Esercizi e complementi di Analisi Complessa

Esercizi e complementi di Analisi Complessa Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it 1 Il piano complesso Esistono molte definizioni possibili per l insieme dei numeri complessi. In particolare C è: uno spazio vettoriale su R di dimensione due in cui si è fissata una base 1, i e si è definito un prodotto commutativo, associativo e distributivo tale che i 2 = 1; il campo ottenuto da R aggiungendo una radice quadrata di 1; il campo formato dalle matrici 2 2 tali che a 11 = a 22 e a 12 = a 21 ; la chiusura algebrica di R; l unico campo topologico, connesso, localmente compatto, in cui gli elementi non nulli formano un sottoinsieme connesso. Esercizio 1 Dimostrare l equivalenza delle precedenti caratterizzazioni di C (l ultima è più difficile). Esercizio 2 Descrivere il corpo H dei quaternioni come sottoanello delle matrici 2 2 a coefficienti complessi. 2 Differenziabilità complessa Visto che C è un campo, possiamo definire la differenziabilità complessa come l esistenza del limite f(z + h) f(z) lim h 0 h dove h C. Del resto, intendendo C come spazio vettoriale reale, abbiamo che, per ogni f : R 2 R 2 possiamo definire il differenziale in z R 2 come l operatore R lineare L z : R 2 R 2 tale che f(z + h) = f(z) + L z h + o( h ) per ogni h R 2. Le funzioni C differenziabili sono le funzioni R 2 differenziabili il cui differenziale è, in ogni punto, un operatore C lineare, ovvero R lineare e tale che L z (ih) = il z (h), dove i è l unità immaginaria, ovvero, in R 2, è la mappa ortogonale (x, y) ( y, x) 1

Esplicitando la condizione di C linearità sul differenziale, si ottengono le condizioni di Cauchy-Riemann: { P x = Q y P y = Q x dove f(z) = P (z) + iq(z) con P, Q : C R. Le funzioni C differenziabili si dicono olomorfe. Esercizio 3 La funzione f : C C che, in coordinate polari, è data da ( ) 1 f(ρ, θ) = ρ, θ2 è olomorfa? Esercizio 4 Date due curve i : [0, 1] C, i = 1, 2, di classe C 1, con 1 (1/2) = 2 (1/2) = p e 1(1/2), 2(1/2) non nulli e fissata f : C C olomorfa tale che f (p) 0, allora le curve f i, i = 1, 2 si intersecano in f(p) con lo stesso angolo di 1 e 2. Ovvero, le mappe olomorfe sono conformi. Esercizio 5 Data f : H H, differenziabile due volte con continuità come funzione su R 4, tale che, per ogni q H, esiste il limite lim h 0 h 1 (f(q + h) f(q)) con h H, dimostrare che f(q) = a + bq per opportuni a, b H. Esercizio 6 Sia f : C C olomorfa; mostrare che f (z) 2 è lo Jacobiano di f, come funzione da R 2 in sé. Esercizio 7 Data una mappa f : C C che sia conforme nel punto p C e C 1 in senso reale, dimostrare che è olomorfa in p. Esercizio 8 Se f : C C è olomorfa, allora lo è anche f( z). Esercizio 9 Se f = P + iq è una funzione olomorfa e C 2 in senso reale, allora P e Q sono funzioni armoniche. Nota: una funzione h : R 2 R di classe C 2 si dice armonica se 2 h x 2 + 2 h y 2 = 0 Esercizio 10 Sia P (x, y) = x 2 y 2 ; trovare Q(x, y) tale che P +iq è olomorfa. Esercizio 11 Sia f = P + iq olomorfa su un dominio (un aperto connesso) D e tale che ap + bq = c per opportune costanti reali non nulle a, b, c. Allora f è costante. 3 Curve Una curva è, fondamentalmente, l immagine di una applicazione continua : [0, 1] C Una tale applicazione è detta parametrizzazione della curva. contesti si possono fare ulteriori richieste: A seconda dei si può richiedere che la funzione (come funzione a valori vettoriali) sia C 1, e si parlerà allora di curva C 1, su tutto [0, 1] (e quindi restrizione di una funzione C 1 su un intorno) oppure a tratti; 2

