RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni definite, per tutti gli reali, da f ( ) = 7 e g( ) = sen π Qual è il periodo della funzione g? Si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G f e G g in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti, rispettivamente, a G f e a G g nel punto di ascissa = Qual è l ampiezza, in gradi e primi sessagesimali, dell angolo acuto formato da r e da s? Sia R la regione delimitata da G f e da G g Si calcoli l area di R 4 La regione R, ruotando attorno all asse, genera il solido S e, ruotando attorno all asse, il solido T Si scrivano, spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T PRBLEM Nel primo quadrante del sistema di riferimento sono assegnati l arco di circonferenza di centro ed estremi (, ) e B(, ) e l arco L della parabola d equazione = 9 6 i cui estremi sono il punto e il punto, Sia r la retta tangente in a L Si calcoli l area di ciascuna delle due parti in cui r divide la regione R racchiusa tra L e l arco B La regione R è la base di un solido W le cui sezioni, ottenute tagliando W con piani perpendicolari all asse, hanno, per ogni, area S() = e 5 Si determini il volume di W 74
Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione di R intorno all asse 4 Si provi che l arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti internamente all arco B e all asse Infine, tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri si determini quella che risulta tangente anche all arco di circonferenza di centro e raggio, come nella figura a lato B 4 rchimede RTICL questionario Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore? 4 4 5 + h 5 lim h h Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione f() il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali t La posizione di una particella è data da s( t) = e + t Qual è la sua accelerazione al tempo t = 4? 4 Qual è la capacità massima, in litri, di un cono di apotema metro? 5 Siano dati nello spazio n punti P, P, P,, P n Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? 6 Sia f() = 5 sen cos + cos sen 5 sen cos 7; si calcoli f'() 7 È dato il tetraedro regolare di spigolo l e altezza h Si determini l ampiezza dell angolo a formato da l e da h 8 Qual è il valor medio di f ( ) = da = a = e? 9 Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo dc) consiste, assegnati nel piano due punti e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, nel determinare il cammi- 75
RTICL rchimede 4 no minimo che congiunge con B toccando r Si risolva il problema nel modo che si preferisce Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni reale? ( ) + ) cos sen( + ) B) sen cos( ) C) se Si giustifichi la risposta ( ) n( ln + ) D ( ln + ) ( ) ) cos ( ) Durata massima della prova: 6 ore È consentito l uso della calcolatrice non programmabile Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema risoluzione del prblem Ricordiamo anzitutto che, se ϕ() è una funzione periodica di periodo T, allora ϕ(k) è una funzione periodica di periodo T Dal momento che la k funzione = sen è periodica di periodo T = π, il periodo di g() è T = π 4 = π f è la composizione del valore assoluto con un polinomio Si tratta di una funzione pari il cui grafico può essere dedotto studiando la funzione h() = 7 in [, + ) e ribaltando la curva ottenuta rispetto all asse per simmetria (infatti, il grafico di h è simmetrico rispetto all origine e, quindi, ribaltare attorno all asse la parte di grafico contenuta nel III quadrante equivale a ribaltare attorno all asse la parte di grafico contenuta nel I quadrante) La funzione h è una «parabola cubica», continua e derivabile per ogni reale, sempre crescente e con flesso a tangente orizzontale in (, ) Pertanto f è derivabile anche in (, ), che risulta un minimo stazionario Come osservato, g( ) = sen π è una sinusoide di periodo T 4 = ; pertanto g si annulla in un infinità di punti, di ascissa k, che sono anche punti di flesso per la funzione Inoltre g assume massimo negli infiniti punti di ascissa 4 k + ed ordinata, e minimo negli infiniti punti di ascissa 4 k + ed ordinata I grafici di f e g sono riportati in figura 76
