ESERCIZIO 1 Si forniscano due approssimazioni polinomiali (ottenute con due metodi diversi) della funzione f(x) definita per punti dalla seguente tabella x i -0.5 1 1.5 f(x i ) 0 1 1.5 Primo metodo : interpolazione polinomiale, approccio di Newton ; Tavola delle differenze divise : x i f(x i ) -0.5 0 1 1 0.666667 1.5 1.5 1 0.166667 parabola interpolatrice : p 2 (x) = 0.666667(x+0.5) + 0.166667(x+0.5)(x-1). Secondo metodo : minimi quadrati, calcolo la retta. 4 45. sistema per il calcolo della retta dei minimi quadrati : 45. 975. a0 dalla cui risoluzione si trova a = 0. 346154 1 0. 730769 retta dei minimi quadrati : p 1 (x) = a 0 + a 1 x + = 0.346154+0.730769x. a0 a = 55. 1 10. 75 ESERCIZIO 2 Assegnata per punti la funzione f(x) : x i -1-0.5 0.5 1 1.5 f(x i ) 0.2190 0.0470 0.6789 0.6793 0.9347 la si approssimi con una costante mediante il metodo dei minimi quadrati. la costante dei minimi quadrati coincide con il valor medio : y = a 0 = 5 i= 1 f ( x i )/5 = 0.511772.
ESERCIZIO 3 x i 1 1.5 2.5 3 3.5 f(x i ) 1.5 0.8-0.3-2 -1.5 i) si imposti il sistema lineare per il calcolo della retta dei minimi quadrati ; ii) se ne esegua la fattorizzazione LU con pivoting parziale ; iii) si esegua la sostituzione in avanti ed indietro ; iv) si scriva l espressione della retta dei minimi quadrati. i) sistema per il calcolo della retta dei minimi quadrati : 4 45. 45. 975. a0 a = 55. 1 10. 75 ii) fattorizzazione LU della matrice del sistema : scambio prima e seconda riga [2 1] 45. 975. 4 45., m 21 = 5/11.5= 0.434783, 45. 975. 088889. 41667. ; avremo 1 0 45. 975. L = 088889. 1 e U = 0 41667. ; iii) risoluzione dei due sistemi triangolari : b [-9.3-1.5] 10. 75 2. 82907 Ly = b y = 4. 0556 ; Ua = y a = 136047. ; iv) retta dei minimi quadrati : p 1 (x) = a 0 + a 1 x + = 2.82907-1.36047x. ESERCIZIO 4 x i 1 1.5 2.5 3 3.5 f(x i ) -1.5-0.8 0.5 1.8 1.5 i) si imposti il sistema lineare per il calcolo della retta dei minimi quadrati ; ii) se ne esegua la fattorizzazione LU con pivoting parziale ; iii) si esegua la sostituzione in avanti ed indietro ; iv) si scriva l espressione della retta dei minimi quadrati. 5 115. a0 i)sistema per il calcolo della retta dei minimi quadrati : 115. 30. 75 a = 15. 1 92. ii) fattorizzazione LU della matrice del sistema : scambio prima e seconda riga [2 1]
115. 30. 75 5 115., m 21 = 5/11.5= 0.434783, 115. 30. 75 0. 434783 186957. ; avremo 1 0 L = 0. 434783 1 e U = 115. 30. 75 0 186957. ; iii) risoluzione dei due sistemi triangolari : b [9.2 1.5] Ly = b y = 92. 25. ; Ua = y a = 2. 77558 ; 133721. iv) retta dei minimi quadrati : p 1 (x) = a 0 + a 1 x + = -2.77558 + 1.33721x ESERCIZIO 5 F() -2 1-1 -1 1 0 2 3 i) si imposti il sistema per il calcolo della parabola dei minimi quadrati ii) si esegua la fattorizzazione LU della matrice del sistema iii) si risolvano i due sistemi triangolari iv) si scriva l espressione della parabola dei minimi quadrati. i)sistema per il calcolo della parabola dei minimi quadrati : 4 0 10 0 10 0 10 0 34 a 0 3 a1 = 5 a2 15 ii) fattorizzazione LU della matrice del sistema : scambio prima e terza riga [3 2 1] 10 0 34 0 10 0 4 0 10, m 21 = 0, m 31 = 0.4, 10 0 34 0 10 0 ; poiche` m 32 = 0 avremo 04. 0 36.
1 0 0 10 0 34 L = 0 1 0 e U = 0 10 0 ; 04. 0 1 0 0 36. iii) risoluzione dei due sistemi triangolari : b [15 5 3] 15 1333. Ly = b y = 5 ; Ux = y x = 05. ; 3 08333. iv) parabola dei minimi quadrati : p 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = -1.333 + 0.5x +0.8333x 2. ESERCIZIO 6 F() -3 1-1 -1 1 0 3 3 i) si imposti il sistema per il calcolo della parabola dei minimi quadrati ii) si esegua la fattorizzazione LU della matrice del sistema iii) si risolvano i due sistemi triangolari iv) si scriva l espressione della parabola dei minimi quadrati. i)sistema per il calcolo della parabola dei minimi quadrati : 4 0 20 0 20 0 20 0 164 a 0 3 a1 = 7 a2 35 ii) fattorizzazione LU della matrice del sistema : scambio prima e terza riga [3 2 1] 20 0 164 0 20 0, m 21 = 0, m 31 = 0.2, 4 0 20 20 0 164 0 20 0 ; poiche` m 32 = 0 avremo 02. 0 128.