si può richiedere che sia una curva chiusa, ovvero che (1) = (0); si può richiedere che sia semplice, ovvero che esista una parametrizzazione che sia una funzione iniettiva su (0, 1); si può richiedere che sia regolare, ovvero che sia C 1 ed esista una parametrizzazione tale che (t) 0 (detta anch essa regolare) per ogni t [0, 1]. E bene ricordare che la nomenclatura è variabile a seconda dei testi e delle situazioni: spesso si indica con la parola curva l applicazione ; in altri contesti, viene detta, se continua, arco e, se ha per immagine una curva chiusa, laccio. Spesso quindi si troveranno gli aggettivi chiusa, semplice, regolare attribuiti alla funzione piuttosto che alla sua immagine. Esercizio 12 Due diverse parametrizzazioni iniettive C 1 di una stessa curva si ottengono l una dall altra per composizione con una funzione s : [0, 1] [0, 1] di classe C 1. Esercizio 13 Due diverse parametrizzazioni regolari iniettive di una stessa curva si ottengono l una dall altra per composizione con un diffeomorfismo di [0, 1] in sé. Esercizio 14 Data una curva regolare (quindi C 1 ), è sempre possibile trovare una parametrizzazione tale che (t) = L per ogni t [0, 1]. Si può allora considerare l applicazione σ : [0, L] C, che ha per immagine la curva data ed è tale che σ (t) = 1 per ogni t. Tale parametrizzazione è detta parametrizzazione rispetto alla lunghezza d arco (p.r.l.a.). Esercizio 15 Trovare una parametrizzazione n della circonferenza tale che (t) = 0 ogni volta che (t) è una radice n esima di 1. La lunghezza di una curva regolare a tratti è data da 1 0 (t) dt dove è una parametrizzazione regolare a tratti. Se σ : [0, L] C è p.r.l.a., allora L è la lunghezza della curva immagine. Data una curva, C 1 a tratti, sia T = {0 = t 0 < t 1 <... < t n = 1} un insieme di n+1 punti nell intervallo [0, 1] che contenga i punti di non derivabilità di, definiamo la curva C 1 a tratti T, ponendo su [t k 1, t k ] T (t) = (t k ) t t k 1 t k t + (t k 1 ) t k t k 1 t k t k 1 Esercizio 16 Dimostrare che, fissato δ > 0, esiste ɛ tale che, se 0 < t i t i 1 < ɛ per ogni i, allora sup (t) T (t) δ t [0,1] Esercizio 17 Dimostrare che sup (t) T (t) δ t [0,1] sup d((t), Γ T ) 0 t [0,1] se max i (t i t i 1 ) tende a 0, con Γ T = T ([0, 1]). Esercizio 18 Dimostrare che la lunghezza di è il limite delle lunghezze di T per max i (t i t i 1 ) che tende a 0. 3

4 1 forme differenziali su C Per quel che ci serve, una 1 forma differenziale su R 2 è una scrittura formale del tipo ω = a(x, y)dx + b(x, y)dy con a, b : R 2 R n per un qualche n. Si dirà che ω è una forma differenziale reale, complessa o vettoriale a seconda che n sia uguale ad 1, a 2 o sia maggiore di 2. Una 1 forma differenziale sarà detta continua, differenziabile, C k, analitica reale od olomorfa a seconda che le funzioni a(x, y) e b(x, y) siano continue, differenziabili, C k, analitiche reali, olomorfe. Se f : R 2 R n è una funzione C 1, si definisce la forma df = f f dx + x y dy Quindi, ad esempio, dz = dx + idy, in quanto z : R 2 C è la funzione z(x, y) = x + iy; oppure d sin(xy) = y cos(x)dx + x cos(y)dy. Se n = 1, 2 possiamo definire il prodotto tra una 1 forma e una funzione nel modo ovvio: f(x, y)ω = f(x, y)a(x, y)dx + f(x, y)b(x, y)dy L integrale di una 1 forma differenziale continua ω = a(x, y)dx + b(x, y)dy su una curva C 1 a tratti = 1 + i 2 è definito dall espressione ω = 1 0 [a( 1 (t), 2 (t)) 1(t) + b( 1 (t), 2 (t)) 2(t)]dt La funzione integranda è integrabile perchè continua, in quanto è una curva C 1 a tratti. Esercizio 19 Calcolare gli integrali delle seguenti forme differenziali sulla curva (t) = (cos(2πt), sin(2πt)) (attenzione: la prima è a valori reali, le altre a valori complessi): Esercizio 20 ω 1 = x x 2 + y 2 dx x y x 2 + y 2 dy ω 2 = x 2 + y 2 dx i y x 2 + y 2 dy ( ) x ω 3 = x 2 + y 2 i y x 2 + y 2 dz ( ) x ω 4 = x 2 + y 2 y x 2 + y 2 dz Calcolare l integrale della forma ω 3 sulle seguenti curve: 0 (t) = (cos(2πf(t)), sin(2πf(t))) 1 (t) = (a cos(2πt), b sin(2πt)) 2 (t) = (3a cos(2πt) a cos(6πt), 3a sin(2πt) a sin(6πt)) 3 (t) = (a sin(6πt + π/4), b sin(2πt)) 4

