Problematiche di progettazione e sviluppo di impianti pluvirrigui

Problematiche di progettazione e sviluppo di impianti pluvirrigui Prof. Ing. Virgilio Fiorotto *, Ing. Mauro Castellarin ** * Dipartimento di Ingegneria Civile, Sezione di Idraulica e Geotecnica,Università degli Studi di Trieste, Piazzale Europa 1, 34127 Trieste, e-mail: fiorotto@units.iti; ** Idrostudi S.r.l., vicolo delle Rose 47, 34134 Trieste, e-mail: info@idrostudi.it; Introduzione Nella progettazione degli impianti pluvirrigui assume sempre maggior importanza l ottimizzazione per la scelta delle condotte adduttrici. I criteri per il dimensionamento degli impianti di irrigazione devono quindi tener conto dei vincoli a carattere economico imposto dai costi annuali di gestione delle condotte. Tali vincoli comportano la risoluzione di un problema di minimo vincolato la cui soluzione è dipendente dalla derivata prima del costo per unità di lunghezza della condotta. Questa relazione impedisce una valutazione diretta del dimensionamento delle condotte sulla base dei classici criteri analitici e, di conseguenza, è necessario ricorrere a delle opportune tecniche di programmazione per minimizzare la funzione obiettivo. L ottimizzazione del sistema pluvirriguo si distingue a seconda delle reti analizzate. Nel caso di adduzione a maglie aperte si ricorre di norma al metodo del simplesso mentre, nel caso di maglie chiuse, è necessario interporre al precedente metodo un opportuno ciclo iterativo. Con queste finalità si è implementato un codice numerico che permetta la risoluzione delle reti idrauliche sia a maglia aperta, sia chiusa. Nel presente studio si è preventivamente condotta un ottimizzazione di un sistema pluvirriguo nel caso semplificato di deflusso in pressione con sollevamento, al fine di valutare sia la dipendenza del costo per unità di lunghezza della condotta, sulla base di di diverse tipologie di tubazioni (PVC, PEAD, ghisa, acciaio), sia del costo annuale in funzione del diametro per le diverse tipologie di materiale. Successivamente viene data dimostrazione dell applicazione del criterio di ottimizzazione nel caso di adduzione sia a maglia aperta, sia a maglia chiusa. In quest ultimo caso viene evidenziata la necessità di ricorrere ad un opportuno ciclo iterativo per la risoluzione della rete idraulica. Il controllo finale dell impianto pluvirriguo così ottimizzato viene condotto mediante un 1

noto software commerciale denominato EPANET, sviluppato dall U.S. Environmental Protection Agency, il quale fornisce una immediata interfaccia grafica di visualizzazione della distribuzione delle variabili idrauliche nel sistema in esame. Queste tecniche di ottimizzazione delle reti pluvirrigue sono oramai di facile applicabilità grazie alle potenzialità degli attuali calcolatori e, quindi, offrono una discriminante economica di rilievo per la progettazione di tali sistemi. Adduzione con sollevamento Come primo caso viene esposto il criterio di ottimizzazione per la scelta di un unica condotta di adduzione ad un irrigatore (fig. 1). Il costo annuale di gestione di una condotta è dato dai costi per la sua manutenzione e per quelli delle opere accessorie, per il personale e, infine, per le spese generali relative alla gestione tecnico-amministrativa. A questi costi di gestione è da sommare, per avere il costo globale annuo per la condotta, la quota annua di ammortamento, pari a una percentuale del costo globale sostenuto per la sua costruzione. Assumendo i costi di gestione proporzionali al costo della condotta, indicato con C u il suo costo per unità di lunghezza, il costo annuale C a può essere espresso come: (1) Essendo r l aliquota del costo della tubazione per l ammortamento e le spese di gestione. Il costo C u della condotta in opera dipende dal materiale con cui è costruita, dal suo diametro e classe, dalle condizioni di posa, ecc. In genere si assume che il costo unitario sia solamente funzione del diametro D, potendosi ritenere costanti gli altri parametri per un prefissato tratto di tubazione. Nel caso in esame si assume che la dipendenza dal diametro sia di tipo lineare: (2) dove la costante K dipende dal tipo di materiale, dalla sua classe, dalle condizioni di posa, ecc. Considerando l adduzione all irrigatore mediante sollevamento come indicato in figura 1, si vuole determinare il diametro minimo che renda minimo il costo complessivo della tubazione, tenendo conto dei diversi materiali con cui potrebbe essere realizzata la condotta. La funzione obiettivo da minimizzare per questo problema assume la forma: 2