1 0 0 20 0 164 L = 0 1 0 e U = 0 20 0 ; 02. 0 1 0 0 128. iii) risoluzione dei due sistemi triangolari : b [35 7 3] Ly = b y = 35 7 4 08125. ; Ux = y x = 035. ; 0. 3125 iv) parabola dei minimi quadrati : p 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = -0.8125 + 0.35x +0.3125x 2. ESERCIZIO 7 x i -0.5 1 1.5 2.5 f(x i ) 0 1 1.5 3 i) si imposti il sistema lineare per il calcolo della retta dei minimi quadrati ; ii) se ne esegua la fattorizzazione LU con pivoting parziale ; iii) si esegua la sostituzione in avanti ed indietro ; iv) si scriva l espressione della retta dei minimi quadrati i)sistema per il calcolo della retta dei minimi quadrati : 4 45. 45. 975. a0 a = 55. 1 10. 75 ii) fattorizzazione LU della matrice del sistema : scambio prima e seconda riga [2 1] 45. 975. 4 45., m 21 = 4/4.5= 0.8889, 45. 975. 088889. 41667. ; avremo 1 0 45. 975. L = 088889. 1 e U = 0 41667. ; iii) risoluzione dei due sistemi triangolari : b [10.75 5.5] 10. 75 0. 28000 Ly = b y = 4. 0556 ; Ua = y a = 0. 97333 ; iv) retta dei minimi quadrati : p 1 (x) = a 0 + a 1 x + = 0.28000 +0.97333x. ESERCIZIO 8
Data la funzione f(x) = senx +x 2 : a) se ne calcoli il polinomio interpolatore nei tre nodi di Chebyshev in [-1, 1] ; b) si scriva la formula dell errore di interpolazione ; c) si calcoli un maggiorante dell errore. a) 3 nodi di Chebyshev in [-1, 1] : x k = cos( ( 2 k + 1) π ), k = 0, 1, 2 con n = 3 ossia 2n x 0 = cos(π/6) = 3 /2 x 1 = cos(π/2) = 0 x 2 = cos(5π/6) = - 3 /2. Calcolo il polinomio interpolatore con il metodo di Newton alle Differenze Divise : x i f(x i ) 0,8660254 1,511759981 0 0 1,745630064-0,866025-0,011759981 0,013579257 1 parabola interpolatrice : p 2 (x) = 1.511756+1.74563(x-0.8660254) + (x-0.8660254)x. b) errore di interpolazione e(x) = f(x) -p 2 (x) = f (3) (ξ) (x-x 0 )(x-x 1 )(x-x 2 )/(n+1)! nel nostro caso e(x) = -cos(ξ) x (x 2 - ¾) /6 c) e(x) = -cos(ξ) x (x 2 - ¾) /6 ; poiche cos(ξ) 1 e il valore massimo di x (x 2 - ¾) in [-1, 1] e ¼ e(x) 1/24. ESERCIZIO 9 Si fornisca l espressione in forma di Newton del polinomio di terzo grado che interpola i seguenti dati : F() -1 1-0,5-2 0 0,5 0,5 1 Tabella delle Differenze Divise :
F() -1 1-0,5-2 -6 0 0,5 5 11 0,5 1 1-4 -10.p(x)=1-6(x+1)+11(x+1)(x+0.5)-10(x+1)(x+0.5)x. ESERCIZIO 10 Si fornisca l espressione in forma di Newton del polinomio di terzo grado che interpola i seguenti dati : F() -0.5 1 0-2 0.5 0.5 1 1 Tabella delle Differenze Divise : F() -0,5 1 0-2 -6 0,5 0,5 5 11 1 1 1-4 -10.p(x)=1-6(x+0,5)+11(x+0,5)x-10(x+0,5)x(x-0,5) ESERCIZIO 11 Eseguendo il minor numero possibile di operazioni costruire il polinomio p 3 (x) che interpola i dati -2-1.5 1 2.5 F() 1.2 2.1-0.5 0.7 e il polinomio p 4 (x) che interpola i dati -2-1.5 1 2.5 2 F() 1.2 2.1-0.5 0.7-1.5
Si utilizza il metodo di Newton che consente, al contrario di quello di Lagrange, di sfruttare i conti già fatti ogniqualvolta si aggiunge un punto di interpolazione. Si trova prima p 3 (x) che interpola f nei punti dati ad esclusione di (2,-1.5), poi p 4 (x) calcolando una sola riga aggiuntiva della tabella delle differenze divise. F() -2 1,2-1,5 2,1 1,8 1-0,5-1,04-0,94667 2,5 0,7 0,8 0,46 0,312593 p 3 (x) = 1.2 + 1.8*(x+2) - 0.94667*(x+2)(x+1.5) + 0.312593*(x+2)(x+1.5)(x-1) aggiungo una riga alla tabella : F() -2 1,2-1,5 2,1 1,8 1-0,5-1,04-0,94667 2,5 0,7 0,8 0,46 0,312593 2-1,5 4,4 3,6 0,897143 0,146138 p 4 (x) = p 3 (x) + 0.146138*(x+2)(x+1.5)(x-1)(x-2).