O2. Introuzione all'ottica geometrica Premessa Lo stuio egli strumenti astronomici non puoç prescinere al comportamento onulatorio ella luce; tuttavia l'ottica geometrica eç un punto i partenza necessario, sia percheç costituisce una prima approssimazione, valia in numerose applicazioni, sia percheç in ogni caso fornisce la base concettuale e la terminologia che vengono poi impiegate negli sviluppi piuç avanzati. Limiteremo la nostra iscussione ai mezzi isotropi, e supporremo, almeno all'inizio, i aver a che fare con un mezzo continuo e perfettamente trasparente per la raiazione che interessa. Le proprietaç ottiche el mezzo saranno allora caratterizzate a una sola funzione scalare el punto: l'inice i rifrazione nèx; y; zè. Nota 1: Il caso i mezzi omogenei iversi elimitati a superci i separazione, che eç i grane importanza pratica in tutti gli strumenti ottici, puoç essere visto come un caso limite i un mezzo continuo, in cui n varia èmolto rapiamenteè solo intorno alle superci i separazione. Non bisogna peroç imenticare che qauno l'inice i rifrazione varia notevolmente in uno spessore ell'orine ella lunghezza 'ona, si presenta un fenomeno nuovo: la riessione parziale, i cui qui non ci occuperemo ma che puoç avere importanza pratica nel progetto egli strumenti ottici, in quanto spesso costituisce un isturbo che occorre riurre quanto possibile. Nota 2: Com'eç ben noto, l'inice i rifrazione in generale ipene alla lunghezza 'ona ella luce: percioç resteraç sottinteso che si ha a che fare con luce monocromatica. Gli eetti prootti alla ispersione el mezzo, ossia alle variazioni ell'inice i rifrazione con la lunghezza 'ona èin primo luogo l'aberrazione cromaticaè verrano esaminati piuç avanti. L'equazione el raggio In un mezzo continuo non omogeneo i raggi i luce non sono in genere rettilinei: vogliamo ora ricavare una relazione tra la curvatura ei raggi e la variazione ell'inice i rifrazione. In g. O2í1 eç inicato uno straterello el mezzo, elimitato a ue superci i livello ell'inice i rifrazione, per i ue valori n e n+n. E ç anche inicato un raggio, che entra nello straterello con l'angolo 'incienza i, e esce con l'angolo i + i. Dalle leggi ella rifrazione sappiamo che n sin i = cost:; ierenziano i n n+n i+i Fig. O2-1 O2í1
n n + sin i sin i =0 è i =, n n tg i: èo2.1è La curvatura el raggio eç espressa alla variazione el versore ~ç ella tangente, in funzione ella lunghezza s ell'arco. Precisamente: ~ç s = ~ç è èo2.2è ove ~ç eç il versore ella normale principale e è il raggio i curvatura, enito a 1 è s = i : èo2.3è Se introuciamo il versore ~ k ella normale alle superci i livello i n, orientato nel senso in cui si propaga la luce, si verica facilmente che ~ i k = ~ç cos i ~ç sin i a secona che s ènotare che ~ç, ~ç e ~ k sono sempre complanari, per la secona legge ella rifrazioneè. Sostitueno per ~ç nella èo2.2è, e usano la èo2.1è e la èo2.3è, troviamo: s Calcoliamo ora ~ç s = 1 n cos i n ~ç èn~ç è= ~ç + n s s = n s ~ç + 1 cos i n s è~ k, ~ç cos iè: n s è~ k, ~ç cos iè = 1 cos i 0 n s ~ n k = ~ k x aveno orientato l'ascissa x come ~ k. Ma per enizione i graiente l'ultima espressione coincie con rn, ~ ilche ci porta inne a s èn~ç è=~ rn: èo2.4è Questa eç appunto l'equazione el raggio, che sta alla base ell'ottica geometrica. Alla èo2.4è si puoç are una forma piuç esplicita, pensano all'equazione parametrica el raggio ~r = ~rèsè oveilvettore posizione el generico punto el raggio eç scritto come funzione ell'ascissa curvilinea s. Sappiamo infatti che ~ç = ~r=s: quini ç çn ~r = rn: ~ èo2.5è s s La èo2.5è equivale a tre equazioni scalari: ç ç ç = @n = @n = @n çn x s s @x çn y s s @y çn z s s @z per le tre funzioni xèsè, yèsè, zèsè. O2í2
Poneno ~p = n~ç èo2.6è si arriva a un'altra forma, che ci torneraç utile: ~p s = ~ rn: èo2.7è Le èo2.6è, èo2.7è scritte in coorinate cartesiane ivengono: x s = 1 n p x y s = 1 n p y z s = 1 n p z p x s = @n @x p y s = @n @y p z s = @n @z : èo2.8è Il cammino ottico Sia P0 una sorgente i luce puntiforme, e sia P un secono punto su un raggio i luce emesso a P0. Si enisce cammino ottico l'integrale nèx; y; zè s èqui inica a rigore l'arco i raggio, i estremi P0 e Pè. Nel caso i un mezzo omogeneo n eç costante e la luce si propaga in linea retta: percioç il cammino ottico non eç altro che la istanza tra P0 e P moltiplicata per l'inice i rifrazione el mezzo. Il nome i cammino ottico eç 'immeiata interpretazione se si tiene presente che nell'ottica onulatoria n eç il rapporto tra la velocitaç ella luce c nel vuoto e quella u nel mezzo: n = c=u. Allora c ns = u s = ct =c t = c t: Dunque il cammino ottico eç la istanza che percorrerebbe la luce nel vuoto nello stesso tempo t. Fissato il punto P0 e scelto in moo arbitrario P, non eç etto che tra i raggi che partono a P0 ce ne sia sempre uno èe uno soloè che passa per P. E ç anzi facile veere, pensano anche a una semplice lente, che possono presentarsi varie situazioni: í puoç arsi che nessun raggio passi per P í che ce ne siano piuç 'uno í che siano airittura inniti. O2í3
