Lezione 7. Esercizi sui. circuiti dinamici del I ordine

Lezione 7 Esercizi sui circuii dinamici del I ordine Lezioni di Eleroecnica per sudeni di Ingegneria Gesionale ideae e scrie da Lorenza ori con il conribuo di Vincenzo Paolo Loschiavo Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 1/102

Sommario 1 I circuii con una resisenza... 4 1.1 Esercizi con circuio R serie... 4 1.1.1 ondizioni iniziali nulle... 7 1.1.2 ondizioni iniziali non nulle... 10 1.1.3 La scarica di un condensaore... 12 1.1.4 ircuio risolo con l analisi per inervalli... 15 1.2 Esercizio con circuio R parallelo... 18 1.3 Esercizi con circuio RL parallelo... 23 1.3.1 ondizioni iniziali nulle... 25 1.3.2 ondizioni iniziali non nulle... 29 1.3.3 ircuio risolo con l analisi per inervalli... 30 1.4 Esercizio con circuio RL serie... 33 2 Le configurazioni criiche... 38 2.1 I circuii mal modellai... 38 2.2 I circuii mal posi... 41 3 I circuii R e RL con più resisenze... 43 3.1 ircuio R con due resisenze... 43 3.2 ircuio RL con due resisenze... 48 3.3 ircuio R con re resisenze... 54 4 I circuii risoli con un circuio equivalene... 59 4.1.1 ircuio R con re resisenze... 60 5 I circuii risoli con un analisi per inervalli... 64 5.1 ircuio RL con due resisenze... 64 Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 2/102

5.2 ircuio RL con due resisenze e un inerruore... 66 5.3 I circuii con inerruore... 70 5.3.1 Esercizio: R... 71 5.3.2 Esercizio: RL... 74 6 I circuii risoli con il principio di sovrapposizione degli effei... 78 6.1 ircuio R con due generaori... 78 6.1.1 La soluzione con la sovrapposizione degli effei... 80 6.1.2 La soluzione con generaore equivalene... 84 7 I circuii dinamici alimenai da generaori sinusoidali*... 88 7.1 Esempio... 88 Indice delle Figure... 90 Domande... 93 Esercizi... 93 Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 3/102

1 I circuii con una resisenza In queso paragrafo risolveremo problemi con circuii di semplice opologia e aveni generaori di ipo cosane. 1.1 Esercizi con circuio R serie ominciamo con il circuio R serie di Fig. 7.1. Vogliamo calcolare le grandezze preseni nel circuio 1 e rappresenae in figura 2. Osserviamo che abbiamo fao la convenzione del generaore sul generaore ideale di ensione e quella dell uilizzaore sui due bipoli passivi, resisore e condensaore. Fig. 7.1 ircuio R serie. Il circuio di Fig. 7.1, come vedremo quando roveremo la soluzione, è deo circuio di carica o di scarica di un condensaore (vedi 3.2.6 della Lezione 6), rispeivamene quando il generaore eroga una ensione in valore maggiore della condizione iniziale in cui si rova il condensaore e quando, invece, il generaore è speno oppure eroga una ensione inferiore alla ensione iniziale del condensaore. 1 Soolineiamo che in quese lezioni useremo rappresenare nelle figure le grandezze incognie di un circuio alvola, per semplicià di noazione, senza espliciare la dipendenza dal empo. Ricordiamo che, in generale, quando le grandezze sono uilizzae con leere minuscole sono sempre dipendeni dal empo. 2 I versi delle grandezze della Fig. 7.1 li abbiamo sceli in modo arbirario. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 4/102

Prima di fornire i valori dei parameri del circuio per poerlo risolvere cerchiamo l equazione differenziale che lo descrive. Supponiamo di voler sudiare il circuio di Fig. 7.1 dall isane iniziale 0. Il sisema di equazioni circuiali del circuio di Fig. 7.1, cosiuio da un unica maglia e scegliendo di escludere ad esempio il nodo III nella LK, risula essere: 0 0 e Ri dv i 1 - i2 i2 - i3 v1 - v 2 - v v1 v2 2 i3 d 0 (7.1) con >0. La variabile di sao del circuio di Fig. 7.1 è la ensione sul condensaore v(). Perano, dal sisema (7.1) dobbiamo eliminare ue le incognie ranne la ensione v(). ominciamo con il sosiuire le relazioni caraerisiche (ulime 3 equazioni nel sisema (7.1)) nelle equazioni algebriche che derivano dalle leggi di Kirchhoff. Oeniamo: i1 i2 0 dv i2 0 d e Ri2 v 0 (7.2) con >0. A queso puno eliminiamo, dal sisema (7.2), le correni i1() e i2(). Queso si oiene eliminando la prima e la seconda equazione del sisema e sosiuendo la correne i2(), oenua dalla seconda equazione del sisema, nella erza equazione. Oeniamo un unica equazione che scriviamo soo forma di equazione di sao: dv v e >0 (7.3) d R R Verifichiamo che l equazione (7.3) deve avere ui i ermini aveni dimensione fisica equivalene ad una correne. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 5/102

L equazione (7.3), analoga alla (6.11) della Lezione 6, è una equazione differenziale del I ordine lineare e empo invariane nell unica incognia, che è la variabile di sao, v(). La possiamo riscrivere inroducendo la cosane di empo : τ=r (7.4) e quindi avere: dv v e d >0 (7.5) τ τ analoga alla (6.12) della Lezione 6. Per deerminare LA soluzione del problema abbiamo bisogno di conoscere la condizione iniziale in 0 e quindi formulare il seguene problema di auchy: dv d v 0 1 v V 0 e >0 (7.6) dove V0 è la condizione iniziale. Il sisema è analogo al (6.18) della Lezione 6. Sempre riguardo ad un circuio R serie, per imposare un esercizio possiamo agire sui segueni aspei: - La condizione iniziale (nulla o non nulla) se il circuio ci viene consegnao nell isane iniziale della sua evoluzione dinamica. - La causa che ha generao l evoluzione della dinamica, se, a differenza del caso precedene, abbiamo a disposizione il circuio prima dell isane iniziale (il generaore che cambia valore in un isane, un inerruore che si chiude). - Il valore del generaore cosane (il valore della ensione erogaa dal generaore è maggiore o minore della condizione iniziali). Nel seguio risolveremo alcuni esercizi nei quali abbiamo considerao i vari casi appena evidenziai. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 6/102

