Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 4 A. Si supponga che la durata in giorni delle lampadine prodotte da una certa fabbrica abbia distribuzione normale con media µ = 8 e varianza σ 2 = 3.9. Si immagini di estrarre campioni di n = 6 lampadine. 1. Si indichi la distribuzione della media campionaria e si calcolino il valore atteso e la varianza. 2. Si calcoli la probabilità che la media campionaria sia maggiore di 8.5 e minore di 7.8. 3. Si calcoli il valore atteso della varianza campionaria. 4. Si indichi la distribuzione della statistica T = µ S 2 /n e si calcoli il valore atteso. calcolino i percentili di T corrispondenti a γ = 0.025 e γ = 0.005. Inoltre, si B. Si considerino le seguenti caratteristiche osservate su un campione casuale di n = 8 turisti di una struttura albeghiera: Unità 1 2 3 4 5 6 7 8 Numero di giorni di permanenza 12 6 7 7 6 4 4 7 Sesso F F M F M F M F Cliente precedente NO SI NO NO SI NO SI NO Sulla base di tale campione: 1. si stimi il numero di giorni di permanenza media µ dei clienti dell albergo e si costruisca un intervallo di confidenza al 99% per la media sotto l ipotesi che il numero di giorni di permanenza abbia distribuzione normale con varianza σ 2 = 5; 2. si stimi la proporzione di turisti che sono stati già clienti della struttura alberghiera in passato (sugg: si utilizzi la variabile casuale che è pari a 1 nel caso di cliente precedente e 0 altrimenti, e si assuma che tale variabile ha nella popolazione distribuzione Bernoulliana, Bin(1, p), dove p è il parametro da stimare); 3. si stimi un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di donne tra i turisti della struttura alberghiera. C. Un indagine è stata condotta inerente il consumo televisivo in Italia da parte degli individui tra i 35 e i 50 anni. Nell ambito di tale indagine viene estratto casualmente un campione di 12 persone nella fascia di età in questione, alle quali viene chiesto il numero di ore di televisione ( ) seguite in media ogni giorno. Il numero di ore di consumo televisivo quotidiano dichiarato sono le seguenti: Ore 4 5 7 3 2 4 3 0 2 3 0 3 Sotto l assunzione che abbia nella popolazione distribuzione normale N(µ, σ): 1. si calcolino le stime non distorte di µ e σ 2 ; 2. si costruisca un intervallo di confidenza al 95% per il numero medio di ore che quotidianamente il collettivo di riferimento guarda la televisione. D. Nell ambito di un indagine sui consumi delle famigli italiane è stato osservato un campione di n = 250 unità. È risultato che le famiglie intervistate spendono mediamente x = 62 euro al mese per l acquisto di carne, con una varianza campionaria pari a s 2 = 289, e che 41 di esse hanno almeno un componente della famiglia vegetariano. Sulla base di questi dati:
1. si costruisca un intervallo di confidenza al 90% per la spesa media di carne delle famiglie italiane (sugg. si usi la tecnica per grandi campioni); 2. si stimi la proporzione delle famiglie che hanno almeno un componente della famiglia vegetariano; 3. si costruisca un intervallo di confidenza al 95% per il parametro p di cui al punto precedente. E. Per un campione di n = 8 lampadine è stata rilevata la durata di funzionamento ( ) in ore: 248, 251, 254, 249, 256, 246, 252, 257. Assumendo che si distribuisca normalmente con media µ e varianza σ 2 incognite: 1. si verifichi l ipotesi H 0 : µ = 252 contro l alternativa H 1 : µ 252 al livello α = 0.10; 2. si verifichi l ipotesi H 0 : µ = 250 contro l alternativa H 1 : µ < 250 al livello α = 0.05. F. L amministratore di un impresa commerciale con problemi di liquidità vuole analizzare l importo medio dei crediti concessi ai propri clienti. In base all esperienza stabilisce che crediti di importo troppo elevato rappresentano un pericolo per la stabilità finanziaria dell impresa. A tal fine osserva che l importo (in migliaia di ) dei crediti concessi nell arco di una settimana sono stati pari a: 12.7, 15.9, 15.2, 39, 2.8, 31, 19.1, 3.3, 12.1, 11.8, 4.5, 2.9, 17.8, 13.5, 10.3. Indicando con la variabile casuale che descrive l importo del credito e assumendo che N(µ, σ 2 ), con σ = 10: 1. si verifichi l ipotesi H 0 : µ = 12 contro l alternativa H 1 : µ > 12 al livello α = 0.10; 2. si ripeta la verifica delle ipotesi di cui al punto precedente supponendo di non conoscere il valore vero di σ 2. G. Un azienda produttrice di bevande in lattina vuole verificare se un macchinario per il riempimento automatico delle lattine soddisfa gli standard produttivi. Secondo tali standard il contenuto effettivo (in centilitri) ha valore atteso µ = 33. Si osserva un campione di n = 150 lattine trovando un valore di x = 31.9 e s 2 = 15.75. 1. Si verifichi l ipotesi H 0 : µ = 33 contro l alternativa H 1 : µ < 33 al livello α = 0.05; 2. Si verifichi l ipotesi H 0 : µ = 33 contro l alternativa H 1 : µ 33 al livello α = 0.01. H. L ufficio marketing di una grande azienda sostiene che il 21% delle famiglie acquista un determinato prodotto per la pulizia della casa. Si decide di effettuare un indagine campionaria su n = 240 famiglie da cui risulta che 63 famiglie acquistano quel prodotto. 1. Calcolare un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione delle famiglie che intende acquistare il prodotto in esame. 2. Si verifichi l ipotesi H 0 : p = 0.21 contro l alternativa H 1 : p 0.21 al livello α = 0.01; 3. Si verifichi l ipotesi H 0 : p = 0.21 contro l alternativa H 1 : p > 0.21 al livello α = 0.1.
