Ultimo incontro Progetto MMLab-ER

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1 Ultimo incontro Progetto MMLab-ER Provincia di Ferrara Francesca Martignone Università di Modena e Reggio Emilia

2 Conicografi

3 Aspetti storico- epistemologici A cura dell Associazione delle macchine matematiche: Fonti storiche (file sulla piattaforma e link al sito: com_content&view=article&id=58&itemid=160 ) Cataloghi delle mostre (link sulla piattaforma e sul sito: com_oziogallery2&view=04carousel&itemid=158 )

4 Come introduciamo i conicografi quando facciamo le visite al laboratorio delle macchine matematiche di Modena? Visitare il sito per visionare le presentazioni e le schede usate in laboratorio

5 Nell introduzione ripercorriamo alcune tappe storiche Un po di storia dall antica Grecia al Rinascimento e oltre!

6 Teoria tridimensionale La teoria delle coniche si sviluppa nella seconda metà del IV secolo a.c. ad opera di Menecmo (350 a.c) (Euclide) e successivamente di Apollonio (225 a.c.) Le coniche, ottenute come sezioni piane di un cono, sono studiate inizialmente nello spazio in quanto curve "solide".

7 Menecmo Nella teoria di Menecmo-Euclide (300 a.c. circa) i coni sono retti (ottenuti per rotazione di un triangolo rettangolo attorno a un cateto). La sezione conica viene generata intersecando il cono con un piano perpendicolare ad una generatrice (ipotenusa del triangolo che ruota)

8 Menecmo ottusangolo rettangolo acutangolo

9 Euclide, ELEMENTI, Libro XI, definizioni 18, 19, 20. Quando un triangolo ruota intorno a un cateto fissato fino a ritornare nella posizione in cui era partito la figura così racchiusa è un CONO. Se il segmento che rimane fisso è uguale all altro lato dell angolo retto che è ruotato il cono sarà RETTANGOLO ; se è minore all altro lato dell angolo retto che è ruotato il cono sarà OTTUSANGOLO ; se è maggiore all altro lato dell angolo retto che è ruotato il cono sarà ACUTANGOLO.

10 Menecmo La sezione conica viene generata intersecando il cono con un piano perpendicolare ad una generatrice (ipotenusa del triangolo che ruota) La proprietà caratteristica dei punti della sezione conica è indicata dai geometri greci con il termine "sintomo"

11 Menecmo

12 Menecmo: ortotome Sul modello tridimensionale, si studiano le proprietà caratteristiche (sintomi) della sezione, espresse nella forma di proporzioni tra segmenti leggibili sul modello

13 Nel piano di base per il teorema di Euclide: CE 2 = DE EF Nel piano del triangolo per l'asse i triangoli DAE e VHA sono simili, quindi DE:AE=AV:AH DE:AE=2AV:2AH Ma 2AH=AI=EF DE:AE=2AV:EF cioè DE EF = AE 2AV Nel piano secante: CE 2 = AE 2AV= AE 2k

14 Menecmo

15 Apollonio, Coniche (225 a.c.) Se da un certo punto si traccia alla circonferenza di un cerchio non situato nello stesso piano del punto una retta (prolungata da una parte e dall altra) e sempre stando fisso il punto la retta ruotante lungo la circonferenza riprende la posizione da cui ha iniziato a muoversi, io chiamo SUPERFICIE CONICA quella che descritta dalla retta è composta da due superfici opposte nel vertice dove ciascuna cresce verso l infinito.

16 Nella teoria di Apollonio i coni sono obliqui. L'inclinazione del piano secante determina il tipo di sezione. Apollonio, Coniche (225 a.c.)

17 Apollonio ellisse : si ottiene quando il piano secante incontra entrambe le generatrici contenute nel piano assiale (lati del triangolo assiale); in tal caso il piano interseca tutte le generatrici del cono iperbole: si ottiene quando il piano secante interseca un lato del triangolo per l'asse e il prolungamento dell'altro; in tal caso due generatrici sono parallele al piano secante

18 Apollonio parabola quando il piano secante è parallelo a uno dei lati del triangolo per l asse non coincidenti con la sua base.