1.1.1 ondizioni iniziali nulle onsideriamo i segueni dai: DATI: 0=0, V0=0, R= 10, =10-4 F, e()= 10u()V. La funzione gradino uniario u() l abbiamo definia nella (6.88) della Lezione 6. Vogliamo calcolare le grandezze preseni nel circuio di Fig. 7.1 per > 0. In 0 il circuio si rova in uno sao di riposo. Il problema (7.6) lo possiamo riscrivere usando i dai dell esercizio: dv d v 0 1 10 v 0 >0 (7.7) dove abbiamo la cosane di empo: 3 τ=r= 10 s (7.8) Osserviamo che essendo il generaore cosane il circuio, per >, raggiungerà un regime sazionario che vedrà ue le grandezze del circuio divenire cosani 3. oerenemene a quano deo nella Lezione 6, in paricolare nella (6.25), possiamo dire che l inegrale generale del problema (7.7) risula essere: k, 1 τ p v ke v >0 (7.9) dove abbiamo che il primo ermine al secondo membro rappresena l inegrale generale dell omogenea associaa, menre vp() rappresena la soluzione paricolare. La cosane k poremo deerminarla, uilizzando la condizione iniziale, solo dopo aver deerminao la soluzione paricolare vp(). Essendo il generaore cosane per >0, la soluzione paricolare vp() risulerà una funzione ad essa isomorfa, e quindi cosane, che possiamo calcolare direamene dal circuio. iò che faremo è sudiare il circuio per >>0 e quindi per >. Il circuio di Fig. 7.1 per > si rova in un regime di funzionameno 3 In queso corso sudieremo unicamene circuii dinamici alimenai da generaori cosani e quindi circuii dinamici che raggiungono un regime sazionario. Il passo successivo sarebbe quello di sudiare i circuii dinamici alimenai da generaori sinusoidali che quindi raggiungono un regime sinusoidale. Ma queso caso si rimanda a sudi più approfondii. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 7/102

sazionario e perano il condensaore si compora come un circuio apero e possiamo oenere il circuio di Fig. 7.2. Fig. 7.2 ircuio di Fig. 7.1 in regime sazionario. Osserviamo che, poiché il condensaore si compora come un circuio apero, impone alla correne della maglia di annullarsi. Perano, non c è cadua di ensione sulla resisenza ineressaa da una correne nulla. Queso compora che ai capi del condensaore sussise una ensione pari a quella del generaore di ensione. Possiamo scrivere allora: p v e( ) 10V > (7.10) Aenzione: nella (7.10) abbiamo scrio > perché l uguaglianza ra vp() ed e() la possiamo scrivere SOLO per >. Ma poiché vp() è una funzione cosane, allora possiamo scrivere: p v 10V >0 (7.11) In alre parole, per rovare la soluzione paricolare, facciamo lavorare il circuio a regime e in quel caso, semplice, calcoliamo la soluzione paricolare che sappiamo però essere la sessa per ua l evoluzione della dinamica 4. L inegrale generale del problema (7.7) sarà quindi: 4 Queso modo di procedere si esende al caso più generale di circuii alimenai da generaori periodici (ad esempio, sinusoidali). Anche nel caso generale, infai, la forma della soluzione, calcolaa a regime, è la sessa per ua l evoluzione della dinamica. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 8/102

v 1000, k ke 10 >0 (7.12) Infine, per calcolare la cosane k, dobbiamo imporre le condizioni iniziali: 0 v 0 k10 V 0 k 10 (7.13) In conclusione, la soluzione cercaa sarà: v 1000 10 e 10 V >0 (7.14) In Fig. 7.3 abbiamo rappresenao graficamene la soluzione (7.14) con la linea blu. La ensione v() passa da un valore nullo in =0 ad un valore di regime per > pari a 10V uguale a quello del generaore di ensione. Il condensaore viene quindi caricao dal generaore cosane ed il circuio di Fig. 7.1 è, in queso caso, un circuio di carica (vedi 3.2.6 della Lezione 6). Una vola deerminaa la variabile di sao nell inervallo emporale che ci ineressa, possiamo passare a calcolare in ogni isane di quell inervallo ue le alre grandezze del circuio. ominciamo con la correne del condensaore i3(). Dalla relazione caraerisica del condensaore e dalla (7.14) abbiamo: i dv >0 (7.15) d 1000 3 e A Abbiamo rappresenao il grafico della (7.15) con la linea rossa di Fig. 7.3. Infine, essendo i2()= i3(), in quano correne dell unica maglia presene nel circuio, si ha: 1000 v Ri Ri 10 e V >0 (7.16) 2 2 3 Si osservi come il grafico rosso della Fig. 7.3 mosra una funzione disconinua (i3(0 )=0, i3(0 + )=1), a differenza del grafico blu, che, essendo di una variabile di sao, è coninuo in =0. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 9/102

Fig. 7.3 Grafico della funzione (7.14) in blu e (7.15) in rosso 5. 1.1.2 ondizioni iniziali non nulle ambiamo i dai. Deerminiamo la soluzione con la condizione iniziale non nulla V0=5V. Quindi abbiamo: DATI: 0=0, V0=5V, R= 10, =10-4 F, e()= 10 u() V. La funzione gradino uniario u() l abbiamo definia nella (6.88) della Lezione 6. Vogliamo calcolare la ensione e la correne del condensaore del circuio di Fig. 7.1 per > 0. Il problema (7.6) in queso caso lo possiamo così formulare: dv 1 10 v d v V 0 0 5V >0 (7.17) on 3 τ=10 s. 5 Il grafico, come ui quelli riporai in quesa lezione, è sao oenuo con la piaaforma web hps://www.mahe-fa.de/i. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 10/102

Possiamo agire direamene sulla (7.12) deerminando un diverso valore di k avendo una diversa condizione iniziale da soddisfare. Abbiamo: v (7.18) 0 k 10 V 0 5 k 5 e quindi la soluzione: v 1000 5 e 10 V >0 (7.19) Il grafico della (7.19) è mosrao in Fig. 7.4, con la linea blu. Dalla relazione caraerisica del condensaore e dalla (7.14) abbiamo: i dv >0 (7.20) d 1000 3 0.5 e A Abbiamo rappresenao il grafico della (7.20) con la linea rossa di Fig. 7.4. Infine, essendo i2()= i3(), in quano correne dell unica maglia presene nel circuio, si ha: 1000 v Ri Ri 5 e V >0 (7.21) 2 2 3 Si osservi come il grafico rosso della Fig. 7.4 mosra una funzione disconinua (i3(0 )=0, i3(0 + )=0,5), a differenza del grafico blu che, essendo di una variabile di sao è coninuo in =0. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 11/102

Fig. 7.4 Grafico della funzione (7.19) in blu e (7.20) in rosso. Il circuio che abbiamo appena sudiao è ancora un circuio di carica di un condensaore in quano, anche se inizialmene il condensaore è carico, il generaore lo pora alla fine del ransiorio ad essere caricao ad un valore maggiore di quello iniziale 6. 1.1.3 La scarica di un condensaore Vogliamo calcolare la ensione del condensaore del circuio di Fig. 7.1 per > 0. Per osservare un fenomeno di scarica abbiamo due casi possibili: - Nel circuio il generaore si spegne; - Nel circuio il valore della ensione del generaore è minore del valore della ensione del condensaore nell isane iniziale. Nel primo caso proponiamo: DATI: 0=0, V0=3V, R= 10, =10-4 F, e()=0. In queso caso il problema (7.6) dobbiamo così formularlo: 6 Facciamo un esempio praico preso dalla via quoidiana di ui noi: ho il cellulare carico al 43% e lo meo a caricare per un po di empo fino al 82%. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 12/102

dv 1 v 0 d v V 0 0 3V >0 (7.22) 3 conτ=10 s. Il problema (7.22), di fao, rappresena la dinamica di un evoluzione libera. Perano, usiamo la (6.33) della Lezione 6: v >0 (7.23) 1000 k, ke ke Imponiamo la condizione iniziale V0=3V: v (7.24) 0 k V 0 3V e quindi la soluzione: 1000 v 3 e V >0 (7.25) Il grafico, che rappresena la scarica del condensaore, della (7.25) lo abbiamo mosrao in Fig. 7.5. Fig. 7.5 Grafico della funzione (7.25) evoluzione libera di un circuio R. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 13/102

