Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 16 30.11.017 Proprietà isotopiche della corrente adronica Corrente Adronica: Fattori di Forma anno accademico 017-018
Proprietà isotopiche della corrente adronica L invarianza rispetto ad una trasformazione con Λ 0 porta alla corrente (di Isospin) conservata τ τ J =Ψγ Ψ 1 τ = τ La corrente definita è un oggetto complicato τ 3 È un operatore vettoriale (nel senso di Lorentz) rispetto all indice È un operatore vettoriale (nello spazio dell isospin) rispetto all indice i degli operatori di Pauli τ i J è conservata: per ogni componente i si definiscono le cariche isotopiche 0 3 T = ( ) J x d r 0τ 3 0τ 3 = Ψγ Ψd r T = Ψγ Ψd r Gli operatori T i appena definiti Sono operatori come gli operatori di campo Ψ Agiscono sugli stati dello spazio di Fock (in particolare sul vuoto) Gli stati hanno adesso anche il grado di libertà isospin T i possono essere espressi tramite operatori di creazione e distruzione Si possono verificare le seguenti regole di commutazione TT i, j = iεijkt, Ψ τ = Ψ, Ψ = Ψ τ k T T Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 464
Proprietà isotopiche della corrente adronica Consideriamo adesso la corrente di isospin J m τ m = ψγ ψ Dall ultima relazione della diapositiva precedente si può ricavare [ T, J ] = iε J l m lmk k In analogia a quanto si fa nella teoria del momento angolare (o dello spin isotopico) si possono definire gli operatori J+ = J1 + ij J = J1 ij J = J+ Utilizzando le regole di commutazione precedenti si ottiene [ T3, J ] + + =+ J [ T3, J ] = J Notiamo che le ultime relazioni trovate sono formalmente identiche a quelle della diapositiva 460 1798 La differenza è la sostituzione dell operatore carica elettrica Q con l operatore T 3 Questa circostanza suggerisce una relazione fra la corrente debole carica J e la corrente di isospin J + Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 465
Proprietà isotopiche della corrente adronica Gli operatori dello spazio isotopico sono classificati secondo le loro proprietà di trasformazione sotto l azione di un operatore U di SU() U = exp[ iλ T ] Operatori isoscalari: ad esempio il numero barionico B = Ψ Ψd Infatti i i B Λ T Λ T iλ T iλ T iλ T iλ T 3 = e Be = e Ψ e e Ψe d r iλ T iλ T iλ τ/ e Ψ e = e Ψ = Ψ e e Ψd r = Ψ Ψ d r = B iλ τ/ iλ τ/ 3 3 Operatori isospinoriali: ad esempio il campo Ψ Si può dimostrare che Ψ si trasforma come un isospinore iλ i Ψ = e T e Λ Ψ T i = e Ψ Λτ/ iλτ/ Ψ = e Ψ Operatori isovettoriali: ad esempio la corrente La verifica che sia un isovettore è più complicata Si può verificare che per Λ infinitesimo iλ i Ψ = e T e Λ T τ τ J Ψγ Ψ+ Λ Ψγ Ψ Bernstein, Elementary Particles and their currents,w.h. Freeman & Company (1968) ψp Ψ= ψ n J 3 τ =Ψγ Ψ r Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 466
Proprietà isotopiche della corrente adronica B Discutiamo adesso l importante relazione Q B T e = + 3 Consideriamo l operatore B 3 B = Ψ Ψd r 1 0 = ( ψ ψ p ψn ) ψ p 3 0 1 d n r ( ψψ p p ψψ n n ) d 3 r B = ( Np Np + Nn Nn ) = + Consideriamo adesso l operatore T 3 τ T = Ψγ Ψd In definitiva 0 1 0 3 1 0 1 0 3 3 = Ψγ 1 1 0 3 Ψd r = Ψ Ψ T ( ψψ ψψ ) 1 3 p p n n d = r T 3 0 1 d N N N N = r r p p n n 1 0 ψ 1 = ( ψp ψn ) ψ p 3 0 1 d n r Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 467
Proprietà isotopiche della corrente adronica Per finire possiamo definire la carica elettrica del sistema (in unità di e) come il numero di protoni 3 1 0 ψp 3 Np = ψψ p pd r ( ψp ψ ) = n 0 0 ψ n Ψd r Q 0 1 0 3 = Ψγ 0 0 Ψd e r Abbiamo utilizzato le seguenti matrici 1 0 1 0 Q B 0 0 0 1 Ovviamente si ha 1 1 0 1 1 0 0 0 0 = 0 1 + 0 Utilizzando la relazione precedente si trova 1 T 3 1 0 0 1 Q B T e = + 3 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 468
