Teoria dei Giochi Dr. Giuseppe Rose Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata a.a 2011/2012 Handout 2 1 Concetti risolutivi per i giochi in forma normale I concetti risolutivi (solution concepts) sono le possibili soluzioni di un gioco. Esistono diversi tipi di concetti risolutivi. Questi vanno analizzati cercando di rispondere alle seguenti domande: 1) Quanto è ragionevole l applicazione di tale concetto? 2) E applicabile per un ampia tipologia di giochi? 3) Quale è il suo potere previsionale? (quante soluzioni ha il gioco se si applica tale concetto risolutivo?) 4) Quanto è e ciente? Vediamo alcuni tipi di concetti risolutivi. 1.1 MaxMin o MinMax Intuitivamente, la strategia di MaxMin, come il nome stesso ci suggerisce si basa sull idea che il giocatore cerca di giocare la strategia che massimizza il suo payo posto che gli altri giocatori stanno giocando strategie che sono mirate a rendere minimo il suo payo. Il giocatore in questione potrebbe essere visto come un pessimista che è convinto che gli altri vogliono a tutti i costi che egli raggiunga il peggior risultato possibile. Formalmente, il risultato che scaturisce da tale concetto risolutivo può essere espresso da: w i = max min i (s i ; s i ) (1) De niamo un pro lo di strategie i MaxMin per il giocatore i se e solo se: = ( i i ; i i ) 2 S come la soluzione Quindi: ( i i; i i) = arg max min i (s i ; s i ) (2) 1
w i = i ( i ): (3) La soluzione di MinMax consiste invece in una situazione concettualmente simile alla precedente, nella quale però gli avversari minimizzano il payo che il giocatore i massimizza. Il risultato può essere diverso del precedente poichè l ordine in cui si massimizza e si minimizza può portare a diversi risultati. Il payo per il giocatore i è dato da: v i = min max i (s i ; s i ) (4) De niamo un pro lo di strategie i = ( i i ; i i ) 2 S come la soluzione Min- Max per il giocatore i se e solo se: Quindi ( i i; i i) = arg min max i (s i ; s i ) (5) v i = i ( i ): (6) Considerazioni (risposte alle precedenti domande): C è un comportamento asimmetrico per i giocatori. Il comportamento Min- Max e MaxMin partano ad un comportamento simmetrico per i giocatori solo nelle soluzioni di puro con itto dove massimizzare il mio payo equivale a minimizzare quello dell altro giocatore. Ma non tutti i giochi sono a somma zero, per cui l applicazione di tale concetto risolutivo è appropriata solo per una particolare categoria di giochi. Infatti, in giochi non a somma zero è poco ragionevole credere che tutti i giocatori si comportano esclusivamente con lo scopo di minimizzare il risultato di un solo giocatore. 1 1.2 Dominanza in senso stretto o strategie (pure) strettamente dominanti De nizione: Una strategia s i 2 S i domina in senso stretto una strategia s 0 i 2 S i se i (s i ; s i ) > i (s 0 i; s i ) 8s i 2 S i : (7) Una strategia è quindi dominante in senso stretto se porta ad un payo maggiore rispetto ad ogni altra strategia, qualsiasi cosa facciano gli altri giocatori. E su ciente assumere che un individuo sia razionale (RAT) per avere che una strategia dominata in senso stretto non verrà mai giocata. Esempio: 1 Allo stesso tempo è importante osservare come, in realtà se si vuol punire qualcuno all interno di un interazione strategica ripetuta, la strategia MinMax potrebbe essere ragionevolmente applicata. Per il momento teniamo presente questa osservazione che ci tornerà utile più avanti. 2
Il dilemma del prigioniero Individuo 2 confessa non confessa Individuo 1 confessa -6, -6 0, -10 non confessa -10, 0-1, -1 E evidente come qualsiasi cosa faccia l altro giocatore per l individuo 1, ad esempio, è sempre meglio confessare. Si può vedere che, qualsiasi sia "l idea" che il giocatore 1 ha del giocatore 2 (p 2 ; (1 p 2 )) per il giocatore 1 è sempre più alto il payo che ottiene scegliendo di confessare. E[ i (confessa; (p 2 ; (1 p 2 )] = 6p 2 + 0(1 p 2 ) = 6p 2 (8) E[ i (non confessa; (p 2 ; (1 p 2 )] = 10p 2 1(1 p 2 ) = 9p 2 1: (9) Per assurdo (by contradiction), si assuma che E[ i (non confessa; (p 2 ; (1 p 2 )] E[ i (confessa; (p 2 ; (1 p 