Cartography Oakway Campus West Ave. City Hall Central Park EastAve. 74 Maple Blvd. Highway One-way Main Street Traffic light Street Corso di: Lezione: Fondamenti di Trasporti Corso di Laurea Ingegneria Civile AA 0910 Giuseppe Inturri Università di Catania Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale
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Il modello di offerta 4 Il modello di offerta è un modello matematico che simula gli aspetti rilevanti del funzionamento di un sistema di trasporto aspetti topologici (relazioni spaziali) aspetti funzionali (relazioni quantitative) aspetti prestazionali (performance) Il modello di offerta si costruisce dopo le fasi di individuazione dell area di studio, zonizzazione ed estrazione della rete di base.
Il modello di offerta 5 I modelli matematici dei sistemi di offerta di trasporto utilizzano da un lato la teoria dei grafi e delle reti per rappresentare la struttura topologica e funzionale del sistema e dall altro i risultati di diverse discipline dell ingegneria i per descrivere le «prestazioni» i e le interazioni i i degli elementi che lo compongono. la meccanica dll della locomozione viene utilizzata t per descrivere il moto di un veicolo isolato su una data infrastruttura l ingegneria del traffico per analizzare le relazioni fra le infrastrutture fisiche, con le loro caratteristiche, ed il flusso di veicoli che le impegna.
rete reale e rappresentazione con il grafo 6 Real Network Graph Representation
Grafi 7 Un grafo G è costituito da una coppia ordinata di insiemi un insieme N di elementi, detti nodi un insiemei L di coppie di nodi appartenenti ti ad N, dette archi o rami G = (N,L).
Grafi 8 I grafi costituiscono un potente strumento di rappresentazione che può essere impiegato per descrivere realtà (sistemi) molto diverse. Il grafo costituisce una rappresentazione esclusivamente «topologica», ovvero consente unicamente di sapere se fra due qualunque elementi del sistema esiste la relazione che definisce gli archi, ma nessuna informazione quantitativa è associata a tale relazione.
Questi grafi sono uguali 9
Grafi 10 Le coppie di nodi possono essere ordinate, cioè la coppia (i,j) (,j) èdiversa dalla coppia (j,i), nel qual caso l arco (i,j) sidiceorientato o direzionale, oppure le coppie possono essere non ordinate e quindi gli archi non orientati. ti La rappresentazione piùimmediataèquellagrafica, nella quale i nodi sono individuati con un cerchietto contrassegnato da un numero e gli archi da segmenti che connettono le varie coppie di nodi costituenti l insieme L. Ogni arco orientato possiede una freccia che indica il verso di orientamento. Le rappresentazioni numeriche di un grafo possono essere matriciali o vettoriali.
Grafi 1 4 5 11 2 3 La matrice di adiacenza ha un numero di righe e di colonne pari al numero dei nodi. L elemento Lelementodella matrice individuato dalla riga i e dalla colonna i è uguale ad 1 se la coppia di nodi (i,j) fa parte dell insieme L, è uguale a 0 altrimenti. Nella matrice di incidenza nodi-archi ogni riga corrisponde ad un nodo, ogni colonna ad un arco. L elemento ij della matrice è uguale a zero se il nodo i-esimo non appartiene all arco arco corrispondente alla colonna j, è uguale a 1 se è il nodo iniziale dell arco orientato (cioè il primo elemento della coppia ordinata di nodi), è uguale a 1 se è il nodo finale. Matrice di adiacenza 1 2 3 4 5 1 0 0 0 1 0 2 1 0 1 0 1 3 0 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0 5 1 0 1 1 0 Matrice di incidenza nodi-archi 1-4 2-1 2-3 2-5 3-5 4-3 5-1 5-3 5-4 1 1-1 0 0 0 0-1 0 0 2 0 1 1 1 0 0 0 0 0 3 0 0-1 0 1-1 0-1 0 4-1 0 0 0 0 1 0 0-1 5 0 0 0-1 -1 0 1 1 1
Grafi 12 In un grafo si definisce cammino, percorso o itinerario una sequenza di archi, nella quale il nodo finale di ciascun arco coincide con il nodo iniziale del successivo. Per esempio la sequenza (5,1), (1,4), (4,3), è un percorso. Un percorso si dice circuito o loop se il nodo finale del percorso coincide con quello iniziale. Per esempio l itinerario (5,1), (1,4), (4,3), (3,5) è un circuito Un grafo in cui ciascun nodo è collegato mediante un arco a ciascun altro nodo si dice completo. 4 1 5 2 3
Grafi completi 13 1 4 5 3 2
Grafi 14 I grafi impiegati per rappresentare sistemi di trasporto sono generalmente non completi. Un grafo si dice connesso seciascunnodoèorigine di almeno un itinerario che ha come estremo un qualsiasi altro nodo del grafo. Un grafo (in cui non è presente alcun circuito) nel quale esiste un solo itinerario che collega un nodo i con ciascun altro nodo si dice albero di radice i. Un albero è un esempio di grafo non connesso in quanto non esistono percorsi che collegano i diversi nodi con la radice.
