Catee di Markov e affidabilità
I guasti però o solo determiao la cessazioe di u dispositivo ad adempiere la fuzioe richiesta (guasti totali) ma ache la variazioe della prestazioe del dispositivo rispetto alla fuzioe richiesta Si possoo verificare ache i guasti itermitteti.
Ci soo diversi STATI che il sistema può occupare el corso del tempo. La trasizioe da uo stato all altro avviee co ua certa probabilità, el seso che se u sistema parallelo (a 3 sottosistemi) si trova ad e- sempio iizialmete ello stato pieamete fuzioate (stato 3), può passare allo stato 2 (e fuzioao 2) co ua certa probabilità (quale?) e allo stato 1 co u altra probabilità e così via. Se i guasti soo itermitteti, c è la possibilità che dallo stato 2 il sistema tori allo stato 3 -che dipede dalla atura del guasto.
CATENE DI MARKOV Def : Ua catea di Markov è ua successioe di v.a. { X } 1 defiite sullo stesso spazio campioe e che godoo di certe proprietà. X = stato occupato dal sistema al passo
Prove di Beroulli = esempio di catea i cui le variabili aleatorie soo idipedeti tra di loro. X, X, X, co X 1 2 3 i 1 P( X i = 1) = = P( X i = ) = p q p 1 Costruire lo SPAZIO DELLE TRAIETTORIE q
Nella relazioe tra le variabili, saliamo di u gradio, ossia suppoiamo che la variabile aleatoria allo stato dipeda solo da quella precedete. specificado il tipo di relazioe di dipedeza al seguete modo 1 p q Y X p = Y 1 = 1 1 + X co = 1,2, P ( X P( X = P( X = 1) = p ) = 1 = 1) p = q q i-1 i i+1 costruire lo spazio delle traiettorie q
ESEMPIO DI TRAIETTORIE PER LA PASSEGGIATA ALEATORIA
= = = = = + = i i i i X y Y y Y P X Y Y 1 1 1 ) ( La passeggiata aleatoria è u esempio di catea di Markov. Altro esempio:
Catee di Markov omogeee No dipedoo da. ( ) La matrice P= p si chiama matrice di trasizioe ij
.5.5.5.5 P = 1.5.5 matrice di trasizioe Teorema : I ua catea omogeea, detto p il vettore delle probabilità che il sistema occupi ua posizioe al tempo e p il vettore delle probabilità che il sistema occupi ua posizioe al tempo, si ha p = p P.
Ci soo situazioi elle quali la poteza di P si stabilizza da u certo idice i poi.
1 La catea o è regolare: P = 1 Nell esempio precedete w = (.4,.2,.4)
Il teorema dimostra che la riga comue di W è l uico vettore ad essere vettore fisso riga. Il vettore riga w è autovettore siistro dell autovalore 1. La fuctio per trovare gli autovalori è eig(x) Se vogliamo trovare ache gli autovettori è [V,D]=eig(X)
Duque abbiamo >> [v,d]=eig(p) v = -.5774 -.771.2357 -.5774 -. -.9428 -.5774.771.2357 Cosa si deduce? d = 1..25 -.25 Il problema è che dobbiamo trovare l autovettore siistro che corrispode all autovalore 1. Il Matlab restituisce autovettori destri.
>>q=p ; >> [v,d]=eig(q) v = d = -.6667 -.771.482 -.3333 -. -.8165 -.6667.771.482 1..25 -.25 Ovviamete l autovettore va ormalizzato perché risulti u vettore di probabilità >> c=sum(v(:,1)) c = -1.6667 >> w=v(:,1)/c w =.4.2.4
Sigificato: per Sigificato: per crescete la probabilità di adare da uo stato all altro diveta costate e idipedete dallo stato iiziale (iteressa solo la coloa e o la riga). CONSEGUENZA
Per la matrice di trasizioe di cui all esempio precedete >> [v,d]=eig(p') v = -.3162 -.771.771 -.6325 -.3162.771 -.771.3162 -.6325 -.. -.3162 -.6325...6325 d = 1. -.. -.5 >> c=sum(v(:,1)) c = -1.8974 >> w=v(:,1)/c w =.1667.1667.3333.3333
CATENE ASSORBENTI Daeggiameto o riparabile: ua volta che il compoete si è guastato o vi è alcua possibilità che si auto-ripari seza l iterveto di ua forza estera. Qual è la probabilità che il processo raggiuga uo stato assorbete? Quato tempo impiega il sistema ad essere assorbito? I media, i quati passi viee assorbito?
Forma caoica TR Ass TR Ass N = ( I Q) 1 e' detta matrice fodametale
( N ) = # medio di passaggi per lo stato ij trasiete s essedo il sistema partito dallo stato trasiete j s i ESEMPIO:.5 P = 1 2 3 4.5.5.5.5 1.5 1 I Q = 1.5 >> mat^(-1) as =.5 1.5.5 1 1.5 1..5 1. 2. 1..5 1. 1.5
N 1 2 3 1.5 1.5 1 3 t = Nc = 1 2 1 1 = 4.5 1 1.5 1 3 1.5 1.5 = 1 2 1.5 1 1.5 >> mat^(-1)*[1;1;1] Teorema : Data la matrice B = NR, il geerico elemeto B rappreseta la probabilità che, essedo partito da uo stato trasiete s, il sistema vega assorbito ello stato s. R.5 =.5 B = i NR ij 3/ 4 = 1/ 2 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3/ 4 Esercizio: Marco ha 3 euro ed è richiuso i carcere. La cauzioe è di 5 euro. Decide di giocare co il poliziotto di turo. Il gioco fuzioa al seguete modo: ad ogi giocata scommette 1 euro. Lo vice co probabilità.4 e lo perde co probabilità.6. Quale è la probabilità che Marco riesca ad uscire? j
Catee di Markov a tempo cotiuo ( ) ( ) Le trasizioi soo ella forma P X t + s = j X ( s) = i = P ( t) ij ( a) P ( t), per t >, ij ( b) P ( t) = 1, per t >, j t ij ( c) P ( t) soo f.cotiue; ij ( d) lim P ( t) = δ ij ij P ( t) soo differeziabili ij Facciamo solo u esempio di modello i cui questo tipo di catee di Markov risulta utile per la trattazioe
Si cosideri ua valvola oleodiamica che abbia tasso di guasto costate e tasso di riparazioe costati el tempo. ( ) ( ) Stato prodotto fuzioate λ µ Stato 1 prodotto guasto P t probabilità che il compoete fuzioi al tempo P1 t probabilità che il compoete sia guasto al tempo λ tasso di guasto, µ tasso di riparazioe P t + t = P t 1 t + P t t ( ) ( )( λ ) ( )( µ ) 1 P t P t P t ' = + 1 ( ) λ ( ) µ ( ) Qual è la matrice di trasizioe? t t
P t + t = P t 1 t + P t t ( ) ( )( µ ) ( )( λ ) 1 1 P t P t P t ' 1 = 1 ( ) λ ( ) µ ( ) Si tratta di u sistema di equazioi differeziali a coefficieti costati P '( t) λ µ P ( t) = P '( t ) λ µ P ( t ) 1 1 Risolvere il precedete sistema di equazioi lieari.