ANNO ACCADEMICO 07/08 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA V aello //09 Esercizio. Una oolazione P è c o m o s t a a l 5 % d a f e m m i n e e a l 8 % d a m a s c h i. La malattia M ha un incidenza del 0% tra le femmine e del 5% tra i maschi.. qual è l incidenza della malattia M nella oolazione P?Qualèlarobabilità che un individuo malato sia femmina?. Un gruo G di individui della oolazione è formato da due maschi e due femmine. Qual è la robabilità che nel gruo G si ammalino esattamente due maschi? 3. Risondere alla domanda recedente nel caso in cui il gruo G sia formato da tre maschi e una femmina. Esercizio. Si consideri f(x) log( x + x):. Determinare l insieme di definizione di f.. Determinare il numero di zeri di f eilsuoestremoinferioreesueriore. Esercizio 3. Calcolare i seguenti iti: ; x sen x. Esercizio. Sia c R un arametro. Si consideri la funzione da: 8 >< 0 x<0 (x) c x cos x 0 al ale >: 0 x> : R! R definita. Determinare c in modo tale che sia la densità di una legge di robabilità X su R.. Per il valore di c determinato al unto calcolare P ( <Xale 6 ). Durata: ore e 30 minuti. Scrivere subito sul foglio: nome, cognome e numero di matricola.
SOLUIONI Esercizio. Sia F l evento scelgo una femmina, M l evento scelgo un maschio e l evento scelgo un malato. Periotesiabbiamoche P(F ) 5 00 3 8 ; P(M) 5 00 5 ; P( F ) 5 ; P( M) 0 00 3 0. Vogliamo saere qual è l incidenza della malattia sull intera oolazione. Per farlo calcoliamo P() utilizzandolaleggedellealternative: P() P( M) P(M)+P( F ) P(F ) 3 0 5 + 0 3 5 3 50 Dunque l incidenza della malattia è del, %. 0,. Vogliamo calcolare la robabilità che nel nostro gruo comosto da due maschi e due femmine si ammalino esattamente maschi. Chiamiamo E questo evento Nota bene: L evento si ammalano esattamente i due maschi è l evento si ammalano i due maschi e non si ammalano le due femmine! Abbiamo che P(E) P( M) P( M) P( c F ) ( c F ) P(E) ' 0, 08 3 9 36 0 0 0 Osservazione er gli audaci: Uno otrebbe obbiettare: erché la robabilità dell evento P( c F ) l abbiamo calcolata facendo P(( F ) c ) P( \ F ) P(F ) P( c F ) P(c \ F ) P(F ) P( F )? Osserviamo che (F ) P( \ F ) P(F ) Questi due valori sembrano diversi, ma in realtà P( c \F )P(F ) P( \F ) erché ( c \ F ) [ ( \ F )F, el unioneèdisgiuntacomesiuòosservaredalseguentedisegno!
\ F c \ F F 3. Vogliamo calcolare la robabilità che nel nostro gruo comosto da tre maschi eunafemminasiammalinoesattamenteduemaschi. ChiamiamoE 0 questo evento. A di erenza di rima, dobbiamo tener conto del fatto che dobbiamo scegliere i maschi malati tra i 3 disonibili (ossiamo farlo in 3 modi). Dunque la robabilità diventa P(E 0 )3P( M) P( M) P( c M) ( c F )3 P(E 0 ) ' 0, 05 3 0 7 9 0 0 Esercizio. Sia f(x) log( x + x).. Per calcolare l insieme di definizione di f basta osservare che questa è la comosizione della funzione logaritmo con la somma algebrica di radici. Essendo log(t) definitoert>0edessendo t definita er t 0, dobbiamo orre le seguenti condizioni: 8 >< x + 0 x 0 >: x + x>0 E facile osservare che le rime due condizioni sono soddisfatte er x 0. Per quanto riguarda la seconda, ossiamo itarci a studiarla rorio er x 0, erché è l unico intervallo che ci interessa. Vogliamo x +> x Sfruttando la crescente monotonia della funzione t er t equivalente a risolvere la seguente disequazione 0, questo è x +>x 3
che è semre verificata. Dunque l insieme di definizione di f è [ 0, +). Ricorda: Una funzione f(x) è monotona crescente se f(x ) >f(x ), x >x.. Vogliamo calcolare ora il numero di zeri di f. Per rima cosa osserviamo che essendo comosizione di funzioni continue, f è continua nel suo insieme di definizione. dominio. Cerchiamo di caire il comortamento di f agli estremi del f(0) log( ) log( log() ) > 0 x) log log( x + log x + x x ++ x x ++ x Per il teorema degli zeri ossiamo concludere che la funzione ha almeno uno zero nell intervallo [0, x] conx su cientemente grande. Nota bene: Per alicare il teorema degli zeri abbiamo bisogno di un intervallo chiuso e itato. Ma questo non è un roblema nel nostro caso, infatti er definizione di ite saiamo che er ogni valore M>0esisteuncertox tale che f(x) < M<0erognix>x. Vorremmo ora mostrare che quello è l unico valore er cui f si annulla. Poiché la funzione è comosizione di funzioni derivabili in x>0, ossiamo calcolarne la derivata ottenendo f 0 (x) x + x x + x x x + che è semre negativa s>0. La funzione dunque è monotona decrescente, ertanto esiste un unico valore in cui la funzione si annulla. Nota: L esercizio richiede solo di calcolare il numero di zeri, non di trovarli eslicitamente. In ogni caso, risolvendo l equazione log( x + x)0 ) x + x
