NUMERI E SUCCESSIONI

NUMERI E SUCCESSIONI Giovanni Maria Troianiello 1 Notazioni insiemistiche. Numeri naturali, interi, razionali Notazioni insiemistiche Si sa cosa s intende quando si parla di insieme (o famiglia, o classe) S e si dice che x è un suo elemento (o punto), in simboli x S o S x. Se ci si sente di indicare con x, y,... gli elementi che costituiscono S si scrive S = {x, y,... }; se gli elementi di S sono tutti quelli caratterizzati da una certa proprietà P si scrive S = {x x soddisfa P}. Se S è privo di elementi si tratta dell insieme vuoto, indicato con. Sia T un altro insieme. L insieme che ha per elementi quelli di S e quelli di T è l unione di S e T, o se si preferisce di T ed S, indicata con S T o T S. L insieme costituito dagli elementi di S che stanno anche in T il che è come dire dagli elementi di T che stanno anche in S è l intersezione di S e T, o se si preferisce di T ed S, indicata con S T o T S; quando è l insieme vuoto diciamo che S e T sono disgiunti. L insieme costituito dagli elementi di S che non stanno in T è la differenza insiemistica di S e T in quest ordine indicata con S\T : si noti che essa coincide con S\(S T ). Esercizio 1.1 Quali sono le coppie di insiemi S e T tali che S \ T = T \ S? L insieme costituito da un elemento x di S ed un elemento u di T, presi senza tener conto dell ordine, è {x, u} = {u, x}. Se però stabiliamo che l elemento di S dev essere preso prima di 1

quello di T otteniamo la coppia ordinata (x, u). Il prodotto cartesiano S T è l insieme delle coppie ordinate (x, u) che soddisfano la proprietà P di avere x in S e u in T : S T = {(x, u) x S, u T }. Se S = T utilizziamo il simbolo di potenza S 2 = S S. Il passaggio ai prodotti cartesiani di k insiemi ed alle potenze k esime di un insieme, k > 2, si fa senza difficoltà. Quando l insieme T è costituito tutto di punti che stanno in S diciamo che si tratta di un sottoinsieme di S e scriviamo T S o S T ; se in aggiunta a ciò specifichiamo che esistono elementi di S non appartenenti ad S, cioè S \ T, diciamo che T è un sottoinsieme proprio di S e scriviamo T S o S T. Si noti che nelle nostre notazioni si distingue tra un elemento x di S ed il sottoinsieme di S il cui unico elemento è x: x S mentre {x} S. Numeri naturali, interi, razionali I numeri naturali sono 1, 2, 3,... e il loro insieme è indicato con N. Di ogni insieme S che possa essere posto in corrispondenza biunivoca con {1, 2,..., n} per un opportuno valore di n N diciamo che è finito (e che ha esattamente n elementi). Un insieme non vuoto che non è finito viene chiamato infinito. Un insieme infinito che può essere posto in corrispondenza biunivoca con N è detto numerabile. (Per il momento stiamo dando per noto il concetto di corrispondenza biunivoca cosı come, tra un attimo, quello di applicazione. Ci torneremo sopra all inizio del prossimo capitolo.) L insieme Z dei numeri interi è costituito dai naturali 1, 2, 3,..., dai loro opposti 1, 2, 3,... e dallo 0. I simboli usati più comunemente per indicare generici numeri interi, o in particolare naturali, sono m, n, p, q. Cosı, un generico numero pari o dispari n si può scrivere, rispettivamente, come n = 2m o n = 2m 1 con m N. Quando si ha a che fare coi numeri interi tutti hanno, o devono avere, familiarità con l addizione e la sottrazione, cosı come con le disuguaglianze in senso stretto o in senso largo. Esercizio 1.2 Dire quali delle disuguaglianze sono vere: 3 3, 3 < 4, 3 4. A partire da N definiamo l importantissima nozione di successione a valori in un qualche fissato insieme A. Si tratta di un applicazione N A, che possiamo indicare con {a 1, a 2, a 3,... }, con {a n } n N o più semplicemente {a n }, con {a N }, con {a k }, eccetera. Generalizzando, si possono far variare gli indici a partire da un qualunque p Z invece che da 1. Utilizzeremo anche notazioni come {a n } A. Gli a n sono i termini della successione. La successioni più semplici a cui si possa pensare sono quelle costanti: si fissa un elemento a di A e si pone a n = a per ogni valore di n N. Subito dopo nella scala della semplicità viene la successione dei naturali, cioè a n = n per ogni valore di n N. Bisogna fare attenzione a distinguere tra la successione {a n } ed il sottoinsieme di A costituito dai valori da essa assunti, cioè {α A α = a n per qualche n N}. 2