I. Si indichi se ognuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa: N. Domanda V F 1 L inferenza statistica consiste nel trarre delle conclusioni su una popolazione sulla base di un indagine totale (censimento) 2 Se ha nella popolazione distribuzione Normale, anche la distribuzione della media campionaria ( ) è Normale 3 T è uno stimatore non distorto di θ se e solo se la sua distorsione è nulla 4 La varianza campionaria S 2 è uno stimatore consistente di σ 2 5 Una statistica campionaria è una variabile aleatoria 6 Il parametro è una variabile aleatoria 7 Se uno stimatore è non distorto, il suo errore quadratico medio coincide con la sua varianza 8 Nel caso di una popolazione Bernoullina, la distribuzione di tende a quella Normale al tendere della dimensione campionaria a infinito 9 Per ogni campione osservato, la media campionaria ( x) coincide con la media della popolazione (µ) 10 Se uno stimatore è consistente in media quadratica è anche asintoticamente non distorto 11 La media campionaria ( ) è un parametro 12 L errore quadratico medio di, come stimatore di µ, è σ 2 /n 13 Uno stimatore non distorto può essere meno efficiente di uno distorto 14 La distribuzione della media campionaria ( ) è sempre Normale, a prescindere dalla distribuzione della variabile di interesse ( ) nella popolazione 15 A parità di altre circostanze, l ampiezza dell intervallo di confidenza per la media è tanto minore quanto maggiore è il valore di α 16 Usualmente l ipotesi nulla e quella alternativa coincidono 17 La zona di accettazione e quella di rifiuto utilizzate per verificare una certa ipotesi hanno sempre almeno un elemento in comune 18 La probabilità dell errore di II tipo è definita come la probabilità che il campione cada nella zona di accettazione quando il valore vero del parametro soddisfa l ipotesi alternativa 19 Se N(µ, σ 2 ), con σ 2 non noto, si rifiuta H 0 : µ = µ 0 in favore di H 1 : µ > µ 0 ogni volta che x µ 0 20 Se si assume che Bin(1, p) e H 0 : p = p 0, la varianza di sotto l ipotesi nulla è p 0 (1 p 0 )/n 21 Se N(µ, σ 2 ) con σ 2 noto, il test per H 0 : µ = µ 0 contro H 1 : µ < µ 0 al livello α consiste nel rifiutare H 0 quando z z α 22 Con errore di I tipo si intende quello che consiste nell accettare l ipotesi nulla quando è falsa
Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Soluzione esercitazione n. 4 A. 1. La media campionaria ha distribuzione normale con media E( ) = µ = 8 e varianza Var( ) = σ 2 /n = 3.9/6 = 0.65. 2. P( > 8.5) = P Z > 8.5 8 = P(Z > 0.62) = 1 Φ(0.62) = 1 0.7324 = 0.2676 0.65 P( < 7.8) = P Z < 7.8 8 = P(Z < 0.25) = Φ( 0.25) = 1 Φ(0.25) = 1 0.5987 = 0.4013 0.65 3. Per la varianza campionaria si ha E(S 2 ) = σ 2 = 3.9. 4. La statistica T = µ si distribuisce come una t di Student con (n 1) gradi di libertà ed ha S 2 /n valore atteso nullo, cioè E(T) = 0. In questo caso i gradi di libertà sono 5 e, quindi, il percentile corrispondente a γ = 0.025 è pari a 2.571, cioè P µ S 2 /n 2.571 = 0.025 mentre il percentile corrispondente a γ = 0.005 è pari a 4.032, cioè P µ 4.032 = 0.005 S 2 /n B. 1. Stima del numero di giorni di permanenza media µ dei clienti dell albergo: x = 1 n x i = 1 (12 + 6 + 7 + 7 + 6 + 4 + 4 + 7) = 53/8 = 6.625 8 Estremi dell intervallo di confidenza al 99% per µ: ( x ± z α/2 σ 2 /n) = (6.625 ± 2.576 5/8) = (4.589, 8.662) dove z 0.01/2 = 2.576. 