LOGICA E ALGEBRA 8 settembre 014 PARTE DI ALGEBRA Esercizio 1 Si consideri l insieme X = (,1),(1,8),(1,10),(5,0),(,16),(,0),(6,48),(,18) e la relazione R su X così definita (m, R (p,q) se e solo m q = n p a) Si dimostri che R è una relazione d equivalenza su X e si determini l insieme quoziente X / R. b) Si consideri la funzione f : X / R Q definita nel seguente modo: m [( m, ] X / R f ([( m, ]), n dove Q è l insieme dei numeri razionali, e si dimostri che la definizione di f è ben posta. Si stabilisca poi se f ammette inverse destre e/o sinistre e in caso affermativo se ne fornisca un esempio. Si consideri, ora, la relazione S su X così definita (m, S (p,q) se e solo m p e n q c) Si dica se S è una relazione d ordine su X e in caso affermativo si indichino, se esistono, massimali, minimali, massimo e minimo di X rispetto ad S. Esercizio Si definiscano sull insieme R dei numeri reali le seguenti operazioni binarie e :, y R y y y y a) Si dimostri che (R,, ) è un campo. b) Si verifichi che l applicazione f : (R,+) (R, ) definita ponendo, per ogni ϵ R, f () è un isomorfismo di gruppi, dove + è l usuale operazione di addizione fra numeri reali. c) Facoltativo: si stabilisca se l applicazione f definita al punto precedente è anche un isomorfismo tra i campi (R,+, ) e (R,, ), dove è l usuale operazione di moltiplicazione fra numeri reali. GIUSTIFICARE OGNI RISPOSTA
SOLUZIONE DELLA PARTE DI ALGEBRA Esercizio 1 a) Considerata la relazione R su X mostriamo che è d equivalenza. R è riflessiva infatti, per ogni ( m, X, si ha m n = n m e quindi (m, R (m, ; R è simmetrica infatti se (m, R (p, q) si ha m q = n p e quindi, per la commutatività del prodotto e la simmetria dell uguaglianza, p n = q m da cui (p, q) R (m, ; R è transitiva infatti se (m, R (p, q) e (p, q) R (s, t) si ha m q = n p e p t = q s da cui, moltiplicando la prima uguaglianza a destra per t e la seconda a sinistra per n, si ha m q t = n p t e n p t = n q s e, per la transitività dell uguaglianza, m q t = n q s da cui m t = n s. Pertanto (m, R (s, t) e quindi la tesi. Le classi d equivalenza di R su X sono [(,1)] =,1),(5,0),(,18) (, [(1,8)] = ( 1,8),(,16),(6,48), [(1,10)] = ( 1,10),(,0) e perciò l insieme quoziente X / R sarà X / R. =,1, 1,8, 1,10. b) Consideriamo ora la funzione f : X / R Q sopra definita e mostriamo che è ben posta cioè che, al variare del rappresentante scelto per la classe d equivalenza, l immagine di f non cambia. Infatti se (m, R (p,q) si ha m q = n p e perciò m m p da cui f ([( m, ]) f p, q n p q e quindi la n q tesi. Chiediamoci, ora, se f ammette inverse sinistre e /o destre, sapendo che questo accade se e solo se f è, rispettivamente, suriettiva e/o iniettiva. Osserviamo che f è sicuramente iniettiva in quanto m p se e n q solo se (m, R (p, q) e quindi se e solo se [(m,] = [(p, q)], mentre f non è suriettiva in quanto ad esempio 1 non ha controimmagine in X. La funzione f ammette perciò inversa destra ma non sinistra. Un esempio di tale inversa è dato dalla seguente funzione g da Q a X / R: m g n [( m, ] [(1,10)] se ( m, X se ( m, X c) Considerata, ora, la relazione S su X mostriamo che è d ordine. S è riflessiva infatti, per ogni ( m, X, si ha m m e n n e quindi (m, S (m, ; S è antisimmetrica infatti se (m, S (p, q) e (p, q) S (m, si ha m p, n q e p m, q n da