Proprietà isotopiche della corrente adronica Ritorniamo adesso alle considerazioni fatte nella diapositiva 464 180 Avevamo visto le regole di commutazione [ T3, J+ ] =+ J+ [ T3, J ] = J Abbiamo appena visto che Q B T e = + 3 Dato che la corrente conserva il numero barionico, B commuta con la corrente e quindi possiamo sostituire Q a T 3 nelle regole di commutazione Confrontare con [ QJ, + ] =+ J+ [ QJ, ] = J diapositiva 464 Tutto ciò ci permette di dire che la corrente adronica carica J α ha evidenti somiglianze con un operatore nello spazio di isospin con le proprietà di un operatore di innalzamento o di abbassamento α α La corrente J J + che induce, ad esempio, transizioni n p α α La corrente J J che induce, ad esempio, transizioni p n Assumiamo pertanto che gli stati iniziale e finale siano elementi di un spazio isotopico 1 1 1 1 p =, n =, Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 469
La corrente adronica Studiamo ora il comportamento generale della corrente adronica in relazione alle sue proprietà di trasformazione per il gruppo di Lorentz Consideriamo un elemento di matrice della corrente fra f h ( x) i uno stato iniziale e uno stato finale i> ed f> Ad esempio nel decadimento β del neutrone i = n f = p p h ( x) n Oppure nel decadimento β del pione i = π f = π 0 Innanzitutto la teoria deve essere invariante per traslazioni L invarianza per traslazioni (P generatori delle traslazioni) implica che si possa scrivere α + ip x α ip x h ( x) = e h ( 0) e Consideriamo adesso l elemento di matrice f h ( x) i e f h ( 0 ) i Abbiamo già notato che ha una componente polare e una assiale α α f h ( 0 ) i α α α f h ( 0 ) i = f V ( 0 ) i f A ( 0 ) i π 0 α h ( x) π iq x α = q = pf pi Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 470
La corrente adronica: Fattori di Forma Nella trattazione del decadimento β abbiamo utilizzato il risultato (diap. 87 1348 ) iq x p ψpγ ψn n = up Γ u p p e n Questo risultato vale solo per particelle puntiformi (senza struttura) Non è adeguato per calcoli precisi con adroni Nel caso degli adroni occorre ricorrere a parametrizzazioni che superino la nostra incapacità di calcolare esattamente gli elementi di matrice in presenza dell interazione forte Sulla base di considerazioni di invarianza relativistica si può scrivere la forma più generale che devono avere gli elementi di matrice n p Nel caso di fermioni (ad esempio neutrone protone) iσνq q p V n = u p g + f + h u p m m ( ) γ ( ) f V V V i iσ 5 νq q 5 5 p A n = u( pf ) gaγγ + fa γ + ha γ u( pi ) m m Le quantità g X, f X, h X sono funzioni scalari dell unica quantità cinematica scalare non banale: q = ( p f p i ) Notiamo che per particelle senza struttura f X = h X = 0 e g X = 1 ν ν p i p f Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 471
La corrente adronica: Fattori di Forma I fattori di forma possono essere estratti da misure di decadimenti deboli in funzione del momento trasferito In particolare abbiamo già visto alcuni risultati per il decadimento β del n Data la piccola differenza di massa fra neutrone e protone il momento trasferito è limitato a valori molto piccoli: q 0 Nel limite di bassi momenti trasferiti sopravvivono solo i Fattori di Forma g X 5 ( ) ( ) γ ( ) p A n u( p ) g ( 0) γ γ u( p ) p V n u p g 0 u p f V Confrontando con risultati ottenuti da transizioni di Fermi 0 + 0 + G Gg V Utilizzando per G il valore ottenuto G dalla vita media del muone Supponendo G = G otteniamo g V ( 0) = 0.973 77 ± 0.000 3 Dagli studi di transizioni di Gamov Teller si ottiene ga ( 0) = 1.695 ± 0.009 g ( 0) V i β = ( 0) 5 G β = 1.135 78 ± 0.0007 10 GeV 5 G = 1.166 37 ± 0.000 01 10 GeV f A i Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 47
La corrente adronica vettoriale La cosa più interessante del risultato precedente è che g V (0) è praticamente 1 Significa che a basso momento trasferito la parte vettoriale della corrente adronica si comporta come la corrente vettoriale del muone L interazione forte non modifica il decadimento debole Questa affermazione merita dei commenti Per il decadimento del neutrone abbiamo calcolato n p Poichè esiste il decadimento 0 π π e νe n p p Dovremmo considerare anche contributi tipo π π 0 Il fatto che f V (0) = 1 significa che il secondo diagramma non modifica il primo che risulta uguale ν a quello del decadimento del leptone Questa circostanza è analoga a quanto succede alle proprietà elettromagnetiche del protone a basso momento trasferito L interazione elettromagnetica del protone è descritta dal diagramma È identica a quella dell elettrone (puntiforme) p p n p p Non è modificata da effetti del tipo indicato π + dal diagramma Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 473
Digressione: la corrente elettromagnetica Nel caso dello scattering elastico elettrone protone L = ejema il processo è descritto dall interazione di due correnti tramite un fotone L elemento di matrice della corrente leptonica si può calcolare esattamente perché si possono usare i campi liberi k i p i e p e γ p iq x J ( ) ( ) ( ) em x = ψe x γ ψe x k ( ) f Jem x ki = uk γ u f ke i q = pf pi Per l elemento di matrice della corrente adronica bisogna utilizzare una parametrizzazione simile a quanto fatto per l interazione debole pf J ( ) em x pi i q iq x up F1( q ) F( q ) σ γ ν F3( q ) q = + + u f pe i m Che l interazione elettromagnetica a basso momento trasferito non sia sensibile alle interazioni forti è espresso dal fatto che F 1 ( 0) = 1 La cancellazione degli effetti dovuti ai diagrammi di ordine superiore nella ridefinizione della carica elettrica (escluso la polarizzazione del vuoto) è una conseguenza della conservazione della corrente elettromagnetica em ( x ) 0 J = k f p f Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 474
Digressione: la corrente elettromagnetica La conservazione della corrente elettromagnetica implica che F 3 = 0 pf J ( ) em x pi = 0 pf iq x Jem ( 0) pi e = q pf Jem ( 0) pi = 0 Imponendo questa condizione sulla parametrizzazione i q q up F1( q ) F( q ) σ ν F3( q ) q γ + + u f pi m = 0 Osserviamo che qγ = p/ f p/ i Il primo termine diventa pertanto up ( p ) f / f p/ i up = u i p ( m ) f p mp up i = 0 pu / p = mup Il secondo termine è nullo per l antisimmetria di σ ν Otteniamo in definitiva q up F3 ( q ) q u 0 f p = q F i 3 ( q ) up u f pi = 0 F3 ( q ) = 0 L elemento di matrice della corrente elettromagnetica del protone è pertanto i q p J ( 0) p = u F ( q ) γ + F ( q ) u f m σ ν ν f em i p 1 p Gli esperimenti di scattering elastico e p e p permettono di misurare i fattori di forma F 1 e F in funzione del momento trasferito q i Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 475