Alberi di radice 2 15 1 4 5 1 4 5 2 3 1 4 5 2 3 2 3 1 4 5 1 4 5 2 3 2 3
Grafo con percorsi possibili fra i centroidi Nelle reti di trasporto sono rilevanti solamente i 1 4 percorsi che collegano coppie di nodi nei quali iniziano e terminano degli spostamenti; tali nodi, 5 vengono denominati centroidi. Per un dato grafo, con un numero prefissato di nodi 2 3 centroidi, è possibile elencare tutti i possibili percorsi che connettono i nodi centroidi 1 4 5 Percorsi 1 1-4 4-3 3-5 2 1-2 2-5 3 12 1-2 23 2-3 35 3-5 4 5-1 1 4 5 2 3 2 3 16 1 4 5 1 4 5 2 3 2 3
Matrice di incidenza archi-percorsi La matrice di incidenza archi-percorsi A ha tante righe quanti sono gli archi del grafo e tante colonne quanti gli itinerari: aij vale1sel arcoifa parte dell itinerario j, zero altrimenti La matrice di incidenza coppie di nodi-percorsi B, ha tante righe quante le coppie di nodi e tantet colonne quanti i percorsi: bij vale 1 se l itinerario j collega la coppia i (cioè ha come nodi di estremità la i- esima coppia, zero altrimenti). Matrice di incidenza Archi-Percorsi 1 2 3 4 1-2 0 1 1 0 1-4 1 0 0 0 2-1 0 0 0 0 2-3 0 0 1 0 25 2-5 0 1 0 0 3-5 1 0 1 0 4-3 1 0 0 0 5-1 0 0 0 1 5-3 0 0 0 0 5-4 0 0 0 0 1 4 2 5 3 17
Dal grafo alla rete 18 Un grafo diventa rete di trasporto quando ad ogni ramo è associata una caratteristica quantitativa. La caratteristica quantitativa può essere costante, ad es. tempo di percorrenza di una tratta ferroviaria o funzione di una serie e di parametri, a es. tempo di percorrenza e di un ramo stradale dipendente dal flusso di traffico. 35 30 minuti) tempo ( 25 20 15 10 5 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 traffico (veicoli/ora)
Esempio di grafo di una rete di trasporto stradale 19 I nodi rappresentano punti fisici del territorio e precisamente sono situati in corrispondenza di intersezioni tra diverse strade o in corrispondenza di strozzature su una stessa strada. Gli archi orientati rappresentano i collegamenti tra questi diversi punti, cioè tratti di strada con caratteristiche geometriche, funzionali e prestazionali omogenee.
Esempio di grafo di una rete di trasporto stradale 20 Una strada a doppio senso di marcia è rappresentata con due archi, rappresentativi ciascuno del proprio p senso di marcia. Un tratto di strada tra due intersezioni a senso unico è rappresentata con un solo arco, secondo il verso di percorrenza.
