Nielsen and Chuang, Quantum Computation ad Quantum Information, par..6 EPR and the Bell s inequality Ing. Marco Barbato 7 aprile 015 1 Paradosso EPR e diseguaglianza di Bell Questo capitolo è focalizzato sull introduzione degli strumenti e della matematica della meccanica quantistica. Via via che applicheremo queste tecniche nei seguenti capitoli di questo libro, un importante tema che ricorrerà saranno le proprietà insolite, non classiche della meccanica quantistica. Ma qual è esattamente la differenza tra la meccanica quantistica e il mondo classico? Capire questa differenza è fondamentale per imparare a eseguire processi di elaborazione delle informazioni che sono difficili o impossibili con la fisica classica. Questa sezione conclude il capitolo con una discussione sulla disuguaglianza di Bell, un esempio convincente di un elemento essenziale differenza tra fisica quantistica e classica. Quando parliamo di un oggetto come una persona o un libro, si assume che le proprietà fisiche di tale oggetto abbiano una esistenza indipendente dall osservazione. Cioè, le misure agiscono soltanto per rivelare tali proprietà fisiche. Ad esempio, una palla da tennis ha come una delle sue proprietà fisiche la sua posizione, che tipicamente viene misurata utilizzando la luce diffusa dalla superficie della palla. Mentre la meccanica quantistica era in fase di sviluppo tra il 190 ed il 1930, emerse uno strano punto di vista che si differenziava nettamente dalla visione classica. Come descritto in precedenza in questo capitolo, secondo la meccanica quantistica una particella osservata non possiede proprietà fisiche che esistono indipendentemente dall osservazione. Piuttosto, tali proprietà fisiche sono una conseguenza di misurazioni effettuate sul sistema. Ad esempio, secondo la meccanica quantistica un qubit non possiede proprietà definite di spin lungo la direzione z, σ z, e spin lungo direzione x, σ x, ciascuna delle quali può essere rivelata eseguendo la misura appropriata. Piuttosto, la meccanica quantistica dà una serie di regole che specificano, dato il vettore di stato, le probabilità per i possibili risultati della misurazione quando si misura l osservabile σ z, oppure quando si misura l osservabile σ x. Molti fisici hanno respinto questa nuova visione della Natura. L obiettore di più importante era Albert Einstein. Nel famoso articolo EPR Einstein, co-autore con Nathan Rosen e Boris Podolsky, propose un esperimento mentale che, secondo lui, dimostrava che la meccanica quantistica non era una teoria completa della Natura. L essenza dell argomento di EPR è il seguente. EPR sono interessati a quelli che essi definiscono come elementi di realtà. La loro convinzione era che che un tale elemento di realtà debba essere rappresentato in qualsiasi teoria fisica completa. Lo scopo della loro argomentazione era quello di dimostrare che la meccanica quantistica non è una teoria fisica completa, identificando degli elementi di realtà che non sarebbero inclusi nella meccanica quantistica. Il modo in cui hanno tentato di fare questo è stata l introduzione di quella che essi ritenevano una condizione sufficiente per una proprietà fisica di costituire un elemento di realtà, cioè, che sia possibile prevedere con certezza il valore che la proprietà avrà, immediatamente prima della misurazione. 1
1.1 Anticorrelazioni ed esperimento di EPR Supponiamo di preparare i due qubit nello stato entangled (1) uno stato a volte conosciuto come singoletto di spin per ragioni storiche. Non è difficile dimostrare che questo stato è uno stato entangled del sistema a due qubit. Supponiamo di effettuare una misurazione dello spin lungo l asse v su entrambi i qubit, cioè, si misura l osservabile v σ (definito nella (.116) a pagina 90) su ogni qubit, ottenendo il risultato +1 o 1 per ogni qubit. Si scopre che, indipendentemente dalla scelta di v che facciamo, i risultati delle due misurazioni sempre uno opposto dell altro. Cioè, se la misura sul primo qubit da +1, allora la misura sul secondo qubit produrrà 1, e viceversa. È come se il secondo qubit conoscesse il risultato della misurazione sul primo, indipendentemente da come il viene misurato il primo qubit. Per capire perché questo è vero, supponiamo che a e b siano autostati di v σ. Allora