Digressione: la corrente elettromagnetica Per una particella puntiforme che obbedisce all equazione di Dirac Il Fattore di Forma F 1 è costante (non dipende da q ) ed è uguale a 1 Il Fattore di Forma F è sempre nullo Occorre tenere presente che il fattore F rappresenta una interazione di momento magnetico aggiuntiva La corrente vettoriale ufγ ui contiene già una interazione di tipo magnetico Lo abbiamo visto nel limite di bassa energia Lo si può vedere esplicitamente con la Scomposizione di Gordon della corrente vettoriale 1 ν ufγ u = u ( ) ( ) f pf p iσ pf p u m + + ν i i i i Dal momento che F descrive una interazione di momento magnetico aggiuntiva viene detta Momento Magnetico Anomalo In particolare il suo valore a momento trasferito nullo κ = F (0) In alcuni articoli o testi si fa la sostituzione F κf con F (0) = 1 e κ è il momento magnetico anomalo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 476
Scomposizione di Gordon La scomposizione di Gordon mette in evidenza i due termini di interazione di una particella di Dirac 1 ν ufγ u = u f ( pf p ) iσ ( pf p ) u m + + ν i i i i L interazione di una particella senza spin L interazione dovuta al momento magnetico Per dimostrare la relazione sviluppiamo il secondo termine u f σ ν ( p f p i ) u i i = u ( )( ) ν f γ γ ν γ ν γ p f p i u i i ν u ν ( p p p ν = γ γ ν / γ γ / + γ γ p ν ) u i ν ν = imufγ ui + uf ( γ γ pfν + γ γ piν ) ui Dalle regole di commutazione delle matrici γ f f f i i i ν ν ν ν ν { γ, γ } = g γ γ = g γ γ f f f Utilizzando la relazione per i due termini otteniamo ν i ν ν ν ν u σ ( p p ) u = imu γ u + u ( g pf pf g piν piν ) u ν ν γ γ ν + γ γ f f i i f i f i Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 477 up/ pu / = = mu mu i i i
Scomposizione di Gordon ν i ν ν ν ν u σ ( p p ) u = imu γ u + u ( g p ν γ γ p ν + g p ν γ γ p ) u ν ν i = imufγ ui + uf ( pf p/ fγ + pi γ p/ i ) ui f f i i f i f f f i i i Applicando ancora una volta l equazione di Dirac otteniamo ( ) = γ + ( + ) ν fσ f i ν i f i f f i i u p p u i mu u iu p p u Ridisponendo i termini otteniamo la scomposizione di Gordon della corrente vettoriale 1 ν ufγ u = u f ( pf p ) iσ ( pf p ) u m + + ν i i i i Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 478
I Fattori di Forma del protone Ritorniamo ai fattori di forma elettromagnetici Le figure riportano i due fattori di forma del protone F 1 (0) = 1 κ p 1 e m = ( + κ) 1 + κ =.79 847 351 ± 0.000 000 08 p misure di NMR Borkowski et al Nucl. Phys. 93 (1975) p. 461 Thomas A., Weise W. The structure of the nucleon p. 11-1 John Wiley and Sons 001 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 479
I Fattori di Forma del protone Una analisi analoga può essere fatta per il neutrone n n i q pf J em ( 0) pi up F1 ( q ) σ ( ) ν F q ν = γ + u f pi m Le figure mostrano i risultati di esperimenti e n e n che permettono di misurare i fattori di forma in funzione del momento trasferito q ( ) n 1 0 F q e n = 1.913 04 7 ± 0.000 000 5 m Misure dei Fattori di Forma del neutrone mostrano una complessa struttura di cariche e correnti Il neutrone si comporta come se avesse un nucleo positivo e una superficie negativa (con la carica totale ovviamente nulla): n p + π n p Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 480
Corrente elettromagnetica e isospin Il formalismo precedente può essere unificato utilizzando gli isospinori Ψ per descrivere protoni e neutroni Per il protone possiamo scrivere la corrente vettoriale come jp p 1 0 ψp ψγ ψp = ψ ψ 0 0 γ ψ = ( )( ) ( ) p n n ψp Ψ= ψ n La matrice può essere riscritta utilizzando le matrici di Pauli τ ( 1 0 ) 1 + τ3 Otteniamo pertanto 0 0 = 1 3 jp + τ =Ψγ Ψ Occorre tenere presente che gli operatori γ e (1 + τ 3 )/ operano in spazi differenti e quindi la loro posizione relativa non è essenziale Pertanto, nello spazio dell isospin, la corrente del protone è la somma di due termini j = j + j p S 3 j S La corrente è un isoscalare j 3 La corrente è la componente 3 dell'isovettore j S V j γ =Ψ 1Ψ = Ψγ τ Ψ 1 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 481
Corrente elettromagnetica e isospin Analogamente per il neutrone n = Per tutte le correnti introdotte possiamo introdurre i fattori di forma ν X X i qν pf jx ( 0) pi up F1 ( q ) γ σ = + F ( q ) Tu f pi m A seconda dei casi la corrente J X, gli spinori u e la matrice T sono Per X = n, p La corrente J X è un operatore nello spazio degli spinori u La matrice T non è presente Per X = S, V La corrente J X è anche un operatore nello spazio degli isospinori u La matrice T è o 1 (S) o τ 3 (V) Si hanno ovviamente le seguenti relazioni 1 F F F S j j j p n V p n = ( + ) F1, = ( F F1, ) S 1, 1, 1, 3 1 1, Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 48
Il Fattore di Forma del π ± Richiamiamo alcuni risultati relativi al campo complesso φ soluzione della equazione di Klein-Gordon Descrive una particella puntiforme di spin zero s ± La corrente elettromagnetica è data da jem = ie φ φ ( φ ) φ + Consideriamo adesso gli stati di particella singola s, p = Ea p 0 Utilizzando l espansione in operatori di creazione e distruzione per il campo φ è facile calcolare l elemento di matrice della corrente elettromagnetica + + i pi pf x, f em. i = i + f ( ) ( ) ( ) s p j x s p e p p e Anche nel caso del mesone π l interazione forte modifica l elemento di matrice Considerazioni di invarianza relativistica portano a concludere che L elemento di matrice può dipendere solo dai 4-vettori p i e p f L elemento di matrice contiene funzioni scalari (invarianti) della variabile q Invece che i due 4-vettori p i e p f è conveniente utilizzare la loro somma e la loro differenza q = pi pf P = pi + pf Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 483
Il Fattore di Forma del π ± Pertanto l elemento di matrice si può scrivere π ( ) π = [ ( ) + ( ) ] + + iq x, pf jem x. pi e Fπ q P Gπ q q e Una ulteriore semplificazione deriva dalla ( ) j x = conservazione della corrente elettromagnetica Osserviamo che l elemento di matrice dipende da x solo attraverso l esponenziale e pertanto j ( ) ( ) em x = qjem x = 0 Sostituendo F q q P + G q q q = 0 ( ) ( ) π π Si verifica facilmente che q P = 0 e quindi qg ( q ) 0 In definitiva otteniamo π π = G ( q ) π = ( ) π = π ( )( + ) + + pf jem x pi ef q pi pf e,. iq x em 0 La funzione F π (q ) è il fattore di forma elettromagnetico del pione Per una particella scalare puntiforme F s (q ) = 1 em ( ) ( ) = + + + iq x f i i f s, p j x s. p e p p e Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 484 0
Il Fattore di Forma del π ± Il fattore di forma del π + si può misurare in vari modi Mediante la fotoproduzione di pioni con fotoni reali o virtuali + e p e nπ Mediante lo scattering di pioni su elettroni π e π e Calcoliamo il momento trasferito q ( ) q = ki kf = mπ + mπ E E + p p In queste reazioni il momento trasferito è sempre negativo Si dice che q è space-like Il valore massimo q = 0 si ha per pi = pf La figura mostra la compilazione dei dati di due esperimenti I risultati sono compatibili con i f i f k i p i k i p i e γ p π e e π + π n π γ e k f p f k f p f F π ( 0) = 1 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 485