2. Indichiamo con i = 1 se il cliente i-esimo è già stato cliente dell albergo e con i = 0 altrimenti. Quindi, la stima della proporzione di turisti che sono stati già clienti della struttura alberghiera in passato è pari a: ˆp = 1 n x i = 1 (0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0) = 3/8 = 0.375 8 3. Stima dell intervallo di confidenza al 95% per la proporzione proporzione di donne tra i turisti dell albergo: (ˆp ± z α/2 ˆp(1 ˆp)/n) = (0.625 ± 1.96 0.625(1 0.625)/8) = (0.2895, 0.9605) dove z 0.05/2 = 1.96 e ˆp = 1 n x i = 1 (1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1) = 5/8 = 0.625 8
C. 1. La stima non distorta del numero medio di ore di televisione viste è pari a: x = 1 n x i = 1 (4 + 5 + 7 + 3 + 2 + 4 + 3 + 0 + 2 + 3 + 0 + 3) = 36/12 = 3 12 mentre la stima non distorta della varianza è pari a: s 2 = 1 n 1 (x i x) 2 = 1 12 1 [(4 3)2 + (5 3) 2 +... + (3 3) 2 ] = 42/11 = 3.818 2. L intervallo di confidenza al 95% per µ (con σ 2 incognito) è dato da Pertanto, gli estremi dell intervallo sono: dove t 0.05/2;11 = 2.201. P( t α/2;n 1 S 2 /n µ + t α/2;n 1 S 2 /n) = 1 α (3 ± 2.201 3.818/12) = (1.758, 4.242) D. 1. L intervallo di confidenza al 90% per µ (con σ 2 incognito, caso dei grandi campioni) è dato da: Pertanto, gli estremi dell intervallo sono: dove z 0.1/2 = 1.645. P( z α/2 S 2 /n µ + z α/2 S 2 /n) = 1 α (62 ± 1.645 289/250) = (60.231, 63.769) 2. Stima della proporzione di famiglie che hanno almeno un componente della famiglia vegetariano: ˆp = 41 250 = 0.164 3. L intervallo di confidenza al 95% per p (caso dei grandi campioni) è dato da: P(ˆp z α/2 ˆp(1 ˆp)/n p ˆp + z α/2 ˆp(1 ˆp)/n) = 1 α Pertanto, gli estremi dell intervallo sono: dove z 0.05/2 = 1.96. (0.164 ± 1.96 0.164(1 0.164)/250) = (0.1181, 0.2099) E. Stima della durata media di funzionamento delle lampadine: Stima della varianza σ 2 : s 2 = 1 n 1 x = 1 n x i = 1 2013 (248 + 251 +... + 257) = = 251.63 8 8 (x i x) 2 = 1 8 1 [(248 251.63)2 + (251 251.63) 2 +... + (257 251.63) 2 = 15.125
1. Per verificare l ipotesi H 0 : µ = 252 contro l alternativa H 1 : µ 252 al livello α = 0.10 calcoliamo t = x µ 0 = s 2 /n 251.63 252 15.125/8 = 0.27 e lo confrontiamo con il quantile t 0.1/2;7 = 1.895. Essendo t < t 0.1/2;7 si accetta H 0 al livello α = 0.10. 2. Per verificare l ipotesi H 0 : µ = 250 contro l alternativa H 1 : µ < 250 al livello α = 0.05 calcoliamo t = x µ 0 = s 2 /n 251.63 250 15.125/8 = 1.185 e lo confrontiamo con il quantile t 0.05;7 = 1.895. Essendo t > t 0.05;7 si accetta H 0 al livello α = 0.05. F. 1. Stima dell importo medio del credito: x = 1 n x i = 1 211.9 (12.7 + 15.9 +... + 10.3) = 15 15 = 14.127 Per verificare l ipotesi H 0 : µ = 12 contro l alternativa H 1 : µ > 12 al livello α = 0.10 calcoliamo z = x µ 0 = σ 2 /n 14.123 12 100/15 = 0.824 e lo confrontiamo con il quantile z 0.1 = 1.282. Essendo z < z 0.1 si accetta H 0 al livello α = 0.10. 2. Se il valore vero di σ 2 fosse incognito, per verificare l ipotesi di cui al punto precedente dovremmo innanzi tutto stimare σ 2 : s 2 = 1 (x i x) 2 = 1 n 1 15 1 [(12.7 14.123)2 +(15.2 14.123) 2 +...+(10.3 14.123) 2 = 102.62 Quindi, calcoliamo t = x µ 0 14.123 12 = = 0.813 s 2 /n 102.62/15 e lo confrontiamo con il quantile t 0.1;14 = 1.345. Essendo t < t 0.1 si accetta H 0 al livello α = 0.10. G. 1. Per verificare l ipotesi H 0 : µ = 33 contro l alternativa H 1 : µ < 33 al livello α = 0.05 calcoliamo z = x µ 0 31.9 33 = = 3.39 s 2 /n 15.75/150 e lo confrontiamo con il quantile z 0.05 = 1.645. Essendo z < z 0.05 si rifiuta H 0 al livello α = 0.05. 