cui, per l antisimmetria di in N, si ha m = p e n = q e perciò (m, = (p, q); S è transitiva infatti se (m, S (p, q) e (p, q) S (s, t) si ha m p, n q e p s, q t da da cui, per la transitività di in N si ha m s e n t da cui (m, S (s, t) e perciò la tesi. Il diagramma di Hasse di S è il seguente (6,48) (5,0) (,18) (,0) (,16) (,1) (1,10) (1,8) Pertanto il massimale è (6,48) ed è anche massimo, il minimale è (1,8) ed è anche minimo. Esercizio a) Considerato l insieme R dei numeri reali con le operazioni binarie e sopra definite dimostriamo che (R,, ) è un campo. Innanzitutto mostriamo che (R, ) è un gruppo abeliano, infatti:, y R y y R, y, z R ( y) z ( y ) z y z e ( y z) ( y z ) y z, pertanto l operazione è associativa. R 0 0, pertanto lo zero è elemento neutro per R rispetto all operazione R si ha ( ) ( ) ( ) 0 e quindi ogni elemento ammette inverso in R rispetto all operazione., y R y y y e quindi l operazione è commutativa. Mostriamo, ora, che (R 0, ) è gruppo abeliano rispetto all operazione, infatti: y, y R 0 y R 0
y z y, y, z R 0 ( ) yz y z z e 4 yz yz ( ) yz y z, 4 pertanto l operazione è associativa. 0, R pertanto il numero è elemento neutro per R 0 rispetto all operazione. R 0 si ha 4 4 4 e quindi ogni elemento ammette inverso in R rispetto all operazione. 0 y, y R 0 y y e quindi è commutativa. Da ultimo mostriamo che vale la proprietà distributiva di rispetto a, infatti:, y, z R si ha ( ) y z y z ( y z) ( y z ) e y z y z ( y ) ( y) ( z) z da cui la tesi. 8 8 b) Mostriamo che l applicazione f sopra definita è un isomorfismo tra il gruppo (R,+) ed il gruppo (R, ), infatti: f è un omomorfismo tra i due gruppi in quanto, per ogni, yr, si ha f ( + y ) = y e f ( ) f ( y) y y y quindi f ( + y ) = f ( ) f ( y). f è un applicazione suriettiva in quanto ogni numero reale y ammette come controimmagine in R la potenza y. f è un applicazione iniettiva in quanto se f () = f (y) allora y quindi = y. c) Facoltativo: Mostriamo che l applicazione f sopra definita non è un isomorfismo tra i campi (R,+, ) e y y (R,, ). Infatti si ha che f ( y) = y e f () f (y) = y e quindi f ( y) e f () f (y) sono in generale diversi. A questo proposito basta considerare il caso = 1 e y = 16 per il quale f ( y )= 16 mentre f () f (y) = 16. 1 16
LOGICA E ALGEBRA 8 settembre 014 PARTE DI LOGICA Esercizio 1 Data la seguente tavola di verità A B C f (A, C ) 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 a) Trovare una formula A contenente solo i connettivi e avente come tavola di verità quella data. b) Dire se gli insiemi A f ( A, e AC, f ( A, sono soddisfacibili. c) Provare i risultati trovati al punto precedente utilizzando la risoluzione. Esercizio Si formalizzino le seguenti frasi in un opportuno linguaggio del primo ordine contenente una sola lettera predicativa A 1 da utilizzare per interpretare la relazione di uguaglianza: 1. Il quadrato di ogni numero naturale dispari è il successivo di un multiplo di 8.. La somma dei cubi di tre numeri naturali successivi è divisibile per. Si indichino con A la f.b.f. che traduce la prima frase e con B la f.b.f. che traduce la seconda frase e si stabilisca se la formula A B è vera, falsa o soddisfacibile ma non vera nell interpretazione assegnata. GIUSTIFICARE OGNI RISPOSTA