La corrente debole adronica Da quanto fin qui esposto, in particolare richiamiamo la diapositiva 473 1810, risulta evidente che la componente vettoriale della corrente debole adronica ha molte analogie con la componente isovettoriale della corrente elettromagnetica Entrambe le correnti sono insensibili alle correzioni radiative forti Il fattore di forma relativo tende a 1 per q 0 È possibile che anche la componente vettoriale della corrente debole sia conservata Queste analogie risultano implicite se si fanno le seguenti assunzioni Il nucleone è descritto da un campo isospinoriale La teoria è invariante per trasformazioni globali di isospin SU() Esistono 3 correnti conservate J 1, J, J 3 Alle 3 correnti corrispondono 3 cariche T 1, T, T 3 La componente isovettoriale della corrente α adronica elettromagnetica è la corrente J 3 jv La componente vettoriale della corrente debole adronica è la corrente J 1 + ij Questa ipotesi fu proposta da Gell-Mann e prende il nome di Conserved Vector Current o, in breve, CVC = J α 3 α α α = 1 + J J ij Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 486
Il decadimento β del pione carico π Come applicazione della ipotesi CVC calcoliamo la larghezza del decadimento 0 π π e ν e È un decadimento raro dato il piccolo volume dello spazio delle fasi dovuto al piccolo Q valore del decadimento È tuttavia molto interessante perchè consente una verifica della CVC L ampiezza del decadimento è data da G 0 5 M = π J+ π ue γ( 1 γ ) vν Dobbiamo calcolare l elemento di matrice adronico Innanzitutto, per l invarianza relativistica, l elemento di matrice può dipendere solo dai 4-vettori p i e p f 0 π J+ π = api + bpf Sappiamo inoltre che la corrente ha una parte polare e una assiale 0 0 0 J+ = V+ + A+ π π π π π π Γ 0 π π e ν Γ π all e = 1.036 10 8 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 487
Il decadimento β del pione carico π Dimostriamo adesso che solo la parte vettoriale V + della corrente contribuisce all elemento di matrice Consideriamo le proprietà di trasformazione per inversione spaziale P (ricordiamo che P 1 = P e P π,p> = π, p>) Per la componente temporale abbiamo 0 0 π, V π 0 0 p, p π, V π 0 0 = p PP PP, p PV P = V f + i f 0 0 = π, pf V+, pi Per la componente spaziale π 0, pf V+ π, pi = π 0, pf V+ π, p i PV+ P = V+ In modo analogo per la parte assiale dell elemento di matrice si ottiene Nella diapositiva precedente abbiamo visto che per motivi di invarianza Solo l elemento di matrice vettoriale si comporta come un 4-vettore In modo analogo si dimostra che per π ν contribuisce solo A + + π 0 0 0 0, pf A+, pi =, pf A+, pi π π π π 0 0, pf A+, pi =, pf A+, pi π π π π π 0 J+ π = api + bpf i PA PA + + 0 0 + P = A+ P = A + + Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 488
Il decadimento β del pione carico π Utilizziamo adesso l ipotesi CVC per calcolare l elemento di matrice 465 180 0 0 J+ = V+ π π π π L ipotesi CVC consiste nell assumere che le correnti deboli cariche e la corrente elettromagnetica siano correnti di isospin V 1, V, V 3 In particolare La componente isovettoriale della corrente elettromagnetica è V 3 Per la corrente debole V + = V 1 + i V (V = V 1 i V ) Nella diapositiva (con l identificazione J = V ) abbiamo visto che le cariche e le correnti soddisfano le seguenti regole di commutazione In particolare [ TV l, m ] = iεlmkv k [ TV 1, 3] = iε13v = iv [ T, V3 ] = iε31v1 = iv1 Dalle due relazioni precedenti si ottiene [ TV 1, 3] + itv [, 3] = iv V1 = V + = [ T1 + it, V3] = [ T+, V3 ] In conclusione [ V3, T+ ] = V+ Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 489