(3) dove C e è il costo annuo dell energia per unità di prevalenza, H P è la prevalenza della pompa ed L è la lunghezza della tubazione. Figura 1 Schema di adduzione ad un irrigatore mediante sollevamento. Indicata con H 1 l altezza piezometrica finale alla relazione precedente si deve aggiungere il vincolo: (4) Questo problema può essere risolto utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange; va quindi ricercato il minimo della funzione: (5) Annullando la derivata della relazione precedente rispetto alle variabili H P, J, λ si ottiene il sistema: (6) 3

Il costo annuale dell energia per unità di prevalenza vale: (7) dove g è l accelerazione di gravità, Q è la portata sollevata, T A è il numero annuo delle ore di pompaggio, η è il rendimento della pompa e C kwh è il costo per kwh dell energia elettrica. Utilizzando la formulazione di Darcy: (8) Dalla (6) con la (8) si ricava: (9) Si ottiene quindi il valore del diametro della condotta: (10) Si nota come la scelta del diametro ottimale non dipenda né dalla lunghezza della tubazione, né dalla prevalenza geodetica, parametri che tipicamente incidono nel predimensionamento. Allo scopo di mettere in evidenza l applicazione della relazione ottenuta si consideri l impianto schematizzato in figura 1 e siano note le seguenti grandezze: portata massima Q=150 l/s; lunghezza della condotta L=2000 m; altezza piezometrica finale H 1 =80 m; numero annuo delle ore di pompaggio T a =1500 ore; rendimento della pompa η=0,70; costo per kwh dell energia elettrica C kwh =0,08 /kwh; aliquota annua del costo della tubazione per l ammortamento e le spese di gestione r=0,15; coefficiente dell equazione di Darcy β=0,0015. Noti i costi per unità di lunghezza in funzione del diametro per le tubazioni in PVC, PEAD, ghisa e acciaio, e assumendo una relazione lineare (eq. 2) si perviene al diagramma di figura 2. Mediante tale regressione lineare si determina il coefficiente angolare K e l intercetta. Si nota che, a parità di diametro, il costo C u del PVC è inferiore alle tubazioni realizzate in altri tipi di materiali. Individuata la costante K, che ricordo dipendente dal tipo di materiale, dalla sua classe, dalle condizioni di posa, ecc., si applica il criterio di ottimizzazione sopra esposto e si individua, mediante la (3), l annualità minima. I risultati sono riportati in tabella 1 e rappresentati in figura 3. In tale figura si nota come il diametro ottimale sia individuato 4

dalla condizione di minimo della curva della parte variabile dell annualità della condotta. Nel caso preso in esame si nota che la tubazione in PVC individua sia il minimo diametro, sia la condizione di minimo dell annualità. 120 100 Cu = 394 D - 30.73 R 2 = 0.9993 Costo [Euro/metro] 80 60 40 Cu = 525.66 D - 89.481 R 2 = 0.9925 Cu = 276.4 D - 5.95 R 2 = 0.999 Cu = 499.75 D - 73.622 R 2 = 1 PVC 20 PEAD GHISA ACCIAIO 0 0.25 0.27 0.29 0.31 0.33 0.35 0.37 Diametro [m] Figura 2 Interpolazione lineare del costo per unità di lunghezza in funzione del diametro per diverse tipologie di materiale costituenti le tubazioni. Materiale Annualità Condotta K Diametro Velocità J H P parte variabile [ /m] [m] [m/s] [m] [ /anno] PVC 526 0.285 2.35 0.0178 115.70 47'359.12 PEAD 500 0.288 2.31 0.0171 114.22 49'894.26 GHISA 394 0.299 2.13 0.0140 108.06 53'437.29 ACCIAIO 277 0.318 1.90 0.0105 100.92 50'057.33 Tabella 1 Risultati dell ottimizzazione della condotta per i diversi materiali. 5

60000 57500 Annualità parte variabile [Euro/anno] 55000 52500 50000 pvc 47500 pead ghisa acciaio 45000 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 diametro [m] Figura 3 Andamento dell annualità in funzione del diametro per le diverse tipologie di materiale costituenti la condotta. Rete a maglia aperta I metodi analitici di ottimizzazione comportano la necessità di determinare una funzione di costo per la tubazione in opera e di dover successivamente passare dai diametri teorici ricavati con l ottimizzazione a quelli commerciali. La circostanza poi che, talvolta, siano presenti numerosi vincoli può rendere laboriosa la soluzione analitica, ulteriormente complicata nel caso che sia da esaminare un adduzione a maglie aperte (fig. 4): infatti, l applicazione dei moltiplicatori di Lagrange condurrebbe ad un sistema non lineare, che non potrebbe, in questo caso, essere risolto con la procedura precedentemente esposta. La programmazione lineare permette di individuare il valore massimo o minimo di una funzione obiettivo, lineare nell incognita x i (i=1,,n) pesate dai rispettivi coefficienti c i, nel rispetto dei vincoli rappresentati da equazioni e anche da disequazioni lineari: 6

(11) Figura 4 Esempio di maglia aperta. Uno tra gli algoritmi tipicamente utilizzati è quello del simplesso (Dantzig, 1951) basato sull osservazione che la regione ammissibile, cioè l insieme di tutte le soluzioni ammissibili, se limitata, forma un poliedro convesso (fig. 5). Si può dimostrare che il massimo di una funzione obiettivo lineare (se esiste) si trova sempre in corrispondenza di uno (o più) dei punti estremi del poliedro. Il metodo del simplesso permette di giungere alla soluzione senza dover esaminare tutti i vertici. 7

Figura 5 Rappresentazione geometrica di un problema di programmazione lineare. A titolo di applicazione si consideri l esempio di figura 6: una stazione di sollevamento posta in P solleva l acqua a tre irrigatori A, B e C; i dati di progetto sono riportati in tabella 2 e 3. Figura 6 Schema di un adduzione con sollevamento a tre irrigatori. NODO Quota terreno P min H min [m s.m.m.] [m] [m] A 240 60 90 8

B 220 60 70 C 216 60 66 Tabella 2 Dati di progetto: caratteristiche dei nodi. Tronco 1 Tronco 2 Tronco 3 Tronco4 Q [m 3 /s] 0.15 0.05 0.10 0.05 L [m] 500 700 400 200 Tabella 3 Dati di progetto: caratteristiche delle tubazioni. La funzione obiettivo per la rete a maglia aperta in esame assume la forma: (12) dove nd è il numero dei diametri assunti come possibili per ogni tronco, i è l indice del tronco, j è l indice del diametro commerciale, l ij è la lunghezza relativa al diametro commerciale j-esimo da adottarsi per il tronco i-esimo. I vincoli che riguardano le lunghezze sono: (13) I vincoli sulle quote piezometriche sono: (14) Come ulteriore vincolo si impone che la pressione in corrispondenza degli irrigatori non sia inferiore a 60 m. Considerando di utilizzare delle tubazioni in PVC si assumono otto possibili diametri con i seguenti costi: 9

Diametro Costo [mm] [ /m] 180 21.43 200 26.34 225 33.36 250 41.01 280 59.42 315 75.31 355 95.95 400 121.40 Tabella 4 Tubazioni in PVC: costo per unità di lunghezza per diversi diametri. Nella tabella 5 è mostrata la funzione obiettivo (12) e il sistema di vincoli (13) e (14). Il numero delle incognite n è dato in generale dalla formula (15) dove n Hp è il numero di impianti di pompaggio, nd è il numero di diametri commerciali e nt il numero dei tronchi. Nell esempio illustrato si ha n Hp =1, nd=32 e nt=4 e quindi n=129. Tronco 1 D 180 200 225 250 280 315 355 400 1 1 1 1 1 1 1 1-0.1786-0.1055-0.0585-0.0346-0.0196-0.0109-0.006-0.0033-0.1786-0.1055-0.0585-0.0346-0.0196-0.0109-0.006-0.0033-0.1786-0.1055-0.0585-0.0346-0.0196-0.0109-0.006-0.0033 F.O.B. 3.21 3.95 5 6.15 8.91 11.3 14.39 18.21 Tronco 2 180 200 225 250 280 315 355 400 1 1 1 1 1 1 1 1-0.0198-0.0117-0.0065-0.0038-0.0022-0.0012-0.0007-0.0004 3.21 3.95 5 6.15 8.91 11.3 14.39 18.21 10

Tronco 3 180 200 225 250 280 315 355 400 1 1 1 1 1 1 1 1-0.0794-0.0469-0.026-0.0154-0.0087-0.0048-0.0027-0.0015-0.0794-0.0469-0.026-0.0154-0.0087-0.0048-0.0027-0.0015 3.21 3.95 5 6.15 8.91 11.3 14.39 18.21 Tronco 4 180 200 225 250 280 315 355 400 HP 0 =500 0 =700 0 =400 1 1 1 1 1 1 1 1 0 =200 1 >90 1 >70-0.0198-0.0117-0.0065-0.0038-0.0022-0.0012-0.0007-0.0004 1 >66 3.21 3.95 5 6.15 8.91 11.3 14.39 18.21 252.26 =min Tabella 5 Funzione obiettivo e vincoli relativi all applicazione del metodo del simplesso. La soluzione al precedente sistema è la seguente: Tronco 1 Tronco 2 Tronco 3 Tronco 4 L [m] 500 700 178 222 200 D [mm] 280 225 180 200 180 NODO Quota terreno H [m s.m.m.] [m] A 240 89.99 B 220 70.01 C 216 66.04 Hp [m] 104.35 Tabella 6 Soluzione della rete a maglia aperta. La soluzione mostra come il codice sviluppato è in grado di ottimizzare le dimensioni delle tubazioni anche da un punto di vista della loro estensione. Si nota, infatti, come il tronco 3 della lunghezza complessiva di 400 m sia suddiviso in due tratti della lunghezza di 178 m e 222 m e di diametri rispettivamente di 180 mm e 200 mm. 11

