Analisi dell offerta di trasporto

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1 Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale - AA 113 Corso di: Fondamenti di Trasporti Lezione: Analisi dell offerta di trasporto Giuseppe Inturri Università di Catania Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale ginturri@dica.unict.it

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3 Il modello di offerta Il modello di offerta è un modello matematico che simula gli aspetti rilevanti del funzionamento di un sistema di trasporto aspetti topologici (relazioni spaziali) aspetti funzionali (relazioni quantitative) aspetti prestazionali (performance) Il modello di offerta si costruisce dopo le fasi di individuazione dell area di studio, zonizzazione ed estrazione della rete di base. 4

4 Il modello di offerta I modelli matematici dei sistemi di offerta di trasporto utilizzano da un lato la teoria dei grafi e delle reti per rappresentare la struttura topologica e funzionale del sistema e dall altro i risultati di diverse discipline dell ingegneria per descrivere le «prestazioni» e le interazioni degli elementi che lo compongono. la meccanica della locomozione viene utilizzata per descrivere il moto di un veicolo isolato su una data infrastruttura l ingegneria del traffico per analizzare le relazioni fra le infrastrutture fisiche, con le loro caratteristiche, ed il flusso di veicoli che le impegna. 5

5 rete reale e rappresentazione con il grafo Real Network Graph Representation 6

6 Grafi Un grafo G è costituito da una coppia ordinata di insiemi un insieme N di elementi, detti nodi un insieme L di coppie di nodi appartenenti ad N, dette archi o rami G = (N,L). 7

7 Grafi I grafi costituiscono un potente strumento di rappresentazione che può essere impiegato per descrivere realtà (sistemi) molto diverse. Il grafo costituisce una rappresentazione esclusivamente «topologica», ovvero consente unicamente di sapere se fra due qualunque elementi del sistema esiste la relazione che definisce gli archi, ma nessuna informazione quantitativa è associata a tale relazione. 8

8 Questi grafi sono uguali 9

9 Grafi Le coppie di nodi possono essere ordinate, cioè la coppia (i,j) è diversa dalla coppia (j,i), nel qual caso l arco (i,j) si dice orientato o direzionale, oppure le coppie possono essere non ordinate e quindi gli archi non orientati. La rappresentazione più immediata è quella grafica, nella quale i nodi sono individuati con un cerchietto contrassegnato da un numero e gli archi da segmenti che connettono le varie coppie di nodi costituenti l insieme L. Ogni arco orientato possiede una freccia che indica il verso di orientamento. Le rappresentazioni numeriche di un grafo possono essere matriciali o vettoriali. 10

10 Grafi La matrice di adiacenza ha un numero di righe e di colonne pari al numero dei nodi. L elemento della matrice individuato dalla riga i e dalla colonna i è uguale ad 1 se la coppia di nodi (i,j) fa parte dell insieme L, è uguale a 0 altrimenti. Nella matrice di incidenza nodi-archi ogni riga corrisponde ad un nodo, ogni colonna ad un arco. L elemento ij della matrice è uguale a zero se il nodo i-esimo non appartiene all arco corrispondente alla colonna j, è uguale a 1 se è il nodo iniziale dell arco orientato (cioè il primo elemento della coppia ordinata di nodi), è uguale a 1 se è il nodo finale. 11 Matrice di adiacenza Matrice di incidenza nodi-archi

11 Grafi In un grafo si definisce cammino, percorso o itinerario una sequenza di archi, nella quale il nodo finale di ciascun arco coincide con il nodo iniziale del successivo. Per esempio la sequenza (5,1), (1,4), (4,3), è un percorso. Un percorso si dice circuito o loop se il nodo finale del percorso coincide con quello iniziale. Per esempio l itinerario (5,1), (1,4), (4,3), (3,5) è un circuito Un grafo in cui ciascun nodo è collegato mediante un arco a ciascun altro nodo si dice completo. 1

12 Grafi completi

13 Grafi I grafi impiegati per rappresentare sistemi di trasporto sono generalmente non completi. Un grafo si dice connesso se ciascun nodo è origine di almeno un itinerario che ha come estremo un qualsiasi altro nodo del grafo. Un grafo (in cui non è presente alcun circuito) nel quale esiste un solo itinerario che collega un nodo i con ciascun altro nodo si dice albero di radice i. Un albero è un esempio di grafo non connesso in quanto non esistono percorsi che collegano i diversi nodi con la radice. 14