Il decadimento β del pione carico π Questa regola ci permette di trovare una relazione fra L elemento di matrice del decadimento β del π L elemento di matrice della corrente elettromagnetica del π Il π e il π 0 sono due autostati T, T 3 > dell isospin Otteniamo pertanto [ V3, T ] Sfruttiamo le proprietà degli operatori di innalzamento e abbassamento Introducendo nell elemento di matrice = V + + π 0 = 1, 1 π = + + 1, 0 π 0 V π = 1,0 V 1, 1 = 1, 0 [ V3, T + ] 1, 1 VT TV = 1, 0 3 + + 3 1, 1 VT 3 + TV + 3 T+ T, T = ( T T )( T + T + 1 ) T, T + 1 T + 1, 1 = 1, 0 3 3 3 3 = 1, 0 1, 1 1, 0 1, 1 T T, T3 = ( T + T3)( T T3 + 1 ) T, T3 1 T 1, 0 = 1, 1 1, 0 VT 1, 1 1, 0 TV 1, 1 1,0 V3 1,0 3 + + 3 = V3 1, 1 1, 1 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 490
Il decadimento β del pione carico π Utilizzando l ipotesi CVC abbiamo pertanto ottenuto Ricordiamo inoltre che l ipotesi CVC identifica V 3 con la corrente elettromagnetica j em Un ultima semplificazione si ottiene dalla proprietà della corrente elettromagnetica rispetto all operatore di coniugazione di carica C = C 1 = C C j C = j Questa relazione dice semplicemente che il segno del campo elettromagnetico dipende dal segno della carica elettrica della particella Inoltre il π 0 è un autostato di C con autovalore +1 C π 0 > = + π 0 > Otteniamo pertanto Da cui 0 0 0 V V3 V3 π + π = π π π π π 0 0 jem π = 1 em em 0 0 C jemc π Pertanto l elemento di matrice del decadimento β del π è 0 π 0 0 jem π π = 0 = π jem π V+ π = π π 0 0 jem π k i p i π e π γ e k f p f Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 491
Il decadimento β del pione carico π Pertanto che l elemento di matrice adronico della corrente debole può essere calcolato a partire dall elemento di matrice della corrente elettromagnetica ± ± π, pf jem ( 0 ) π. pi = Fπ ( q )( pi + pf ) Il Q valore del decadimento è molto piccolo Q = m π m 0 π me = 139.570 134.977 0.511 = 4.08 MeV La massima quantità di moto è di appena 4 MeV p i = 0 qmax = m π + m 0 EiEf + pi pf = m 0 π π + m 0 m E π π π Introducendo i valori numerici vediamo che q ( m π m 0 π ) Eπ m 6 qmax = 4.66 MeV = 4.66 10 GeV 0 È possibile pertanto trascurare la dipendenza da q e assumere F π (q ) = 1 Pertanto 0 jem π V+ π = π π ( ) π 0 V+ π = pi + pf Il calcolo è a questo punto semplice ed è lasciato come esercizio Gβ Γ 0 ( 0 π eν = m m ) 3 π π 30π 5 da confrontare con G β ml l f ml m ν π π 1 8π mπ Γ = 0 0 π Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 49
Il decadimento β del neutrone Con lo stesso procedimento nel caso del decadimento β del neutrone si può verificare la relazione fra La parte vettoriale dell elemento di matrice della corrente carica La parte isovettoriale della corrente elettromagnetica Infatti per l ipotesi CVC p J 1 1 1 1 + n = p V+ n =, V+, Utilizzando il commutatore [ V3, T+ ] = V+ Otteniamo 1 1 1 1 1 1 1 1, V+, =, VT 3 + T+ V3, Per le proprietà di T + e T 1 1 1 1 1 1 1 1 T +, =, + T, =, Introduciamo nell elemento di matrice 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, V+, =, V3,, V3, Abbiamo pertanto la relazione fra l elemento di matrice del decadimento β e quello della corrente isovettoriale elettromagnetica em em p V+ n = p j p n j n Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 493
Decadimenti con variazione di S Abbiamo già notato (diapositiva 460 1798 ) che la corrente debole adronica ha una parte che non conserva la stranezza (che ha una parte polare e una assiale) α α hδs 0 S Bisogna comunque sottolineare che non tutti i decadimenti che coinvolgono particelle strane sono dovuti alla corrente S α Ad esempio il seguente decadimento è indotto dalla corrente hδ S = 0 J ± 0 ± Σ Λ + e + νe ( νe) La prima regola di selezione relativa alla corrente ΔS 0 è ΔS = 1 Questa regola empirica è fortemente supportata dalla non esistenza del decadimento altrimenti favorito per spazio delle fasi Ξ n π Q = 131.71 939.56 139.57 = 4.58 Questo decadimento avrebbe una variazione ΔS = : mai osservato La seconda regola di selezione è ΔS = ΔQ Questa regola impone una correlazione fra i segni delle variazioni della carica elettrica e della stranezza del sistema adronico La base empirica è ancora una volta la non osservazione di decadimenti altrimenti permessi e favoriti dallo spazio delle fasi + + + ( ) νe ( ν ) Σ n + e + Δ Q = 1 Δ S = + 1 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 494 α α