Nel secondo caso abbiamo: DATI: 0=0, V0=5V, R= 10, =10-4 F, e()=2,5u()v. La funzione gradino uniario u() è saa definia nella (6.88) della Lezione 6. In queso caso il problema (7.6) dobbiamo così formularlo: dv 1 2.5 v d v V 0 0 5V >0 (7.26) 3 conτ=10 s. La soluzione paricolare: vp 2.5V >0 (7.27) e quindi l inegrale generale: v 1000 k, ke 2.5 >0 (7.28) Imponendo le condizioni iniziali alla (7.28) abbiamo la soluzione dell esercizio: v 1000 2.5 e 2.5 V >0 (7.29) Il grafico della (7.29) lo abbiamo mosrao in Fig. 7.6. Si osservi che la derivaa della funzione rappresenaa in figura è negaiva, il condensaore si sa scaricando. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 14/102

Fig. 7.6 Grafico della funzione (7.29). Il circuio che abbiamo appena sudiao è ancora un circuio di scarica di un condensaore in quano anche se inizialmene il condensaore è carico, il generaore lo pora ad essere caricao ad un valore minore di quello iniziale. 1.1.4 ircuio risolo con l analisi per inervalli I dai dell esercizio che vogliamo risolvere in queso paragrafo sono: DATI: 0=0, R= 10, =10-4 F, e()=eu()+2eu(), E=2V, il circuio si rova a regime per <0. La funzione gradino uniario u() è saa definia nella (6.88) della Lezione 6. Vogliamo calcolare la ensione del condensaore del circuio di Fig. 7.1 per >0. La ensione erogaa dal generaore è saa rappresenaa in Fig. 7.7. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 15/102

Fig. 7.7 Grafico della ensione erogaa dal generaore di ensione dell R serie. Per risolvere queso circuio dobbiamo uilizzare l analisi per inervalli inrodoa nel 3.4 della Lezione 6 e ripresa nel 5 di quesa lezione. Gli inervalli si riferiscono ovviamene ad inervalli emporali. Nel nosro caso si raa di due inervalli: <0 e >0. In =0 abbiamo la disconinuià della ensione del generaore e quindi non è possibile scrivere in queso puno l equazione differenziale in cui comparirebbe una grandezza disconinua in quel puno. Il raccordo ra i due inervalli emporali è assicurao dalla coninuià della ensione sul condensaore, che è variabile di sao. Inervallo <0 (ossia [-,0[) In queso inervallo dobbiamo supporre che il circuio abbia raggiuno un regime ed in paricolare, essendo il generaore cosane, un regime sazionario. Il circuio si compora in al caso come in Fig. 7.2, con il condensaore sosiuio da un circuio apero. Il valore della ensione per <0, che chiamiamo v-(), è uguale a quella del generaore di ensione, possiamo scrivere: v 2V <0 (7.30) Prima di passare all inervallo >0, imponiamo la condizione di coninuià ra i due inervalli: Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 16/102

v 0 v 0 v 0 2V =0 (7.31) Inervallo >0 (ossia [0,+ ]) In queso caso, il problema (7.6) dobbiamo così formularlo: dv 1 4 v d v v0 2V 0 >0 (7.32) 3 conτ=10 s. L inegrale generale del problema (7.32) è analogo a quello della (7.17), e cioè alla (7.12). on i dai che abbiamo scriviamo: v 1000 k, ke 4 >0 (7.33) Imponiamo la condizione iniziale V0=2V: V 0 v 0 k+4 2Vk 2V (7.34) e quindi la soluzione: v 1000 2 e 4 V >0 (7.35) Il grafico della (7.30) (in verde) e (7.35) (in blu) lo abbiamo mosrao in Fig. 7.8. Si osservi che la derivaa della funzione di figura è posiiva per >0, il condensaore si sa caricando. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 17/102

Fig. 7.8 Grafico della funzione (7.30) in verde e (7.35) in blu. 1.2 Esercizio con circuio R parallelo oninuiamo la nosra disamina considerando il circuio R parallelo mosrao in Fig. 7.9. Vogliamo calcolare la ensione e la correne del condensaore del circuio rappresenao. Osserviamo che abbiamo fao la convenzione del generaore sul generaore ideale di correne e quella dell uilizzaore sui due bipoli passivi, resisore e condensaore. Fig. 7.9 ircuio R parallelo. Anche il circuio di Fig. 7.9, come vedremo quando roveremo la soluzione, è un circuio di carica se il generaore eroga una correne che, moliplicaa per R, sia maggiore del valore della ensione all isane iniziale. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 18/102

Per queso circuio, il sisema di equazioni circuiali risula essere: 0 0 j R dv i1 i2 i 3 0 v1 v2 v2 v i1 v2 i2 i3 d (7.36) con >0. Ora, combinando le diverse equazioni, eliminiamo ue le incognie ranne la ensione v() e oeniamo un unica equazione che scriviamo soo forma di equazione di sao: dv d v j >0 (7.37) R Verifichiamo che l equazione (7.37) deve avere ui i ermini aveni dimensione fisica equivalene ad una correne. Inroducendo la cosane di empo (7.4) scriviamo: dv v 1 Rj >0 (7.38) d τ τ analoga alla (6.12) della Lezione 6. onfronando la (7.38) e la (7.5) osserviamo che le due equazioni si equivalgono se poniamo: e =Rj (7.39) Quesa equivalenza, basaa sempre su un principio di equivalenza, la possiamo immediaamene giusificare con il eorema del generaore equivalene sudiao nella Lezione 5 ed in paricolare con la formula di equivalenza (5.17) della Lezione 5. Avendo sudiao la Lezione 5, sappiamo bene che i circuii di Fig. 7.1 e Fig. 7.9 sono equivaleni soo l ipoesi (7.39). Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 19/102