14 Alberi di radice

15 Grafo con percorsi possibili fra i centroidi Nelle reti di trasporto sono rilevanti solamente i percorsi che collegano coppie di nodi nei quali iniziano e terminano degli spostamenti; tali nodi, vengono denominati centroidi. Per un dato grafo, con un numero prefissato di nodi centroidi, è possibile elencare tutti i possibili percorsi che connettono i nodi centroidi Percorsi

16 Matrice di incidenza archi-percorsi La matrice di incidenza archi-percorsi A ha tante righe quanti sono gli archi del grafo e tante colonne quanti gli itinerari: aij vale 1 se l arco i fa parte dell itinerario j, zero altrimenti La matrice di incidenza coppie di nodi-percorsi B, ha tante righe quante le coppie di nodi e tante colonne quanti i percorsi: bij vale 1 se l itinerario j collega la coppia i (cioè ha come nodi di estremità la i-esima coppia, zero altrimenti). O-D 1-5 O-D Matrice di incidenza Archi-Percorsi

17 tempo (minuti) Dal grafo alla rete Un grafo diventa rete di trasporto quando ad ogni ramo è associata una caratteristica quantitativa. La caratteristica quantitativa può essere costante, ad es. tempo di percorrenza di una tratta ferroviaria o funzione di una serie di parametri, es. tempo di percorrenza di un ramo stradale dipendente dal flusso di traffico traffico (veicoli/ora)

18 Esempio di grafo di una rete di trasporto stradale I nodi rappresentano punti fisici del territorio e precisamente sono situati in corrispondenza di intersezioni tra diverse strade o in corrispondenza di strozzature su una stessa strada. Gli archi orientati rappresentano i collegamenti tra questi diversi punti, cioè tratti di strada con caratteristiche geometriche, funzionali e prestazionali omogenee. 19

19 Esempio di grafo di una rete di trasporto stradale Una strada a doppio senso di marcia è rappresentata con due archi, rappresentativi ciascuno del proprio senso di marcia. Un tratto di strada tra due intersezioni a senso unico è rappresentata con un solo arco, secondo il verso di percorrenza. 0

20 Esempio di grafo stradale urbano 1

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23 Grafo intersezione stradale e grafo ferroviario nazionale 4

24 Indice di utilizzabilità di una rete 3n numero massimo di archi n r nodi archi r 3 n indice di connettività A B r 3(n-) Gamma A B C D C D

25 Elementi reali ed elementi fittizi I nodi rappresentativi di intersezioni sono detti nodi reali, per distinguerli dai nodi centroidi; gli archi rappresentativi di tratti di strada sono detti anche archi reali. I nodi reali sono numerati progressivamente a partire da numeri successivi a quelli utilizzati per i centroidi. I nodi centroidi sono collegati alla rete di trasporto tramite archi fittizi, detti archi connettori, rappresentativi degli spostamenti che avvengono per raggiungere la rete di base, a partire dal luogo reale di origine dello spostamento, utilizzando una viabilità locale non rappresentata sul grafo. 6

26 Esempio di modello di offerta per una rete di trasporto privato 7

27 Grafo di una rete di trasporto collettivo Un modello di offerta di un sistema di trasporto collettivo (su ferro o su gomma) rappresenta le diverse fasi dello spostamento: Accesso al sistema (pedonale o altro modo) Attesa alla fermata/stazione Viaggio a bordo del veicolo Uscita dal sistema Rispetto al caso stradale dobbiamo usare più tipologie di archi e nodi. 8

28 Grafo di una rete di trasporto collettivo Tipologie di archi Connettori Pedonali Di salita Di discesa Di linea Tipologie di nodi Centroidi Pedonali Fermata Di linea 9

29 Grafo di una rete di trasporto collettivo In generale in uno spostamento su un sistema di trasporto collettivo il modello prevede che l utente percorra i seguenti archi: Arco connettore Archi pedonali Arco di salita Archi di linea Arco di discesa Archi pedonali Arco connettore Dal centroide di origine ad un nodo pedonale Fino a raggiungere un nodo fermata Dal nodo fermata al nodo di linea Spostamento a bordo del veicolo Dal nodo di linea corrispondente alla fermata Fino a giungere al nodo pedonale collegato al centroide Fino al nodo centroide di destinazione 30

30 Grafo di una rete di trasporto collettivo 31

31 Costo generalizzato di trasporto Ad ogni arco di un grafo che rappresenta un sistema di trasporto è attribuita una caratteristica quantitativa. Tale caratteristica può rappresentare il costo generalizzato sostenuto dall utente per percorrere quell arco, o una aliquota dello stesso costo (ad esempio il solo tempo di percorrenza). Il costo generalizzato medio di trasporto, o più sinteticamente il costo di trasporto di un arco, è una variabile che sintetizza il valore medio delle diverse voci di costo sopportate dagli utenti così come da loro percepite nella effettuazione delle scelte di trasporto e, più in particolare, nella scelta del percorso. 33