esistono numeri i complessi α, β, γ, δ tali che Sostituendo otteniamo 0 = α a + β b () 1 = γ a + δ b (3) ab ba = (αδ βγ) (4) ( ) α β Ma αδ βγ è il determinante della matrice unitaria e dunque è equivalente ad un γ δ fattore di fase e iθ per qualche θ reale. Così = ab ba (5) modulo un fattore di fase globale non osservabile. Di conseguenza, se una misura di v σ viene eseguita su entrambi i qubit, allora possiamo vedere che un risultato di +1 ( 1) al primo qubit implica un risultato di 1 (+1) sul secondo qubit. Si consideri, ad esempio, una coppia entangled di qubit appartenenti ad Alice e Bob rispettivamente: (6) Supponiamo che Alice e Bob siano molto lontani l uno dall altro. Alice esegue una misurazione dello spin lungo l asse v, cioè, misura l osservabile v σ (definito nell equazione (.116) a pagina 90). Supponiamo che Alice ottenga il risultato +1. Poi un semplice calcolo di meccanica quantistica, dato al paragrafo 1.1, dimostra che lei può prevedere con certezza che Bob misurerà 1 sul suo qubit se anche lui eseguirà la misura dello spin lungo l asse v. Allo stesso modo, se Alice ottiene 1, poi può prevedere con certezza che Bob misurerà +1 sul suo qubit. Poiché è sempre possibile per Alice prevedere il valore del risultato della misurazione registrata quando il qubit di Bob è misurato nella direzione v, questa proprietà fisica deve corrispondere a un elemento di realtà, secondo il criterio di EPR, e dovrebbe essere rappresentato in qualsiasi teoria fisica. Tuttavia, la meccanica quantistica standard, come l abbiamo presentata, semplicemente dice come calcolare le probabilità dei rispettivi risultati di misura se viene misurato v σ. La meccanica quantistica standard di certo non comprende alcun elemento fondamentale destinato a rappresentare il valore di v σ, per tutti i versori v.
L obiettivo di EPR era quello di dimostrare che la meccanica quantistica è incompleta, dimostrando che alla meccanica quantistica mancavano alcuni fondamentali elementi di realtà, in base al loro criterio. Speravano di forzare un ritorno ad una visione più classica del mondo, quello in cui ai sistemi dovrebbero essere attribuite proprietà esistenti indipendentemente da misure effettuate su tali sistemi. Purtroppo per EPR, la maggior parte dei fisici non ha accettato come convincente il ragionamento appena visto. Il tentativo di imporre forzatamente sulla Natura delle proprietà alle quali essa debba obbedire sembra un modo molto particolare di studiare le sue leggi. Infatti, la natura ha riso per ultima su EPR. Quasi trent anni dopo che l articolo di EPR è stato pubblicato, è stato proposto un test sperimentale che può essere utilizzato per verificare se l immagine del mondo alla quale EPR speravano di forzare un ritorno sia valida o no. Si scopre che la Natura invalida sperimentalmente questo punto di vista, mentre è in accordo con la meccanica quantistica. La chiave di questa invalidazione sperimentale è il risultato noto come disuguaglianza di Bell. La disuguaglianza di Bell non è un risultato di Meccanica Quantistica, per cui la prima cosa che dobbiamo fare è dimenticare momentaneamente tutte le nostre conoscenze della Meccanica Quantistica. Per ottenere la disuguaglianza di Bell, andremo a fare un esperimento mentale, che analizzeremo con il nostro senso comune, l insieme delle nozioni di come pensiamo che il mondo funzioni il tipo di nozioni alle quali Einstein ed i suoi collaboratori pensavano che la Natura dovesse obbedire. Dopo che avremo terminato l analisi di buon senso, verrà effettuata una analisi secondo la Meccanica Quantistica che potremo mostrare non coincidere con l analisi di buon senso. Alla Natura può essere richiesto, mediante un vero esperimento, di decidere tra le nostre nozioni di buon senso di come funziona il mondo e la Meccanica Quantistica. Immaginate allora che eseguiamo il seguente esperimento, illustrato nella Figura.4. Charlie prepara due particelle. Non ha importanza come prepari le particelle, supponiamo solamente che che lui sia in grado di ripetere la procedura sperimentale che usa. Una volta che ha eseguito la preparazione, manda una particella ad Alice, e la seconda particella a Bob. Una volta che Alice riceve la sua particella, esegue una misurazione su di essa. Immaginate che lei