in basso riportano sul cedro la parte colorata in giallo a fianco e la parte in verde, chiaro e scuro: L enunciato del teorema afferma l equivalenza del cedro troncato con la somma del segmento di cilindro le cui basi sono BHQRC e ZXR e del segmento di cilindro ZXR S, che viene visto come sviluppo del cedro generato dalla sezione ZXR. 11

12 GEOMETRIA DEGLI INDIVISIBILI Un indivisibile di una figura piana è un segmento (linea) parallelo ad una retta data (regula). Un indivisibile di una figura solida è una sua sezione piana (planum) parallela ad un piano di riferimento fisso (regula). Il continuo è generato dal movimento fluente di un suo indivisibile, ma non è la somma dei suoi indivisibili. CONTRIBUTI FONDAMENTALI DI CAVALIERI Gli insiemi vengono individuati da una proprietà caratteristica dei loro elementi Viene introdotto il concetto di confrontabilità di due insiemi infiniti, ad esempio quelli composti dagli indivisibili di due figure La validità del metodo è garantita da un elevato numero di riscontri con i risultati ottenuti con altri metodi (Cavalieri ha occasione di applicare il metodo ai solidi già considerati da Keplero nel Supplementum ad Archimedem) I teoremi introdotti hanno un carattere generale 12

13 IL PRINCIPIO DI CAVALIERI TEOREMA III LIBRO II Figure piane hanno tra di loro il medesimo rapporto, che hanno tutte le linee di esse prese con un riferimento qualunque; e figure solide lo stesso rapporto che hanno tutti i piani di esse presi rispetto a un riferimento qualunque. Da questo teorema, Cavalieri deduce la possibilità di calcolare il rapporto tra due figure piane o solide attraverso il rapporto tra tutte le linee, o tutti i piani, di esse. Questa nova ratio è alla base della Geometria di Cavalieri. IL PRINCIPIO DI CAVALIERI TEOREMA I LIBRO VII Figure piane quali si vogliano, collocate tra le medesime parallele, nelle quali - condotte linee rette qualunque equidistanti alle parallele in questione - le porzioni intercette di una qualsivoglia di dette rette sono uguali, sono del pari uguali tra di loro. E figure solide quali si vogliano collocate tra i medesimi piani paralleli, nelle quali condotti piani qualunque equidistanti a quei piani paralleli le figure piane generate nei solidi stessi da uno qualsivoglia dei piani condotti sono uguali, saranno del pari uguali tra di loro. 13

14 IL TEOREMA XXXIII Di rilevante generalità è il fondamentale TEOREMA XXXIII del libro III: Solidi quali si vogliano mutuamente similari, generati dalle figure sopra considerate in questo libro III, rispetto ai riferimenti ivi stesso scelti, delle quali si sia trovato il rapporto di tutti i quadrati, hanno tra di loro un rapporto noto. I rapporti tra i solidi vengono esaminati in corollari dipendenti da questo teorema. I corollari descrivono la costruzione dei solidi e fanno riferimento ai teoremi precedenti, relativi ai rapporti tra le figure piane generatrici. Corollario XX Nella proposizione XXIII, presa dalla figura del teorema XXI, comunque, una porzione minore, RFV, la quale sia una porzione di circolo, con il rettangolo V ad essa circoscritto, preso anche l intero asse FH, e il punto su di esso così come ivi è stato preso, è evidente che il solido similare generato da V sta al solido ad esso similare generato dalla porzione minore, RFV, come una volta e mezza FM sta a M allora il cilindro descritto da V starà al solido descritto dalla porzione RFV come una volta e mezza FM sta a M Si chiami poi frutto di cedro il solido descritto attraverso la sua rivoluzione dalla porzione minore del circolo, RFV. 14

15 Proposizione XXIII Tutti i quadrati di V stanno a tutti i quadrati di RFV come una volta e mezza FM sta a M, con tale che 3MN : H = V : RFV Tutti i quadrati sono i quadrati costruiti sui segmenti tagliati sulla figura da una retta fatta scorrere parallelamente a se stessa, appartenente al piano della figura. I rettangoli costruiti su due figure, che sono poste alla medesima altezza, sono i rettangoli aventi per dimensioni i segmenti tagliati sulle figure dalla stessa retta, fatta scorrere parallelamente a se stessa. Dimostrazione schematica 15