Appello di Febbraio 7 Febbraio 22 Fondamenti di Automatica Ingegneria Gestionale Prof. Bruno Picasso Esercizio Sia dato il seguente sistema dinamico: { ẋt) 2ut)xt) + e ut) x 2 t) + u 2 t) yt) xt).. Determinare tutti gli stati di equilibrio in corrispondenza dell ingresso costante ut). 2. Scrivere l espressione del sistema linearizzato attorno alle coppie di equilibrio determinate. 3. Analizzare le proprietà di stabilità degli equilibri determinati. Si consideri d ora in avanti il sistema linearizzato attorno all unico equilibrio, fra quelli determinati, che ha la proprietà di essere asintoticamente stabile. 4. Calcolare la funzione di trasferimento Gs) di tale sistema. 5. Determinare ω > tale che, posto δut) sinωt), a regime l uscita δyt) oscilli con ampiezza pari a /5. Esercizio 2 Scrivere un esempio numerico di sistema lineare a tempo continuo e in forma di stato che abbia tutte le seguenti proprietà: il sistema sia proprio non strettamente), instabile, di ordine 3, la sua matrice di trasferimento abbia dimensioni 2. Motivare adeguatamente la risposta). Esercizio 3 Sia Ls) 2 ) s + 2 5 s 6) s)s + 3).. Tracciare sull apposito foglio di carta semi-logaritmica i diagrammi di Bode del modulo e della fase di Ls) sia quelli asintotici che, qualitativamente, quelli reali). 2. Tracciare, qualitativamente, il diagramma di Nyquist di Ls) e dire se il sistema retroazionato di Figura è asintoticamente stabile. 3. Scrivere i comandi Matlab che occorrono per tracciare i diagrammi di Bode di Ls).
Esercizio 4 In Figura 2 sono rappresentati i diagrammi di Bode della funzione di trasferimento Gs) di un sistema lineare SISO, a tempo continuo e asintoticamente stabile. Si consideri il sistema retroazionato rappresentato in Figura 3.. In ognuno dei seguenti casi, si dica motivandolo) se è possibile impiegare il Criterio di Bode per l analisi di asintotica stabilità del sistema retroazionato. In tutti i casi in cui il Criterio di Bode è applicabile, compiere tale analisi. R s), R 2 s), R 3 s), R 4s) s 7, R 5s) e.2s. Si consideri d ora in avanti il sistema retroazionato con R s). 2. Determinare il margine di guadagno del sistema in scala naturale). 3. Determinare l errore di regime e R t) quando d u t) scat) e stimare il tempo di assestamento di et). 4. Tracciare qualitativamente il diagramma di Bode del modulo della funzione di trasferimento dal disturbo d u t) all errore et) e stimare l ampiezza dell errore di regime e R t) quando d u t) sin8t). Esercizio 5 Sia dato il seguente sistema lineare a tempo discreto: xk + ) yk) [ [ /3 /6 /2 5/2 xk). [ xk) +. Calcolare l uscita forzata del sistema per uk) 2 k, k. uk) 2. Scrivere l espressione dei modi naturali del sistema e dire se il sistema è asintoticamente stabile, semplicemente stabile o instabile. - Ls) Figura : Schema a blocchi del sistema considerato nell Esercizio 3.2. 2
db deg Diagramma di Bode Modulo 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 3 2 2 Pulsazione [rad/s a) Diagramma di Bode Fase 5 3 45 6 75 9 5 2 35 5 65 8 95 2 225 24 3 2 2 Pulsazione [rad/s Figura 2: Con riferimento all Esercizio 4, diagrammi di Bode di Gs). b) - e R i s) d u u Gs) y Figura 3: Sistema considerato nell Esercizio 4. 3
Soluzioni SOLUZIONE ESERCIZIO..