abbia a disposizione due differenti apparati di misura, in modo da poter scegliere quale delle due diverse misure effettuare. Questi strumenti misurano proprietà fisiche che indichiamo con P Q e P R, rispettivamente. Alice non sa in anticipo quale misura lei sceglierà di eseguire. Piuttosto, quando riceve la particella lancia una moneta, o usa un altro metodo casuale, per decidere quale misura dovrà eseguire. Supponiamo per semplicità che le misurazioni possano avere ciascuna uno tra due risultati, +1 o 1. Supponiamo che la particella di Alice abbia una proprietà P Q di valore Q. Q è assunta essere una proprietà oggettiva della particella di Alice, che è semplicemente rivelata dalla misura, come quando immaginiamo di rivelare la posizione di una palla da tennis per mezzo dalle particelle di luce da essa diffuse. Analogamente, sia R il valore rivelato da una misura della proprietà P R. Analogamente, supponiamo che Bob sia in grado di misurare una delle due proprietà, P S o P T, ancora una volta rivelando un valore S o T oggettivamente esistente per la proprietà, ognuna delle quali assume il valore +1 o 1. Bob non decide in anticipo quali proprietà misurerà, ma attende finché non abbia ricevuto la particella e quindi sceglie in modo casuale. I tempi dell esperimento sono organizzati in modo tale che Alice e Bob fanno le loro misure nello stesso istante (o, per usare il linguaggio più preciso della Relatività, in modo causale scollegato, o non causale). Pertanto, la misura che Alice esegue non può disturbare il risultato della misura di Bob (o viceversa), poiché influenze fisiche non possono propagarsi più veloci della luce. 3
Cominciamo a fare un po di semplice algebra con la quantità QS +RS +RT QT. Notiamo che QS + RS + RT QT = (Q + R)S + (R Q)T. (7) Poiché R, Q = ±1 segue che si ha (Q + R)S = 0 o (OR esclusivo) (R Q)T = 0. In entrambi i casi, è facile vedere dalla (7) che QS + RS + RT QT = ±. Supponiamo poi che p(q, r, s, t) sia la probabilità che, prima che le misurazioni vengano effettuate 1, il sistema si trovi in uno stato in cui Q = q, R = r, S = s, e T = t. Queste probabilità possono dipendere da come Charlie svolge la sua preparazione, e sul rumore sperimentale. Indicando con E( ) il valore medio di una quantità, abbiamo E(QS + RS + RT QT ) = qrst p(q, r, s, t)(qs + rs + rt qt) (8) qrst p(q, r, s, t) (9) = (10) Inoltre E(QS + RS + RT QT ) = qrst p(q, r, s, t)rs + qrst p(q, r, s, t)rs + p(q, r, s, t)rt p(q, r, s, t)qt qrst qrst (11) = E(QS) + E(RS) + E(RT ) E(QT ). (1) Dal confronto tra la (10) e (1) si ottiene la diseguaglianza di Bell: E(QS) + E(RS) + E(RT ) E(QT ) (13) Questo risultato è spesso conosciuto come la diseguaglianza di CHSH dalle iniziali dei suoi quattro scopritori. Fa parte di un insieme più ampio di disuguaglianze conosciuto genericamente come disuguaglianze di Bell, poiché la prima è stata trovata da John Bell. Ripetendo l esperimento più volte, Alice e Bob sono in grado di determinare ogni quantità a primo membro della disuguaglianza di Bell. Ad esempio, dopo aver terminato una serie di esperimenti, Alice e Bob si riuniscono per analizzare i loro dati. Guardano tutti gli esperimenti in cui Alice ha misurato P Q e Bob ha misurato P R. Moltiplicando i risultati dei loro esperimenti, ottengono un campione di valori per QS. Calcolando la media su questo campione, possono stimare E(QS) con una precisione limitata solo dal numero di esperimenti che hanno effettuato. Analogamente, essi possono stimare tutte le altre grandezze a primo membro della disuguaglianza di Bell, e quindi controllare per vedere se è rispettata in un vero e proprio esperimento. È il momento di far entrare in scena un po di Meccanica Quantistica. Immaginate che eseguiamo il seguente esperimento di Meccanica Quantistica. Charlie prepara un sistema quantistico di due qubit nello stato ψ = 1 Qui non stiamo parlando di Meccanica Quantistica, ammettiamo che le osservabili posseggano un valore prima della misurazione. (14) 4