,5 4 rchimede RTICL,5,5 R,8,6,4,,8,6,4,,,4,6,8,,4,6,8,5 Figura Le tangenti cercate si determinano senza difficoltà: l equazione di r è = 9 e l equazione di s è = Essendo s parallela all asse delle ascisse, l angolo acuto a formato da r e da s è uguale all angolo che r forma con la direzione positiva dell asse delle ascisse Poiché m r = tg a = 9, si ha a = arctg 9 8 4' Da quanto visto al punto precedente, risulta f g = = ; quindi i grafici si incontrano in, ed in (, ) (considerando l andamento delle curve, è chiaro che i due grafici hanno, oltre all origine, un solo punto in comune nel I quadrante) L area di R (figura ) è pertanto: = [ g( ) f ( ) ] d = π 4 Il solido S ottenuto dalla rotazione di R attorno all asse è la differenza di due solidi, ottenuti dalla rotazione attorno all asse di G g e G f, rispettivamente (figura ) Quindi: VS = π g ( ) d π f ( ) d = π sen π 79 6 d 77
RTICL rchimede 4 Per il calcolo del volume di T, utilizziamo il metodo dei gusci cilindrici, già illustrato lo scorso anno (si veda il quesito del tema PNI, rchimede n 4 del, pag 9) Si tratta di decomporre il volume cercato in elementi di volume facilmente calcolabili e di determinare il volume complessivo mediante successiva integrazione Consideriamo il guscio di raggio e spessore d in figura ; il suo volume elementare è il prodotto della superficie laterale per lo spessore del guscio: dv = π ( g( ) f ( ) ) d Integrando si ottiene VT = π d sen π 7 4 In alternativa, essendo f() e g() invertibili nell intervallo,, avremmo potuto calcolare il volume di T sezionando il solido con piani perpendicolari all asse : V T = π π 4 d π d arcsen = π 9 arcsen π d g f d g() f() Figura Figura 78
4 rchimede Sebbene non richiesto dal problema, integrando per parti con un po di pa- zienza si ottiene V S 5π 8 π = e VT = 4 9π 45 RTICL La retta r tangente alla parabola = + 6 risoluzione del problema in ha equazione = + r 4 B R R 4 4 Figura 4 L area di R (figura 4) è la differenza tra l area di un quarto di cerchio di 9 9 raggio e quella del triangolo B Pertanto, rea ( R ) = π 4 L area di R è la differenza tra l area del triangolo B e metà dell area del segmento parabolico individuato dalla parabola e dall asse Per il Teorema di rchimede, rea (segmento parabolico) = 6 9 = 6 Quindi rea ( R ) = = Calcoliamo il volume V del solido di base R, sezionandolo con piani ortogonali all asse Il volume elementare di ciascuna fetta di spessore d è dv = S()d = e 5 d Integrando otteniamo V e 5 = e 4 79
RTICL rchimede 4 Il volume V del solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all asse (figura 5) è la differenza tra il volume di una semisfera di raggio e quello del solido ottenuto ruotando l arco L attorno all asse Figura 5 Il volume della semisfera è V = 8p, mentre quello della cavità è: V = π 9 6 d = 8 5 π 7 Quindi, V = V V = π 5 4 Determiniamo il luogo geometrico richiesto Sia C (, ) il centro della generica circonferenza, appartenente al primo quadrante (figura 6a) Risulta CH = CT = e H = ; inoltre C = T CT = (il punto di tangenza appartiene alla retta che congiunge i centri) pplicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo CH otteniamo ( ) = + ; semplificando si trova 9 6 =, cioè l equazione di L 8