SOLUZIONE DELLA PARTE DI LOGICA Esercizio 1 a) Una formula A avente come tavola di verità quella data è la seguente: A ( AB ( A B ( A B Prima di scriverla in modo tale che contenga solo i connettivi e si ricorda che occorre semplificarla: ( A B ( A B ( A B ( A B (( A ( B B)) ( A B ( A ( A B ( A ( A B ( C A) ( A B ( C A) ( A ( B ) ( C A) b) Γ ammette almeno un modello, ad esempio quello in cui A, B e C assumono valore 1. Gli unici modelli della formula A C sono quelli in cui A e C assumono valore 1 quindi corrispondono alla prima e alla terza interpretazione presente nella tavola di verità assegnata. In entrambe le interpretazioni f(a, assume valore 0 e di conseguenza risulta essere un insieme insoddisfacibile di formule. c) Per quanto riguarda l insieme Γ, sappiamo che è soddisfacibile quindi non esiste la derivazione per risoluzione della clausola vuota. Per dimostrarlo scriviamo le formule di Γ in forma a clausole: sapendo che f ( A, ( AB ( A si ha che f ( A, ( A B ( A e quindi si ottengono le clausole C 1 = {A,C}, C = {A,C} mentre la formula A B fornisce la clausola C = {A,B}. Pertanto l insieme iniziale di clausole è S = {{A,C},{A,C},{A,B}}. Dimostriamo che non si può ottenere la clausola vuota per risoluzione: Ris(S) = S {{C},{C,C},{A,A,B}} Ris (S) = Ris(S) {A,C} Ris (S) = Ris (S) e quindi, non avendo mai ottenuto la clausola vuota, non la si può ricavare più. Avendo trovato che è un insieme insoddisfacibile di formule sappiamo che esiste la derivazione per risoluzione della clausola vuota a partire dalle clausole ottenute dalla forma a clausole delle formule di. f ( A, ( A B ( A (( A ( A ) ( B ( A )) ( C ( A ) ( A ( B A) ( B ( C A)
quindi si ottengono le clausole C 1 = {A,C}, C = {A,B}, C = {C}, C 4 ={C,A} mentre la formula A C dà le clausole C 5 = {A}, C 6 = {C}. La derivazione per risoluzione della clausola vuota è la seguente: (I) C 5 = {A} (clausola di input) (II) C 4 ={C,A} (clausola di input) (III) C 7 = {C} (risolvente di C 4 e C 5 ) (IV) C 6 = {C} (clausola di input) (V) C 8 = Esercizio Introduciamo un linguaggio costituito dalla lettera predicativa A 1 da utilizzare per interpretare la relazione di uguaglianza, da due lettere funzionali f 1 e f che interpretino rispettivamente le operazioni di moltiplicazione e di addizione e dalle costanti a che interpreta il numero 1, b che interpreta il numero, c che interpreta il numero 8 e d che interpreta il numero. Allora la prima frase si traduce nella seguente formula: A : y A1 ( f ( b, ), a), f ( b, ), a)), f ( c, y), a)) e la seconda nel seguente modo: B : y A1 ( f ( f (, ), ), f1 ( f (, a), f (, a)), f (, a))), f1 ( f (, b), f (, b)), f (, b))), f1 ( d, y)) La formula B è vera, infatti, considerato un generico ϵ N, la somma dei cubi di tre numeri naturali successivi può essere scritta come ( 1) ( ) 9 15 9 ( 1 5 ) 6 1 8 e quindi risulta divisibile per. Poiché il conseguente della formula A B è vero nell interpretazione assegnata segue che l intera formula è vera. Osserviamo che anche l antecedente della formula è vero, in quanto è vero che, per ogni ϵn, esiste kϵn tale che ( 1) 8k 1. Infatti il primo numero naturale dispari è 1 e risulta che 1 801 mentre preso un generico numero dispari si ha che ( 1) 4 4 1 4( 1) 1 che è ovviamente il successivo di un multiplo di 8. Infatti se è pari allora = n per un certo numero naturale n quindi 4 ( 1) 18n(n 1) 1 mentre se è dispari allora + 1 = n per un certo numero naturale n e quindi 4 ( 1) 18(n 1) n 1.