Ad esempio le due successioni a n = ( 1) n e b n = ( 1) n+1, a valori in A = R o se vogliamo in A = Z, differiscono termine a termine, ma l insieme dei valori assunti sia dall una che dall altra è { 1, 1}. Esercizio 1.3 Sia {a n } la successione ottenuta dalla successione {n} dei naturali scambiando il primo termine col secondo, il terzo col quarto, e cosı via. (i) Scrivere la legge di formazione della successione appena descritta qualitativamente, cioè determinare il valore di a n in corrispondenza al generico n N. (ii) Confrontare tra di loro {n}, {a n } e gli insiemi dei valori rispettivamente assunti. I numeri razionali sono i rapporti m/n, m n o mn 1, dove tanto m che n sono interi e inoltre attenzione n è necessariamente diverso da 0: né qui né mai altrove ha senso scrivere 0 a denominatore, o parlare di inverso di un qualunque numero senza specificare, o controllare, che sia diverso da 0! L insieme dei razionali è indicato con Q. Due razionali m/n e p/q sono uguali se si verifica che m = p e contemporaneamente n = q. Ma non solo: se ad esempio moltiplichiamo per 23 sia il numeratore che il denominatore di 3/2 otteniamo ( 69)/( 46), ancora uguale a 2/3. Formalizziamo questa regola di identificazione scrivendo m n = p q mq = np. Da qui segue fra l altro che m/n = ( m)/( n), per cui nello studio dei razionali potremo limitarci, ogni volta che ci farà comodo, ai rapporti m/n con n in N invece che in Z \ {0}. Per intenderci, 5 27 = 5 ( 27) = 5 27, e fra le tre scritture la più comoda è la terza. In Q si definiscono un addizione, una moltiplicazione ed un ordinamento nel modo seguente: dati comunque m, p Z e n, q N, (1.1) (1.2) m n + p q mq + np =, nq m n p q = m p n q = mp nq, (1.3) m n p q mq np. I razionali con denominatori uguali ad 1 hanno dunque le stesse proprietà algebriche degli interi, coi quali li identifichiamo scrivendo m al posto di m/1. Dalla (1.1) segue che l opposto m/n di m/n è ( m)/n: ad esempio, ( 5)/27 è l opposto (5/27) di 5/27. Dalla (1.2) si deduce che, se m non è nullo, n/m è l inverso di m/n. L equivalenza nella (1.3) dipende in maniera essenziale dal segno positivo dei denominatori n e q, che infatti non sono stati genericamente presi in Z \ {0}. Esercizio 1.4 Trovare dei valori di n per i qual è senz altro vero che (1/3) n < 10 57. 3

