Distanze. a) d (x; y) = se e solo se d (x; y) = d (x; y) =, dato che entrambe le distanze hanno valori positivi. Ma questo è possibile solo se x = y. d (y; x) = d (y; x) + d (y; x) = d (x; y) + d (x; y) = d (x; y). Siano x; y; z X. Si ha: e quindi: d (x; z) = d (x; z) + d (x; z) d (x; y) + d (y; z) + d (x; y) + d (y; z) = d (x; y) + d (x; y) + d (y; z) + d (x; y); d (x; z) d (x; y) + d (y; z). Dunque, d (x; y) è una distanza su X. b) d non è una distanza: ad esempio, se d (x; y) = x y è la distanza euclidea su R, d non è una distanza, perchè non soddisfa la disuguaglianza triangolare. Basta prendere x = 5; y = ; z = 5 e vedere che: mentre d (x; z) = () =, d (x; y) + d (y; z) = ( 5 ) + (5) = 5. Connessione e compattezza. A è { (x; y; z; w) R : x > } { (x; y; z; w) R : x < }, quindi è sconnesso. A è R privato di un sottospazio di dimensione, e quindi è connesso (si potrebbe immaginare questo spazio come R 3 privato di una retta, che si prolunga per tutta la quarta dimensione). Infatti, la proiezione di A sul piano w = è proprio R 3 privato di una retta, e w può assumere qualsiasi valore. A 3 è R privato di un sottospazio di dimensione (retta), e quindi è connesso. A è R privato di un punto, e quindi è connesso. C = { (; y; z; w) R } ; C = { (; ; z; w) R } ; C 3 = { (; ; ; w) R } C ; C e C 3 non sono compatti, perchè sono illimitati (w può assumere qualsiasi valore). C è compatto, perchè è un punto (l origine (; ; ; )).
3 Forme bilineari. Applichiamo l algoritmo di Gram-Schmidt partendo dalla base {(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )}. Si ha: w = (; ; ). w = (; ; ) g C ((; ; ) ; w ) g C ( w ; w. w ) g C ((; ; ) ; w ) = (; ; ) g C ( w ; w ) = (; ; ) Alla fine, w = ( ; ; ). =. =. w 3 = (; ; ) g C ((; ; ) ; w ) g C ( w ; w g C ((; ; ) ; w ) w ) g C ( w ; w = w ) = (; ; ) = (; ; ). Dunque, si trova P =. b) t (P ) C P = 3. Dunque, la forma bilineare è definita positiva (oltre che simmetrica), e quindi è un prodotto scalare. c) Dividendo ciascun vettore { w ; w 3 ; w 3 } per la sua lunghezza (rispetto alla forma bilineare g c ), si trova la base cercata: w = g C ( w ; w ) = ; w = g C ( w ; 3 w ) = ; w 3 = g C ( w 3 ; w 3 ) =. La { base cercata è: w ; w w ; 3 }. 3 Curve.. Problema. γ (t) = (; ; t), quindi la curva è regolare.
γ (; ; t) T = γ =. 5 + t γ (t) = (; ; ). γ (t) = (; ; ). γ γ ; γ Dato che τ (t) = ( γ ) γ, deve essere τ =, cioè la curva è piana. γ (t) γ (t) = (; ; ). Dunque, γ γ B = γ γ = Infine, α α 5 κ (t) = α 3 = (5 + t ) 5 + t. ( 5 ; ) ;. 5 Si vede subito, senza ricorrere al calcolo del piano osculatore, che la seconda coordinata di γ (t) è il doppio della prima, e quindi γ giace sul piano y = x (la curva è una parabola!).. Problema. δ (s) = T γ (s), dove T γ è il vettore tangente alla curva γ. κ (s) N γ, dove d T γ κ (s) = ds = δ (s) = v (s). δ (s) = d T γ ds = Si osservi, in particolare, che s non è l ascissa curvilinea di δ. 5 Superfici. Abbiamo α u (u; v) = (; ; v); α v (u; v) = (; ; u). α u (u; v); α u (u; v) = + v ; α u (u; v); α v (u; v) = α v (u; v); α u (u; v) = uv; α v (u; v); α v (u; v) = + u. Dunque, la matrice associata alla prima forma fondamentale rispetto alla base { α u ; α v } è: ( ) + v uv G = uv + u. 3
Calcoliamo il vettore normale: α u α v = det e e e3 v u = (u + v; v u; ). = Di conseguenza, N = (u + v; v u; ) u + v +. Ora, calcoliamo gli elementi della seconda forma fondamentale. α u = αu = (; ; ). u α u v = α v = αu αv v v = αv u = (; ; ). = (; ; ). α b = N ; u =. α b = b = N ; = v u α b = N ; v =. Alla fine, u + v +. B = ( u +v + u +v + ). Si ha: det (G) = + u + v. e Quindi, det (B) = + u + v. K (u; v) = ( + u + v ).
Nel punto (; ; ) = α (; ), si ha: K (; ) =. Il punto (; ; ) è dunque iperbolico. Nel punto (; ; ) = α (; ), si ha: ( 3 3 ) ; G = ( 3 ) G = 8 8 3 ; ( 8 8 ) B =. ( L = BG = 6 3 6 3 ). 6 6 Gli autovalori di questa matrice sono le curvature principali nel punto (; ; ), e valgono ( e. La curvatura media vale H = ) + = 8 8 6. 6 Geometria analitica. a) La matrice dei coefficienti è B = 3 3. La matrice della parte quadratica è A = 3 3 Gli autovalori sono λ =, λ =, λ 3 =. Il cambiamento di coordinate che diagonalizza A è x X y =. z Ȳ Z. In queste coordinate l equazione della quadrica diventa X + Ȳ + Z + Z + =. Completando i quadrati si ottiene l equazione canonica X + Y + Z =, 5
dove X = X Y = Ȳ Z = Z +. La quadrica è quindi un ellissoide. Il cambiamento dalle coordinate (x, y, z) alle coordinate (X, Y, Z) è x y z = X Y Z +. b) Si ricava facilmente (sostituendo) che nelle coordinate (X, Y, Z) il piano π ha equazione Z =. c) Nelle coordinate canoniche E = π Q è data da { Z = X + Y = e quindi E è un ellisse. d) Gli assi di E hanno lunghezza e /. 6