2 )]: (10) Questo implica che: ovvero: 9p 2 1 6p 2 (11) p 2 1=3 (12) il che è un assurdo poichè 0 p 2 1 (abbiamo una contraddizione). Abbiamo quindi stabilito che il dilemma del prigioniero è risolvibile con il concetto di dominanza in senso stretto. Il concetto di strategia dominata in senso stretto può essere spinto ancora oltre. Infatti, in un gioco dove un giocatore ha più di due strategie di cui una è strettamente dominata, è possibile escludere completamente tale strategia e rimanere quindi con un gioco più piccolo di quello iniziale. A nchè tale cancellazione sia e ettuata, però, è necessario non solo fare l ipotesi che il giocatore in questione (1) è RAT, ma è necessario anche che l altro giocatore (2) sia RAT e che egli sappia che l altro giocatore (1) è RAT. Questa situazione si chiama RAT 2 : Se assumo RAT per tutti i giocatori posso fare una cancellazione per ogni giocatore. Se assumo RAT 2 e assumo che il gioco sia common knowldge posso procedere, una volta fatto il primo giro di cancellazioni, ad analizzare il gioco più piccolo ed e ettuare il secondo giro di cancellazioni. Se assumo RAT 3 (ogni giocatore è razionale (RAT) e sa che l altro è razionale (RAT 2 ) e sa che l altro sa che egli è razionale) posso procedere al terzo giro di cancellazioni. Se assumo RAT k posso fare k giri di cancellazione. assumendo common knowldge 3
della razionalità (RAT 1 ) si possono cancellare tutte le strategie dominate che riesco a cancellare. Esempio: Il dilemma del prigioniero ampliato Individuo 2 confessa non confessa N Individuo 1 confessa -6, -6 0, -10 1, -20 non confessa -10, 0-1, -1 5, -20 N -20, 1-20, 5-20, -20 Quando si assume la common knowldge of rationality è possibile procedere in maniera iterativa alla cancellazione delle strategie strettamente dominate no a quando questo è possibile. Considerazioni: 1) Questo concetto risolutivo non ha un buon potere previsionale sul risultato. In alcuni giochi la cancellazione non inizia neanche!!!. Se la soluzione esiste ed è unica il gioco si dice essere dominance solvable. La soluzione che si raggiunge non è necessariamente quella e ciente (dilemma del prigioniero). Si noti in ne che l ordine in cui si e ettua la cancellazione delle strategie dominate non è rilevate rispetto al risultato che si raggiunge. 1.3 Dominanza in senso debole (weakly dominance) De nizione: Una strategia s i 2 S i domina in senso debole una strategia s 0 i 2 S i se: i (s i ; s i ) i (s 0 i; s i ) 8s i 2 S i e (13) i (s i ; s i ) > i (s 0 i; s i ) per alcuni s i 2 S i Una strategia è dominante in senso debole se domina in senso debole tutte le altre strategie. Un giocatore che è razionale che non è sicuro su cosa farà l avversario non giocherà mai una strategia dominata in senso debole. E importante so ermarsi su questa osservazione. Per poter utilizzare il concetto di eliminazione di strategie dominate in senso debole (cioè escludere che qualche giocatore giochi una strategia dominata in senso debole) è necessario che ci sia una incertezza, anche minima (noise) su cosa faranno gli altri giocatori. Consideriamo il seguente gioco: Player 2 p 2 1 p 2 A2 B2 Player 1 A1 2, 1, B1 0, 1, 4
La strategia A1 domina in senso debole la strategia B1. Possiamo escludere completamente la strategia B1? La risposta è si solo se esiste incertezza su cosa farà il giocatore 2. Se, infatti il giocatore 1 è sicuro che il giocatore 2 giocherà la strategia B2 (p 2 = 0) allora non è più ragionevole escludere B1. Quindi la condizione necessaria a nchè si escluda una strategia dominata in senso debole è che ci sia incertezza (un noise) su cosa farà l altro giocatore. Quindi a chè la cancellazione iterativa di strategie dominate in senso debole sia un criterio ragionevole per trovare la soluzione di un gioco è necessario assumere RAT 1 + noice. E fondamentale notare che, di erentemente da ciò che accadeva nei giochi con strategie dominate in senso stretto, in questo caso, l ordine secondo il quale si procede alla cancellazione delle strategie può portare a diversi tipi di equilibri. 