15. Antico gioco russo In un antico gioco russo, attraverso i risultati casuali ottenuti dall allacciamento di cordicelle, i giovani cercavano una previsione sul tipo di legame che si sarebbe instaurata in una coppia (amore o amicizia). Ecco il gioco che sperimenterai con i tuoi compagni di classe (anche se le coppie non saranno maschio-femmina):. Si danno a ogni coppia 3 spaghi di circa 30 cm, che un componente della coppia terrà in un pugno chiuso, in modo che escano le estremità ai due lati del pugno La seconda persona deve fare due nodi sul pugno, unendo gli estremi di spago di sinistra con quelli di destra, ma lasciando due estremi non annodati. Quando si apre il pugno, gli spaghi appaiono secondo una delle tre tipologie: 0 anelli, solo 1 spago lungo 1 anello + 1 spago: 2 anelli + 1 spago Nell originale gioco russo, 0 anelli = resteranno sempre amici e basta 1 anello soltanto = uno vorrebbe ma l altro no 2 anelli = si sposeranno 64
1. Fa il gioco col tuo compagno di banco e nota i risultati ottenuti. Assieme al tuo professore raccogli in una prima tabella i risultati di tutta la classe, rilevando la frequenza dei tre eventi non si è formato nessun anello, si è formato un solo anello, si sono formati due anelli. Trovane poi la frequenza relativa (n di realizzazioni di un evento / n totale di effettuazioni del gioco) e traducila in. Prima tabella: numero Disegna (a mano o con un foglio di calcolo tipo Excel) l istogramma che rappresenta la frequenza relativa di ogni evento. 2. Ricomincia altre 4 volte il gioco, il professore aggiunge questi risultati a quelli precedenti, quintuplicando così il numero di rilevazioni. Seconda tabella: numero Disegna di nuovo l istogramma delle frequenze relative. Cosa osservi sulle frequenze di ogni evento? Puoi fare una congettura sul comportamento in generale di queste frequenze? 3. Prova a prevedere questi risultati tramite un ragionamento basato sui calcoli: con il tuo compagno di banco (oppure come compito a casa), cerca di individuare teoricamente tutti i modi di annodare i due spaghi e di contare, fra tutti i casi possibili, quanti danno 0 anelli, 1 anello, 2 anelli (la ricerca può essere fatta con diagramma ad albero, tabella o altro; si lascia la totale libertà sul metodo). Per facilitare la comprensione dei vari metodi che saranno proposti da te o i tuoi compagni, chiama gli estremi degli spaghi A-A, B-B, C-C. Nel calcolo delle probabilità si usa la formula : probabilità di ottenere n anelli P(n) = n casi che danno n anelli n tutti i casi possibili compila quindi la tabella delle probabilità: P(n) Disegna l istogramma delle probabilità e confrontalo con l istogramma dei dati statistici. Più grande sarà il numero di esperimenti che farai, più ti avvicinerai al risultato teorico trovato con il calcolo delle probabilità. E quello che dice la Legge empirica del caso : In una serie di prove ripetute nelle medesime condizioni, al crescere del numero n delle prove, la frequenza relativa di un evento tende a coincidere con la sua probabilità. 65
PER IL DOCENTE Antico gioco russo Classe consigliata: 1^ o 2^ Strumenti: eventualmente Excel (per gli istogrammi) PREREQUISITI percentuali diagrammi ad albero o tabelle OBIETTIVO DELL ATTIVITA capire la differenza fra dati statistici e previsione probabilistica concetto di frequenza assoluta e relativa costruzione di istogrammi approccio alla legge empirica del caso CONCETTI SOGGIACIENTI (eventualmente sviluppabili) Prima dell esperimento, preparare un sufficiente numero di spaghi, di circa 30 cm. Nella fase di osservazione dei risultati, precisare che produce un anello sia l annodamento di un unico spago con se stesso che di due annodati assieme. 1. Prima raccolta dati Raccogliere alla lavagna i risultati, illustrare i concetti di frequenza relativa e frequenza assoluta, di istogramma. Chiedere agli studenti di trasformare le frequenze assolute in. Se gli studenti non ne sono ancora a conoscenza, illustrare la costruzione di istogrammi con Excel, producendo quello relativo alla prima raccolta dati. 2. Seconda raccolta dati Fare costruire il secondo istogramma dagli studenti. Si nota che la tendenza ad avere una frequenza maggiore per 1 anello, intermedia per 0 anelli e minore per 2 anelli si conferma, lasciando prevedere che il risultato non è dunque casuale. 66
3. Previsione con calcolo delle probabilità Da questa considerazione nasce la curiosità di provare ad analizzare a tavolino le varie situazioni che si possono presentare nell annodare due spaghi su tre. E utile dare agli studenti una notazione (A-A, B-B, C-C ) comune per la rappresentazione degli spaghi al fine di facilitare la comunicazione e la comprensione delle varie soluzioni individuate dagli studenti. Il compito può essere svolto in gruppo oppure lasciato come riflessione da sviluppare con maggior tempo a casa. Illustrare con alcuni semplici esempi (giochi di carte, dadi) la formula: probabilità di ottenere n anelli : P(n) = n casi che producono n anelli n tutti i casi possibili Metodo con tabella: la tabella rappresenta le possibilità di annodare A e B, lasciando libero l C 1 annodato con A A A B C C B B B C A B A C C C B C A B A Tipologia ottenuta probabilità di ottenere una tipologia i : P(i) = n casi favorevoli alla tipologia i n casi possibili quindi P(0 anelli) = 2/6 = 1/3 P(1 anello) = 3/6 = 1/2 P(2 anelli) = 1/6 Metodo con diagramma ad albero A AA BB CC sono i 3 spaghi. Unendo un (tra A, B, C) di due diversi spaghi ad altri due estremi (tra A, B, C ), si ottengono i seguenti risultati: BB AA BC AB BC BA BA AC BB Anelli: 2 1 0 1 0 1 67
Quindi su 6 possibilità, si ottengono: 0 anelli : 2 volte P(0 anelli) = 2/6 1 anello: 3 volte P(1 anello) = 3/6 2 anelli: 1 volta P(2 anelli) = 1/6 4. Approfondimento: la legge empirica del caso la legge empirica del caso : " In una serie di prove ripetute nelle medesime condizioni, al crescere del numero n delle prove, la frequenza relativa di un evento tende a coincidere con la sua probabilità " La legge empirica del caso merita un'ulteriore riflessione. Infatti l'espressione tende, contenuta al suo interno, deve essere intesa nel senso che, all'aumentare di n, aumenta la probabilità che la differenza fra probabilità a priori e frequenza sia nulla, ma non significa affatto che, ad esempio, dopo 20 teste successive sia maggiore del 50% la probabilità che esca croce! La probabilità di ogni singolo evento resta sempre la stessa e quindi "il caso non ha memoria". Questo fatto non è accettato così facilmente dagli studenti, come d'altra parte neppure dagli adulti, se è vero che le puntate sui "numeri in ritardo" al gioco del lotto o alla roulette sono sempre molto forti e da molti giustificate proprio citando impropriamente la legge empirica del caso. 68