VERIFICA SPERIMENTALE 2

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1 VERIFICA SPERIMENTALE 2 Verifichiamo che il volume della sfera è pari a 4 volte il volume di un cono avente come base il cerchio di raggio pari al raggio della sfera e come altezza il raggio della sfera, o come dice Archimede, che qualunque sfera è quadrupla del cono avente la base uguale al circolo massimo della sfera e l altezza uguale al raggio della sfera. Considerazioni preliminari Pensiamo anche noi come Archimede che i due solidi siano composti o riempiti da tutti i loro elementi, cioè pensiamo ad ogni figura solida composta da infinite sezioni piane parallele aventi un peso reale ; la somma del peso di tali lastre piane mi darà il peso della sfera e del cono, rispettivamente. Considerando allora una bilancia a bracci diversi, verificare la relazione sopra scritta significa verificare che in condizione di equilibrio vale la relazione P 1 D 1 =P 2 D 2, dove P 1 e P 2 sono i pesi rispettivamente della sfera e del cono, posti rispettivamente a distanza D 1 =1u e D 2 =4 u dal fulcro (u=unità di misura sui bracci della leva). Il cono di cui parla Archimede ha raggio di base r ( uguale al raggio della sfera) e altezza pari a r. Sfortunatamente a nostra disposizione abbiamo solo un cono, che chiamiamo P 2 ', con raggio di base r ma altezza pari a 2r. Ricordando che il Volume di un cono si determina con la formula ( ) i volumi di P 2 e P 2 ' sono: ( ) e ( )

2 cioè il cono P 2 ' è doppio del volume del cono P 2, ossia P 2 = 2 P 2 Per cui dobbiamo dimostrare che il volume della sfera V sfera è il doppio del volume del cono V =V cono P 2 a nostra disposizione: (o equivalentemente o ) Materiale Bilancia elettronica e calibro Bilancia a bracci diversi Cono cavo, in plastica, di raggio di base r e altezza 2r (con r=10cm) e massa m=35,2 g Sfera cava, in plastica, di raggio r (con r=10cm) e massa m=52,0 g Acqua colorata con fluoresceina Procedimento Pesiamo con una bilancia elettronica i due solidi cavi per misurare la loro massa e con il calibro misuriamo il diametro della sfera, il raggio di base del cono e la sua altezza, trovando conferma dei valori sopra scritti. Usiamo come unità di misura per i pesi il grammo peso (g) Posiamo la sfera e il cono nella bilancia e posizioniamo i piattini nella bilancia in modo tale che la sfera si trovi dal fulcro 2 unità mentre il cono 4 unità. Ma il sistema non è in equilibrio. Infatti, il peso di ogni piatto è 75 g, la sfera 52 g e il cono 35,2 g; se vogliamo che le tare siano in equilibrio, per la legge della leva, i momenti dei due pesi devono essere uguali. Invece, se calcoliamo i momenti, tenendo conto che il cono è appeso in un punto della leva con un braccio doppio rispetto a quello della sfera, abbiamo: M 1 = (P piatto + P sfera cava ) 2 = (75+52) 2= 254 g u M 2 = (P piatto + P cono cavo ) 4= (75+35,2) 4= 440,8 g u

3 Perché i momenti siano uguali devo aggiungere (440,8-254):2=93,4 g al sistema piatto+sfera. Li aggiungiamo troviamo effettivamente una situazione di equilibrio. Poiché il sostegno del piatto della sfera tende a toccare l asta verticale della bilancia, spostiamo entrambi i piatti in modo da mantenere il rapporto tra la lunghezza dei bracci costante; sospendiamo la sfera a 3u e il cono a 6u: il sistema è ancora in equilibrio. Riempiamo con acqua colorata con fluoresceina i nostri solidi. Si osserva che i solidi, una volta riempiti d acqua, si trovano ancora in equilibrio.

4 Considerazioni finali Dato che i piatti della bilancia, quando abbiamo appoggiato la sfera+pesetti e il cono sono in equilibrio, ne deduciamo che vale la legge della leva: (P piatto + P sfera cava + P pesetti ) D 1 = (P piatto + P cono cavo ) D 2 ossia (P piatto + P sfera cava + P pesetti ) 3= (P piatto + P cono cavo ) 6 Verifichiamolo anche matematicamente: M 1 =(P piatto + P sfera cava + P pesetti ) 3 = ( ,4) 3= 661,2 g u M 2 =(P piatto + P cono cavo ) 6 = (75+35,2) 6= 661,2 g u Dopo aver riempito i due solidi con l acqua la leva era ancora in equilibrio, per cui possiamo scrivere: (P piatto + P sfera cava + P pesetti +P sfera ) 3= (P piatto + P cono cavo + P cono ) 6 3(P piatto + P sfera cava + P pesetti )+ 3 P sfera = 6(P piatto + P cono cavo )+ 6P cono dove P sfera e P cono rappresentano il peso dell acqua con cui sono stati riempiti rispettivamente la sfera e il cono. Poiché sappiamo che il momento delle tare è uguale (lo abbiamo provato sia con il calcolo matematico sia sperimentalmente, in quanto le tare erano in equilibrio), possiamo semplificare la scrittura, ottenendo così 3P sfera =6P cono ossia P sfera =2P cono Ricordiamo che il liquido contenuto nel cilindro e nella sfera è il medesimo, quindi con uguale densità, e che il Peso si calcola come P=mg=dVg; di conseguenza possiamo dedurre che vale anche la relazione V sfera =2V cono

5 ossia che il volume della sfera è pari al doppio del volume del cono V avente lo stesso raggio r di base e altezza pari al doppio del raggio della sfera, ossia è pari a quattro volte il volume del cono V avente lo stesso raggio r di base e altezza pari al raggio della sfera. Abbiamo dunque dimostrato meccanicamente che: