Stabilità e punti di equilibrio

Capitolo 4 Stabilità e punti di equilibrio 4. Stabilità di un itema epreo da un equazione di tato Si è motrato come un itema poa eere epreo con il itema cotituito dalle equazioni 3.6 e 3.7 ovvero: X() = (I A) x( ) + (I A) BU() Y () = CX() + DU() Si otituce l epreione di X() nella econda equazione, ottenendo: Y () = C(I A) x( ) + [ C(I A) B + D U() dove il termine [ C(I A) B + D rappreenta la matrice di traferimento T (). Un itema può eere rappreentato attravero: L equazione differenziale. la funzione o matrice di traferimento T () (che rappreenta olo la ripota forzata, quindi la tabilità BIBO) l equazione di tato Definizione 4. (Punto di equilibrio). Si dice punto di equilibrio una configurazione del itema (ovvero lo tato del itema e l ingreo) tale da far tendere il itema in quella tea configurazione. Intuitivamente, i può prendere ad eempio una pallina. Applicando un certo ingreo, ovvero una forza, i può potare la pallina. Si conidera la poizione della pallina come ucita. Se i trova ul fondo di una conca, quando i applica una piccola forza, la pallina i poterà leggermente per tornare ucceivamente nella poizione originale. Queta ituazione rappreenta un punto di equilibrio aintoticamente tabile. Se la pallina i trovae u un piano perfettamente orizzontale, ea i poterebbe olamente dopo l applicazione della forza. Eo rappreenta un punto di equilibrio emplicemente tabile. Se invece i poizionae la pallina u una collina, è ufficiente applicare una piccola forza per far rotolare via la pallina, eendo un punto di intabilità. Figura 4.: Punti di equilibrio Definizione 4.2. X, Ū è un punto di equilibrio di un itema e, continuando ad applicare il controllo Ū, ed eendo lo tato del itema X, allora il itema permane in quello tato, ovvero x(t) = X t t X, Ū è un punto di equilibrio tabile e ε > δ ε > tale che x( ) x < δ ε allora x(t) x ε per t. Se inoltre x(t) X per t allora il punto è di equilibrio di tabilità aintotica. I punti aintoticamente tabile devono eere iolati. Se non lo foero, allora dalla definizione lo tato dovrebbe tendere contemporaneamente a due punti diveri. Poono eitere infiniti punti emplicemente tabili. 3

4 CAPITOLO 4. STABILITÀ E PUNTI DI EQUILIBRIO 4.2 Studio dei punti di equilibrio nei itemi LTI Dato un itema X = AX + BU (la proprietà di un punto di equilibrio non richiede lo tudio dell ucita del itema, ma conidera olo l evoluzione dello tato), lo tato X è di equilibrio e Ū tale che X e Ū è un punto di equilibrio. In un punto di equilibrio lo tato non cambia, quindi i ha una derivata nulla: X =. Quindi un punto X, Ū è di equilibrio e e olo e X = AX + BU = Supponiamo per ipotei che in un punto di equilibrio i valori di X e Ū iano cotanti. Allora ponendo il itema nello tato iniziale x( ) i ha che x (t) = A x(t) + Bū(t) = mettendo a itema l equazione precedente con la 3. e ottraendo membro a membro i ottiene [x (t) x (t) = A [x(t) x(t) Definizione 4.3. Di definice ditanza di x(t) da X la quantità δ x (t) x(t) x(t) = x(t) x. Sotituendo nell equazione precedente i ha: δ x (t) = Aδ x (t) l equazione decrive l evoluzione della ditanza dello tato dal punto di equilibrio. La tabilità di un punto di equilibrio non dipende quindi dal particolare valore di Ū e neppure da x, ovvero dal particolare punto di equilibrio, ma olo dalla ditanza. Qualiai punto di equilibrio ha le tee proprietà, quindi un itema non può avere un punto di equilibrio tabile e un punto di equilibrio intabile. Si parla quindi di tabilità del itema (olo nei itemi lineari), perché tutti i punti di equilibrio hanno le tee caratteritiche. Per apere e un itema è tabile, è ufficiente tudiare un qualunque uo punto di equilibrio. Eite empre un punto di equilibrio, ovvero il punto X = e Ū =. In queto cao i ha: Dato il itema i vuole tudiare δ x (t) = x(t) X = x(t) X = AX + BU X = AX ovvero l evoluzione del itema quando BU =, ovvero l evoluzione dello tato del itema per U =, quindi l evoluzione libera dello tato x l (t). Lo tato poiede un evoluzione libera e una evoluzione forzata. L evoluzione libera è decritta dall equazione x l (t) = e At x( ) che corriponde nel dominio di Laplace a X l () = (I A) x( ) La matrice (I A) fornice l andamento dell evoluzione libera e può eere chiamata con M(): M()x( ) = m () m 2 () m n () m 2 () m n () m nn () Per x( ), deve eere x l (t) < ε. Ipotizzando che x( ) = x ( ) x 2 ( ) x n ( ) = m () m n () allora l evoluzione libera dello tato è data dall antitraformata del vettore m () m 2 () m n () x ( ) + + m n() m nn () x n ( )

4.3. STABILITÀ INTERNA 5 Se uno olo di queti termini foe divergente allora i avrebbe una condizione iniziale dello tato x( ) che fa divergere lo tato. Si deve quindi verificare che ogni termine non divergano nel tempo. Uando la condizione iniziale x( ) = allora dalla moltiplicazione i otterrà la econda colonna della matrice M. Da quete oervazioni i ricava la condizione di tabilità eguente: Condizione necearia e ufficiente per la tabilità è la non divergenza di ogni termine della matrice (I A). Se olo un termine divergee, allora i potrebbe empre cegliere una opportuna condizione iniziale x( ) che fa divergere lo tato. La tabilità dello tato nel dominio del tempo deriva dall equazione e corriponde allo tudio della matrice e At. 4.3 Stabilità interna x l (t) = e At x( ) La tabilità di un itema (ovvero di tutti i uoi punti di equilibrio) i ottiene dalla ripota libera che rappreenta lo potamento dal punto X =, Ū =, che è empre un punto di equilibrio di un itema. Se eite un qualunque denominatore degli elementi della matrice (I A) ha parte reale > allora il itema poiede intabilità forte: l evoluzione dello tato diverge con velocità eponenziale. Si può empre cegliere un opportuno vettore di tato iniziale tale da far divergere la ripota libera dello tato. Se un componente della ripota libera diverge, allora divergerà anche la ua ditanza dal punto di equilibrio. Se divergee l elemento m ij, allora il eguente tato iniziale dove l elemento con valore è nella poizione j eima, e moltiplicato a (I A) genera una evoluzione libera dello tato divergente, poiché contiene proprio il termine m ij. Se tutte le radici ono a parte reale (e neuna ha parte reale poitiva), e le radici degli elementi con parte reale nulla hanno molteplicità uperiore a i ha intabilità debole. L evoluzione dello tato diverge con velocità polinomiale. Se tutti i termini hanno denominatori con parte reale <, allora l antitraformata degli elementi corriponderà a termini che tendono a. Il itema poiede tabilità aintotica. Negli altri cai i ha tabilità emplice. 4.4 Polinomio caratteritico e polinomio minimo Definizione 4.4. Si definice polinomio caratteritico della matrice A e del itema la quantità ϕ() ϕ A () det(i A) Si definicono autovalori del itema (o della matrice A) le radici di ϕ(), ovvero le oluzioni ϕ() = Si dice che il polinomio caratteritico è un polinomio annullante, ovvero un polinomio p(a) tale che otituendo ad la matrice A, eo i annulla. Definizione 4.5. Si definice polinomio minimo di una matrice A il polinomio annullante di grado minimo, e i indica con m A () Il polinomio caratteritico e il polinomio minimo hanno la eguente relazione: le radici di m A () ono anche radici di ϕ A (), al più con molteplicità inferiore. Quindi tutte le radici di ϕ A () ono preenti in m A (), con molteplicità almeno pari a. Non è poibile avere i eguenti polinomi: ϕ A () = 2 ( + ) m A () = ( + )( ) perché m A () poiede una radice = che non è preente nel polinomio caratteritico ϕ A ().

6 CAPITOLO 4. STABILITÀ E PUNTI DI EQUILIBRIO 4.4. Metodo per calcolare il polinomio minimo Il polinomio m A () è il minimo comune multiplo di tutti i denominatori degli elementi non nulli della matrice (I A). Sia dato un itema con una matrice A nulla di dimenione n = 2. Si calcola (I A) : [ I = L evoluzione libera dello tato è: x l (t) = L {[ (I A) = I = [ x ( ) x 2 ( ) Il itema è emplicemente tabile. Il polinomio caratteritico è: } [ = L {[ x ( ) x 2 ( ) ϕ() = det(i A) = 2 con radice = e molteplicità 2. Il minimo comune multiplo dei denominatori è: m() = mcm {, } = Sia dato un itema con una matrice A pari a: [ La matrice (I A) è pari a La matrice invera è: L evoluzione libera dello tato è pari a: quindi: Il polinomio caratteritico è: x l (t) = L {[ [ [ 2 2 x l (t) = L { x ( ) + 2 x 2 ( ) x 2( ) [ ϕ() = det [ x ( ) x 2 ( ) } } = [ x ( )(t) x 2 ( )(t) { x ( = )(t) + tx 2 ( )(t) x 2 ( )(t) = 2 non è poibile capire la tabilità di un itema olo oervando il polinomio caratteritico. Il polinomio minimo è: 4.4.2 Proprietà del polinomio minimo m() = mcm {, 2, } = 2 Se tutti gli autovalori (le radici del polinomio minimo e del polinomio caratteritico) di A hanno parte reale <, allora i ha tabilità aintotica Se almeno un autovalore di A ha parte reale > i ha intabilità forte Se tutti gli autovalori di A hanno parte reale, ed ogni autovalore con parte reale = hanno molteplicità pari a i ha tabilità emplice Se tutti gli autovalori di A hanno parte reale, ed almeno un autovalore con parte reale = hanno molteplicità uperiore a allora di ha intabilità debole

4.5. STABILITÀ BIBO 7 4.4.3 Metodo non operativo per il calcolo del polinomio caratteritico Il polinomio caratteritico ϕ() è dato dal minimo comune multiplo di tutti i denominatori dei determinanti non nulli di tutte le ottomatrici quadrate della matrice (I A). Si calcola la matrice (I A) e da ea i ottengono le ottomatrici eliminando un qualunque numero di righe e colonne. Si definice: ϕ() il polinomio caratteritico della matrice (I A) ϕ C () il polinomio caratteritico della matrice (I A) B ϕ O () il polinomio caratteritico della matrice C(I A) ϕ CO () il polinomio caratteritico della matrice C(I A) B 4.5 Stabilità BIBO Lo tudio della tabilità BIBO riguarda l ucita forzata, con equazione (3.), e matrice di traferimento data dall equazione (3.2). La condizione necearia e ufficiente per la tabilità BIBO è la parte reale negativa di tutti dei denominatori degli elementi non nulli di T (). In bae alla definizione di polinomio caratteritico e di polinomio minimo i ha tabilità BIBO e tutte le radici di ϕ C O() iano a parte reale <. Poiché la molteplicità non è importante, e poiché tutte le radici del polinomio caratteritico ono compree nel polinomio minimo, allora i può coniderare anche il polinomio minimo corripondente. Nella tabilità non è coniderata la matrice D, poiché ea non è rilevante ai fini della tabilità BIBO. La matrice di traferimento, nel dominio di laplace, è data da: T () = C(I A) B + D dove la matrice (I A) è può eere critta come Adj(I A) ϕ(). Tutti gli elementi della matrice Adj(I A) non poono avere grado uperiore ripetto a quello di ϕ(), che è pari a n. Gli elementi hanno grado inferiore a n, e quindi tutti gli elementi di (I A) ono funzioni razionali con grado del denominatore maggiore ripetto a quello del numeratore. Le moltiplicazioni con le matrici C e D generano delle combinazioni lineari degli elementi, che quindi non poono raggiungere un grado al denominatore uperiore a quello di partenza. Quindi, tutti gli elementi della matrice C(I A) B hanno elementi con grado del denominatore maggiore a quello del numeratore. La omma con la matrice D è equivalente alla omma con una cotante: ia Num ij Den ij l elemento alla riga i e colonna j della matrice C(I A) B. Sommando la matrice D i ottiene: Num ij Den ij + D ij = Num ij Den ij dove D ij è l elemento alla riga i e alla colonna j della matrice D, e Num ij = Num ij + Den ij D ij. Se il grado del numeratore è inferiore a n, e quello del denominatore pari a n, allora la quantità Num ij + Den ij D ij ha grado pari a n, poiché D ij è una cotante. Se D il itema è emplicemente proprio, mentre e D = il itema è trettamente proprio. Si può raffigurare l ucita del itema con il eguente grafico: Il itema compleivo ha le eguenti equazioni: { x = Ax + Bu y = Cx + Du Dove Cx = y A, e dipende dalla dinamica (evoluzione) dello tato x ed è indipendente dalla matrice D. Mentre Du = y B dipende olo da u. Quindi, il itema può eere compoto coniderando un ottoitema S, che è la parte trettamente propria del itema. Il ottoitema S ha la tea dinamica dello tato del itema principale e ha come ucita y A ; è un itema dinamico ed è trettamente proprio. Le ue equazioni ono: { x = Ax + Bu y A = Cx Un itema può eere empre eparato nella ua parte dinamica e nella ua parte emplicemente algebrica. Per il principio di ovrappoizione, il itema trettamente proprio ha una matrice di ovrappoizione T () tale che T () = C(I A) B

8 CAPITOLO 4. STABILITÀ E PUNTI DI EQUILIBRIO mentre il reto del itema ha matrice di traferimento T () = D Poiché y = y A + y B i ha T () = T () + T () = C(I A) B + D. Il denominatore non cambia dalla omma di una cotante, quindi per verificare la tabilità BIBO lo tudio della matrice C(I A) B è identico allo tudio della matrice C(I A) B + D. Si ceglie, poiché è più emplice, tudiare la matrice C(I A) B. Il polinomio ϕ co () è detto polinomio caratteritico di controllo ed oervazione, e i ottiene coniderando il minimo comune multiplo di tutti i denominatori non nulli di tutti i minori della matrice C(I A) B. ϕ co () è detto anche poolinomio caratteritico della matrice C(I A) B. Poiché ϕ() è il polinomio caratteritico relativo a (I A), la moltiplicazione per una matrice cotante C corriponde ad un inieme di combinazioni lineari che non poono aggiungere altri elementi al polinomio caratteritico. Al contrario, è invece poibile che eliminino degli elementi. Dato M() = (I A), allora la matrice CM() è data da una combinazione lineare delle colonne di M. Per queto motivo, il polinomio relativo alla matrice C(I A), ovvero ϕ o (), non può avere più termini di ϕ(). In particolare, e C I, allora ϕ() ϕ o (). Se C è nulla, allora ϕ o () =. Per queto motivo i ha: Alcuni termini di ϕ() potrebbero comparire anche per valori di C non nulli. La matrice (I A) B ha polinomio caratteritico ϕ c (), e quindi i ha che: Quindi, ϕ CO () è icuramente un ottoinieme di ϕ o () e di ϕ c (): ϕ o () ϕ() (4.) ϕ c () ϕ() (4.2) ϕ co () ϕ c () ϕ() (4.3) ϕ co () ϕ o () ϕ() (4.4) Se nel polinomio ϕ co () eite una radice con parte reale >, allora eo arà preente anche in ϕ(). Se tutte le radici di ϕ co () hanno parte reale <, ciò non dimotra che lo iano anche tutte quelle di ϕ(). Se il polinomio ϕ co () ha grado n, allora ϕ() = ϕ co (): in queto cao e il itema è tabile BIBO, allora è anche tabile internamente in modo aintotico. Vale invece empre la eguente relazione: e un itema ha tabilità interna aintotica, allora ha anche tabilità BIBO. 4.6 Cambiamento di bae Quando un vettore è compoto da un inieme di numeri reali, ad eempio x = [x, x 2,, x n T, allora è poibile aociarlo ad un punto in uno pazio n-dimenionale relativo ad una bae ortonormale detra (ovvero una bae compota da n vettori ortogonali con norma pari a ). Una bae è un inieme di vettori e, e 2,, e n con modulo unitario. Il vettore può eere quindi critto come: x = x e + x 2 e 2 + + x n e n. Un punto può eere rappreentato da qualunque bae formata da vettori linearmente indipendenti. Il cambiamento di bae è rappreentato da una matrice. Si conidera un itema con le eguenti