Esempio di grafo stradale urbano 21
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Grafo intersezione stradale e grafo ferroviario nazionale 23
Indice di utilizzabilità di una rete 25 3 2 n nodi numero massimo di rami n r archi r 3 n 2 indice di connettività A B r 3(n-2) Gamma A 4 9 0.44 B 6 9 0.66 C D C D 8 9 9 9 0.88 1.0
Elementi reali ed elementi fittizi 26 I nodi rappresentativi di intersezioni sono detti nodi reali, per distinguerli dai nodi centroidi; gli archi rappresentativi di tratti di strada sono detti anche archi reali. I nodi reali sono numerati progressivamente apartire da numeri successivi i a quelli utilizzati per i centroidi. I nodi centroidi sono collegati alla rete di trasporto tramite archi fittizi, detti archi connettori, rappresentativi degli spostamenti che avvengono per raggiungere g la rete di base, a partire dal luogo reale di origine dello spostamento, utilizzando una viabilità locale non rappresentata sul grafo.
Esempio di modello di offerta per una rete di trasporto privato 27
Grafo di una rete di trasporto collettivo 28 Un modello di offerta di un sistema di trasporto collettivo (su ferro o su gomma) rappresenta le diverse fasi dello spostamento: Accesso al sistema (pedonale o altro modo) Attesa alla fermata/stazione t Viaggio a bordo del veicolo Uscita dal sistema Rispetto al caso stradale dobbiamo usare più tipologie di archi e nodi.
Grafo di una rete di trasporto collettivo 29 Tipologie di archi Tipologie di nodi Connettori Centroidi Pedonali Pedonali Di salita Fermata Di discesa Di linea Di linea
Grafo di una rete di trasporto collettivo 30 In generale in uno spostamento su un sistema di trasporto collettivo il modello prevede che l utente percorra i seguenti archi: Arco connettore Archi pedonali Dal centroide di origine ad un nodo pedonale Fino a raggiungere un nodo fermata Arco di salita DalD l nodo fermata al nodo di linea Archi di linea Arco di discesa Archi pedonali Spostamento a bordo del veicolo Dal nodo di linea corrispondente alla fermata Fino a giungere al nodo pedonale collegato al centroide Arco connettore Fino al nodo centroide di destinazione
Grafo di una rete di trasporto collettivo 31
Costo generalizzato di trasporto 33 Ad ogni arco di un grafo che rappresenta un sistema di trasporto è attribuita una caratteristica quantitativa. Tale caratteristica può rappresentare il costo generalizzato sostenuto dall utente per percorrere quell arco, o una aliquota dello stesso costo (ad esempio il solo tempo di percorrenza). Il costo generalizzato medio di trasporto, o più sinteticamente il costo di trasporto di un arco, è una variabile che sintetizza il valore medio delle diverse voci di costo sopportate dagli utenti così come da loro percepite nella effettuazione delle scelte di trasporto e, più in particolare, nella scelta del percorso.
Costo generalizzato di trasporto 34 In altri termini il costo di trasporto di un arco riflette la disutilità degli utenti a percorrere l arco stesso (attraversare l elementol fisicoi e/o svolgere l attività ità rappresentata dall arco). Gli elementi che compongono il costo di trasporto sono in generale grandezze non omogenee, per esempio tempo di percorrenza, costo monetario, discomfort,..