Anche nel caso di circuio R parallelo, l inegrale generale dell equazione (7.38) risula essere 7 : 1 0 τ k, ke >0 (7.40) v v p Per rovare LA soluzione del problema abbiamo bisogno di assegnare i dai e, in paricolare, la condizione iniziale. DATI: 0=0, V0=0, R= 10, =10-4 F, j()= 1 u() A. La funzione gradino uniario u() l abbiamo definia nella (6.88) della Lezione 6. on quesi dai la cosane di empo è ancora =10-3, 0=0, ed inolre è soddisfaa la relazione (7.39). Perano, possiamo concludere che la soluzione del problema (7.40) con i dai assegnai sarà uguale alla (7.14) che per comodià riscriviamo: v 1000 10 e 10 V >0 (7.41) Per eserciarci sul circuio di Fig. 7.9, proviamo a cambiare i dai in maniera da non verificare la condizione (7.39). Ecco i nuovi dai: DATI: 0=0.005s, V0=3, R= 10, =10-4 F, j()= 2 u() A. La funzione gradino uniario u() l abbiamo definia nella (6.88) della Lezione 6. In queso caso non possiamo uilizzare i risulai oenui nel paragrafo precedene e quindi ripeiamo la procedura sudiaa nel caso di circuio R serie per il circuio che siamo sudiando. i serve calcolare la soluzione paricolare per dare forma alla (7.40). Ricordiamo che il regime raggiuno da queso circuio per > è ancora un regime sazionario essendo il generaore di correne cosane. on i dai proposi la cosane di empo è sempre =10-3. Quesa vola, però, l isane iniziale è diverso da 0 e non è rispeaa la (7.39). La prima cosa da fare è calcolare la 7 In realà TUTTI i circuii dinamici del I ordine hanno per inegrale generale una funzione come la (7.40)! Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 20/102

soluzione paricolare vp(). Poiché per > il circuio ende ad un regime sazionario, possiamo rovare la soluzione paricolare sudiando il circuio in condizioni sazionarie e quindi il circuio di Fig. 7.10. Fig. 7.10 ircuio di Fig. 7.9 in regime sazionario. Osserviamo che, nella Fig. 7.10, il condensaore si compora come un circuio apero e la ensione ai suoi erminali sarà uguale alla ensione del resisore R e quindi a v2(). Inolre, poiché il condensaore è un apero, la correne i3()=0 e, al nodo I, i1()= i2()=j(). Possiamo scrivere allora: v v ( ) R i ( ) Rj( ) 20V > (7.42) p 2 2 Al pari della (7.11), possiamo scrivere: p v 20V >0.005s (7.43) L inegrale generale del problema sarà quindi: v 1000 0.005 k, ke 20 >0.005s (7.44) Infine, per calcolare la cosane k, dobbiamo imporre le condizioni iniziali: V 0 v 0.005 k 20 3 k 17 (7.45) In conclusione, la soluzione cercaa sarà: Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 21/102

1000 0.005 v 17e 20 V >0.005s (7.46) In Fig. 7.11 abbiamo rappresenao graficamene la soluzione (7.46) con la linea blu. La ensione v() passa da un valore V0=3V in 0.005s, ad un valore di regime per > pari a 20V uguale a Rj(). Il condensaore viene quindi caricao dal generaore cosane ed il circuio di Fig. 7.9 è, in queso caso, un circuio di carica. Una vola deerminaa la variabile di sao nell inervallo emporale che ci ineressa, possiamo passare a calcolare in ogni isane di quell inervallo ue le alre grandezze del circuio. Facciamolo per la correne del condensaore i3(). Dalla relazione caraerisica del condensaore e dalla (7.46) abbiamo: i 1000 0.005 dv >0.005s (7.47) d 3 1.7 e A Abbiamo rappresenao il grafico della (7.47) con la linea rossa di Fig. 7.11. Fig. 7.11 Grafico della funzione v() in blu e i3() in rosso. Nel grafico di Fig. 7.11, abbiamo rappresenao v() e i3() anche per <0.005s. La i3(), per <0.005s, è nulla in quano derivaa di una funzione cosane. Possiamo osservare che essa, come c era da aspearsi, risula disconinua in =0.005s. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 22/102

1.3 Esercizi con circuio RL parallelo Sosiuiamo al poso del condensaore un induore. ominciamo considerando il circuio RL parallelo di Fig. 7.12. Vogliamo calcolare le grandezze preseni nel circuio e rappresenae in Fig. 7.12. Osserviamo che abbiamo fao la convenzione del generaore sul generaore ideale di correne e quella dell uilizzaore sui due bipoli passivi, resisore e induore. Fig. 7.12 ircuio RL parallelo. Il sisema di equazioni circuiali per il circuio in Fig. 7.12, essendoci due maglie ed avendo escluso il nodo II dalla LK, risula essere: L 0 v 0 j R dil L i1 i2 i 0 v1 v2 v2 3 i1 v2 i2 v3 d (7.48) con > 0. È facile verificare che, analogamene a quano fao nel 1.1 con il circuio R serie, procedendo per eliminazioni successive, combinando le diverse equazioni, roviamo l equazione di sao per un circuio RL parallelo: Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 23/102

di L L RiL R j d >0 (7.49) L equazione (7.49) ha ui i ermini omogenei ad una ensione. L equazione (7.49), analoga alla (6.11) della Lezione 6, è una equazione differenziale del I ordine lineare e empo invariane avene come unica incognia la variabile di sao il(). La possiamo riscrivere inroducendo la cosane di empo (vedi la 6.13 della Lezione 6): L τ= R (7.50) e quindi avere: dil il j >0 (7.51) d τ τ La (7.51) è analoga alla (6.12) della Lezione 6. Per deerminare LA soluzione del problema abbiamo bisogno di conoscere le condizioni iniziali in 0 e quindi formulare il seguene problema di auchy: j dil il d τ τ il I L0 0 >0 (7.52) dove IL0 è la condizione iniziale. Il sisema è analogo al (6.18) della Lezione 6. Sempre riguardo ad un circuio RL parallelo, per imposare un esercizio possiamo agire sui segueni aspei: - La condizione iniziale (nulla o non nulla) se il circuio ci viene consegnao nell isane iniziale della sua evoluzione dinamica. - La causa che ha generao l evoluzione della dinamica, se, a differenza del caso precedene, abbiamo a disposizione il circuio prima dell isane iniziale (il generaore che cambia valore in un isane, un inerruore che si chiude). - Il valore del generaore cosane (il valore della correne erogaa dal generaore è maggiore o minore della condizione iniziali). Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 24/102

Nel seguio risolveremo alcuni esercizi nei quali abbiamo considerao i vari casi appena evidenziai. 1.3.1 ondizioni iniziali nulle onsideriamo il circuio di Fig. 7.12 con i segueni dai: DATI: 0=0, IL0=0, R= 10, L=10-3 H, j()= 10 u() A. La funzione gradino uniario u() l abbiamo definia nella (6.88) della Lezione 6. Vogliamo calcolare le grandezze preseni nel circuio di Fig. 7.12 per > 0. In 0 il circuio si rova in uno sao di riposo. Il problema (7.52) lo possiamo riscrivere usando i dai dell esercizio: dil 1 10 il d il0 0 >0 (7.53) dove abbiamo la cosane di empo: L τ= R 4 10 s (7.54) Osserviamo che essendo il generaore cosane il circuio per > raggiungerà un regime sazionario che vedrà ue le grandezze del circuio divenire cosani 8. oerenemene a quano deo nella Lezione 6, in paricolare nella (6.25), possiamo dire che l inegrale generale del problema (7.53) risula essere: 1 0 τ i k, ke i L >0 (7.55) Lp dove abbiamo che il primo ermine al secondo membro rappresena l inegrale generale dell omogenea associaa e ilp() la soluzione paricolare. La cosane k poremo deerminarla, uilizzando la condizione iniziale, solo dopo aver deerminao la soluzione paricolare ilp(). Essendo il generaore di correne cosane per >0, la soluzione 8 In queso corso sudieremo unicamene circuii dinamici alimenai da generaori cosani e quindi circuii dinamici che raggiungono un regime sazionario. Il passo successivo sarebbe quello di sudiare i circuii dinamici alimenai da generaori sinusoidali che quindi raggiungono un regime sinusoidale. Ma queso caso si rimanda a sudi più approfondii. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 25/102

