Equivalenza di solidi e Volumi. Nel piano: Postulati dell equivalenza tra solidi: 1- due solidi uguali sono anche equivalenti (non viceversa)

Transcript

1 Equivalenza di solidi e Volumi Concetto primitivo : estensione spaziale Esemplificazione intuitiva: recipienti e liquidi. Due solidi aventi la stessa estensione si dicono equivalenti (suvvalenti o prevalenti). Dati due solidi A e B (che si intersechino al più in punti della loro superficie, ma non in punti interni) si definisce somma A+B il solido costituito da tutti i punti di A e di B. Se un solido C si può decomporre nella somma di due solidi C = A+B allora B si definisce solido differenza di A e C. Postulati dell equivalenza tra solidi: 1- due solidi uguali sono anche equivalenti (non viceversa) 2- l equivalenza tra solidi è una relazione di equivalenza (simmetrica, riflessiva e transitiva) 3- dati due solidi qualsiasi A e B si verifica sempre uno dei tre casi (A equiv.b, A suvv.b, A prev.b) e ciascuno esclude gli altri due 4- somme o differenze di solidi equivalenti sono equivalenti 5- la somma di più solidi gode della proprietà commutativa e associativa. Nel piano: Il metodo usato usualmente nei libri di testo della scuola secondaria superiore per passare dal concetto di equivalenza a quello di area (con relative formule ) segue la seguente traccia: 1 2

2 - si considerano i poligoni (convessi) - si introduce tra questi una relazione di equivalenza che deriva dalla nozione di equiscomponibilità (due poligoni P e Q sono equiscomponibili se è possibile scomporre entrambi nello stesso numero finito di parti poligonali uguali, nel senso della sovrapponibilità) - si dimostra (teorema) che ogni poligono è equiscomponibile con un opportuno rettangolo di cui un lato è arbitrariamente scelto e il secondo fissato di conseguenza. - per estendere rigorosamente la nozione di area al caso di figure non poligonali si deve fare ricorso a strumenti di analisi matematica (classi contigue, limite, estremo superiore ed estremo inferiore, intergrali ) Nello spazio: Se si vuole ripristinare un percorso parallelo a quello del caso piano, si devono fare le seguenti osservazioni: - si considera un famiglia di solidi sui quali applicare la stessa definizione di equivalenza come equiscomponibilità: i prismi. - già con le piramidi è necessario introdurre metodi infinitesimali: infatti esistono coppie di tetraedri (piramidi a base triangolare) equivalenti che non sono equiscomponibili (terzo problema di Hilbert, e teorema di Dehn-Hadwiger- Boltyanskii sulle condizioni per l equiscomponibililtà). Ricapitolando si affronta il problema di determinare il volume dei solidi studiati fino ad ora nei seguenti modi: Prismi: si ricorre ad un procedimento di equiscomponibilità (con parallelepipedi di cui si sa calcolare il volume una volta fissata come unità di misura il volume di un cubo di spigolo unitario) analogo a quello utilizzato nel caso piano per i poligoni. 3 4

3 Cilindri: il problema tridimensionale viene ricondotto al problema bidimensionale di approssimare le circonferenze di base del cilindro con poligono inscritti e circoscritti e poi il cilindro con prismi di uguale altezza costruiti con i poligoni utilizzati per le basi. Piramidi e poliedri: il problema sta nel non poter utilizzare l equiscomponibilità, già per un tetraedro. Principio di Cavalieri Se due solidi possono essere posti su di un piano α, in modo che le sezioni generate da tutti i piani paralleli ad α siano figure equivalenti, allora i due solidi sono equivalenti. In questo caso sono possibili vari approcci didattici: - verifica sperimentale (contenitori e liquidi) - dimostrazione con il Principio di Cavalieri (teorema) - scaloidi inscritti e circoscritti (prelude al calcolo intergrale) - calcolo integrale Coni: si approssima il volume del con quello di piramidi inscritte e circoscritte. Sfera: principio di Cavalieri applicato alla scodella di Galileo 5 6

