3 sul campo. 3 +, dire di che tipo di estensione si tratta, rappresentarne gli elementi e stabilire, se possibile, un isomorfismo fra ( 3 + i)

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1 1. In (P,Sc,1) definire l operazione di elevamento a potenza e dimostrare le seguenti proprietà, giustificando con cura i passaggi svolti: x, y, z P x x = x y z y+ z x, y, z P ( x ) = x y z y z 2. Definire la relazione di divisibilità nell insieme dei numeri naturali e verificare che si tratta di una relazione d ordine parziale. Discutere il problema della divisibilità per 4 della somma dei quadrati di due numeri naturali. Dimostrare che tale somma divisa per 4 non può dare resto Dare la definizione di sistema di numerazione semplice e di sistema di numerazione complesso. u 0 = 1 Considerare la successione e studiarla come sistema di u n = 2n n > 0 numerazione, fornendo opportuni esempi di rappresentazioni di numeri. Considerati poi i sistemi di numerazione con base di rappresentazione, illustrare un metodo per passare dalla rappresentazione di un numero in una base a quella in un altra base ed applicarlo ad un esempio con basi entrambe diverse dalla base Discutere le seguenti affermazioni: In [x] un polinomio di grado >2 è sempre riducibile. In [x], dove è il campo dei numeri algebrici su, un polinomio di grado >1 è sempre riducibile 5. Trovare il polinomio minimo di + i Considerata l estensione ( i) 3 sul campo. 3 +, dire di che tipo di estensione si tratta, rappresentarne gli elementi e stabilire, se possibile, un isomorfismo fra ( 3 + i) e ( 3 i). Rappresentare, se possibile, 2 + i 3 come polinomio di grado 6 in ( 3 + i) a coefficienti in.

2 1. In, dopo aver definito la moltiplicazione, enunciare e dimostrare la legge di annullamento del prodotto. 2. Discutere la possibilità di formulare un criterio di divisibilità per X+1 per un numero scritto in una qualunque base X, con X numero naturale >1. 3. Dimostrare che per n pari, n 2, 2 n -1 è divisibile per 3. Utilizzare questo risultato per dimostrare che, nelle stesse ipotesi, 2 n -1 non divide 3 n In [ x] Scrivere almeno un altro polinomio in [ x] Z 5 determinare la funzione polinomiale associata al polinomio x 4 + 2x Z 5 che abbia la stessa funzione polinomiale associata. Discutere la riducibilità di x 4 + 2x in Z 5 [ x], in Q[x] e in R[x]? Giustificare le risposte. 5. Dimostrare la trascendenza su Q di log 10 7, log e 7, risultati utilizzati. Considerare l estensione Q( e 7 ) e rappresentarne gli elementi. e 7, illustrando di volta in volta i Dire se vi sono relazioni di inclusione e/o di isomorfismo fra Q(e), Q( e ), Q(e 7 ). Fornire un esempio di: - numero trascendente su Q, algebrico su Q(e 7 ) e non appartenente ad esso - numero algebrico su Q, algebrico su Q(e 7 ) e non appartenente ad esso 7

3 1. Nell insieme dei numeri razionali: definire la moltiplicazione e dimostrare che ogni elemento diverso da zero ammette inverso definire l usuale relazione d ordine e verificarne le proprietà 2. Enunciare e dimostrare il teorema della divisione con resto nei numeri naturali. E vero che per ogni naturale n 1 il numero 2n 2 (n 4-1) è divisibile per 24? e per 5? Giustificare la risposta 3. Giustificare la regola che consente di passare da un numero decimale periodico alla sua frazione generatrice. Illustrare il problema della determinazione della lunghezza dell eventuale periodo e dell antiperiodo nella scrittura decimale di un numero razionale. 4. Per ciascuno dei seguenti numeri dire se è algebrico o trascendente rispetto a e motivare quanto affermato: log 5 10, ln2, eln 3, e 3, e iπ Considerate le estensioni (ln2), (ln2+2), ( ln 2 ), e ( 3 ), (i ), ( i 3 ), dire per ognuna di esse come si rappresentano gli elementi e indicare le eventuali relazioni di inclusione e di isomorfismo. Scelto un elemento di ( i 3 ) è sempre possibile rappresentarlo con un polinomio di quinto grado in i 3? Giustificare la risposta e fornire almeno un esempio Si consideri il polinomio x + 3x + 15x + 3. Che cosa si può dire riguardo alla sua riducibilità in Z[x], Q[x], R[x], C[x]?

