LE CONICHE IN LABORATORIO Attività per osservare la matematica prima parte A cura di Silvia Defrancesco

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1 LE CONICHE IN LABORATORIO Attività per osservare la matematica prima parte A cura di Silvia Defrancesco Le coniche con la luce 1)Visualizzare un cono di luce con la macchina per la nebbia e intercettare con uno schermo 2) Illuminare una parete con una torcia, inclinando la sorgente di luce in vari modi: 1.Asse del cono di luce perpendicolare alla parete:si ottiene un cerchio 2.Asse del cono di luce inclinato alla parete: ellissi di varie eccentricità 3.Raggio più esterno del fascio di luce parallelo alla parete: parabola 4.Raggio più esterno del fascio di luce diverge dalla parete: iperbole Le figure di Moirè Le figure di Moirè sono date dall interferenza di griglie diverse sovrapposte. Griglie uguali creano interessanti figure se vengono sovrapposte ad angoli diversi Con le figure di Moirè si possono costruire:

2 1. L IPERBOLE Sovrapporre due figure uguali costituite da circonferenze concentriche. La distanza fra due successive circonferenze deve essere costante. I centri delle circonferenze sono i fuochi delle iperboli. Segnare i punti che sono all intersezione delle circonferenze., in modo che due punti vicini siano vertici opposti del quadrilatero curvilineo. Ogni voltaiche consideriamo una circonferenza più lontana da uno dei due fuochi, consideriamo la corrispondente circonferenza più lontana della stessa quantità dall altro fuoco. 2. LA PARABOLA Sovrapporre una figura a righe parallele, equidistanti ad una figura costituita da circonferenze concentriche.. La distanza fra due righe successive deve essere uguale a quella fra due successive circonferenze. Il centro delle circonferenze è il fuoco della parabola.individuare il vertice e considerare i vertici opposti del quadrilatero avente due lati paralleli e due curvilinei; segnare via via questi punti. In questo modo si aumenta della stessa quantità sia la distanza dalla direttrice che dal fuoco: si segnano dunque punti che soddisfano la definizione di parabola come luogo geometrico. IL DOPPIO CONO Costruire un doppio cono (eventualmente con i calici di plastica; oppure: cercare nei negozi di giocattoli una grande clessidra di plastica )e riempirlo d acqua o di sabbia fine. Inclinare l oggetto per visualizzare le sezioni coniche

3 GLI STRUMENTI PER TRACCIARE LE CURVE Tracciare un cerchio è semplice: Si usa un compasso Altrettanto semplice è tracciare un ellisse: a) metodo del filo le cui estremità sono fissate a due punti fissi b) oppure c) Martin Gardner in uno dei suoi libri "Enigmi e giochi matematici" vol. 3 descrive il seguente modo per disegnare una ellisse: Si prende una teglia di da dolce di forma circolare e un disco di cartone con diametro uguale alla metà di quello della teglia. Si fissa un foglio di carta sul fondo della teglia. Si fa un foro con una matita in un qualunque punto del disco, si appoggia la punta della matita sulla carta, poi si fa rotolare il disco lungo il bordo interno della teglia. Se tutto funziona bene, sulla carta rimarrà disegnata una ellisse. Se il foro è al centro del disco l'ellisse diventerà una circonferenza. CURIOSITÀ La curva ottenuta con un compasso è un cerchio solo se la superficie su cui si traccia la curva è un piano. Cosa succede se si usa il compasso su un cilindro? (la curva può sembrare un ellisse, ma non lo è. Si tratta di una curva di quarto grado)

4 Ci sono però altre macchine matematiche Compasso conico Ellissografo di Proclo Parabolografo di Cavalieri Iperbolografo di Descartes

5 Il compasso perfetto permette di disegnare tutte le coniche Come ottenere i fuochi di una conica IL TEOREMA DANDELIN Una sezione conica non degenere, figura ottenuta dalla intersezione di un piano con un cono, possiede una o due sfere di Dandelin caratterizzate dalla proprietà: Una sfera di Dandelin tocca senza intersecare sia il piano che il cono. Ogni sezione conica ha associata una sfera di Dandelin a ciascuno dei suoi fuochi. Un ellisse possiede due sfere di Dandelin, entrambe tangenti alla stessa falda del cono. Una iperbole ha due sfere di Dandelin che toccano le falde opposte del cono. Una parabola possiede una sola sfera di Dandelin. ESEMPIO:Teorema di Dandelin sull'ellisse (tutte le dimostrazioni si trovano sul sito citato in bibliografia) Dimostrazione: Si consideri l illustrazione che raffigura

6 un piano che interseca un cono in un ellisse e mostra le due sfere di Dandelin. Sia g una qualunque generatrice del cono e siano: P il punto in cui g taglia l ellisse, P' il punto in cui g taglia la circonferenza di contatto col cono della sfera di centro O' tangente in F' al piano, P" il punto in cui g taglia la circonferenza di contatto col cono della sfera di centro O" tangente in F" al piano. Dalla costruzione, risulta evidente che il punto P è esterno alle due sfere. I due segmenti PF' e PP' sono uguali perché segmenti di tangenti condotte da un punto esterno ad una stessa sfera. Analogamente, sarà anche PF"=PP". Sommando membro a membro le due uguaglianze trovate abbiamo la relazione: PF' + PF" = P'P" = costante. Che costituisce, appunto, la definizione dell ellisse considerata come luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. IPERBOLOIDE DI ROTAZIONE L'iperboloide di rotazione è una superficie generata da due famiglie di rette. In geometria una superficie si dice RIGATA se è ottenuta da un unione di rette L unione di molte linee genera la superficie. Esempi semplici: piano, cilindro, cono Le superfici rigate trovano molte applicazioni, p.es. in architettura.

7 Palazzo della regione - Trento, di Adalberto Libera Un asta rettilinea disposta opportunamente riesce a passare attraverso una fessura a forma di iperbole. L asta, ruotando, descrive un iperboloide di rotazione. BIBIOGRAFIA- SITOGRAFIA Oltre il compasso-la geometria delle curve a cura di F. Conti e E. Giusti, ed. Carte Segrete 1993 Macchine matematiche-dalla storia alla scuola,di Bartolini Bussi-Maschietto, ed Springer 2006 multiformat, vol.16 di W.Maraschini,Paraviaed