4 Osservazione: sono forti i rischi di fraintendendimento. Per esempio il principio non vale per figure unidimensionali del piano comprese tra due rette parallele né per figure bidimensionali del piano comprese tra due piani paralleli: Infatti basta collocare i due prismi sopra uno stesso piano α in modo tale che stiano nello stesso semispazio individuato da α. Le sezioni con un piano parallelo ad α sono uguali alle rispettive basi e quindi equivalenti e dal Principio di Cavalieri sono equivalenti i solidi. Equivalenza tra prismi Il seguente teorema discende immediatamente dal Principio di Cavalieri: Teorema: prismi di base equivalenti e di uguali altezze sono equivalenti Corollario: un prisma qualunque è equivalente a un parallelepipedo rettangolo di base equivalente e di uguale altezza. Questo teorema (e di conseguenza il corollario ) si possono dimostrare direttamente.. 7 8

5 Teorema: due parallelepipedi aventi uguale una base e la relativa altezza sono fra loro equivalenti Siano ABC..H e A B C..H due parallelepipedi aventi uguale le basi ABCD e A B C D e le corrispondenti altezze. Per dimostrare che sono equivalenti pensiamo di spostare il secondo parallelepipedo sul primo in modo che la sua base si sovrapponga a quella del primo e i due parallelogrammi si trovino dalla stessa parte rispetto alla base. Il secondo parallelepipedo in questa sua nuova posizione avrà vertici ABCDE F G H. Per dimostrare che questo è equivalente al primo consideriamo le facce EFGH e E F G H opposte alla base comune, che sono uguali perché entrambe uguali ad ABCD, e sono nello stesso piano perché le altezze sono uguali. Se le due facce coincidessero, coinciderebbero anche i parallelepipedi e dunque il teorema sarebbe dimostrato. Escluso questo caso, i due parallelogrammi EFGH e E F G H sono uguali, nello stesso piano e hanno i lati ordinatamente paralleli, perché paralleli a quelli di ABCD. I lati possono essere compresi tra le due stesse parallele o no. Da qui si deducono tre possibilità: 1- le due facce sono comprese tra le stesse parallele FE e GH : da qui segue che i due parallelepipedi ABC..H e ABC.. H sono compresi tra i due piani paralleli ADE e BCH, e se le due facce EFGH e E F G H hanno in comune un parallelogramma EF G H (che può anche ridursi ad un segmento), i due parallelepipedi hanno in comune il prisma che ha per base ADEF e come spigolo laterale il segmento AB, mentre le due parti rimanenti sono i due prismi triangolari AF FGBG e DE EHCH che, avendo le facce ordinatamente uguali 9 10

6 sono uguali. Quindi i due parallelepipedi come somma di parti uguali sono uguali. Non trattiamo gli altri due casi: Idea nel caso di due prismi triangolari con le basi uguali: 2- facce comprese tra due parallele ma senza punti in comune 3- facce non comprese tra due parallele. Si dimostra poi il seguente Teorema: due prismi qualsiasi con le basi equivalenti e uguali altezze sono equivalenti. 11 Preso G punto medio dello spigolo AB, e costruito il parallelogramma ACMG, si dimostra che i due prismi triangolari HPFGBN e PDLMNC sono uguali e quindi il prisma di partenza è equivalente al parallelepipedo EHLDAGMC. Facendo la stessa costruzione per il secondo prisma si trova che è equivalente ad un parallelepipedo che ha base ed altezza uguali a quello determinato per il primo prisma e pertanto è ad esso equivalente (teorema precedente). Se si considerano due prismi qualsiasi, con le basi equivalenti B e B e le altezze uguali, dal fatto che due poligoni equivalenti si possono decomporre nello stesso numero di triangoli uguali, otteniamo che i due 12

7 prismi si possono decomporre nello stesso numero di prismi triangolari con le basi uguali e le stesse altezze e quindi equivalenti per la prima parte del teorema. Equivalenza tra piramidi Sempre da Principio di Cavalieri segue il: Teorema: piramidi di basi equivalenti e di uguali altezze sono equivalenti Collochiamo le due piramidi sopra uno stesso piano α in modo tale che stiano nello stesso semispazio individuato da α. Se le basi sono equivalenti, lo sono pure le sezioni con un piano parallelo ad α (sono poligoni simili alle rispettive basi.) e quindi i due solidi risultano equivalenti e dal Principio di Cavalieri sono equivalenti i solidi. Volume della piramide Teorema: Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma di uguale base e di uguale altezza. Consideriamo la piramide a base triangolare OABC. Dal vertice O conduciamo il piano parallelo alla base ABC e dai punti B e C le parallele allo spigolo OA fino a intersecare il piano tracciato nei punti E e D. In questo modo si ottiene un prisma triangolare che ha la stessa base ABC del tetraedro e la stessa altezza (prisma e piramide sono compresi tra piani paralleli). Il prisma costruito risulta somma del tetraedro dato e di una piramide a base quadrangolare BCDE e vertice O