Tuttavia si puoç imostrare che esiste sempre un intorno i P0 in cui il raggio per P esiste e eç unico. Per ora supporremo senz'altro i trovarci in queste conizioni. Allora il cammino ottico puoç pensarsi come funzione i P: tale funzione eç etta iconale W èpè = nèx; y; zè s: èo2.9è Si eve ricorare che l'integrale in èo2.9è eç sempre calcolato lungo il raggio che unisce P0 ap. L'equazione ell'iconale Il problema che ci poniamo aesso eç questo: come cambia il cammino ottico variano i poco il raggio? Consieriamo quini ue raggi molto vicini, e 0,entrambi originati in P0 e passanti rispettivamenteperpeperp 0 èg. O2í2è. Inicheremo con ~rèsè e con ~r 0 = ~rèsè +~rèsè le equazioni parametriche ei ue raggi. P 0 r r P ( s) δ r P( s) n τ Cominciamo col supporre che i punti P, P 0 corrisponano, sui ue raggi, allo stesso valore çs i s. Avremo allora: Fig. O2-2 çs çs W = ns = n s: 0 0 èo2.10è Quanto a n, possiamo scrivere: n = ~ rn ~r = ~p s ~r = s è~p ~rè,~p s ~r e l'ultimo termine si trasforma cosç: ~p ~r ~r = ~p s s = n~ç ~ç =0 percheç a~ç~ç= 1 segue appunto ~ç ~ç = 0. Sostitueno n nella èo2.10è: W =è~p~rè P : èo2.11è O2í4
P ( s+δs) P( s) nτ P ( s +δs) δr P( s) nτ P ( s+δs) P 0 r P 0 r Fig. O2-3 Fig. O2-4 Il secono caso a consierare eç che P 0 si trovi sullo stesso raggio i P, ma auniverso s =çs+s èg. O2í3è. Abbiamo s = ~ç ~r, a cui W = ns =n~ç ~r =è~p~rè P : Il caso generale puoç sempre essere scomposto nei ue consierati èg. O2í4è, e percioç la èo2.11è ha valiitaç generale. Una conseguenza ella èo2.11è eç che le superci W = cost: sono perpenicolari ai raggi, e unque la propagazione ella luce potraç escriversi altrettanto bene usano i raggi, come usano l'iconale èg. O2í5è. La situazione eç analoga a quella i un campo conservativo, ove le superci equipotenziali escrivono il campo in moo equivalente alle linee i forza, che sono sempre perpenicolari a quelle. raggi W cost Un importante caso particolare eç il seguente: Fig. O2-5 supponiamo che un sistema ottico sia tale che tutti i raggi emessi a una sorgente puntiforme P0 arrivano in uno stesso punto P1. In questo caso le superci i livello i W in prossimitaç ip1sono sfere con centro in P1 percheç perpenicolari ai raggi; la sfera i raggio nullo coinciente con P1 eç anch'essa supercie i livello, il che vuol ire che il cammino ottico tra P0 ep1 ha lo stesso valore lungo tutti i raggi. Dalla enizione i graiente segue W = rw ~ ~r, che confrontata con la èo2.11è fornisce ~rw = ~p = n~ç èo2.12è Preneno i mouli ei ue termini troviamo la cosietta equazione ell'iconale: che, scritta per esteso, iventa ç @W @x ç 2 +ç @W @y rw ~ = n èo2.13è ç 2 +ç @W ç 2 = n 2 èx; y; zè @z O2í5
Nota nèx; y; zè, questa eç un'equazione ierenziale alle erivate parziali el primo orine, non lineare, per la funzione incognita W. Quano si sapesse risolvere, arebbe come soluzione W èx; y; zè e quini anche la congurazione ei raggi: l'equazione ell'iconale risolve unque completamente il problema ella propagazione ella luce. Il principio i Fermat Siamo ora in grao i arrivare a un altro importante risultato: il cammino ottico calcolato su un raggio eç minimo tra quelli che si possono calcolare su tutte le curve che uniscono P0 e P1 èin generale il cammino ottico eç stazionario; ma nelle ipotesi in cui ci siamo messi, cioeç che un solo raggio unisca P0 ep1, imostreremo subito che eç sempre minimoè. Dim.: Detto il raggio che unisce P0 ap1e 0 un iverso arco i curva tra gli stessi punti, vogliamo provare che ns é 0 n s: Sappiamo che l'integrale i linea i un graiente ipene solo agli estremi e non alla particolare curva seguita: unque ~rw ~r = 0 ~rw ~r ovvero ~p ~r = 0 ~p ~r per la èo2.12è. In entrambi gli integrali ~p = n~ç eç tangente al raggio che passa per il generico punto: eç quini sempre tangente a, ma in generale non lo eç a 0. D'altra parte ~p ~r çj~pjj~rj =ns e l'uguaglianza vale solo se ~p e ~r sono paralleli e concori. Cioç eç vero nel primo integrale, che eç fatto lungo un raggio, ma non nel secono; per cui in enitiva avremo: ns = ~p~r = 0 ~p~ré 0 n s: O2í6