equazioni: { x = Ax + Bu y = Cx + Du la prima equazione decrive il vettore x, che rappreenta un punto epreo in una bae di R n. Si può dimotrare che le proprietà di tabilità di un itema ono indipendenti dalla bae. Un cambiamento di bae comporta l introduzione di un nuovo vettore z che rappreenta il punto indicato dal vettore x nella nuova bae, tramite il prodotto di una matrice T invertibile: z = T x (4.5) T è una qulunque matrice invertibile con rango maimo, quindi con n colonne indipendenti. Sotituendo l equazione (4.5) nelle equazioni del itema, eendo la derivazione una operazione lineare, i ottiene: { T z = AT z + Bu y = CT z + Du la prima equazione non è un equazione di tato perché il termine z è moltiplicato per la matrice T. Per queto motivo i pre-moltiplicano ambo i membri per T, ottenendo { T T z = T AT z + T Bu y = CT z + Du quindi il itema diventa { z = T AT z + T Bu y = CT z + Du (4.6)

4.7. TEOREMA DI HURWITZ 9 Sia S il itema nella nuova bae, Ã = T AT, B = T B, C = CT e D = D. Il nuovo vettore di tato è z, e il itema S è uguale al itema S di partenza, con la differenza del cambiamento di bae. Gli ingrei e le ucite ono identiche. L unica matrice immutata è D, ovvero la parte emplicemente algebrica del itema. La tabilità BIBO è una tabilità eterna e non può eere modificata dai cambiamenti di bae, poiché mette in relazioni delle quantità eterne al itema: gli ingrei e le ucite. La funzione di traferimento, nella vecchia e nella nuova bae è: T () = C(I A) B T () = C(I Ã) B = CT (I T AT ) T B poiché T IT = T T = I, allora i può moltiplicare il termine I in queto modo: T () = CT (T IT T AT )T B i raccoglie a initra la matrice T e a detra la matrice T all interno della parentei: T () = CT (T (I A)T ) T B = CT (T (I A) T )T B = CT T (I A) T T B = C(I A) B quindi T () = C)(I Ã) B = C(I A) B = T () Il cambiamento di bae non modifica la funzione di traferimento. I polinomi caratteritici ono: ϕ() = det(i A) ϕ() = det(i Ã) = det(i T AT ) = det(t (I A)T ) il determinante del prodotto è il prodotto dei determinanti, quindi inoltre, det(t ) = det(t ), quindi ϕ() = det(t (I A)T ) = det(t )det(i A)det(T ) ϕ() = det(i A) = ϕ() Il polinomio caratteritico e il polinomio minimo non cambiano con il cambiamento di bae: ϕ() = ϕ(), m() = m(). 4.7 Teorema di Hurwitz Il teorema di Hurwitz permette di tudiare la tabilità attravero la verifica delle radici del polinomio caratteritico. Dato un polinomio caratteritico ϕ() = n + a n + + a + a, i definice matrice di Hurwitz, indicata con H, la eguente matrice: H = a n a n 3 a n 2 a n a n 5 a n 4 a n 3 a n 2 a n (4.7) gli elementi con valore rappreentano i coefficienti di a n. Il polinomio caratteritico può eere critto in queto modo: ϕ() = + a n+2 n+2 + a n+ + + a n n + a n + a n 2 n 2 + + a + a + + a + a 2 2 + le righe della matrice di Hurwitz (4.7) i cotruicono a partire dal termine a n e potandoi a initra. Nella riga ucceiva i riparte coniderando il termine a n 3 e ci i pota vero initra nuovamente. Sia ϕ() = 3 + a 2 2 + a + a. La matrice H corripondente è una matrice 3x3, poiché il polinomio ϕ è di grado 3: a 2 H = a a a 2 a Sia D i il determinante del minore principale di ordine i. Un minore è cotituito dalla matrice ottenuta coniderando olo le prime i righe e le prime i colonne. Coniderando la matrice (4.7), i coefficienti D, D 2,..., D n ono: D = a n D 2 = a n a n 2 a n 3 D n = det(h) Teorema 4.7.. di Hurwitz Il polinomio caratteritico ϕ() ha tutte le radici a parte reale trettamente minore di zero e e olo e tutti i determinanti dei minori principali della matrice H ono trettamente maggiori di zero. D i > i

2 CAPITOLO 4. STABILITÀ E PUNTI DI EQUILIBRIO Sia ϕ() = 2 + a + a. La matrice di Hurwitz è: [ a H = a Allora, D = a, D 2 = a a. Le radici di ϕ() ono Re < e e olo e a > e a a >, quindi deve eere a > e a >.