B (a) B 4 a P rchimede (b) RTICL T C C H Figura 6 Quanto alla seconda domanda, osserviamo che gli archi di circonferenza P ed P sono simmetrici rispetto alla retta a di equazione =, asse del segmento (figura 6b); anche i punti di tangenza con la circonferenza da determinare risultano, quindi, simmetrici rispetto a tale retta Perciò il centro C della circonferenza deve appartenere alla retta a ed all arco L di parabola; si trova così C = 9, Infine, essendo tangente all asse, la circonferenza ha raggio 9 8 8 9 8 Pertanto la circonferenza cercata ha equazione + 8 = o, 64 equivalentemente, 4 + 4 9 + 9 = 4 4 risposte al questionario 5 5 + h Il rapporto rappresenta il rapporto incrementale della h funzione f() = 5 4, calcolato nel punto = per l incremento h La funzione f() è derivabile; perciò il limite dato rappresenta la derivata prima di f() calcolata in = Essendo f '() =, risulta: 8
RTICL rchimede 4 4 4 5 + h 5 lim = f ' h h = = 5 In alternativa avremmo potuto calcolare il limite mediante una semplice fattorizzazione di polinomi Non sarebbe stato corretto, invece, applicare il Teorema di De l Hôpital, poiché tale metodo presuppone il ricorso alla derivata di f, la cui esistenza è garantita proprio dall esistenza e dalla finitezza del limite dato Data una curva g (figura 7) che presenti rami che si estendono all infinito, sia P (, ) un punto variabile in uno di questi rami Se esiste una retta r tale che, al tendere del punto P all infinito lungo quel ramo, la distanza di P da r tende a zero, allora la retta r si chiama asintoto della curva g r H P g Figura 7 Per la distinzione tra asintoti orizzontali, verticali ed obliqui rimandiamo ai testi in adozione Un semplice esempio di funzione che risponde alle richieste è: f ( ) = Si tratta di una funzione algebrica razionale fratta, pari, definita per ± Si verifica facilmente che tale funzione ammette gli asintoti: =, = ed = È ben noto che la velocità istantanea di una particella è la derivata prima dello spazio espresso in funzione del tempo e, similmente, l accelerazione è la derivata prima della velocità rispetto al tempo t t Pertanto, se s ( t) = e + t, risulta v( t) e = ed anche t a( t) = e 8
4 L accelerazione per t = 4 risulta quindi: a( 4) = e = e rchimede Riteniamo che, trattandosi di una grandezza fisica, sarebbe stato preferibile specificare le unità di misura nel testo del quesito In assenza di ulteriori specificazioni, a nostro avviso, le unità di misura da scegliere sono quelle del SI m In tal caso la risposta corretta è a( 4) = e s RTICL 4 Consideriamo il triangolo rettangolo VHB in figura 8 Poniamo VH = ; si ha ovviamente Per il teorema di Pitagora, r = ; pertanto la funzione volume, in m, è π π V( ) = r h = ( ) Poiché V ' = π ( ), il volume massimo è V m = π 7 Ricordando che m corrisponde a l otteniamo: V ma 4 l 5 Per la risposta al quesito 5 si rinvia al tema PNI 6 Ricordando le formule di duplicazione: sen = sen cos e cos = = cos sen, la funzione da derivare si riduce facilmente a f() = 7 Pertanto, banalmente: f'() = In alternativa, avremmo potuto calcolare direttamente, ma in modo più laborioso, la derivata V V a l h h C H r B H G B Figura 8 Figura 9 7 Consideriamo il tetraedro regolare in figura 9: tutte le sue facce sono triangoli equilateri e il piede dell altezza è il baricentro G della base Detto l 8
RTICL rchimede 4 lo spigolo del solido, con le notazioni in figura risulta CH = l ed G = CG = CH = l G Essendo GV un triangolo rettangolo, si ha: sen α = = Quindi V α = arcsen ; approssimando si ottiene: a 5 5'5" 8 Il valor medio di una funzione continua f() nell intervallo [a, b] è dato b f ( ) d a dall espressione, su cui verte il Teorema della media integrale La b a richiesta non riguarda quindi l applicazione del Teorema di Lagrange, anche detto del valor medio; il giorno di svolgimento della prova, in parte degli organi di stampa è stata fatta confusione fra i due teoremi Il valor medio della funzione è e d [ e ln ] = = e e e 9 Scegliamo un opportuno riferimento cartesiano in cui r coincide con l asse, = (, ), B = (, ), P = (k, ), come in figura ; la funzione da minimizzare è f ( k) = k + + ( k ) +, con il vincolo k B (, ) (, ) P (k, ) r ' (, ) Figura 84