dove a, b sono numeri reali positivi e f : [0, 1] [0, 1] è una funzione C 1 tale che f(0) = 0 e f(1) = 1. Esercizio 21 Dimostrare che, data f : C C continua, si ha f(z)dz = f( z)dz Sia : [0, 1] C una curva chiusa e siano 0 = p 0 < p 1 <... < p n = 1 tali che [pi,p i+1] ha la stessa immagine di. Indichiamo con i () il massimo numero n per cui è possibile trovare n + 1 punti siffatti. Esercizio 22 i () è ben definito. Esercizio 23 Se i () = i (σ) e le curve sono regolari, esiste f : [0, 1] [0, 1], diffeomorfismo di [0, 1], tale che (t) = σ(f(t)) per ogni t [0, 1] (oppure esiste g con le stesse proprietà tale che σ(t) = (g(t))). Esercizio 24 Se e σ sono curve regolari, con la stessa immagine e i () = i (σ), allora ω = ± ω σ per ogni 1 forma continua ω. Esercizio 25 Si considerino le curve { (cos(4πt), sin(4πt)) se t [0, 1/2] (t) = (cos(2π 4πt), sin(2π 4πt)) se t [1/2, 1] σ(t) = (cos(4πt), sin(4πt)) Si verifichi che i () = i (σ) = 2 ma dz z Osserviamo che dz = dx + idy e d z = dx idy, quindi 2dx = dz + d z e 2dy = i(d z dz). In analogia con la formula definiamo σ dz z df = f f dx + x y dy f z = 1 ( f 2 f z = 1 2 ) x i f y ( ) f x + i f y di modo che df = f f dz + z z d z Le equazioni di Cauchy-Riemann si possono allora scrivere f z = 0 In particolare, una funzione olomorfa è tale che df = g(z)dz per una qualche g : C C, che sarà la derivata complessa di f. 5

Esercizio 26 Se f : C C è olomorfa, poniamo g(z) = f( z). Allora dg = f (z)d z Esercizio 27 Calcolare i seguenti integrali, dove (t) = (cos(2πt), sin(2πt)) dz d z z z Esercizio 28 Posto z = ρe iθ, data f(z) = P (ρ, θ) + iq(ρ, θ), ricavare le equazioni di Cauchy-Riemann in forma polare. 5 Forme esatte e forme chiuse Abbiamo già visto che, data f : R 2 R n, ad essa associamo la forma differenziale df = f f dx + x y dy Le forme ω per cui esiste una funzione f : R 2 R n tale che ω = df si dicono esatte. Notiamo che, se è una curva C 1 a tratti 1 1 df = f x ((t)) 1(t) + f y ((t)) 2(t)dt d(f ) = dt = f((1)) f((0)) dt 0 Se, in particolare, è una curva chiusa, si ha df = 0 per ogni f : R2 R n che sia C 1. Una tale funzione f si dice una primitiva per ω. La nozione di esattezza può essere ristretta ad un aperto U di R 2, dicendo che ω è esatta su U se esiste f : U R n tale che ω = df. Esercizio 29 Per quali polinomi di secondo grado P, Q la forma P dx + Qdy è esatta su R 2? Esercizio 30 La forma ω = dz/z non è esatta su C, mentre la forma η = dz/z 2 lo è. Esercizio 31 Dato U aperto connesso di R 2, dimostrare che è connesso per archi C 1 a tratti. Dato U aperto connesso, (x 0, y 0 ) un suo punto e data ω = a(x, y)dx + b(x, y)dy una forma differenziale tale che ω = 0 per ogni : [0, 1] U curva chiusa C 1 a tratti, definire, per ogni (x, y) U, la funzione F (x, y) = ω dove è un arco che congiunge (x 0, y 0 ) con (x, y). Esercizio 32 Dimostrare che F è ben definita Esercizio 33 Dimostrare che F x = a(x, y) F y 0 = b(x, y) Esercizio 34 Se U è un disco e ω = 0 ogni volta che descrive il bordo di un rettangolo in U, allora ω ha una primitiva in U. Diremo invece che una forma ω è chiusa su U, aperto di R 2, se, per ogni p U, esiste un disco aperto D p di centro p tale che ω è esatta su D p. Si dice 6