Questo tipo di scelta offre delle potenzialità rilevanti per la progettazione degli impianti di irrigazione, permettendo di individuare una condizione di ottimo non desumibile con il tipico approccio di dimensionamento. I risultati, inoltre, evidenziano il rispetto delle condizioni di pressione da garantire agli irrigatori. Rete a maglia chiusa Nel caso di adduzione a maglia chiusa, situazione che tipicamente si riscontra nei bacini pluvirrigui, l ottimizzazione della rete segue gli stessi criteri esposti al paragrafo precedente ma è necessario provvedere ad un opportuna apertura della rete stessa. Il criterio eseguito, infatti, prevede di interrompere la rete in punti significativi e trattarla come una rete a maglia aperta. In corrispondenza di tali punti di interruzione dovrà, ovviamente, essere verificata la continuità. Di conseguenza, è necessario generare un opportuno ciclo iterativo sul numero di punti di rottura della rete e la soluzione ottimale della distribuzione dei diametri verrà individuata dal minimo della funzione obiettivo. Si considera a titolo di esempio l impianto pluvirriguo a maglia chiusa di figura 7. Questa rete è costituita da una stazione di pompaggio e da tutta una serie di camerette in corrispondenza delle quali sono posti gli irrigatori. Il criterio di scelta per interrompere la rete è quello di considerare i punti nei quali si può attendere un equilibrio delle portate transitanti. I punti in questione si concentrano nel tratto di rete equidistante, rispetto alle due diramazioni, dalla stazione di pompaggio. Nel presente caso i nodi individuati sono il 9, il 10 e l 11. Il criterio di ottimizzazione della distribuzione dei diametri, mediante l algoritmo del simplesso, permette di individuare la condizione di minimo della funzione obiettivo per ogni rete a maglia aperta individuata dai diversi punti di interruzione. Il codice numerico sviluppato permette di elaborare la rete in esame e di individuare, sulla base del set di diametri commerciali con i relativi costi, la distribuzione ottimale delle condotte. Il controllo finale della rete e la visualizzazione delle variabili idrauliche, quali la velocità nelle condotte, la pressione in corrispondenza degli emungimenti, ecc. viene effettuata mediante il noto software EPANET 2 implementato dall U.S. Environmental Protection Agency. Inserendo la rete idraulica all interno del programma con le dimensioni delle condotte desunte dall ottimizzazione effettuata, si procede alla verifica della stessa 12

mediante la risoluzione di una tipica rete idraulica. Un esempio dell output di tale programma è riportato in figura 8. Figura 7 Schema di un impianto pluvirriguo a maglia chiusa. Figura 8 Verifica dell impianto pluvirriguo mediante EPANET2. 13

Conclusioni L ottimizzazione delle reti pluvirrigue, mediante un algoritmo che permetta la scelta delle dimensioni da assegnare alle tubazioni, rappresenta una notevole discriminante economica per il progetto di tali sistemi. L attribuzione dei diametri, tipicamente gestita dal progettista, viene individuata minimizzando una funzione obiettivo vincolata dai costi delle stesse, dai costi di gestione, dalle lunghezze delle condotte, ecc. In questo modo il progettista ha un controllo immediato anche dell economia dell impianto pluvirriguo. La verifica idraulica della rete può essere eseguita sfruttando il noto software EPANET 2 implementato dall U.S. Environmental Protection Agency. Tale programma consente al progettista un controllo e una visualizzazione immediata delle variabili idrauliche caratterizzanti il sistema. Il criterio esposto evidenzia il suo utilizzo sia per l adduzione alle reti a maglie aperte che chiuse, utilizzando delle opportune tecniche di programmazione lineare. L onore computazionale particolarmente ridotto permette la fruibilità di questi programmi su semplici PC, consentendo quindi una facile applicazione per la progettazione delle diverse tipologie di impianti pluvirrigui. Ringraziamenti Bibliografia essenziale Da Deppo L., Datei C., Fiorotto V., Salandin P., Acquedotti, Edizioni Libreria Cortina, Padova, 2000. Datei C., Idraulica, Edizioni Libreria Cortina, Padova, 1999. Rossman A.L., EPANET 2 Users Manual, U.S. Environmental Protection Agency, 2000. 14