- L equazione che definisce gli equilibri del sistema ẋt) f xt), ut) ) è f x, ū) : nel caso considerato, essendo ū, assume la forma da cui si ottengono i due stati di equilibrio.2- Si ha df dx x, u) 2u + 2eu x, x 2 x ) e x 2). df du x, u) 2x + eu x 2 + 2u e, posto δxt) xt) x e δut) ut) ū, il sistema linearizzato prende la forma { δxt) Aδxt) + Bδut), δyt) δxt). con A df dx x, ū) e B df du x, ū) In corrispondenza delle due coppie di equilibrio determinate al punto precedente si ha quindi: per x, ū), ), per x, ū), ), { δxt) 2δx δut) δyt) δxt); { δxt) 2δxt) + 3δut) δyt) δxt). S) S2).3- Per analizzare la stabilità delle coppie di equilibrio è possibile, in entrambi i casi, ricorrere allo studio del corrispondente sistema linearizzato e concludere dunque che x, ū), ) è una coppia di equilibrio asintoticamente stabile e che x, ū), ) è una coppia di equilibrio instabile..4- La funzione di trasferimento del sistema S) è Gs) s + 2..5- Se δut) sinωt), per il Teorema della risposta armonica, l ampiezza delle oscillazioni della risposta di regime è data da Gjω). Imponiamo che tale ampiezza sia pari a /5, cioè: Gjω) 5 ω2 + 4 5 da cui si ricava ω 2. 4
SOLUZIONE ESERCIZIO 2. Il fatto che la matrice di trasferimento del sistema sia di dimensione 2 significa che il sistema ha un ingresso ut) R ) e due uscite yt) R 2). Quindi, essendo il sistema di ordine 3 xt) R 3), le dimensioni delle matrici del sistema sono: A R 3 3 perché xt) R 3 B R 3 perché xt) R 3 e ut) R C R 2 3 perché yt) R 2 e xt) R 3 D R 2 perché yt) R 2 e ut) R. Si deve inoltre avere D perché il sistema è proprio e, affinché la matrice A sia instabile, è sufficiente che essa abbia almeno un autovalore a parte Reale positiva a tal fine, basta scegliere A in forma diagonale con un elemento positivo sulla diagonale oppure è sufficiente prendere una matrice che abbia traccia positiva). In conclusione, un possibile sistema che soddisfa i requisiti è dato da ẋt) yt) SOLUZIONE ESERCIZIO 3. 3.- Scriviamo Ls) in forma di Bode: Le singolarità sono poste in: 4 2 2 2 5 2 [ 2 Ls) 2 2 5 6) + 5 2 s) 3 s) + 3 xt) + xt) + 6 s) [ 2 s) 6 3 ω.4 rad/s zero negativo); ω rad/s polo positivo); ω 3 rad/s polo negativo); ω 6 rad/s zero positivo). ut) ut). + 5 2 s) 6 s) s) + 3 s). I corrispondenti diagrammi di Bode sono riportati in Figura 4. Per il loro tracciamento occorre osservare che: la funzione Ls) è di tipo, quindi il diagramma di Bode asintotico del modulo parte piatto a quota µ L db ; poiché µ L 6, allora µ L db 2 log 6 24 db; poiché µ L < e la funzione Ls) è di tipo, il diagramma della fase parte da 8. 3.2- Alla luce dei diagrami di Bode, è facile tracciare un andamento qualitativo del diagramma di Nyquist di Ls): occorre solo prestare attenzione al fatto che, essendo Ls) una funzione razionale propria, il diagramma polare non termina in bensì in lim Ls) 2. s Il diagramma di Nyquist di Ls) è riportato in Figura 4. Riguardo all asintotica stabilità del sistema retroazionato, la funzione d anello Ls) ha un polo a parte Reale positiva dunque P) ed il suo diagramma di Nyquist non compie giri attorno al punto cioè, N), quindi il sistema retroazionato 5
db Diagramma di Bode Modulo 35 3 25 2 5 5 5 [rad/s Pulsazione 2 3 a) Diagramma di Bode Fase deg 9 8 Pulsazione [rad/s 2 3 b) Diagramma polare/nyquist 3 Asse Immaginario 2 6 2 2 3 2 Asse Reale c) Figura 4: Diagrammi di Bode e di Nyquist di Ls) 2 ) s + 5) 2 s 6)/ s)s + 3). 6
non è asintoticamente stabile grazie al Criterio di Nyquist ed anzi, lo stesso criterio permette di dire che il sistema retroazionato ha P-N polo a parte Reale positiva e dunque è instabile). 3.3- Una possibile soluzione è la seguente: >> Ltf2*conv[ 2/5,[ -6),conv[-,[ 3)); >> bodel) SOLUZIONE ESERCIZIO 4. 4.- Si osserva preliminarmente che il numero di poli a parte Reale positiva di Gs) è e che il guadagno di Gs) è pari a µ G infatti, G) db 4 equivale a G), e G) ) ). Consideriamo i vari casi: R s). Si ha: Ls) Gs), quindi P e il diagramma di Bode del modulo di Gs) attraversa l asse a db una sola volta dall alto verso il basso. Si può quindi applicare il Criterio di Bode. Analisi di asintotica stabilità: µ L µ G > ; dal diagramma si vede che ω c 4 rad/s, che ϕ c 65 e quindi che ϕ m 5 >. Grazie al Criterio di Bode, il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. R 2 s). Si ha: Ls) Gs), quindi P e il diagramma di