paricolare ilp() risulerà una funzione ad essa isomorfa, e quindi cosane, che possiamo calcolare direamene dal circuio. iò che faremo è sudiare il circuio per >>0 e quindi per >. Il circuio di Fig. 7.12 per > si rova in un regime di funzionameno sazionario e perano l induore si compora come un coro circuio, ossia avremo il circuio di Fig. 7.13. Fig. 7.13 ircuio di Fig. 7.12 in regime sazionario. Osserviamo che, poiché l induore si compora come un coro circuio, ed essendo in parallelo alla resisenza R, esso impone alla ensione v2() di annullarsi per >. Perano, nel resisore R, non vi sarà passaggio di correne. Queso compora che nel coro circuio, e quindi nell induore a regime, ci sarà una correne pari a quella del generaore di correne j(). Possiamo scrivere allora: Lp i j( ) 10A > (7.56) Aenzione: nella (7.56) abbiamo scrio > perché l uguaglianza ra ilp() ed j() la possiamo scrivere SOLO per >. Ma poiché ilp() è una funzione cosane, allora possiamo scrivere: Lp i 10A >0 (7.57) Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 26/102

In alre parole, per rovare la soluzione paricolare, facciamo lavorare il circuio a regime e in quel caso, semplice, calcoliamo la soluzione paricolare che sappiamo però essere la sessa per ua l evoluzione della dinamica 9. L inegrale generale del problema (7.53) sarà quindi: >0 (7.58) 10000 il k, ke ilp Abbiamo già osservao che l induore si compora, in regime sazionario, come un coro circuio e quindi impone una ensione nulla sulla resisenza. Queso compora che l induore è araversao da una correne pari alla correne del generaore. Possiamo scrivere allora: ilp 10 >0 (7.59) L inegrale generale del problema sarà: i L 10000 k, ke 10 >0 (7.60) Infine, per calcolare la cosane k, dobbiamo imporre la condizione iniziale: i 0 k10 I 0 k 10 (7.61) L L0 In conclusione, la soluzione cercaa sarà: i 10000 L 10 e 10 A >0 (7.62) In Fig. 7.14 abbiamo rappresenao graficamene la soluzione (7.62) con la linea blu. La correne il() passa da un valore nullo in =0 ad un valore di regime per > pari a 10A uguale a quello del generaore di correne. L induore viene quindi caricao dal generaore cosane di correne. 9 Queso modo di procedere si esende al caso più generale di circuii alimenai da generaori periodici (ad esempio, sinusoidali). Anche nel caso generale infai la forma della soluzione, calcolaa a regime, è la sessa per ua l evoluzione della dinamica. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 27/102

Una vola deerminaa la variabile di sao nell inervallo emporale che ci ineressa, possiamo passare a calcolare in ogni isane di quell inervallo ue le alre grandezze del circuio. ominciamo con la ensione dell induore v3(). Dalla relazione caraerisica dell induore e dalla (7.62) abbiamo: v di >0 (7.63) d L 10000 3 L 100 e V Abbiamo rappresenao il grafico della (7.63) con la linea rossa di Fig. 7.14 Infine, essendo v2()= v3(), in quano ensione del parallelo presene nel circuio, si ha: i v v >0 (7.64) R R 2 3 10000 2 10 e A Si osservi come il grafico rosso della Fig. 7.14 mosra una funzione disconinua (v3(0 )=0, v3(0 + )=100), a differenza del grafico blu, che, essendo relaivo ad una variabile di sao, è coninuo in =0. Fig. 7.14 Grafico della funzione (7.62) in blu e (7.63) in rosso. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 28/102

1.3.2 ondizioni iniziali non nulle ambiamo i dai. Deerminiamo la soluzione con la condizione iniziale non nulla IL0=4A. Quindi abbiamo: DATI: 0=0, IL0=4A, R= 10, L=10-3 H, j()= 10 u() A. La funzione gradino uniario u() l abbiamo definia nella (6.88) della Lezione 6. Vogliamo calcolare la correne e la ensione dell induore del circuio di Fig. 7.12 per > 0. Il problema (7.52) in queso caso lo possiamo così formulare: dil 1 10 il d il0 IL0 4A >0 (7.65) con 4 τ=10 s. Possiamo agire direamene sulla (7.61) deerminando un diverso valore di k avendo una diversa condizione iniziale da soddisfare. Abbiamo: L L0 i 0 k10 I 4 k 6 (7.66) e quindi la soluzione: 10000 i L 6 e 10 A >0 (7.67) Il grafico della (7.67) lo abbiamo mosrao in Fig. 7.15 con la linea blu. Dalla relazione caraerisica dell induore e dalla (7.67) abbiamo: v di >0 (7.68) d L 10000 3 L 60 e V Abbiamo rappresenao il grafico della (7.68) con la linea rossa di Fig. 7.15. Infine, essendo v2()= v3(), in quano ensione del parallelo presene nel circuio, si ha: v2 v3 10000 i2 6 e A >0 (7.69) R R Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 29/102

Si osservi come il grafico rosso della Fig. 7.15 mosra una funzione disconinua (v3(0 )=0, v3(0 + )=60V), a differenza del grafico blu che essendo relaivo ad una variabile di sao è coninuo in =0. Fig. 7.15 Grafico della funzione (7.67) in blu e (7.68) in rosso. 1.3.3 ircuio risolo con l analisi per inervalli I dai dell esercizio che vogliamo risolvere in queso paragrafo sono: DATI: 0=0, R= 10, L=10-3 H, j()=ju()3ju(), J=2A, il circuio si rova a regime per <0. La funzione gradino uniario u() l abbiamo definia nella (6.88) della Lezione 6. Vogliamo calcolare la correne e la ensione dell induore del circuio di Fig. 7.12 per >0. La correne erogaa dal generaore è rappresenaa in Fig. 7.16. Per risolvere queso circuio dobbiamo uilizzare l analisi per inervalli inrodoa nel 3.4 della Lezione 6 e ripresa nel 5 di quesa lezione. Gli inervalli si riferiscono ovviamene ad inervalli emporali. Nel nosro caso si raa di due inervalli: <0 e >0. In =0 abbiamo la disconinuià della correne del generaore e quindi non è possibile scrivere in queso puno l equazione differenziale in cui comparirebbe una grandezza Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 30/102

disconinua in quel puno. Il raccordo ra i due inervalli emporali è assicurao dalla coninuià della correne sull induore che è variabile di sao. Fig. 7.16 Grafico della correne erogaa dal generaore di correne dell RL parallelo. Inervallo <0 In queso inervallo dobbiamo supporre che il circuio abbia raggiuno un regime, in paricolare essendo il generaore cosane, un regime sazionario. Il circuio si compora come in Fig. 7.13, con l induore sosiuio da un coro circuio. Il valore della correne dell induore per <0, che chiamiamo il-(), è uguale a quella del generaore di correne, possiamo scrivere: i L 2A <0 (7.70) Prima di passare all inervallo >0, imponiamo la condizione di coninuià ra i due inervalli: il 0 il 0 il 0 2A =0 (7.71) Inervallo >0 In queso caso il problema (7.52) dobbiamo così formularlo: Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 31/102

dil 1 6 il d il il0 2A 0 >0 (7.72) 4 conτ=10 s. L inegrale generale del problema (7.72) è analogo al problema (7.65) e quindi alla (7.58). on i dai che abbiamo possiamo scrivere: i L 10000 k, ke 6 >0 (7.73) Imponiamo la condizione iniziale IL0=2A: i 0 k6i 2Ak 8A (7.74) L L0 e quindi la soluzione: i 10000 L 8 e 6 A >0 (7.75) Il grafico delle (7.70) (in verde) e (7.75) (in blu) sono riporai in Fig. 7.17. Fig. 7.17 Grafico della funzione (7.70) in verde e (7.75) in blu. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 32/102