è o s s i b i l e t r o v a r e c h e l u n i c a r a d i c e è x. Bisogna erò stare attenti alle condizioni da mettere er l elevazione al quadrato delle radici! Esercizio 3. Vogliamo calcolare i seguenti iti:.. Sfruttando la linearità del ite, otteniamo cos x + + x + Possiamo ora alicare il teorema dei carabinieri al rimo ite, sfruttando il fatto che il coseno è una funzione itata 0 ale cos x ale 0 da cui Pertanto abbiamo che cos x 0. Razionalizzando otteniamo + x + + x + + ()( + x ++ ). x sen x x +5 ()( + x ++ ) x + 5 x x( + 3 x )( x + x ++ ) 0 x 3 x sin x. Sfruttando la linearità del ite, otteniamo x sen x x 3 x sin x x 3 x 3 5
Dove nel enultimo assaggio abbiamo sfruttato la linearità del ite. Ora, ossiamo sfruttare il teorema di de Hoital, ottenendo x sen x (cos x) 3x (cos x sen x) 6x (cos 3 x 3cosx sen x cos x) 6 Esercizio. Consideriamo la seguente funzione 8 >< 0 x<0 (x) c x cos x 0 al ale >: 0 x>. A nché sia una densità, deve soddisfare due condizioni: Vogliamo (x) 0erognix R, dunquebastaorre c x cos x 0, er 0 al<. 6 Poiché sia x che cos x sono non negativi in quel intervallo, l unica condizione a nché la disuguaglianza sia verificata è c 0. Ricorda: La funzione t è d e fi n i t a e r t u t t i i v a l o r i t 0e t 0nelsuo intervallo di definizione. La funzione cos t è d e fi n i t a 8t R enell intervallo0ale t ale assume valori non negativi. Poiché la nostra è funzione cos x una funzione comosta, avremo che se 0 ale x ale,alloracos x 0 al ale,alloracos x 0. 0, cioè se Vogliamo R (x), quindi essendo la funzione nulla all esterno xr h i dell intervallo 0;,bastarisolverelaseguenteequazione 0 c x cos xdx Cerchiamo una rimitiva er nostra funzione. Per farlo, conviene sbarazzarci della radice imonendo t x, da cui t x etdt dx. Otteniamo quindi il seguente integrale c t cos tdt 6
che ossiamo risolvere con la regola del er arti f 0 (t)g(t) dt f(t)g(t) f(t)g 0 (t) dt scegliendo f 0 (t) cost e g(t) t otteniamo c t cos tdtct sin t c t sin tdt Per risolvere l integrale di destra utilizziamo ancora il er arti con f 0 (t) sin t e g(t) t, ottenendo c t cos tdtct sin t+ct cos t Da cui c 0 c t cos tdtc(t c cos tdtct sin t+ct cos t ) sin t +ct cos t x cos xdxc (x ) sin x + x cos x c 0 Pertanto a nché la funzione (x) sia una denistà di una legge di robabilità dobbiamo orre 8 c, cioè c 8 Nota bene: Ai iù imavidi otrebbe venire in mente di risolvere questo integrale utilizzando direttamente il er arti. Questa strategia non è necessariamente sbagliata, ma bisogna stare molto attenti a come derivare e integrare funzioni comoste! Per esemio otrebbe venir in mente di scegliere f 0 (x) cos x e g(x) x. Visto che la rimitiva di cos x non è cosi facile da trovare (è una funzione comosta!), otrebbe essere una buona idea far comarire la derivata di x in modo da semlificare la situazione. Nello secifico ossiamo scrivere x cos x ( x) cos x x equindisceglieref 0 (x) cos x x e g(x). La morale è: non c è un unico modo er risolvere le cose, quindi qualsiasi strada va bene a atto di stare attenti a far bene tutti i assaggi! Forse erò in questo caso è iù semlice sostituire fin da subito ed einare il roblema. 7 c sin t
. Ricordiamo che una densità e la legge di robabiltà X a lei associata,sono legate dalla seguente formula P(a <X<b) b Dunque er calcolare P a (x) dx, comunque resi a<b R \ {±} <Xale,bastarisolvereilseguenteintegrale 6 P <Xale 6 6 (x) dx. Ricorda: Se X una legge continua, la robabilità che si verifichi un evento untuale è zero, ertanto Essendo P(a <X<b)P(a ale X<b)P(a<Xale b) P(a ale X ale b) P 8 (x) 6 0soloin 0; <Xale 6 6 0,otteniamo (x) dx 6 x cos xdx 8 0 (x ) sin x + x cos x 6 ale 0 8 6 sin + cos Dunque P <Xale 6 ( +8 3) 8( 8) 8