2. Per verificare l ipotesi H 0 : µ = 33 contro l alternativa H 1 : µ 33 al livello α = 0.01 confrontiamo il valore di z calcolato precedentemente con il quantile z 0.01/2 = 2.576. Essendo z > z 0.01/2 si rifiuta H 0 al livello α = 0.01. H. 1. La stima della proporzione di famiglie che intendono acquistare il prodotto è pari a: ˆp = 63 240 = 0.2625 Gli estremi dell intervallo di confidenza al 95% per p (caso dei grandi campioni) sono dati da: ˆp ± z α/2 ˆp(1 ˆp)/n = (0.2625 ± 1.96 0.2625(1 0.2625)/240) = (0.2068, 0.3182) dove z 0.05/2 = 1.96.
2. Per verificare l ipotesi H 0 : p = 0.21 contro l alternativa H 1 : p 0.21 al livello α = 0.01 calcoliamo z = ˆp p 0 p0 (1 p 0 )/n = e lo confrontiamo con il quantile z 0.01/2 = 2.576. α = 0.01. 0.2625 0.21 0.21(1 0.21)/240 = 1.997 Essendo z < z 0.01/2 si accetta H 0 al livello 3. Per verificare l ipotesi H 0 : p = 0.21 contro l alternativa H 1 : p > 0.21 al livello α = 0.10 confrontiamo il valore di z calcolato precedentemente con il quantile z 0.10 = 1.282. Essendo z > z 0.10 si rifiuta H 0 al livello α = 0.10.
I. N. Domanda V F 1 L inferenza statistica consiste nel trarre delle conclusioni su una popolazione sulla base di un indagine totale (censimento) 2 Se ha nella popolazione distribuzione Normale, anche la distribuzione della media campionaria ( ) è Normale 3 T è uno stimatore non distorto di θ se e solo se la sua distorsione è nulla 4 La varianza campionaria S 2 è uno stimatore consistente di σ 2 5 Una statistica campionaria è una variabile aleatoria 6 Il parametro è una variabile aleatoria 7 Se uno stimatore è non distorto, il suo errore quadratico medio coincide con la sua varianza 8 Nel caso di una popolazione Bernoullina, la distribuzione di tende a quella Normale al tendere della dimensione campionaria a infinito 9 Per ogni campione osservato, la media campionaria ( x) coincide con la media della popolazione (µ) 10 Se uno stimatore è consistente in media quadratica è anche asintoticamente non distorto 11 La media campionaria ( ) è un parametro 12 L errore quadratico medio di, come stimatore di µ, è σ 2 /n 13 Uno stimatore non distorto può essere meno efficiente di uno distorto 14 La distribuzione della media campionaria ( ) è sempre Normale, a prescindere dalla distribuzione della variabile di interesse ( ) nella popolazione 15 A parità di altre circostanze, l ampiezza dell intervallo di confidenza per la media è tanto minore quanto maggiore è il valore di α 16 Usualmente l ipotesi nulla e quella alternativa coincidono 17 La zona di accettazione e quella di rifiuto utilizzate per verificare una certa ipotesi hanno sempre almeno un elemento in comune 18 La probabilità dell errore di II tipo è definita come la probabilità che il campione cada nella zona di accettazione quando il valore vero del parametro soddisfa l ipotesi alternativa 19 Se N(µ, σ 2 ), con σ 2 non noto, si rifiuta H 0 : µ = µ 0 in favore di H 1 : µ > µ 0 ogni volta che x µ 0 20 Se si assume che Bin(1, p) e H 0 : p = p 0, la varianza di sotto l ipotesi nulla è p 0 (1 p 0 )/n 21 Se N(µ, σ 2 ) con σ 2 noto, il test per H 0 : µ = µ 0 contro H 1 : µ < µ 0 al livello α consiste nel rifiutare H 0 quando z z α 22 Con errore di I tipo si intende quello che consiste nell accettare l ipotesi nulla quando è falsa