1.4 Esercizio con circuio RL serie In queso paragrafo consideriamo i circuii RL serie come in Fig. 7.18. Vogliamo calcolare la correne e la ensione dell induore del circuio di figura. Osserviamo che abbiamo fao la convenzione del generaore sul generaore ideale di ensione e quella dell uilizzaore sui due bipoli passivi, resisore e induore. Fig. 7.18 ircuio RL serie. Il sisema di equazioni circuiali per il circuio in Fig. 7.18, essendoci una sola maglia ed avendo escluso il nodo III per la LK, risula essere: 0 L 0 e Ri dil L i1 i2 i2 i v1 v2 v3 0 v1 v2 2 v3 d (7.76) con >0. Per rovare la correne dell induore, eliminiamo, combinando ra loro le diverse equazioni appena scrie, ue le incognie ranne la correne il() e oeniamo un unica equazione che scriviamo soo forma di equazione di sao: Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 33/102

di L L RiL e d >0 (7.77) Verifichiamo che l equazione (7.77) deve avere ui i ermini aveni dimensione fisica equivalene ad una ensione. Inroducendo la cosane di empo (7.50) scriviamo: 1 dil il e >0 (7.78) d τ τ R analoga alla (6.12) della Lezione 6. onfronando la (7.78) e la (7.51) osserviamo che le due equazioni si equivalgono se poniamo: e =Rj (7.79) Quesa equivalenza, basaa su un principio di equivalenza, la possiamo immediaamene giusificare con il eorema del generaore equivalene sudiao nella Lezione 5 ed in paricolare con la formula di equivalenza (5.17) della Lezione 5. Avendo sudiao la Lezione 5, sappiamo bene che i circuii di Fig. 7.12 e Fig. 7.18 sono equivaleni soo l ipoesi (7.79). Anche nel caso di circuio RL serie, l inegrale generale dell equazione (7.78) risula essere 10 : 0 i k, ke i L 1 >0 (7.80) Lp Per rovare LA soluzione del problema abbiamo bisogno di assegnare i dai e in paricolare, la condizione iniziale. DATI: 0=0, il(0)=0, R= 10, L=10-3 H, e()= 100 u()v. La funzione gradino uniario u() l abbiamo definia nella (6.88) della Lezione 6. 10 In realà TUTTI i circuii dinamici del I ordine hanno per inegrale generale una funzione come la (7.80)(7.40)! Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 34/102

È facile verificare che, essendo e()=r j(), la soluzione sarà ancora la (7.62), che per comodià riscriviamo: i 10000 L 10 e 10 A >0 (7.81) Per eserciarci sul circuio di Fig. 7.18, proviamo a cambiare i dai in maniera da non verificare la condizione (7.79). Ecco i nuovi dai: DATI: 0=0.02s, il(0)=2a, R= 10, L=10-3 H, e()= 10 u()v. In queso caso, non possiamo uilizzare i risulai oenui nel paragrafo precedene e quindi ripeiamo la procedura sudiaa nel caso di circuio RL parallelo per il circuio che siamo sudiando. i serve calcolare la soluzione paricolare per dare forma alla (7.80). Ricordiamo che il regime raggiuno da queso circuio per > è ancora un regime sazionario essendo il generaore di ensione cosane. on i dai proposi la cosane di empo è sempre =10-4. Quesa vola però l isane iniziale è diverso da 0 e non è rispeaa la (7.79). La prima cosa da fare è calcolare la soluzione paricolare ilp(). Poiché per > il circuio ende ad un regime sazionario, possiamo rovare la soluzione paricolare sudiando il circuio in condizioni sazionarie e quindi il circuio di Fig. 7.19. Fig. 7.19 ircuio di Fig. 7.18 in regime sazionario. Osserviamo che, nella Fig. 7.19, l induore si compora come un coro circuio e la correne che lo araversa sarà uguale alla correne del resisore R e quindi a i2(). Inolre, Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 35/102

poiché l induore è un coro, la ensione v3()=0 e, all unica maglia presene, v1()= v2()=e(). Possiamo scrivere allora: v2( ) e( ) ilp i2( ) 1A R R > (7.82) Al pari della (7.82), possiamo scrivere: Lp i 1A >0.02s (7.83) L inegrale generale del problema sarà quindi: i L 10000 0.02 k, ke 1 >0.02s (7.84) Infine, per calcolare la cosane k, dobbiamo imporre le condizioni iniziali: L i 0.02 k1 I 2 k 1 (7.85) L 0 In conclusione, la soluzione cercaa sarà: 10000 0.02 L e 1 A i >0.02s (7.86) In Fig. 7.20 abbiamo rappresenao graficamene la soluzione (7.86) con la linea blu. La correne il() passa da un valore IL0=2A in 0.02s, ad un valore di regime per > pari a 1A uguale a e()/r. Una vola deerminaa la variabile di sao nell inervallo emporale che ci ineressa, possiamo passare a calcolare in ogni isane di quell inervallo ue le alre grandezze del circuio. Facciamolo per la ensione dell induore v3(). Dalla relazione caraerisica del condensaore e dalla (7.86) abbiamo: v 100000.02 di >0.02s (7.87) d L 3 L 10 e V Abbiamo rappresenao il grafico della (7.87) con la linea rossa di Fig. 7.20. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 36/102

Fig. 7.20 Grafico della funzione il() in blu e v3() in rosso. Nel grafico di Fig. 7.20, abbiamo rappresenao il() e v3() anche per <0.02s. La v3(), per <0.02s, è nulla in quano derivaa di una funzione cosane. Possiamo osservare che essa, come c era da aspearsi, risula disconinua in =0.02s. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 37/102

2 Le configurazioni criiche 2.1 I circuii mal modellai Perché non abbiamo considerao il circuio Fig. 7.21 e il circuio di Fig. 7.22? osa c è che non va in quesi schemi? Se deerminiamo le equazioni di sao dei due circuii, operando analogamene a quano fao per i circuii dei paragrafi precedeni, oeniamo per quello di Fig. 7.21: dv d j >0 (7.88) con 0 isane iniziale e v(0) =V0, e per quello di Fig. 7.22: dil L d e >0 (7.89) con 0 isane iniziale e il(0)=il0. Osserviamo che, nonosane nei circuii di Fig. 7.21 e Fig. 7.22 vi siano dei resisori, le equazioni (7.88) e (7.89) mancano del ermine non derivao moliplicao, rispeivamene, per la conduanza (vedi la (7.3)) e per la resisenza (vedi la (7.49)). Fig. 7.21 ircuio R con generaore di correne in serie. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 38/102