19 Menecmo - Apollonio In entrambi i casi assistiamo ad una genesi spaziale delle tre curve piane, nel primo la generazione delle tre diverse coniche nasce da uno stesso modo di sezionare tre coni distinti, mentre in Apollonio ognuna delle curve si ottiene a partire da un unico cono.

20 Il compasso perfetto I compassi "perfetti" (detti così perché possono tracciare sia circonferenze che archi di sezioni coniche qualsiasi) hanno una probabile origine araba (X-XII secolo). Nel periodo rinascimentale ne furono costruiti diversi esempi. F.Barozzi, Admirandum illud geometricum Ferrara (Codigoro)-26 novembre problema, 2012 Venetiis, 1586

21 Il compasso perfetto Il modello qui riprodotto è simile allo strumento descritto da Cavalieri nello Specchio Ustorio":

22 Il compasso perfetto Se si ha una parabola, se si ha un ellisse, Se si ha un iperbole

23 Teoria bidimensionale L uso di strumenti meccanici per tracciare coniche (e altre curve) è diffuso fino dall antichità, ma ha una straordinaria fioritura dopo la pubblicazione della Géométrie di Descartes, in cui agli strumenti meccanici e al movimento viene dato un ruolo fondamentale nel discorso teorico e nella soluzione dei problemi.

24 Descartes Descartes utilizza nello studio delle curve sia le equazioni sia gli strumenti tracciatori. Problemi fondamentali: quali sono gli strumenti ammissibili nella generazione delle curve? quali sono le linee che possono essere accolte in geometria?

25 Descartes - Secondo Descartes si possono accettare in geometria solo le curve descritte da un movimento continuo, o da più movimenti che si susseguano l un l altro in modo che i seguenti siano interamente determinati dai precedenti - [.] tutti i punti delle curve accettabili, che possiamo chiamare Geometriche, stanno necessariamente con tutti i punti di una retta in una certa relazione che può essere espressa per mezzo di una singola equazione (algebrica)

26 Il riferimento allo strumento favorisce lo sviluppo di molti trattati di geometria 'organica' (cioè geometria degli strumenti), ad opera di Cavalieri, Van Schooten, L'Hospital, Newton, Mac Laurin ecc. che progettano e studiano numerosi tracciatori per vari tipi di curve algebriche. Proprietà geometriche della curva strumento

27 Teoria bidimensionale La ricerca sulle coniche nel piano (durata diversi secoli) ha messo in evidenza numerose proprietà caratteristiche che stanno alla base di molti meccanismi inventati per tracciarle (conicografi).

28 Curvigrafi Macchine che obbligano un punto a muoversi nello spazio seguendo con esattezza una legge astrattamente, matematicamente determinata. Marcello Pergola (in Bartolini Bussi & Maschietto, 2006)

29 Esploriamo le macchine! Domande chiave Metodologia Divisione in piccoli Come sono fatte? gruppi Cosa fanno? Esplorazione delle diverse macchine da Perché lo fanno? parte di ciascun gruppo seguendo Cosa succederebbe anche le schede del se..? MMLab (quindi le schede usate dagli studenti) Esposizione finale dei gruppi

30 Le schede Oggi useremo le schede usate nel laboratorio delle macchine matematiche di Modena per svolgere le sessioni di laboratorio (1,5-2 ore) per studenti di scuola secondaria di secondo grado

31 Curvigrafi a filo

32 Come sono fatte? Sistemi con aste e fili I fili e le aste sono vincolati a perni o a scorrere su guide Aste e fili sono collegati La relazione tra le lunghezze delle aste e dei fili

33 Schemi d uso Tenere il filo teso Usare la matita per tracciare le curve Tenere il filo aderente all asta con la matita

34 Partiamo con il più conosciuto Ellissografo del giardiniere

35 Ellissografo a filo teso Ellissografo del giardiniere

36 Ellissografo a filo teso Con una punta T il filo di lunghezza l viene teso fra i punti F 1 ed F 2 in modo da formare un triangolo F 1 F 2 T. La punta T si sposta sul piano mantenendo il filo teso: allora essa traccia una ellisse i cui fuochi sono F 1 ed F 2. Questo perché T F 1 +T F 2 = l-f 1 F 2, ossia la somma delle distanze di P dai due fuochi è costante (proprietà caratteristica della ellisse).