2 Sviluppi decimali Uno sviluppo (o allineamento) decimale è individuato da tre elementi, che sono nell ordine: un segno che vale + oppure (e nel primo caso viene omesso a meno che non non sia preceduto da un altro sviluppo decimale), un intero 0 che scriviamo prima della virgola, ed infine i termini di una successione a valori nell insieme delle cifre {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} che scriviamo dopo la virgola. A seconda che il segno sia + o lo sviluppo si chiama positivo o negativo; lo sviluppo nullo è quello fatto tutto di zeri. Ecco qualche esempio: 52, 0746034... ; 43, 568; 0, 9730707 = 0, 973 0 7; 31, 6430264302 = 31, 6 4 3 0 2. Si tratta di sviluppi positivi, ad eccezione del secondo che è negativo. Lo sviluppo del terzo numero è periodico, con 07 come periodo (secondo una terminologia criticabile ma comoda), e questo è espresso senza ambiguità dalla notazione del secondo membro, mentre quella del primo lo suggerisce appena. Quello che si intende è che nella successione delle cifre dopo la virgola si trova 0 se il posto è pari, dal quarto in poi, e invece 7 se il posto è dispari, dal quinto in poi. Anche il quarto sviluppo è periodico, stavolta di periodo 64302, solo che stavolta la descrizione puramente verbale sarebbe fastidiosamente sovraccarica. Anche il secondo sviluppo può essere interpretato come periodico, ma il suo periodo è 0 e non si corre nessun rischio di ambiguità ad ometterlo: 43, 568 = 43, 56800 = 43, 568 0. Infine, la scrittura 52, 0746034... può tranquillamente essere completata in uno tra infiniti modi per farne uno sviluppo periodico, anche di periodo 0, ma può anche, altrettanto tranquillamente, denotare uno degli infiniti sviluppi decimali che non ammettono nessun periodo. L algoritmo elementare della divisione di un numero naturale m per un numero natu-rale n associa loro, in maniera univoca, uno sviluppo decimale periodico. Il motivo è che ad ogni passaggio l algoritmo fa comparire un resto positivo o nullo, necessariamente minore di n, che quando non è nullo va moltiplicato per 10 e diviso per n. Indichiamo il primo di questi resti con ϱ 1, il secondo (quando ϱ 1 non è nullo) con ϱ 2, e cosı via. Dopo un numero di passaggi non superiore a n 1 otteniamo un resto ϱ k che, se non è lo zero, coincide con uno dei valori già comparsi in precedenza. Di nuovo lo moltiplichiamo per 10, poi lo dividiamo per n, e il ciclo ricomincia. Possiamo dunque identificare ai numeri razionali positivi quei decimali periodici positivi che si scrivono come risultati delle divisioni tra numeri naturali, e per passare ai negativi basta prendere il segno meno davanti agli uni e agli altri. Quando il periodo è 0, ad esempio parliamo di frazioni decimali. 43, 568 = 43568 10 3, Esempio 2.1 Dividiamo 435 per 165. Otteniamo innanzitutto 2 col resto di 105 = ϱ 1, e dunque 435 165 = 2 + 105 165 = 2 + 1 1050 10 165. Dividiamo 1050 per 165: otteniamo 6 col resto di 60 = ϱ 2, per cui 105 165 = 6 10 + 1 60 10 165 e quindi 4 435 165 = 2, 6 + 1 100 600 165.

Dividiamo 600 per 165: otteniamo 3 col resto, un altra volta, di 105 = ϱ 1, per cui 60 165 = 3 10 + 1 105 10 165 A questo punto già sappiamo che e quindi 435 165 = 2, 6 3. 435 1 1050 = 2, 63 + 165 1000 165. Il discorso si inverte, però con un distinguo: ogni sviluppo decimale positivo periodico, purché di periodo diverso da 9, è il risultato della divisione di due numeri naturali. Esercizio 2.1 A quale numero razionale m/n va identificato 0, 3 7 2? Il ragionamento che si utilizza nella risoluzione dell Esercizio 2.1 può essere generalizzato per mostrare che ogni sviluppo decimale positivo periodico di periodo diverso da 9 si scrive come somma (2.1) p 10 h + q 10 k (10 l 1) per un opportuna scelta di p, q, h, k interi e di l intero positivo. Esercizio 2.2 Scrivere 36, 106 7 0 3 4 sotto la forma (2.1) esplicitando h, k, l. Abbiamo cosı visto che l algoritmo della divisione di un naturale m per un naturale n permette di porre in corrispondenza biunivoca, quindi di identificare tra loro, i numeri razionali e gli sviluppi decimali periodici di periodo diverso da 9. Però lo stesso algoritmo non può mai condurre ad una rappresentazione decimale di periodo 9. Se questo accadesse, infatti, a partire da un certo resto ϱ h il divisore n starebbe 9 volte nel numero 10ϱ h con resto ϱ h+1, poi 9 volte nel numero 10ϱ h+1 con resto ϱ h+2 e cosı via fino a stare (per un valore di k h non superiore ad n 1) 9 volte nel numero 10ϱ k 1 con resto ϱ k = ϱ h. Come dire: fino a 10ϱ h = 9n + ϱ h+1, 10 2 ϱ h = 90n + 10ϱ h+1 = 90n + 9n + ϱ h+2 = 99n + ϱ h+2 10 k h ϱ h = 9... 9n + ϱ k = 9... 9n + ϱ h (dove 9... 9 è la scrittura posizionale del numero 9 10 k h + + 9 10 + 9), ovvero 9... 9ϱ h = [10 k h 1]ϱ h = 9... 9n, cioè ϱ h = n e quindi un assurdo perché tutti i resti nella divisione per n devono essere numeri interi (positivi o nulli) minori di n. E se provassimo a trasferire agli sviluppi di periodo 9 il procedimento seguito nella risoluzione dell Esercizio 2.2? Ebbene, l unico razionale a cui per esempio potrebbe essere identificato 0, 37 9 è 38/100; però la divisione di 38 per 100 dà come sviluppo decimale del risultato 0, 38 e non 0, 37 9. Certo, viene in mente di interpretare 0, 37 9, anche se non è stato ottenuto con l algoritmo della divisione, come un altra scrittura della frazione decimale 0, 38, e di questo daremo una piena giustificazione quando torneremo sull argomento nell Osservazione 6.1. Per il momento tuttavia è meglio evitare una doppia notazione decimale che creerebbe vari fastidi. 5