32 Costo generalizzato di trasporto In altri termini il costo di trasporto di un arco riflette la disutilità degli utenti a percorrere l arco stesso (attraversare l elemento fisico e/o svolgere l attività rappresentata dall arco). Gli elementi che compongono il costo di trasporto sono in generale grandezze non omogenee, per esempio tempo di percorrenza, costo monetario, discomfort,.. 34

33 Costo di un arco Costo di arco con: c a = β 1 t a + β c ma c a costo generalizzato di trasporto relativo all arco a t a tempo di attraversamento relativo all arco a c ma costo monetario (ad esempio il pedaggio) relativo all arco a β 1 e β coefficienti di reciproca sostituzione 35

34 Funzioni di costo Tale caratteristica può essere: Una costante; in questo caso si parla di costo dell arco; Una funzione del numero di utenti sull arco; in questo caso si parla di funzione di costo dell arco. Gli archi cui è attribuito un costo indipendente dal flusso di utenti sono detti non congestionati. Gli archi con funzione di costo, quindi con costo dipendente dal flusso, sono detti congestionati. Le reti che hanno alcuni o tutti i rami congestionati, si chiamano reti congestionate. In generale: le reti di trasporto stradale individuale sono rappresentate da modelli di offerta con reti congestionate (il tempo di percorrenza su un arco stradale dipende dal flusso di veicoli che lo percorre) le reti di trasporto ferroviario e stradale collettivo sono rappresentati da modelli di offerta con reti non congestionate (si assume, nella maggior parte dei casi, che il tempo di percorrenza su un arco di un sistema di trasporto collettivo sia indipendente dal numero di utenti che lo percorre) 36

35 Funzioni di costo per il trasporto stradale Reti di trasporto privato Si assume che il costo associato ad un arco sia pari solo al tempo impiegato per percorrerlo, si trascura cioè il costo monetario, soprattutto in ambito urbano. Per gli archi connettori si assume che tale tempo (t a ) sia indipendente dal flusso di autoveicoli (archi non congestionati) e pari al rapporto tra lunghezza dell arco L a ed una velocità media di percorrenza v a, funzione delle caratteristiche della rete non rappresentata sul grafo: t a = L a / v a Si può assumere una velocità di: 15-0 km/h in zone urbane centrali 0-30 km/h in zone urbane periferiche km/h in ambito extraurbano 37

36 Funzioni di costo per il trasporto stradale Gli archi reali, invece, si assumono congestionati, cioè il tempo di percorrenza sull arco dipende dal flusso f a sull arco stesso. Il tempo di percorrenza di un arco reale è dato dalla somma di due aliquote: Tempo di running per percorrere l arco, tr a Tempo di attesa all intersezione al termine dell arco, tw a t a (f a )= tr a (f a )+tw a (f a ) 38

37 Arco di rete autostradale Il tempo di running è prevalente, il tempo di attesa viene trascurato t a (f a )= tr a (f a ) La funzione di costo più utilizzata è la BPR (Bureau of Public Roads) t a f a L v a 0 L v a c L v a 0 fa Cap a v 0 km/h velocità media a flusso nullo sull arco (velocità di un veicolo isolato) v c km/h velocità critica sull arco (velocità media quando il flusso è pari alla capacità) f a Veic/h flusso sull arco Cap a Veic/h la capacità dell arco e coefficienti adimensionali da calibrare; (= , =.0-4.0) 39

38 Andamento della funzione BPR 40

39 Arco di rete stradale extraurbana con due corsie per senso di marcia con t a f a L v a 0 L v a c L v fa Cap V O (km/h) = 56,6 + 3, L u + 4,5 L o -,4 P - 9,6 T - 5,4 D a 0 a L u m larghezza utile dell arco 41 L o m distanza degli ostacoli laterali dal bordo della strada (striscia gialla o cunetta) P % pendenza T grado di tortuosità dell arco (elevato=1; medio=0,66; basso=0,33; nullo=0) D coefficiente di disturbo (=1 se vi è disturbo laterale, 0 altrimenti).