Costo di un arco 35 Costo di arco con: c a = β 1 t a + β 2 c ma c a costo generalizzato di trasporto relativo all arco arco a t a tempo di attraversamento relativo all arco a c ma costo monetario (ad esempio il pedaggio) relativo all arco a β 1 e β 2 coefficienti reciproca sostituzione
Funzioni di costo 36 Tale caratteristica può essere: Una costante; in questo caso si parla di costo dell arco; Una funzione del numero di utenti sull arco; in questo caso si parla di funzione di costo dell arco. Gli archi cui è attribuito un costo indipendente dal flusso di utenti sono detti non congestionati. Gli archi con funzione di costo, quindi con costo dipendente dal flusso, sono detti congestionati. Le reti che hanno alcuni o tutti i rami congestionati, si chiamano reti congestionate. In generale: le reti di trasporto stradale individuale sono rappresentate da modelli di offerta con reti congestionate (il tempo di percorrenza su un arco stradale dipende dal flusso di veicoli che lo percorre) le reti di trasporto ferroviario e stradale collettivo sono rappresentati da modelli di offerta con reti non congestionate (si assume, nella maggior parte dei casi, che il tempo di percorrenza su un arco di un sistema di trasporto collettivo sia indipendente dal numero di utenti che lo percorre)
Funzioni di costo per il trasporto stradale 37 Reti di trasporto privato Si assume che il costo associato ad un arco sia pari solo al tempo impiegato per percorrerlo. Per gli archi connettori si assume che tale tempo (t a ) sia indipendente dal flusso di autoveicoli (archi non congestionati) e pari al rapporto tra lunghezza dell arco L a ed una velocità media di percorrenza v a, funzione delle caratteristiche della rete non rappresentata sul grafo: Si può assumere una velocità di: 15-20 km/h in zone urbane centrali 20-30 km/h in zone urbane periferiche 30-40 km/h in ambito extraurbano t a = L a / v a
Funzioni di costo per il trasporto stradale 38 Gli archi reali, invece, si assumono congestionati, cioè il tempo di percorrenza sull arco dipende dal flusso f a sull arco stesso. Il tempo di percorrenza di un arco reale è dato dalla somma di due aliquote: Tempo di running tr a per percorrere l arco larco Tempo di attesa tw a all intersezione al termine dell arco t a (f a )=tr a (f a )+tw a (f a )
Arco di rete autostradale 39 Il tempo di running è prevalente, il tempo di attesa viene trascurato t a (f a )= tr a (f a ) La funzione di costo più utilizzata è la BPR (Bureau of Public Roads) t a f a L L L fa Cap a a a v 0 vc v 0 a v 0 km/h velocità media a flusso nullo sull arco v c km/h velocità critica sull arco (velocità media con flusso pari alla capacità) f a Veic/h flusso sull arco Cap a Veic/h la capacità dell arco e coefficienti adimensionali da calibrare; (=0.7-1.0, =2.0-4.0)
Andamento della funzione BPR 40
Arco di rete stradale extraurbana con due corsie per senso di marcia 41 con t a L v L v L v fa Cap a a a f a 0 c 0 a V O (km/h) = 56,6 + 3,2 L u +4,5L o - 2,4 P - 9,6 T - 5,4 D L u m larghezza utile dell arco L o m distanza degli ostacoli laterali dal bordo della strada (striscia gialla o cunetta) P % pendenza T grado di tortuosità dell arco (elevato=1; medio=0,66; basso=0,33; nullo=0) D coefficiente i di disturbo (=1 se vi è disturbo laterale, l 0 altrimenti).
Arco di rete stradale extraurbana con una corsia per senso di marcia 42 t a f a, f * a L a La L f a f a * v 0 vc v0 Cap a * a con V O (km/h) = 56,6 + 3,2 L u +4,5L o -2,4P-9,6T-5,4D f * a Veic/h Flusso sull arco di verso opposto Cap * a Veic/h Capacità globale in entrambi i versi
Arco di reti stradale urbana 43 Il tempo di attesa alle intersezioni non è trascurabile, anzi è spesso è quello prevalente, quindi vanno considerati entrambi i termini. Il tempo di running è calcolato come rapporto tra lunghezza dell arco e velocità media di percorrenza, che può essere ipotizzata dipendente dal flusso. tr a =L a /v a (f a )
Arco di reti stradale urbana 44 La velocità in ambito urbano dipende da diversi fattori; una possibile formula empirica è la seguente: v 1 12P 2 a (f a ) = 31.1 + 2.8Lu a 1.2P a -12.8T a2 10.4D a - 1.4INT (0.000053+0.000123X)(f a /Lu a ) 2 Lu a M Larghezza utile dell arco (larghezza geometrica meno larghezza sosta) P a % Pendenza media Se il tempo di running può considerarsi T a [0,1] Grado di tortuosità costante, si trascura l ultimo elemento della formula D a [0,1] Grado di disturbo della circolazione INT Km -1 Numero di intersezioni secondarie per km X 0/1 Possibilità di soprpasso
Arco di reti stradale urbana 45 Il calcolo del tempo di attesa alle intersezioni dipende se questa è semaforizzata o no. La maggior parte delle formule non sono semplici da ricordare e si rimanda ai testi specifici. In teoria la formula di Doherty fornisce un valore infinito del ritardo per f a (V/C)S a In pratica si considera valida per f a 0.95(V/C)S a e si utilizza il prolungamento lineare per f a >(V/C)S a Per le intersezioni semaforizzate è molto usata la formula di Doherty.