8 Consideriamo il piano passante per le due rette OB e OD: esso divide la piramide quadrangolare in due piramidi triangolari, una di base BED e vertice O e l altra di base BCD e vertice O. Le basi sono uguali perché BD è diagonale del parallelogramma BCDE, le altezze sono uguali perché in comune (distanza di O dal piano BCDE), quindi le due piramidi sono equivalenti. Se consideriamo il tetraedro OED con base il triangolo OED e vertice B, si vede che è equivalente al tetraedro dato perché ha base uguale e uguale altezza. Concludendo, il prisma triangolare è somma di tre piramidi equivalenti tra loro e perciò ciascuna di esse è equivalente alla terza parte del prisma con uguale base e uguale altezza. Se infine si considera una piramide qualunque, ci si può ricondurre al caso di un tetraedro. Infatti si può triangolare la base tracciando e diagonali da uno dei vertici, 15 e si decompone quindi la piramide nella somma di piramidi a base triangolare che sono equivalenti ad un terzo di prisma. 16

9 17 Volume della Sfera Il volume della sfera di raggio r si ottiene prendendo i 4/3 del prodotto del cubo del raggio per π. Lo si può dimostrare con il Principio di Cavalieri. Consideriamo in un piano un semicerchio di raggio AB = 2r e, tracciato il raggio OH perpendicolare ad AB, si conducano per A,B e H le tangenti al semicerchio, che determinano il rettangolo ADCB di base 2r e altezza r. Facendo ruotare questa figura attorno ad OH, il rettangolo ABCD descrive un cilindro con il raggio della base e l altezza uguali ad r; il triangolo rettangolo isoscele ODC descrive un cono che ha pure raggio di base ed altezza uguali ad r, e quindi è equivalente ad un terzo del cilindro ottenuto. Infine il semicerchio descrive un emisfero di raggio r. Se si toglie dal cilindro l emisfero si ottiene un solido (la scodella di Galileo), e vogliamo mostrare che questa scodella è equivalente al cono costruito. Per il principio di Cavalieri basta mostrare che sono equivalenti le sezioni determinate, nel cono e nella scodella, dal piano perpendicolare al segmento OH in un qualsiasi suo punto E. Questo piano taglia il piano della figura secondo una parallela ad AB e, denotando con F,G,L le sue intersezioni con AD, con l arco AH e con OD, la sezione del cono è la circonferenza di raggo EL, la sezione della scodella è la corona circolare compresa tra le due circonferenze, concentriche in E, di raggi EF ed EG. Pertanto si tratta di dimostrare che 18 cioè π EL 2 = π EF 2 - π EG 2 EL 2 = EF 2 - EG 2 Osserviamo che il triangolo rettangolo ELO ha gli angoli acuti di 45 e quindi EL=EO, mentre congiungendo O con G, e applicando il teorema di Pitagora si ottiene:

10 EO 2 = OG 2 - EG 2 Ma, essendo OG = EF = r, e EO = EL, la relazione sopra diventa EL 2 = EF 2 - EG 2 Quindi l equivalenza è dimostrata. Per ricavare il volume della sfera basta considerare che, avendo dimostrato che il volume del cono è uguale a quello della scodella, Vol(scod.)=Vol(cono)=Vol(cilindro)-Vol (emisfero) e quindi Vol(emisfero)=Vol(cilindro)-Vol (cono) ed essendo il volume del cono 1/3 del volume del cilindro, segue Vol(emisfero)=2/3 Vol(cilindro) Vol(sfera)=4/3 Vol(cilindro)= 4/3 (r)( πr 2 ) 19