Fig. 7.22 ircuio RL con generaore di ensione in parallelo. Il moivo dell assenza del conribuo delle resisenze è che, nel primo caso, abbiamo un generaore di correne in serie all elemeno dinamico condensaore, e, nel secondo caso, abbiamo un generaore di ensione in parallelo all elemeno dinamico induore. Ricordandoci, dalla Lezione 2, che i generaori reali di ensione e correne vogliono rispeivamene una resisenza in serie e in parallelo, comprendiamo che nei circuii di Fig. 7.21 e Fig. 7.22, le resisenze considerae non servono a modellare correamene i generaori reali risulando superflue. Le equazioni (7.88) e (7.89) possono essere comunque risole e daranno delle soluzioni indipendeni dalla presenza delle resisenze. Le variabili di sao, dunque, dipendono unicamene dai generaori ideali. Vediamo come. Supponiamo che le funzioni j() e e() realizzae dai generaori siano funzioni inegrabili. Allora, inegrando la (7.88) oeniamo: 1 1 v= v0 j 0 j' j' 0 dv 0 (7.90) dove j () è la primiiva della funzione j(). Inegrando la (7.89): 1 1 il=il0 e L 0 e' e' 0 L d i 0 L (7.91) dove e () è la primiiva della funzione e(). Per comprendere ancora meglio l inefficacia delle resisenze pose nei circuii di Fig. 7.21 e Fig. 7.22, si osservi che le equazioni (7.88) e (7.89) si porebbero oenere anche dai Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 39/102

circuii rispeivamene di Fig. 7.23 e Fig. 7.24. Queso non deve sorprenderci in quano deerminando il circuio equivalene secondo Noron e Thevenin rispeivamene nei circuii di Fig. 7.21 e Fig. 7.22 oeniamo quelli di Fig. 7.23 e Fig. 7.24. Fig. 7.23 ircuio capaciivo ideale privo di resisenza con generaore di correne. Fig. 7.24 ircuio induivo ideale privo di resisenza con generaore di ensione. Dalle (7.90) e (7.91) deduciamo che i circuii considerai, anche se idealizzai, realizzano la carica del condensaore e dell induore riuscendo a garanire la coninuià delle variabili di sao. Bisognerà scegliere, però, opporunamene la funzione realizzaa dai generaori. Ad esempio, non dobbiamo scegliere generaori cosani alrimeni i due elemeni dinamici permangono nel loro valore di regime. Soolineiamo che in quesi due casi considerai non si osservano fenomeni ransiori in quano le variabili di sao seguono isane per isane il forzameno. É bene comprendere, a queso puno, che gli ulimi ragionameni fai lasciano il empo che rovano. I circuii che abbiamo appena sudiao sono roppo idealizzai e quindi non Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 40/102

realizzabili. Abbiamo cioè considerao un modello roppo idealizzao di un sisema fisico reale. L assenza di una resisenza nei circuii considerai li rende eccessivamene idealizzai. Non abbiamo enuo cono, nel modello circuiale, della presenza nel circuio reale di effei resisivi, preseni essenzialmene nei generaori e negli elemeni dinamici 11. Allo scopo di modellare i circuii ed i sisemi elerici con il modello circuiale in maniera accuraa, possiamo rascurare la presenza degli effei resisivi dei componeni (mai compleamene rascurabili) solo rispeo ad alre resisenze opporunamene inserie nel nosro circuio. 2.2 I circuii mal posi Ai circuii di Fig. 7.21 e Fig. 7.22 possiamo aggiungere i loro duali. onsideriamo i circuii di Fig. 7.25 e Fig. 7.26 che diremo mal posi. Vediamo perché. Osserviamo, ad esempio, il circuio R di Fig. 7.25, avremmo: e v >0 (7.92) con 0 isane iniziale. Quindi la ensione sul condensaore uguaglierebbe in ogni isane la ensione sul generaore ideale di ensione. Non ci sono ransiori come nel caso precedene, ma quesa vola invece di avere una equazione differenziale come la (7.88) che salvaguarda la coninuià della variabile di sao (vedi la (7.90)), abbiamo una idenià isananea ra variabile di sao e ensione del generaore che porebbe violare la coninuià della variabile di sao olre ad imporre evenuali disconinuià del generaore sesso 12. Lo sesso discorso vale per il circuio di Fig. 7.26: 11 Il condensaore e l induore sono sempre sai considerai ideali, ma in realà i componeni fisici reali presenano componeni resisive dovue alla presenza di conduori. Per queso moivo il circuio R serie (vedi 1.1) e il circuio RL parallelo (vedi 1.3) rappresenano, rispeivamene, il più semplice e compleo modello circuiale dei due componeni dinamici. La resisenza dell R serie rappresena la serie ra la resisenza del generaore e quella del condensaore menre la resisenza parallelo dell RL parallelo rappresena il parallelo ra la resisenza del generaore quella dell induore. 12 Non è facile nella realà realizzare una disconinuià nei generaori. Tuavia, è possibile andarci molo vicino e realizzare funzioni con derivaa molo elevaa in brevi inervalli di empo. Nel caso dei circuii di Fig. 7.25 e Fig. 7.26 le variabili di sao seguirebbero l andameno dei generaori e darebbero luogo a valori di correne (per il condensaore) e ensione (per l induore) molo elevai e quindi verosimilmene non corrispondeni ad un circuio fisicamene realizzao con accuraezza. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 41/102

L j i >0 (7.93) con 0 isane iniziale. In enrambi i casi considerai abbiamo modellao in maniera poco accuraa dei sisemi fisici reali, rascurandone i reali effei resisivi. I circuii di Fig. 7.25 e Fig. 7.26 rappresenano dei circuii mal posi. Per ali circuii non ha senso cercare una soluzione, ma piuoso si raa di ripensare il modello uilizzao enendo cono di effei resisivi preseni nel sisema reale e rascurai nel modello. Fig. 7.25 ircuio capaciivo mal poso. Fig. 7.26 ircuio induivo mal poso. Quano viso in queso paragrafo lo possiamo generalizzare: un circuio in cui vi siano generaori di ensione ideali in parallelo a condensaori o generaori di correne ideali in serie ad induori è un circuio mal poso. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 42/102