37 Gli altri due strumenti a filo

38 Sistemi articolati

39 Come sono fatte? Cosa fanno? Piano di legno su cui sono incernierati dei sistemi articolati: ci sono punti fissi? Guide? Da quante aste sono composti, come sono collegate? Quali sono i movimenti possibili? Quali sono gli invarianti nella struttura? Individuazione del tracciatore Individuazione dei possibili punti tracciatori Come tracciare le curve?

40 Parabolografo a filo teso Arco di parabola avente fuoco in F e direttrice d. Perché: PF= l-ap =AH-AP=PH ossia il punto P è sempre equidistante da F e d (proprietà caratteristica della parabola).

41 G.F.A. De L'Hospital Théorie analytique des sections coniques Paris 1720 Vedere documenti sulla piattaforma

42 Iperbolografo a filo teso Arco di una iperbole di fuochi A e B Questo perché PB-PA= a-l ossia la differenza delle distanze di P dai due fuochi è costante (proprietà caratteristica dell iperbole).

43 Parabolografo del Cavalieri

44 Parabolografo del Cavalieri VC 2 = AC CK Relazione tra segmenti Se scegliamo un sistema di riferimento cartesiano y 2 = k x

45 E la definizione metrica della parabola? Luogo di punti del piano tali che

46 Ellissografo ad antiparallelogramma

47 Ellissografo ad antiparallelogramma P AP+PB= cost= lunghezza dell asta AD

48 Confronto con l ellissografo del giardiniere

49 Cosa succederebbe se? Cambiassimo la lunghezza delle aste? Cambiassimo punti fissi?

50 Dalle classi Report finali pubblicati sul sito delle macchine (link nella piattaforma) Parabolografo a filo teso- II Agrario- IV Igea Tutti i conicografi- III liceo sc. Ellissografi ad antinparallelogramma e a filo: II Ipsia Parabolografi ed ellissografi a filo e ad aste: III classico

51 Discussione finale Le sperimentazioni svolte, in atto e in progetto

52 Potenzialità Metodologia laboratoriale (confronto, discussione,lavoro a gruppi ) Sviluppo dei processi (dalla congettura alla dimostrazione) Aspetti storico epistemologici

53 Difficoltà/ostacoli Gestione dei gruppi e della discussione Tempi di realizzazione.

54 Diari di bordo A cosa può servire? Tenere traccia del lavoro Fermarsi a riflettere su cosa si è fatto Base per condividere e discutere

55 Report finale Format sulla piattaforma Questa relazione finale sulle attività svolte sarà pubblicata sul sito del MMLab

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57 TEOREMA DI DANDELIN Esistono due sfere iscritte in una superficie conica rotonda e tangenti ad un piano e non passa per il vertice) se l angolo (che la interseca della superficie conica (angolo acuto costante fra l asse della superficie e una delle sue generatrici) non è uguale all angolo formato dall asse della superficie col piano : in questo caso il piano individua sulla superficie conica una ellisse oppure una iperbole. I punti di contatto delle sfere inscritte nella superficie conica e tangenti al piano della sezione si dicono fuochi della conica. Si chiama direttrice corrispondente ad un fuoco la retta comune a e al piano che passa per il circolo di contatto della superficie conica con la sfera iscritta corrispondente al fuoco stesso.

58 Se invece = (caso della parabola) esiste una sola sfera tangente a. Quindi mentre ogni ellisse ed ogni iperbole ha due fuochi e due direttrici, ogni parabola ha un solo fuoco e una unica direttrice