40 4 Arco di rete stradale extraurbana con una corsia per senso di marcia con V O (km/h) = 56,6 + 3, L u + 4,5 L o -,4 P - 9,6 T - 5,4 D * * 0 0 *, a a a a c a a a a a Cap f f v L v L v L f f t f a * Veic/h Flusso sull arco di verso opposto Cap a * Veic/h Capacità globale in entrambi i versi

41 Arco di reti stradale urbana Il tempo di attesa alle intersezioni non è trascurabile, anzi è spesso è quello prevalente, quindi vanno considerati entrambi i termini. Il tempo di running è calcolato come rapporto tra lunghezza dell arco e velocità media di percorrenza, che può essere ipotizzata dipendente dal flusso. tr a =L a /v a (f a ) 43

42 Arco di reti stradale urbana La velocità in ambito urbano dipende da diversi fattori; una possibile formula empirica è la seguente: v a (f a ) = Lu a 1.P a -1.8T a 10.4D a -1.4INT ( X)(f a /Lu a ) Se il tempo di running può considerarsi costante, si trascura l ultimo elemento della formula Lu a m Larghezza utile dell arco (larghezza geometrica meno larghezza sosta) P a % Pendenza media T a [0,1] Grado di tortuosità D a [0,1] Grado di disturbo della circolazione INT Km -1 Numero di intersezioni secondarie per km X 0/1 Possibilità di sorpasso (0 per ramo a più corsie, 1 in caso contrario 44

43 Arco di reti stradale urbana Il calcolo del tempo di attesa alle intersezioni dipende se questa è semaforizzata o no. La maggior parte delle formule non sono semplici da ricordare e si rimanda ai testi specifici. In teoria la formula di Doherty fornisce un valore infinito del ritardo per f a (V/C)S a In pratica si considera valida per f a 0.95(V/C)S a e si utilizza il prolungamento lineare per f a >(V/C)S a Per le intersezioni semaforizzate è molto usata la formula di Doherty. 45

44 Andamento della formula di Doherty 46

45 Funzioni di costo per il trasporto collettivo In generale, i sistemi di trasporto collettivo (su gomma o su ferro) si rappresentano con modelli di rete non congestionata. L ipotesi è accettabile e significa che si trascura la riduzione di velocità commerciale legata alle fasi di salita e discesa dei passeggeri alle fermate/stazioni e si trascura il costo percepito dagli utenti in relazione al grado di affollamento a bordo. Di seguito indichiamo i metodi di calcolo del tempo di arco di rete di trasporto collettivo. 47

46 Funzioni di costo per il trasporto collettivo Archi connettori ed archi pedonali tp a = L a /Vp a Vp a = m/s se la fermata/stazione è raggiunta a piedi, velocità diverse nel caso del park-and-ride Archi di salita Ad essi si assegna il tempo medio di attesa tw a dell utente alla fermata, pari alla metà dell intertempo della linea (o delle linee) per sistemi ad elevata frequenza (bus urbani, metro, ecc.). Se il sistema è ad orario, il tempo di attesa è minuti indipendentemente dalla frequenza. Archi di discesa Il tempo di percorrenza dell arco di discesa td a è fissato in funzione del tipo di veicolo del sistema di trasporto; ad esempio si può fissare un tempo di -5 sec per utente per un autobus e di sec per un treno (considerata la possibilità di coda in discesa) 48

47 Funzioni di costo per il trasporto collettivo Archi di linea Il tempo di percorrenza su un arco di linea tl a si calcola attraverso i diagrammi del moto o in funzione della velocità commerciale media misurata sul sistema. Per un sistema su ferro (metropolitana, ferrovia, ecc.) in sede completamente riservata, il tempo di percorrenza su un arco di linea si può calcolare in funzione delle caratteristiche di velocità massima, accelerazione, contraccolpo e tempo di sosta alla fermata stazione. tl a = L a /v max + v max /a m + a m /j m + ts a ts a è il tempo medio di sosta dell arco a assunto pari alla media dei tempi medi di sosta del nodo di origine e del nodo di destinazione dell arco a. Per i sistemi in sede totalmente o parzialmente promiscua (tram, autobus, ecc.) si preferisce misurare o stimare la velocità commerciale media della linea, che dipende non solo dalle caratteristiche dei veicoli (velocità massima, accelerazione, ecc.), ma anche dal traffico stradale sulla sede promiscua. Detta v cm tale velocità, il tempo medio di percorrenza è semplicemente tl a = L a /v cm 49

48 50 diagramma a contraccolpi costanti diagramma trapezio diagramma rettangolare

49 Tempo di percorrenza con diagramma trapezio l AB l MAX 1 l l1 l AB l vmax t t1 am v v a MAX M (1) t AB dalla (1) t MAX t t t t t t t1 1 AB 1 am t 1 l v l MAX 1 l AB v a v MAX MAX M v l v AB MAX v a MAX M v a MAX M () (3) t dalle () e (3) AB v a MAX M l AB v a v MAX MAX M v a MAX M v a MAX M l v AB MAX v a MAX M 51 diagramma trapezio

