Introduzone e modellstca de sstem Element fondamental Rappresentazone n arabl d stato Esemp d rappresentazone n arabl d stato 007 Poltecnco d Torno
Resstore deale Resstore deale d resstenza R R R equazone costtuta nel domno del tempo è: () t R () t R mentre nel domno delle trasformate d aplace è: N.B.: l equazone costtuta è d tpo statco Untà d msura: [R ] Ω, [ R ] V, [ R ] A R R V ( s ) R I ( s ) R R 4 007 Poltecnco d Torno
ondensatore deale ondensatore deale d capactà equazone costtuta nel domno del tempo è: () t d () t dt mentre nel domno delle trasformate d aplace è: I ( s) sv ( s) ( t 0 ) N.B.: l equazone costtuta è data da un equazone dfferenzale s scegle come arable d stato Untà d msura: [ ] F, [ ] V, [ ] A 5 Induttore deale Induttore deale d nduttanza equazone costtuta nel domno del tempo è: () t d () t dt mentre nel domno delle trasformate d aplace è: V ( s) s I ( s) ( t 0 ) N.B.: l equazone costtuta è data da un equazone dfferenzale s scegle come arable d stato Untà d msura: [ ] H, [ ] V, [ ] A 6 007 Poltecnco d Torno
Generator deal Generatore deale d tensone Generatore deale d corrente N.B.: costtuscono gl ngress del sstema dnamco 7 007 Poltecnco d Torno 4
Rappresentazone n arabl d stato (/) S scrono le equazon costtute soltanto per component con memora (condensator e nduttor) S scrono le equazon topologche della rete elettrca, applcando le legg d Krchhoff (a nod e alle magle) o un qualsas altro metodo d anals d crcut elettrc (potenzal a nod, corrent cclche) S ntroduce una arable d stato x per ogn componente con memora, sceglendo n partcolare a tensone applcata ad ogn condensatore a corrente che scorre n ogn nduttore S assoca una arable d ngresso u j a ogn generatore deale d tensone o d corrente 9 Rappresentazone n arabl d stato (/) S rcaano le equazon d stato del tpo dx () t (), (), () dt a partre dalle equazon costtute e topologche precedent, esprmendo x soltanto n funzone d arabl d ngresso e stato, se necessaro rcorrendo anche a equazon costtute d eentual resstor S rcaano le equazon d uscta del tpo y () t g t, x (), t u () t k k x t f t x t u t esprmendo ogn arable d nteresse y k soltanto n funzone d arabl d ngresso e d stato 0 007 Poltecnco d Torno 5
Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, assumendo come arabl d nteresse le tenson e R R Equazon costtute: ) ) () ( t) d t d ( t) dt () t dt d () t dt 007 Poltecnco d Torno 6
Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, assumendo come arabl d nteresse le tenson e R R Equazon topologche: ) () t () t () t () t (equazone alla magla) 4) () t () t () t () t (equazone al nodo) Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, assumendo come arabl d nteresse le tenson e R R Varabl d stato: () t x () t () t x () t 4 007 Poltecnco d Torno 7
Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, assumendo come arabl d nteresse le tenson e R R Varabl d ngresso: t () u () t ut () t () u () t 5 Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt ) () t () t () t () t ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazon d stato: ( ) x d dt u x u R x R x x u f ( t x u),, 6 007 Poltecnco d Torno 8
Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt ) () () () () t t t t ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazon d stato: x d dt x x u R u x x u f ( t, x, u) R ( ) 7 Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt ) () t () t () t () t ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazon d uscta: y R Rx g ( t, x, u) y 8 007 Poltecnco d Torno 9
Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt ) () t () t () t () t ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazon d uscta: y R Rx g ( t, x, u) y x g ( t x u) y t y ( t ) y t,, 9 Esempo # d rappresentazone (/) R Equazon d stato: x x x u x x x u R Equazon d uscta: y Rx y x Se R, R, e sono costant, l sstema è TI ha come rappresentazone n arabl d stato ( xt) Axt () But () y () t x() t Du() t R 0 R 0 0 0 A, B,, D R 0 0 0 0 0 007 Poltecnco d Torno 0
Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t e l bpolo ha caratterstca () t () t () t Equazon costtute: ) () () t d t dt ) () t d () t dt d () t dt Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t e l bpolo ha caratterstca () t () t () t Equazon topologche: ) () t () t () t (equazone alla magla) 4) () t () t () t () t (equazone al nodo) 007 Poltecnco d Torno
Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t e l bpolo ha caratterstca () t () t () t Varabl d stato: () t x () t () t x () t Esempo # d rappresentazone (/) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t e l bpolo ha caratterstca () t () t () t Varabl d ngresso: t () u () t ut () t () u () t 4 007 Poltecnco d Torno
Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt ) () t () t () t ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t 5) () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazon d stato: x d dt u x x u f ( t, x, u) 5 Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: t d t dt t t t ) () () ) () () () ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t 5) () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazon d stato: x d dt ( ) x x x u f ( t, x, u) x u (x u x x ) 6 007 Poltecnco d Torno
Esempo # d rappresentazone (/) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt ) () t () t () t ) () t d () t dt 4) () t () t () t () t 5) () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t () t () u t, ut () () t x () t () t u () t Equazone d uscta: y x g ( txu,, ) 7 Esempo # d rappresentazone (/) Equazon d stato: Equazone d uscta: x x u x x x x u y x Il sstema rsulta non lneare, a causa del bpolo aente caratterstca statca non lneare Il sstema è noltre dnamco, a tempo contnuo, a dmensone fnta (n ), MIMO (p, q ), propro, stazonaro nel caso e sano costant 8 007 Poltecnco d Torno 4
Esempo # d rappresentazone (/4) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t R R Equazon costtute: ) ( t ) d ( t ) dt ) () t d () t dt d () t dt () t () t ) () t d () t dt d () t dt () t () t ( ) 9 Esempo # d rappresentazone (/4) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t R R Equazon topologche: 4) () t () t () t (equaz. alla magla ) 5) () t () t () t ()(equaz. t alla magla ) 6) () t () t () t (equazone al nodo) 0 007 Poltecnco d Torno 5
Esempo # d rappresentazone (/4) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t R R Varabl d stato: () t () t () () () x t xt t () t () t x () t () t Esempo # d rappresentazone (/4) Rcaare la rappresentazone n arabl d stato della seguente rete elettrca, n cu y () t () t R R Varable d ngresso: ut () t () 007 Poltecnco d Torno 6
Esempo # d rappresentazone (/4) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt 4) () () () t t t ) () t d () t dt 5) () t () t () t () t ) () t d () t dt 6) () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t, ut () [ t ()] () t x () t Equazon d stato: x d dt R x ) R x ( u x R x x x u f t x u R R (,, ) Esempo # d rappresentazone (/4) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt 4) () () () t t t ) () t d () t dt 5) () t () t () t () t ) () t d () t dt 6) () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t, ut () [ t ()] () t x () t Equazon d stato: x d dt ) ( R ( x R d () t dt) x x x R R x x x x x x f ( t, x, u) 4 007 Poltecnco d Torno 7
Esempo # d rappresentazone (/4) Equazon costtute e topologche: ) () t d () t dt 4) () t () t () t ) () t d () t dt 5) () t () t () t () t ) () t d () t dt 6) () t () t () t Varabl d stato e d ngresso: () t x () t, ut () [ t ()] () t x () t Equazone d uscta: y d t dt x f ( t xu) () R y x x g t x u,, (,, ) 5 Esempo # d rappresentazone (/4) x x x u Equazon d stato: R R R x x x R Equazone d uscta: y x x Se R, R,, e sono costant, l sstema è TI ha come rappresentazone n arabl d stato Axt () But () y () t x() t Du() t R R A R, B R,, D 0 0 6 007 Poltecnco d Torno 8
Esempo # d rappresentazone (4/4) Una rete elettrca è detta degenere se contene: Magle d condensator (ne cu lat sono present solo condensator e/o generator d tensone) e/o Tagl d nduttor ( cu lat sono costtut solo da nduttor e/o generator d corrente, come n quest ultmo esempo n cu e sono n sere) Nelle ret degener, l numero totale d condensator e nduttor present è maggore della dmensone n del sstema, poché le tenson su condensator o le corrent negl nduttor non sono tutte ndpendent In generale, la dmensone n del sstema è par al numero d arabl d stato lnearmente ndpendent 7 007 Poltecnco d Torno 9