3 I circuii R e RL con più resisenze omplichiamo le cose inroducendo nei circuii del 1 alre resisenze. 3.1 ircuio R con due resisenze Inseriamo, nel circuio R serie di Fig. 7.1, una resisenza non nulla 13 in parallelo al condensaore, oenendo il circuio di Fig. 7.27. Per ale circuio è facile verificare che, essendoci solo due maglie ed escludendo il nodo III, il sisema di equazioni circuiali risula: i2 0 v 4 0 e R1i R i dv i1 i2 i3 i4 v 1 + v2 v v v1 v2 2 v4 2 4 i3 d 0 0 (7.94) con >0 isane iniziale. Nel sisema di equazioni (7.94) si osservi che la relazione caraerisica del resisore R1 è saa scria con il segno negaivo in quano su queso bipolo è saa faa la convenzione del generaore. 13 Se ammeessimo la possibilià che la resisenza inrodoa possa essere nulla, significherebbe aver messo in coro circuio il condensaore e queso non è acceabile in quano imporremmo ensione nulla ai suoi capi, in conraso con evenuali condizioni iniziali della ensione non nulle. Meere in coro circuio un condensaore è una eccessiva idealizzazione in quano si rascurerebbe la presenza di una resisenza, seppur piccolissima, presene nel conduore del coro circuio che garanirebbe la coninuià della ensione del condensaore. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 43/102

Fig. 7.27 Esempio di circuio R con due resisenze. Nel sisema (7.94), sosiuiamo le relazioni caraerisiche nelle leggi di Kirchhoff: i i1 2 0 dv i d e R1i2 v 0 v R2i4 0 2 i4 0 (7.95) A noi ineressa rovare una sola equazione nella incognia variabile di sao v(). Allora eliminiamo dal sisema (7.95) le incognie i1(), i2() e i4(). ominciamo da i1(): dv i d e R1i2 v 0 v R2i4 0 2 i4 0 (7.96) Procediamo con i2(): dv e R1 R1i4 v 0 d v R2i4 0 (7.97) Eliminiamo infine i4() e meiamo l equazione soo forma di equazione di sao dove dv v d R 1 R e >0 (7.98) eq 1 Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 44/102

R R 1 2 R eq = (7.99) R 1 +R 2 è la resisenza equivalene che dobbiamo considerare al poso della semplice resisenza R inconraa nel caso della equazione (7.3) per il calcolo della cosane di empo, che inrodoa pora a riscrivere la (7.98) come: dv v 1 R τ τ R R 2 d 1 2 e >0 (7.100) con la cosane di empo: τ=r = eq R1R2 R +R 1 2 (7.101) Guardiamo la (7.100) con la cosane di empo (7.101) e osserviamo che per oenere il circuio R serie, e quindi la (7.3) con la cosane di empo (7.4), dobbiamo mandare all infinio la resisenza R2. Se a quesa diamo un valore limiao (non nullo), significa aver inrodoo un nuovo paramero su cui è possibile agire per variare la cosane di empo (7.101) e il forzameno presene nella (7.100). La R2 consene di diminuire la cosane di empo a parire dal suo valore massimo R1 e diminuire il valore del forzameno a parire da un valore massimo pari al generaore ideale e(). In alre parole, la resisenza R2 aumena l inerzia del circuio R serie che divena più leno a rispondere ad un forzameno di valore ridoo. Quindi la carica del condensaore risula meno efficace in velocià. In base alla (7.9) possiamo dire che l inegrale generale della (7.100) risulerà: 1 0 τ v k, ke v >0 (7.102) p La cosane k è da deerminare uilizzando le condizioni iniziali e la conoscenza della soluzione paricolare vp(). Risolviamo il circuio con i dai: DATI: 0=0, R1=10, R2=20, =0,5 mf, v(0)=v0=3v, e()= 3 u() V. La funzione gradino uniario u() l abbiamo definia nella (6.88) della Lezione 6. Abbiamo che il problema di auchy è così formulao: Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 45/102

dv d v 0 1 e* v V =2V 0 >0 (7.103) con: R R 20 (7.104) 1 2 R eq = R 1 +R 2 3 e τ=r = eq R1R2 1 R +R 3 1 2 2 = 10 s (7.105) e R >0 (7.106) R +R 2 e* e 2V 1 2 La soluzione paricolare vp() la possiamo calcolare direamene dal circuio di Fig. 7.28 che rappresena quello di Fig. 7.27 a regime sazionario. Fig. 7.28 ircuio della Fig. 7.27 a regime sazionario. Osserviamo che, in regime sazionario, il condensaore si compora come un circuio apero e quindi per calcolare vp() possiamo uilizzare un pariore di ensione ra i due resisori preseni essendo il condensaore in parallelo al resisore R2: R 2 vp e e* 2V >0 (7.107) R +R Si osservi che: 1 2 Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 46/102

- come sarà chiaro nel prossimo 4, la soluzione paricolare (7.107) poeva essere oenua anche dal circuio equivalene secondo Thevenin del circuio di Fig. 7.27, e cioè uno come quello di Fig. 7.1, avene un generaore di ensione che eroga una ensione pari a e*() (vedi la (7.106)), uguale, cioè, alla ensione a vuoo calcolaa ai erminali del condensaore 14. - considerando l equazione differenziale del problema (7.103) osserviamo che a regime sazionario possiamo scrivere: dv 1 e* R v v e* e p 2 p p d R 1+R2 0 Tuo orna! L inegrale generale quindi sarà: >0 (7.108) v 3000 k, ke 2 >0 (7.109) Infine, ci resa da calcolare la k imponendo le condizioni iniziali: v 0 k 2 3 k 1 (7.110) In conclusione, la soluzione cercaa sarà: v 3000 e 2 V >0 (7.111) Abbiamo rappresenao nella Fig. 7.29, con una curva blu, il grafico della funzione (7.111). Per calcolare le alre grandezze del circuio possiamo uilizzare le alre equazioni del sisema. Qui calcoliamo unicamene la correne del condensaore, lasciando per esercizio il calcolo delle alre grandezze. Dalla relazione caraerisica del condensaore e dalla (7.111) abbiamo: 14 La ensione a vuoo per il calcolo di Thevenin si sarebbe calcolaa con un pariore di ensione ra R 1 e R 2 come espresso, appuno, nella formula (7.106). Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 47/102

i dv >0 (7.112) d 3000 3 = 1.5 e A che abbiamo rappresenao con una curva rossa nella Fig. 7.29. Fig. 7.29 Grafico della funzione (7.111) in blu e (7.112) in rosso. 3.2 ircuio RL con due resisenze Inseriamo, nel circuio RL parallelo di Fig. 7.12, una resisenza di valore limiao 15 in serie all induore, oenendo il circuio di Fig. 7.30. Per ale circuio è facile verificare che, essendoci solo due maglie ed escludendo il nodo III, il sisema di equazioni circuiali risula: 15 Se ammeessimo la possibilià che la resisenza inrodoa possa essere infinia, significherebbe aver messo in serie all induore un circuio apero e queso significherebbe imporre una correne nulla all induore. Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 48/102

2 L 4 0 v +v v 0 j R1i R 2i dil L i1 i i 0 il i v2 3 4 0 v1 2 i1 v2 2 v4 4 v3 d (7.113) con >0 isane iniziale. Nel sisema di equazioni (7.113) si osservi che la relazione caraerisica del resisore R2 è saa scria con il segno negaivo in quano su queso bipolo è saa faa la convenzione del generaore. Fig. 7.30 Esempio di circuio RL con due resisenze. Nel sisema (7.113), sosiuiamo le relazioni caraerisiche nelle leggi di Kirchhoff: i2 il i4 0 dil i j 0 il R 2 L Ri4 0 d v1 R 2i2 0 (7.114) Eleroecnica per gesionali Lorenza ori 2019 49/102