4 1. Definire l addizione e la moltiplicazione nel sistema matematico (P,Sc,1) dei numeri naturali e dimostrare una proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione. 2. Dimostrare che in ogni sistema di numerazione con base di rappresentazione b>1 esiste almeno una frazione che dà luogo a un numero periodico. Dire se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta: un numero scritto in base 2 è periodico se è solo se scritto in base 10 è periodico. 3. Enunciare e giustificare un criterio di divisibilità per n+1 per un numero scritto in base n (n naturale >1). 4. Considerato Z 2 [x], esaminare il problema della riducibilità del polinomio ax 2 +bx+c in Z 2 [x]. Scrivere poi due polinomi distinti in Z 2 [x] con associata la stessa funzione polinomiale di x 2 +x Si consideri l estensione ( 3 5 ) e si diano almeno due rappresentazioni diverse di con polinomi di grado 5 in 3 5. E possibile rappresentare con un polinomio di secondo grado in 3 5? Giustificare la risposta con gli opportuni riferimenti alla teoria. Dimostrare che log 3 5 è trascendente rispetto a Q. Indicare almeno due campi rispetto a cui log 3 5 è algebrico.

5 1. Discutere la possibilità di enunciare un criterio di divisibilità per b-1 per un numero scritto in una qualunque base b (b numero naturale >1). Giustificare l eventuale criterio trovato. Elencare, fornendo opportune giustificazioni o esempi, tre proprietà dei numeri che non dipendono dalla base di rappresentazione e tre che dipendono. 2. Definire l usuale ordinamento nell insieme dei numeri razionali e dimostrare che è una relazione d ordine totale. 3. Per ciascuno dei seguenti numeri dire se è algebrico o trascendente rispetto a e dimostrare quanto affermato: log 5 10, log e 10, e 2, 2π Considerata una delle corrispondenti estensioni, rappresentarne gli elementi. Considerata poi l estensione ( 5 + i ) rappresentarne gli elementi. Giustificare le risposte con i necessari riferimenti alla teoria. 4. Siano p e q numeri primi diversi da 2, dimostrare che (p-1)(q2-1)/8 è un numero pari 5. Determinare la funzione polinomiale associata al polinomio x2+2 in Z3[x]. Scrivere almeno un altro polinomio in Z3[x] che abbia la stessa funzione polinomiale associata. Studiare la riducibilità di x 2 +2 in Z3[x]. Discutere il problema della riducibilità di un polinomio in [x].

6 1. Nell insieme dei numeri interi relativi definire la moltiplicazione e dimostrare che gli unici elementi invertibili sono 1 e a) Nell insieme dei numeri naturali definire la relazione di divisibilità e dire di quali delle seguenti proprietà gode, giustificando le risposte: riflessiva, transitiva, simmetrica, antisimmetrica, tricotomica. b) Dimostrare che per ogni numero naturale n, n 6 -n 2 è divisibile per 12. E anche divisibile per 5? 3. Discutere la seguente affermazione: Un numero razionale scritto in base 2 è periodico se e solo se scritto in base 10 è periodico. Nel caso una o entrambe le implicazioni siano vere, è possibile generalizzare? 4. Dopo aver dimostrato che e è trascendente su Q, si consideri Q( e ) e, se è possibile, si dia l esempio di: - un numero algebrico su Q( e ), non appartenente a Q( e ) e algebrico su Q - un numero algebrico su Q( e ), non appartenente a Q( e ) e trascendente su Q. Giustificare le risposte. Stabilire le eventuali relazioni di inclusione e di isomorfismo tra: 2 Q(e), Q( e ), Q( 1 e ), Q( e 3 ) 5. Qualunque sia il numero naturale X>2 il numero che in base X si scrive non è primo. Vero o falso? Motivare la risposta con opportuni riferimenti alla teoria svolta. Enunciare e giustificare un criterio di divisibilità che potrebbe essere utilizzato.