Decadimenti con variazione di S La regola di selezione ΔS = ΔQ spiega anche perché 0 + Esiste il decadimento K π + e + νe Δ Q = 1 Δ S = 1 0 + Non esiste il decadimento K π + e + νe Δ Q = + 1 Δ S = 1 E analogamente per i decadimenti del mesone K 0 La regola di selezione ΔS = ΔQ può essere facilmente compresa nell ambito del modello a quark d d Un adrone è composto da quark Λ 0 us uu p Un mesone da una coppia quark-antiquark Un barione da tre quark W u d π Ad esempio, il decadimento Λ 0 p π Il quark s (S = 1, q = 1/3) si trasforma in un quark u (S = 0, q = +/3) La trasformazione di un quark s in quark u porta a variazioni correlate di stranezza e carica elettrica 1 Δ S = Su Ss = 0 ( 1) = + 1 Δ Q = qu qs = 3 ( 3) = + 1 L assenza dei decadimenti proibiti è facilmente compresa considerando la composizione degli adroni in termini di quark + Σ = ( uus) n = ( udd) la transizione s u non porta al neutrone 0 K = ( ds) π + = ( ud ) π = ( ud) la transizione s u porta solo al mesone π Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 495
Decadimenti con variazione di S Il processo più semplice da calcolare è il decadimento del mesone K È un decadimento analogo al decadimento del mesone π: π ν Poichè c è variazione di stranezza l elemento di matrice adronico è 0 S K Come nel caso del decadimento del pione l elemento di matrice è diverso da zero solo per la parte assiale Un calcolo analogo a quanto fatto per il π porta al risultato G f m K Γ K ν = a ( m 3 K m ) 8π mk La costante a è stata inserita perchè le misure sperimentali mostrano che per riprodurre il risultato occorrerebbe utilizzare una costante G più piccola (a 0.) La differenza fra la costante di accoppiamento fra le transizioni senza e con variazione di stranezza portò Cabibbo a ipotizzare che la corrente adronica fosse così composta + + + h ( x) = J ( x) cos θ + S ( x) sin θ θ c è l angolo di Cabibbo ( θ c 13 o ) K + ν c c Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 496
L angolo di Cabibbo La presenza di cosθ c nella corrente ΔS = 0 spiega la differenza fra La costante di accoppiamento ricavata dal decadimento del La costante di accoppiamento ricavata dal decadimento del neutrone cos 13 o = 0.974 L ipotesi di Cabibbo permette di recuperare il concetto di universalità messo in crisi dalla differenza relativamente grande fra l intensità dei decadimenti con ΔS = 0 e ΔS = 1 Le interazioni deboli di corrente carica possono essere descritte da correnti deboli (cariche) dei quark 5 Ad esempio, per il decadimento β del neutrone ( d u ) J + = uγ ( 1 γ ) d 5 Per il decadimento di una particella strana ( s u ) S + = uγ ( 1 γ ) s L ipotesi di Cabibbo si può esprimere dicendo che i quark d e s sono mescolati I campi d e s sono sostituiti dai campi d' e s' d = cos θ d + sin θ s s = sin θ d + cos θ s c Le correnti deboli J e S sono sostituite dalla corrente c 5 5 5 ( 1 ) = cos c ( 1 ) + sin c ( 1 ) uγ γ d θ uγ γ d θ uγ γ s La combinazione ortogonale s' compare in una analoga corrente con il quark c c c Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 497