CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 6 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 00/ Esercizio 6. (6.3). Calcolare il rango della seguente matrice A, utilizzando il calcolo del determinante. k + 0 A = k 0 k k R k 3 0 Per calcolare il rango di A utilizziamo la seguente proprietà. Il rango di una matrice A corrisponde al massimo ordine di una sottomatrice quadrata di A con deteminante non nullo. Cominciamo quindi a calcolare il determinante di A per stabilire quando rg(a) = 3. Sviluppiamo rispetto alla terza colonna: Quindi det(a) = 0 se k = o k = 5. Di conseguenza: det(a) = ( k) [k 3 (k +)] = (k )(k 5) Se k, 5, la matrice ha determinante non nullo, quindi rg(a) = 3. Se k = la matrice A diventa: 6 0 A = 5 5 0 Sappiamo già che rg(a). Per stabilire se ha rango basta trovare una sottomatrice con determinante non nullo. In effetti in A troviamo per esempio la sottomatrice: 6 B = det(b) = 5 6 0 5 0 quindi rg(a) =. Se k = 5 la matrice A diventa: 7 0 A = 0 7 0 Sappiamo già che rg(a). Per stabilire se ha rango basta trovare una sottomatrice con determinante non nullo. In effetti in A troviamo per esempio la sottomatrice: 7 0 C = det(c) = 7 0 0 quindi rg(a) =. Esercizio 6. (6.5). Dopo avere stabilito se le seguenti matrici sono invertibili calcolarne l inversa: 3 0 A = A = A 0 3 = 3 3 A = 0 A 5 = 0 0 A 6 = 0 3 0 7
FOGLIO DI ESERCIZI 6 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 00/ Poichè det(a ) = = 5 la matrice A è invertibile. Inoltre a = ( ) + ( ) = a = ( ) + = a = ( ) + A 5 = = a = ( ) + = 5 5 5 Consideriamo A. Poichè det(a ) = 3 = 3 0, la matrice A è invertibile. Inoltre a = ( ) + = a = ( ) + 0 = 0 a = ( ) + A 3 0 = 0 = 0 0 a = ( ) + 3 = 3 Consideriamo A 3. Poichè det(a 3 ) = 3 = 0, la matrice A 3 è invertibile. Inoltre a = ( ) + 3 = 3 a = ( ) + = a = ( ) + A 3 3 = = a = ( ) + = Poichè det(a ) = 0 0, la matrice A è invertibile. Inoltre a = ( ) + det = 0 a = ( ) + 0 = det = 0 a 3 = ( ) +3 0 = det = 0 a = ( ) + det = 0 0 a = ( ) + = det = 5 A = 0 0 a 3 = ( ) +3 = det = 0 5 a 3 = ( ) 3+ det = 0 a 3 = ( ) 3+ = det = 0 a 33 = ( ) 3+3 = det = 0 Poichè det(a 5 ) = 6 0, la matrice A 5 è invertibile. Inoltre a = 3 a = 0 a 3 = 0 a = 0 a = 6 a 3 = 0 a 3 = 0 a 3 = 0 a 33 = Quindi A 5 = 0 0 3
FOGLIO DI ESERCIZI 6 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 00/ 3 Poichè det(a 6 ) = 0, la matrice A 6 è invertibile. Inoltre Quindi a = 7 a = 3 a 3 = a = 7 a = a 3 = a 3 = 5 a 3 = a 33 = Esercizio 6.3 (6.6). Sia A la matrice reale A 6 = 7 3 7 5 0 A = k 0 a) Calcolare il determinante di A e stabilire per quali valori di k la matrice è invertibile. b) Trovare la matrice inversa di A per k =. a) det(a) = ( )+k = k 3 La matrice A è invertibile se il suo determinante è diverso da zero, ovvero se k 3. b) Calcoliamo l inversa di A dopo avere posto k =, nel quale caso det(a) = 3 =. Quindi a = 3 a = a 3 = a = a = a 3 = a 3 = a 3 = a 33 = 3 A = In alternativa per calcolare l inversa di A potevamo calcolare rref(a) dopo avere affiancato a A, con k =, la matrice identica: 0 0 0 0 II I 0 0 0 0 0 0 0 III II I +III 3 3 II +III 0 0 A = III Esercizio 6. (6.7). Sia A la matrice reale k k k A = 0 k 0 (k reale). k k a) Si determini per quali valori di k la matrice A è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k =. b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.