Poi passa il primo qubit ad Alice ed il secondo a Bob. Essi eseguono le misurazioni dei seguenti osservabili: Q = Z 1 S = Z X (15) R = X 1 T = Z X (16) Semplici calcoli dimostrano che i valori medi di queste osservabili, scritte in notazione di Dirac, sono: QS = 1 ; RS = 1 ; RT = 1 ; QT = 1. (17) Così: QS + RS + RT + QT =. (18) Ma aspetta! Abbiamo imparato, indietro nella (13), che il valore medio del QS più il valore medio RS più il valore medio RT meno il valore medio di QT non può mai superare due. Eppure qui, la Meccanica Quantistica prevede che tale somma delle medie produca! Fortunatamente, possiamo chiedere alla Natura di risolvere per noi l apparente paradosso. Sono stati condotti esperimenti astuti utilizzando fotoni - le particelle di luce - per verificare la previsione (18) della Meccanica Quantistica contro la disuguaglianza di Bell (13), a cui siamo perventuti portati dal nostro ragionamento secondo il buon senso. I dettagli degli esperimenti sono al di fuori degli scopi del libro, ma i risultati sono stati clamorosamente a favore della previsione della Meccanica Quantistica. La Natura non obbedisce alla disuguaglianza di Bell (13). Cosa significa questo? Significa che una o più delle ipotesi su cui abbiamo basato la derivazione della disuguaglianza di Bell deve essere sbagliata. Interi libri sono stati scritti analizzando le varie forme in cui può essere fatto questo tipo di argomentazioni, e analizzando le ipotesi sottilmente diverse che devono essere fatte per far uscire dai calcoli disuguaglianze di tipo Bell. Qui ci limitiamo a riassumere i punti principali. Ci sono due ipotesi formulate nella prova di (13) che sono discutibili: 1. Il presupposto che le proprietà fisiche P Q, P R, P S, P T hanno valori definiti Q, R, S, T, che esistono indipendentemente dall osservazione. Questo è noto come ipotesi di realismo.. L ipotesi che l esecuzione della misurazione da parte di Alice non influenzi il risultato della misura di Bob. Questo è noto come l assunzione di località. Queste due ipotesi insieme sono conosciute come i presupposti del realismo locale. Sono ipotesi certamente intuitivamente plausibili su come funziona il mondo, e si adattano alla nostra esperienza quotidiana. Tuttavia le disuguaglianze di Bell mostrano che almeno una di queste ipotesi non è corretta. Cosa possiamo imparare dalla disuguaglianza di Bell? Per i fisici, la lezione più importante è che le loro profonde intuizioni di buon senso su come funzioni il mondo sono sbagliate. Il mondo non è realistico a livello locale. La maggior parte dei fisici propendono per il punto di vista secondo il quale è l assunzione di realismo che deve essere eliminata dalla nostra visione del mondo in Meccanica Quantistica, anche se altri hanno sostenuto invece che è l assunzione di località che dovrebbe essere eliminata. Indipendentemente da ciò, la disuguaglianza di Bell, assieme alla sostanziale evidenza Il senso della frase è questo: Charlie prepara due fotoni i quali si trovano nello stato entangled ψ, ognuno dei due fotoni trasportando un qubit di informazione; lo stato inviato ad Alice e Bob è lo stesso e non è separabile! 5
sperimentale, ora punta alla conclusione che uno o entrambi località e realismo devono essere eliminati dalla nostra visione del mondo, se vogliamo sviluppare una buona comprensione intuitiva della Meccanica Quantistica. Quali lezioni possono imparare dalla disuguaglianza di Bell le discipline della computazione quantistica e dell informazione quantistica? Storicamente la lezione più utile è stata forse anche la più vaga: c è qualcosa di profondamente figo negli stati entangled, come lo stato EPR. Molto dello sviluppo in calcolo quantistico e, in particolare, nell informazione quantistica, è venuto da una semplice domanda: In che cosa mi sarebbe utile un po di entanglement in questo problema? Come abbiamo visto nel teletrasporto e nella codifica superdensa, e come vedremo in seguito più volte nel libro, mettendo un po di entanglement in un problema apriamo un nuovo mondo di possibilità inimmaginabili con la teoria dell informazione classica. Il concetto più importante è che la disuguaglianza di Bell ci insegna che l entanglement è fondamentalmente una nuova risorsa nel mondo che va essenzialmente al di là delle risorse classiche; ferro nel mondo classico dell età del bronzo. Un importante compito della computazione quantistica e informazione quantistica è di sfruttare questa nuova risorsa per eseguire compiti di elaborazione delle informazioni impossibili o molto più difficili con risorse classiche. 6