Si ha f '( k) = k + k + k ( k ) + 4 rchimede Ponendo f'(k) =, elevando al quadrato e invertendo le due frazioni, otteniamo k + ( k ) + =, da k ( k ) cui = k ( k ) Ricavando il valore di k, si trova che la posizione del punto di minimo è k =, cioè l ascissa del punto di intersezione tra + 'B e r, essendo ' il simmetrico di rispetto alla retta r In alternativa si può seguire un procedimento geometrico, per il quale si rimanda al tema per il PNI La risposta è Ponendo a = sen ( + ), espresso in radianti, per ogni reale risulta α Inoltre cos a = cos ( sen( + ) ) Poiché l angolo a appartiene sempre al primo e quarto quadrante della circonferenza goniometrica, la funzione cos ( sen( + ) ) è positiva per ogni reale Si osserva, inoltre, che: RTICL ( + ) = sen(cos ),44 ( + ) = sen(ln ),995 ( + ) = cos(ln 6),99 sen cos( ) sen ln( ) cos ln( 5 ) Pertanto cos sen( + ) ogni reale ( ) è l unica funzione che ammette valori positivi per commenti Il tema proposto era, complessivamente, alla portata degli studenti del Liceo Scientifico di rdinamento Quest anno la prova era basata sia sulle conoscenze di analisi, sia sulle competenze geometriche acquisite nel corso del triennio Non mancano infatti i riferimenti alla geometria solida e analitica, né alla trigonometria I problemi sono articolati per punti, abbastanza indipendenti tra loro Il problema è un classico problema di analisi, in cui i primi tre punti sono piuttosto facili, mentre l ultima richiesta presuppone una certa conoscenza delle somme integrali Un ulteriore osservazione: nel punto si chiede di studiare due funzioni il cui grafico può essere facilmente ricavato da quello di funzioni elementari, che dovrebbero esser ben note agli studenti Da un lato la richiesta appare poco significativa, dall altro può essere opportuno inserire domande semplici all inizio di un problema 85
RTICL rchimede 4 Il problema cerca, invece, di fondere assieme competenze di base della geometria analitica e dell analisi; risulta interessante, sebbene non troppo complesso Le difficoltà eventualmente incontrate dagli studenti sono legate alla necessità di ricordare gli elementi di base della geometria analitica nche i quesiti erano alla portata degli studenti; in qualche caso risultavano simili ad altri già assegnati nel passato: il quesito 4, ad esempio, era sostanzialmente identico a un quesito assegnato nel (n, tema PNI) e nel 7 (quesito 4, tema di ordinamento) Il problema di Erone (quesito 9) è un classico per tutti gli appassionati di giochi matematici; la formulazione proposta richiede l uso di un opportuno riferimento cartesiano e di calcoli parametrici a cui gli studenti sono poco abituati Questo quesito rimane, assieme al punto 4 del primo problema, un esercizio in grado di mostrare la competenza matematica degli studenti, cioè la capacità di usare le conoscenze acquisite in contesti nuovi In conclusione, sebbene il tema di quest anno sia risultato forse il più semplice degli ultimi dieci anni, non sono mancati quesiti interessanti Sentiamo comunque il dovere di ribadire la richiesta di indicazioni più chiare su quali siano le conoscenze da ritenersi fondamentali per uno studente alla fine del percorso liceale, almeno in vista degli esami delle prime classi del liceo riformato, fra tre anni In questo modo sarà possibile per gli insegnanti scegliere un percorso efficace che porti con successo alla meta Lorenzo Meneghini Liceo «F Corradini» Thiene (VI) lorenzomeneghini69@gmailcom 86