Storia della Matematica

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1 Lezione Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, 31 Marzo 2014

2 Lettura e commento di brani di Archimede Brani da leggere e commentare: Calcolo euristico del volume della sfera Calcolo del volume della sfera con il metodo di esaustione Calcolo del volume del paraboloide di rotazione Nelle prossime slide viene illustrato il procedimento euristico per il calcolo del volume della sfera e vanno considerate insieme all esposizione originale di Archimede.

3 Calcolo euristico del volume della sfera: configurazione di partenza

4 Calcolo euristico del volume della sfera: ruotare

5 Calcolo euristico del volume della sfera: tagliare e spostare

6 Calcolo euristico del volume della sfera: riassemblare

7 Diagramma per dimostrare le relazioni di Equilibrio

8 Osservazioni sul calcolo euristico del volume della sfera Le condizioni di bilanciamento dei dischi segato sul cilindro con i dischi segati sul cono e sulla sfera e trasportati opportunamente sono derivate da considerazioni geometriche. L unico punto euristico della dimostrazione riguarda il passaggio dal bilanciamento dei dischi a quello delle intere figure. La procedura sarebbe completamente formale se le sezioni fossero in numero finito, ma il passaggio dal procedimento finito a quello infinito è giustamente considerato euristico, in quanto ben nota ad Archimede la delicatezza e la sostanziale differenza del procedimento finito rispetto a quello infinito. Archimede osserva anche, alla fine della spiegazione della procedura per il calcolo del volume della sfera, la seguente analogia: il cerchio di raggio r è equivalente al triangolo di altezza r e base uguale alla lunghezza della circonferenza. La sfera di raggio r è equivalente al cono di altezza r e base uguale a quattro cerchi di raggio r. Archimede ipotizza allora che la superficie della sfera di raggio r sia equivalenti a quattro cerchi di raggio r.

9 Congettura falsa Si noti, come illustrazione della delicatezza delle induzioni aventi a che fare con l infinito, la non correttezza del seguente argomento. Sia fissato un cerchio di raggio r. Il triangolo rettangolo di base uguale a mezza circonferenza e altezza uguale al raggio (figura magenta) è equivalente a metà del cerchio (figura cìano). Facendo ruotare il triangolo intorno alla sua altezza e il semicerchio intorno al suo diametro otteniamo un cono e una sfera. Visto che facciamo ruotare superfici equivalenti potremmo congetturare che i solidi di rotazione ottenuti siano equivalenti. Questa congettura è falsa in quanto il cono ha volume 1 3 π2 r 3 e la sfera ha volume 4 3 πr 3 Riflttendo su casi più semplici si capisce subito il perché. Si immagini di far ruotare un segmento verticale di data lunghezza posto a una data distanza dall asse di rotazione e lo stesso segmento posto a una distanza superiore. Le due superfici cilindriche hanno area diversa.

10 Area e volume della sfera con il metodo di esaustione La costruzione di un cerchio equivalente alla superficie di una sfera è discussa nella proposizione 33 dell opera sulla sfera e il cilindro. La costruzione di un cono equivalente a una sfera è discussa nella proposizione 34 dell opera sulla sfera e il cilindro. In entrambe le proposizioni viene impiegato il metodo di esaustione che evita un uso diretto dell infinito, come si fa invece nel metodo euristico. Nella discussione del volume della sfera si approssima la sfera con l unione di tronchi di cono. Si evita di calcolare la somma dei volumi dei tronchi di cono, introducento un argomento geometrico per la costruizione di un solido equivalente. Si noti qui la difficoltà di Archimede di trattare direttamente le somme e le serie. Una ragione è che per lui non si tratta di sommare grandezze ma di operare su proporzioni (cfr. Saito, lettera matematica Pristem). Il calcolo diretto di una progressione aritmetica è fatto nel calcolo del volume del paraboloide.

11 Area e volume del paraboloide con il metodo di esaustione Nella trattazione di paraboloidi, iperboloidi ed elissoidi, Archimede sembra avvicinarsi molto alla procedura di integrazione di Cauchy - Riemann. L argomento utilizzato da Archimee si può dividere in due parti: considerazioni geometriche sulle proprietà dei solidi elmentari con cui si approssimano le figure; calcolo della somma di una progressione aritmetica. Questa divisione non è così netta nelle altre applicazioni di Archimede del metodo di esaustione. Questo ha suggerito ad alcuni studiosi (cfr. Saito) di ipotizzare che: manca ad Archimede un metodo generale automatico e algoritmico per il calcolo dei volumi; manca l idea di approssimare il volume di una figura con somme di volumi di figure più semplici, sia perché manca l idea che il volume è un numero, sia perché la somma di grandezze in proporzione è ben più ardua della somma di numeri.

12 Forma finale del metodo di esaustione Sia P una figura che vogliamo dimostrare equivalente a dx. Siano I e C due serie di figure, inscritte e circoscritte a P, che soddisfano le condizioni 1 I < X < C 2 La differenza C I può essere resa piccola a piacere: Data una grandezza E, si può prendere una figura inscritta I e una figura circoscritta C in modo che sia C I < E. Se fosse, X > P si avrebbe X I < C I < E = X P cioè P < I che è impossibile poichè I è inscritto a P. Analogamente si mostra che se fosse X < P, si avrebbe assurdo C < P. Quindi risulta dimostrato che X = P.