Bode del modulo di Gs) coincide con quello di Gs) che attraversa l asse a db una sola volta dall alto verso il basso. Si può quindi applicare il Criterio di Bode. Analisi di asintotica stabilità: si ha µ L µ G < quindi, per il Criterio di Bode, il sistema retroazionato non è asintoticamente stabile. R 3 s). Si ha Ls) Gs), quindi P ma, essendo µ L µ G <, il diagramma di Bode del modulo di Ls) non attraversa l asse a db. Non si può quindi applicare il Criterio di Bode. R 4 s) s 7. Si ha Ls) s 7Gs), quindi P e non si può applicare il Criterio di Bode. R 5 s) e.2s. Si ha Ls) Gs)e.2s, quindi P e il diagramma di Bode del modulo di Ls) coincide con quello di Gs) che attraversa l asse a db una sola volta dall alto verso il basso. Si può quindi applicare il Criterio di Bode. Analisi di asintotica stabilità: si ha µ L µ G > e, a causa del ritardo di tempo, ϕ c 65 ωcτ8 π 65 4.2 8 π 2.8 < 8 dunque ϕ m < e, per il Criterio di Bode, il sistema retroazionato non è asintoticamente stabile. Si osservi, preliminarmente, che con R s) il sistema retroazionato è asintoticamente stabile e dunque le successive domande 4.2-4 hanno senso. [ 4.2- Si ha Ls) Gs) e dal diagramma si vede che ω π 7 rad/s e che db, dunque k m [ Ljωπ) /2 db /2 3.6. 4.3- La funzione di trasferimento dal disturbo d u t) all errore et) è T edu s) Gs) + Gs) Fs). Ljω π) db 7
2 Diagramma di Bode Modulo db 2 4 6 2 Pulsazione [rad/s Figura 5: Con riferimento all Esercizio 4, diagramma di Bode del modulo di Fs) approssimato linea verde tratteggiata), effettivo linea blu continua). Il guadagno di T edu s), che fornisce il valore di regime della risposta allo scalino, è F) G) + G) µ G + µ G. Il tempo di assestamento T a dell errore et) dipende dai poli dominanti di tale funzione di trasferimento: poiché ϕ m 5 < 75, è lecito attenderesi che Fs) abbia una coppia di poli dominanti Complessi coniugati con pulsazione naturale ω n ω c 4 rad/s e smorzamento ξ ϕm.5. Dunque il tempo di assestamento T a è dato da T a 5 ω c ξ 5 8.3 s. 4.5 4.4- Si ha Fjω) Fjω) e, mediante le usuali approssimazioni, Fjω) ˆFjω) { per ω tale che Gjω), ossia per ω ωc 4 rad/s Gjω) per ω tale che Gjω), ossia per ω ω c il cui diagramma di Bode approssimato del modulo è riportato in Figura 5. In modo più preciso si può tenere conto anche del fatto che F), cosicché lim ω + Fjω) db 2 log /).9 db. In Figura 5 è riportato anche il diagramma di Bode effettivo del modulo di Fjω) in cui si evidenzia la presenza di un significativo picco di risonanza dovuto al fatto che, come visto nella soluzione del punto 4.3, i poli dominanti del sistema sono Complessi e a basso smorzamento. Grazie al Teorema della risposta armonica, l ampiezza dell errore di regime, quando d u t) sin8t), è dato da T edu 8j) F8j). Inoltre, F8j) G8j) perché 8 > ω c e, dal diagramma del modulo di Gs) si vede che G8j) db 6 cosicché F8j) G8j). 8
SOLUZIONE ESERCIZIO 5. 5.- Si ha y F k) Z [ Y F z) Z [ Gz)Uz), con Uz) Z [ uk) Z [ 2 k scak) z z 2 e Gz) [ 5/2 [ z /3 /6 z + /2 [ [ z + /2 5/2 z /2)z + 2/3) [ z 2 z /2)z + 2/3). [ 5/2 [ z + /2 /6 z /3 z 2 + 6 z 3 [ Quindi Y F z) ) z z /2)z + 2/3) z z /2)z + 2/3) 6 z 7 z /2) 6 z 7 z + 2/3), 6/7 z z /2 6/7 ) z + 2/3 cosicché In alternativa, Y F z) y F k) 6 ) k 6 7 2 ) ) k scak). ) 2 7 3 z z /2)z + 2/3) 3/7 z /2 + 4/7 z + 2/3) 3 7 z z z /2 + 4 7 z z z + 2/3, cosicché, ricordando la proprietà Z[fk ) zfz) trasformata Z del ritardo di tempo), 3 ) k 4 y F k) + 7 2 ) ) k scak ) 2) 2 7 3 si noti che, quelle trovate in ) e 2), sono due espressioni differenti per il medesimo segnale yf k) ). 5.2- Il sistema è di ordine due e ha due autovalori distinti posti in /2 e -2/3, quindi i suoi modi naturali sono ) k µ k) e µ 2 k) 2 k, k. 2 3) Il sistema è asintoticamente stabile perché tutti i suoi autovalori hanno modulo minore di. 9