50 Calcolo del tempo di attesa in una intersezione semaforizzata 5

51 Intersezione semaforizzata Calcolare il tempo medio di attesa e la lunghezza media della coda di un intersezione semaforizzata. Flusso di saturazione s Il flusso di saturazione s è la portata oraria massima di veicoli di una data corsia o gruppo di corsie che può attraversare l intersezione in presenza di verde fisso. Si parla di saturazione immaginando che i veicoli mantengano un intertempo minimo e costante e che ci troviamo in presenza di una domanda continua e costante Un valore tipico è s=1900 veic/h/corsia e corrisponde ad in intertempo minimo h = 3600/s = 1.9 sec. Questo valore massimo teorico è condizionato da diversi fattori: larghezza della corsia, pendenza, manovre di sosta parallele alla corsia, distribuzione del traffico tra le diverse corsie dell accesso, presenza di fermate di bus, presenza di pedoni, percentuale di veicoli pesanti, ecc. Inoltre le corsie che consentono manovre di svolta a destra e a sinistra hanno flussi di saturazione più bassi. Dunque in generale il flusso di saturazione base di 1900 viene ridotto moltiplicando per dei coefficienti correttivi (vedi HCM)

52 Intersezione semaforizzata Tempo perso all intersezione t L Esiste un tempo perso quando il segnale del semaforo passa da rosso a verde per l inerzia necessaria a passare da flusso nullo a flusso di saturazione. C è dunque una parte del tempo verde che non viene utilizzata (circa sec) Esiste un tempo perso quando il segnale passa da verde a giallo per la parte finale del tempo di giallo che non è utilizzata. Esiste inoltre spesso una fase di rosso per tutti gli accessi all intersezione che costituisce ulteriore tempo perso

53 Intersezione semaforizzata Tempi di rosso e verdi effettivi G Y AR R C g = G+Y+AR-t L r = R+t L r = C-g tempo di verde del semaforo tempo di giallo del semaforo tempo di rosso per tutti del semaforo tempo di rosso del semaforo tempo di ciclo del semaforo tempo di verde effettivo tempo di rosso effettivo, oppure tempo di rosso effettivo

54 Intersezione semaforizzata Capacità c c = s. g/c tempo di verde del semaforo È la portata oraria massima di una corsia o gruppo di corsie attraverso l intersezione

55 Intersezione semaforizzata Schematizziamo l intersezione come un sistema di coda tipo D/D/1 Siano λ il tasso di arrivo (veic/sec) dei veicoli di un ramo dell intersezione e μ il tasso di partenze (veic/sec) dei veicoli che attraversano l intersezione Sia la capacità μ (veic/sec) dell intersezione maggiore del tasso di arrivo, dunque il numero di veicoli che attraversano l intersezione nel tempo di verde μg sia superiore al numero di veicoli che arrivano λc

56 Numero di veicoli Intersezione semaforizzata In figura t c è il tempo necessario, dall inizio del verde, perché non ci siano veicoli in coda Partenze mt λ(r+ t c )= μ t c Ρ=λ/μ t c =ρr / (1- ρ) r tc g λ(r+ t c )= μ t c Arrivi lt tempo t Il tempo totale speso in coda in un ciclo da tutti i veicoli è pari all area di un triangolo D t =λr /+λrt c /= λ r /(1- ρ) C Il ritardo medio per veicolo è d avg lr 1 1 lc C1 r

57 Esempio intersezione semaforizzata Flusso di saturazione di un ramo di accesso all intersezione Tempo di verde effettivo Tempo di ciclo Flusso in arrivo al ramo di accesso s=400 veic/h g=4 s C=80 s v=500veic/h λ = 500/3600 = veic/s tasso di arrivo μ = 400/3600 = veic/s tasso di partenza ρ =0.138/0.667 = 0.08 intensità di traffico c=μg = 0.667x4 = 16 veic/ciclo> λc = x 80=11.1 veic/ciclo d avg r C

58 Esempio intersezione semaforizzata Se indichiamo con X=v/c il rapporto tra flusso e capacità, si ha anche X= λc/μg e dunque per l intensità di traffico ρ = λ/μ = X(g/C) C Xg C g C C Xg C C g C g C C Xg C g C C r d avg La formula dell HCM è dunque equivalente a quella ottenuta dalla teoria delle code per un sistema D/D/1. In questo caso non è previsto il formarsi di code, se ρ<1