Andamento della formula di Doherty 46
Funzioni di costo per il trasporto collettivo 47 In generale, i sistemi di trasporto collettivo (su gomma o su ferro) si rappresentano con modelli di rete non congestionata. L ipotesi è accettabile e significa che si trascura la riduzione di velocità commerciale legata alle fasi di salita e discesa dei passeggeri alle fermate/stazioni e si trascura il costo percepito dagli utenti in relazione al grado di affollamento a bordo. Di seguito indichiamo i metodi di calcolo del tempo di arco di rete di trasporto collettivo.
Funzioni di costo per il trasporto collettivo 48 Archi connettori ed archi pedonali tp a =L a /Vp a Vp a =0.8-1.0 m/s se la fermata/stazione è raggiunta a piedi, velocità diverse nel caso del park-and-ride and ride Archi di salita Ad essi si assegna il tempo medio di attesa tw a dell utente alla fermata, pari alla metà dell intertempo della linea (o delle linee) per sistemi ad elevata frequenza (bus urbani, metro, ecc.). Se il sistema è ad orario, il tempo di attesa è 10-15 minuti indipendentemente dalla frequenza. Archi di discesa Il tempo di percorrenza dell arco di discesa td a è fissato in funzione del tipo di veicolo del sistema di trasporto; ad esempio si può fissare un tempo di 2-5 sec per utente per un autobus e di 10-30 sec per un treno (considerata la possibilità di coda in discesa)
Funzioni di costo per il trasporto collettivo Archi di linea Il tempo di percorrenza su un arco di linea tl a si calcola attraverso i diagrammi del moto o in funzione della velocità commerciale media misurata sul sistema. Per un sistema su ferro (metropolitana, ferrovia, ecc.) in sede completamente riservata, il tempo dipercorrenza su un arco di linea si può calcolare in funzione delle caratteristiche di velocità massima, accelerazione, contraccolpo e tempo di sosta alla fermata stazione. tl a = L a /v max + v max /a m + a m /j m + ts a ts a è il tempo medio di sosta dell arco a assunto pari alla media dei tempi medi di sosta del nodo di origine e del nodo di destinazione dell arco a. Per i sistemi in sede totalmente o parzialmente promiscua (tram, autobus, ecc.) si preferisce misurare o stimare la velocità commerciale media della linea, che dipende non solo dalle caratteristiche dei veicoli (velocità massima, accelerazione, ecc.), ma anche dal traffico stradale sulla sede promiscua. Detta v cm tale velocità, il tempo medio di percorrenza è semplicemente tl a = L a /v cm 49
50 diagramma a contraccolpi costanti diagramma trapezio diagramma rettangolare
Tempo di percorrenza con diagramma trapezio 51 l AB 2 MAX 1 l2 l1 l AB l2 vmax t 2 t1 2aM l v v 2a 2 MAX M t t AB 2 v v a M a M MAX t t t t t t t1 2 1 AB 2 2 1 t 1 l AB v a v MAX 2 MAX M l v AB MAX v a MAX M MAX t AB v a MAX M l AB v a v MAX 2 MAX M v a MAX M 2v a MAX M l v AB MAX v a MAX M diagramma trapezio
esercizi con grafi e funzioni di costo 52 determinare la matrice di incidenza archi-percorsi per la rete seguente e calcolare i costi di percorso 1 2 3 Ramo Costo Ramo Costo 1-2 8 4-5 1 1-3 8 4-6 4 2-3 4 5-3 2 4 5 2-4 2 5-4 4 6 3-2 3 5-6 1 4-2 5 6-5 1