1.3.1 Le aste al secondo prezzo (Second Price Auction) Un applicazione del concetto di strategie dominate in senso debole è rappresentata dall asta al secondo prezzo. Tale tipologie di asta è applicata in maniera di usa in molti Paesi e consiste nella vendita all asta di un bene (o erte in busta chiusa, gioco simultaneo). Il bene viene assegnato a chi fa l o erta più alta e egli pagherà il prezzo pari alla seconda o erta più alta. Ci sono i = 1; 2; ::n partecipanti all asta (bidder). Ogni bidder associa al bene in questione un valore v i tale che: 0 v 1 v 2 ::: v n (14) L o erta (bid) di ogni bidder è indicata con b i 0: Quanto o rire? Si dimostra che esiste un unico pro lo di strategie b dominanti in senso debole nel quale b i = v i : De niamo b i = max j6=i b j come l o erta massima con la quale il bidder i può trovarsi a competere. Si dimostra che se il bidder i fa un o erta pari al valore v i che egli associa ad al bene, questa strategia domina in senso debole qualsiasi altra strategia. Possiamo avere due casi. 1) Il bidder i o re b i < v i : Possiamo avere le seguenti possibilità: Possibili casi con b i < v i Confronto tra i Payo s b i = v i b i < v i bi > v i > b i 0 0 v i > b i > b i v i bi v i bi v i > b i > b i v i bi 0 E evidente come i payo s che si generano facendo un o erta pari al valore associato al bene sono dominanti in senso debole. Adesso, consideriamo il caso dove si voglia o rire b i > v i (nella speranza poi si pagarlo meno al secondo prezzo). 5
Possibili casi con b i > v i Confronto tra i Payo s b i = v i b i > v i bi > b i > v i 0 0 b i > v i > b i v i bi v i bi b i > b i > v i 0 v i bi {z } <0 Anche in questo caso tutti i payo che si generano con b i = v i sono maggiori in senso debole (come minimo pari e qualcuno maggiore) rispetto a quelli che si generano con b i > v i : Osservazioni sulla dominanza in senso debole: Detto ciò, possiamo concludere dicendo che la dominanza in senso debole è un concetto applicabile sotto le ipotesi di RAT e noise. La cancellazione iterativa ha poco senso (è poco ragionevole) in quanto il "dove" si va a nire dipende dall ordine di cancellazione. In ne, anche in questo caso, in molti giochi non ci sono strategie dominanti in senso debole. 1.4 Dominanza in senso stretto con strategie miste De nizione: Per il giocatore i una strategia mista i 2 S i domina in senso stretto una strategia mista 0 i 2 S i se: E[ i ( i ; i )] > E[ i ( 0 i; i )] 8 i 2 S i : Si noti che per il giocatore i una strategia mista i 2 S i domina in senso stretto una strategia mista 0 i 2 S i se: E[ i ( i ; i )] > E[ i ( 0 i; s i )] 8s i 2 S i Chiariamo i seguenti punti: 1) Una strategia mista può dominare in senso stretto una strategia pura. Ad esempio: Player 2 A2 B2 A1 10, 0, Player 1 B1 4, 4, C1 0, 10, La strategia mista 1 = (1=2; 0; 1=2) domina in senso stretto la strategia pura s 1 =B1. 2) Se una strategia pura s i è strettamente dominata da una strategia mista 0 i e la strategia i associa una probabilità positiva alla strategia s i allora la strategia i è strettamente dominata da un altra strategia mista. 3) In ne, una strategia mista che associa una probabilità positiva esclusivamente a strategie pure non strettamente dominate può essere dominata. Ad esempio: 6
Player 2 A2 B2 A1 10, 0, Player 1 B1 8, 8, C1 0, 10, La strategia mista 1 = (1=2; 0; 1=2) che associa probabilità positive solo a strategie che non sono strettamente dominate è dominata in senso stretto dalla strategia pura s 1 =B1. 4) Si può procedere per eliminazioni successive di strategie pure strettamente dominate da strategie miste. 1.4.1 Il concetto di Equilibrio di Nash Tutta la prossima dispensa sarà dedicata allo studio di tale equilibrio. Esercizi 1) Calcolare le strategie che rimangono dopo 2 livelli di cancellazione di strategie strettamente dominate nel seguente gioco: Giocatore 2 A2 B2 C2 D2 A1 1, 1 6, 4 0, 3 0, 1 Giocatore 1 B1 4, 6 5, 5 5, 2 0, 0 C1 3, 0 2, 5 2, 2 2, 0 D1 1, 0 0, 0 0, 2 1, 1 Quali strategie sopravvivono dopo una cancellazione ripetuta in nite volte? Come cambiano le vostre risposte se si usa il concetto di dominanza in senso debole? 7