allora che ω ha una primitiva locale in p, ovvero definita in un qualche disco di centro p. Ovviamente, una forma esatta è chiusa. Esercizio 35 Una forma di classe C 1 a(x, y)dx + b(x, y)dy è chiusa se e solo se a(x, y) y = b(x, y) x Esercizio 36 La forma ω = dz/z è chiusa su C (ma non è esatta). Esercizio 37 Sia f : U C una funzione olomorfa su U (ovvero che rispetta Cauchy-Riemann per ogni punto z U), allora f(z)dz è una forma chiusa e le sue primitive locali sono funzioni olomorfe. Esercizio 38 Sia f : C C una funzione olomorfa, allora f(z)dz è esatta. Il legame tra funzioni olomorfe e forme chiuse può essere pensato in questo senso: una funzione olomorfa è analitica complessa e quindi, localmente attorno ad un punto di olomorfia, potremo scrivere f(z) = Definiamo la seguente serie formale g(z) = a i (z z 0 ) i i=0 i=0 a i (z z 0 ) i+1 (i + 1)! Esercizio 39 Se la serie per f(z) ha raggio di convergenza non nullo, altrettanto accade per la serie di g(z). Esercizio 40 Vale dg = fdz. Ovviamente, la serie per g(z) può essere variata di una costante additiva complessa. I risultati ottenuti in questo modo sono solo locali e la libertà di una costante additiva permette appunto di raccordare le varie espressioni locali, nel caso in cui vi sia una primitiva globale. Esercizio 41 Siano ω 1,..., ω 8 le radici ottave dell unità. Calcolare lo sviluppo in serie di f(z) = z 1 centrato in ω i per i = 1,..., 8 e determinarne il raggio di convergenza. Esercizio 42 Scrivere la serie formale di una primitiva di f(z) = z 1 attorno ad ogni ω i per i = 1,..., 8; verificare che la serie per la primitiva attorno ad ω i converge in ω i+1 e ω i 1 con i pedici intesi modulo 8. Esercizio 43 Verificare che non è possibile scegliere costanti additive di modo che ogni primitiva si raccordi alle due calcolate nelle radici adiacenti. 6 Geometria delle mappe olomorfe Dedichiamo un poco di attenzione alle funzioni olomorfe come mappe di C in se stesso, partendo da considerazioni locali. In quanto segue f : C C sarà sempre una funzione olomorfa; ricordiamo che, per il teorema della funzione inversa, se det Jac) z0 (f) 0, allora esiste un intorno di z 0 su cui f è invertibile, l inversa è una funzione C 1 e Jac f(z0)(f 1 ) = Jac z0 (f) 1 7

Esercizio 44 Se f (z 0 ) 0, allora esiste un intorno di z 0 su cui f è invertibile, l inversa è una funzione olomorfa in f(z 0 ) e f 1 (f(z 0 )) = f (z 0 ) 1. Esercizio 45 L applicazione z z h(z) con h olomorfa non nulla in un intorno di 0 è olomorfa con inversa olomorfa su un intorno di 0. Esercizio 46 Se f(0) 0, per ogni interno n > 0 posso trovare un intorno U di 0 e una funzione h : U C olomorfa e tale che h n (z) = f(z) per ogni z U. Esercizio 47 Esistono un intorno U di 0, un intero n 0 e una funzione olomorfa g : U C mai nulla tali che f(z) = z n0 g(z) per ogni z U. Esercizio 48 Una funzione olomorfa non costante è aperta. Esercizio 49 Se D C è compatto, i punti di massimo di f sono tutti in D. Esercizio 50 Se D C è compatto e f non si annulla su D, i punti di minimo di f sono tutti in D. Esercizio 51 Se f(u) R con U aperto di C, allora f è costante. Esercizio 52 Se f(u) S 1 con U aperto di C, allora f è costante. Esercizio 53 Se f(u) R ir con U aperto di C, allora f è costante. Esercizio 54 Se f(s 1 ) R, allora f è costante. Gli ultimi 4 esercizi possono anche essere approcciati semplicemente tramite le equazioni di Cauchy-Riemann. Passiamo al comportamento globale delle funzioni olomorfe da C in C, studiando principalmente alcune conseguenze del teorema di Liouville. Nel seguito chiameremo biolomorfismo una funzione f che sia olomorfa, biunivoca, con inversa olomorfa. Esercizio 55 Trovare una funzione f : D C, con D = {z C : z < 1}, che sia un biolomorfismo tra D e l insieme {Rez > 0} (semipiano superiore). Esercizio 56 Dimostrare che non esiste un biolomorfismo tra C e D. Esercizio 57 Trovare un biolomorfismo tra D e il quadrato {a + ib : 0 < a, b < 1}. Esercizio 58 Dimostrare che non esiste un biolomorfismo tra C e un suo aperto convesso proprio. 8