FOGLIO DI ESERCIZI 6 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 00/ a) Una matrice quadrata è invertibile se ha determinante diverso da zero, ovvero se ha rango massimo. Calcoliamo quindi il determinante di A sviluppando rispetto alla seconda riga: Quindi det(a) = 0 se det(a) = (k ) [k( k) k] = (k )( k +k) k = 0 k = k +k = 0 k = 0 o k = Infine A è invertibile se k 0 e k. Calcoliamo l inversa di A quando k = con il metodo della riduzione: I 0 0 0 0 /II 0 0 0 0 3 III +I 0 0 I II 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 III +II /III I III 3 3 0 0 0 0 A = 0 0 b) Abbiamo visto che se k 0, la matrice ha determinante non nullo, quindi in questi casi rg(a) = 3. Inoltre: Se k = 0, A diventa 0 0 0 0 III /II I 0 0 0 0 rg(a) = 0 0 III II 0 Se k =, A diventa 0 0 0 0 rg(a) = 0 III II 0 Esercizio 6.5 (7.5). Si dica per quali valori di k il sistema di equazioni lineari: x+y = kx+y +z = k (k parametro reale) y +( k)z = ammette un unica soluzione. DalteoremadiRouchèCapellisappiamocheilsistemaammetteunaunicasoluzioneserg(A) = rg(a b) = 3. Riduciamo quindi a gradini la matrice A b associata a tale sistema per calcolarne il rango: 0 0 k k II ki 0 k k 0 k 0 k 0 0 III 0 k 0 k II 0 k k III +(k )II k +k k Il sistema ammette un unica soluzione se il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa sono entrambi tre. Dalla matrice ridotta questo avviene per k 0,. Anche se non è richiesto dall esercizio notiamo che per k = il sistema non ammette soluzione, mentre per k = 0 ne ammette infinite. In alternativa potevamo calcolare il rango della matrice ragionando sui determinanti: det(a) = k k( k) = k k
FOGLIO DI ESERCIZI 6 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 00/ 5 Quindi se k 0,, la matrice A ha determinante non nullo, quindi rg(a) = rg(a b) = 3 e il sistema ammette una unica soluzione. Esercizio 6.6 (7.3). Si consideri il sistema lineare (+k)x = 0 ky +z +w = x+kz +w = k x+kw = 0 (k parametro reale) a) Si dica per quali valori di k il sistema ammette una unica soluzione. b) Si determinino tutte le soluzioni del sistema per k = 0. La matrice associata a al sistema è +k 0 0 A b = 0 k 0 k k k 0 a) Il sistema ammette una unica soluzione se rg(a) = rg(a b) =. Utilizzando il determinante, ricordiamo che il rango di una matrice corrisponde al massimo ordine di una sua sottomatrice quadrata con determinante diverso da zero. Quindi rg(a) = rg(a b) = se e solo se det(a) 0. k det(a) = (+k) det 0 k = (+k)k 3 k Quindi il sistema ammette una unica soluzione quando k 0,. b) Torniamo al sistema nel caso k = 0 (senza la necessità di ridurre la matrice associata): x = 0 x = 0 z +w = y = t t R x+w = 0 z = x = 0 w = 0 Esercizio 6.7 (7.9). Si consideri lo spazio vettoriale N(A) dato dalle soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0 con 8k + k + 0 k +8 A = k 0 k + k + 0 k parametro reale. k 0 k + k +3 a) Si stabilisca per quali valori di k lo spazio N(A) è nullo: N(A) = {(0,0,0,0)}. b) Per i valori di k esclusi al punto precedente si determini una base di N(A). a) N(A) è dato dalle soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0. Un sistema omogeneo ammette sempre la soluzione nulla; in particolare, per Rouchè-Capelli, ammette la sola soluzione nulla se rg(a) è massimo. Nel nostro caso quindi N(A) = {(0,0,0,0)} se rg(a) =. Determiniamo il rango di A calcolandone il deteminante: k k + det(a) = (k +) det 0 k + 0 = (k +) [k(k +3) k(k +)] = k(k +) k k + k +3 Infine rg(a) = se det(a) 0, cioé N(A) = {(0,0,0,0)} se k 0,.
6 FOGLIO DI ESERCIZI 6 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 00/ b) Se k = 0 la matrice A diventa 0 8 x+y +8w = 0 x = t 0 N(A) : z +w = 0 y = t z = 0 z = 0 3 z +3w = 0 w = 0 N(A) = {(,,0,0)t t R}. Se k = 0 quindi B(N(A)) = {(,,0,0)} e dim(n(a)) =. Se k = la matrice A diventa 3 3 3 8 0 6 3II 8I 3 8 3 8 0 IV II 5 3IV +5II 0 966 x = 0 3x+w = 0 y = t N(A) : 3z 8w = 0 N(A) = {(0,,0,0)t t R}. z = 0 w = 0 w = 0 Se k = quindi B(N(A)) = {(0,,0,0)} e dim(n(a)) =. Esercizio 6.8 (7.). Determinare per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori formano una base di R 3. v (,, ), v (,, 3), v 3 (3,7,k 6) Sappiamo che tre vettori di R 3 formano una base di R 3 se e solo se sono linearmente indipendenti, ovvero se la matrice associata ai tre vettori ha rango 3. Riduciamo quindi a gradini la matrice associata: 3 3 3 7 II I 0 0 3 k 6 III +II 0 k + III II k Ragionando sui ranghi: Se k la matrice ha 3 pivot, quindi ha rango 3 e v, v e v 3 formano una base di R 3. Se k = la matrice ha pivot, quindi ha rango e v, v e v 3 non formano una base di R 3. In alternativa potevamo calcolare il rango utilizzando il determinante: det(a) = (k 6+) (k +)+3( 6+) = k + v, v e v 3 formano una base di R 3 se la matrice associata ha rango 3, ovvero se ha determinante non nullo, cioè k. Esercizio 6.9 (7.). Si consideri l insieme S = { (k +,k +,0,k), (0,k,0,0), (,3k,0,), (,5k,,k) }. a) Si stabilisca per quali valori di k l insieme S è una base di R. b) Posto k = si trovino le coordinate del vettore v = (,,0,) rispetto alla base trovata. a) Calcoliamo il determinante della matrice associata ai quattro vettori k + 0 det k + k 3k 5k k + 0 = k det k k k 0 k k + = k ( ) det = k( k +) k
FOGLIO DI ESERCIZI 6 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 00/ 7 Se k 0, la matrice ha determinante diverso da zero, quindi rango e i vettori formano una base di R. b) Riduciamo a gradini la matrice associata all equazione xv +yv +zv 3 +wv = v dove v,v,v 3,v sono i vettori della base dopo avere posto k = : 0 3 5 0 0 0 x+z w = y 3z 5w = z +w = w = 0 IV I II x = 0 y = z = w = 0 Infine le coordinate di v rispetto alla base trovata sono 0 0 3 5 0 0 v = (0,,,0) S