3 I reali Passiamo all insieme R dei numeri reali, di solito indicati genericamente da simboli come x, y, z oppure a, b, c oppure u, v, w, che identifichiamo con gli sviluppi decimali, sia periodici purché di periodo diverso da 9 che non periodici. Questi ultimi, cioè i reali che non sono razionali, vengono chiamati irrazionali. Gli unici numeri reali che possiamo scrivere, e con cui possiamo fare i conti sia noi che (meglio di noi) calcolatrici e calcolatori, sono i razionali: non possiamo certo scrivere per esteso uno sviluppo decimale x che non sia periodico. Però possiamo sempre fissare un intero n 0 e introdurre l arrotondamento (netto) di x all ordine n, cioè la frazione decimale x (n) ottenuta sostituendo con 0 ogni cifra dopo la virgola dall (n + 1) esima in poi. Ad esempio, se x = 3, 793041275... il suo arrotondamento all ordine 3 è x (3) = 3, 793, quello all ordine 8 è x (8) = 3, 79304127. Al variare di n gli arrotondamenti n esimi costituiscono una successione (a valori in Q o, se vogliamo entrare più in dettaglio, nel sottoinsieme di Q costituito dalle frazioni decimali). Essi costituiscono un po i prototipi della nostra idea di approssimazione numerica: conoscere x (n) significa né più né meno che conoscere x fino all n esima cifra, e quindi con un margine di errore tanto più ristretto quanto più elevato è n. Quando si dice che x può essere almeno approssimativamente calcolato si vuol dire che in linea di principio si dispone di una regola per scrivere x (n) con n comunque fissato. Impossibile qui fare a meno di pensare a π, che per il momento ci accontentiamo di considerare definito come l area del cerchio di raggio 1. L irrazionalità di π è nota da non molto tempo (1761, Lambert). In compenso le più antiche tracce a noi pervenute del suo calcolo approssimato, esatto fino al primo ordine, risalgono al secondo millennio prima dell era volgare (Babilonia, Egitto). Celeberrimo poi il calcolo di Archimede, esatto fino al second ordine: π (2) = 3, 14. Saltiamo avanti nel tempo. Non possiamo certo trascrivere l arrotondamento π (1,2411 1012) ottenuto da Kanada, Ushio e Kuroda nel Dicembre 2002; accontentiamoci di segnalare l arrotondamento π (9) = 3, 141592653 noto già a Viète nel 1593. Le disuguaglianze tra numeri reali si riconducono, per definizione, a quelle tra frazioni decimali e quindi, alla fin fine, tra numeri interi. Infatti diciamo che x è minore di y e scriviamo x < y se esiste un intero n 0 tale che (3.1) x (n) < y (n) ; quando questo non succede scriviamo x y. Ad esempio, x = 4, 368... e y = 5, 036... verificano x < y (qui n = 0), cosı come anche x = 13, 0749910... e y = 13, 0749908... (qui n = 6). È facile vedere che quando x e y sono razionali la disuguaglianza x < y vale nel senso dell ordinamento dato a Q nella Sezione 1 se e solo se essa vale nel senso dell ordinamento, detto lessicale, che abbiamo appena dato ad R. Tenendo conto che valgono le disuguaglianze x (n) x < x (n) + 10 n oppure x (n) 10 n < x x (n) a seconda che x sia positivo o negativo (ma quelle in senso stretto anche indipendentemente dal segno di x), possiamo dire che l n esimo termine x (n) approssima x con un errore inferiore a 10 n. Dalla (3.1) segue che x (N) < y (N) e quindi x (N) + 10 N y (N) 6

per ogni N n. Anzi esiste senz altro un valore di N n tale che l ultima cifra di x (N) non è un 9, e quindi (3.2) x (N) + 10 N < y (N) : si prendano, ad esempio, x = 27, 3499976... e y = 27, 35 con n = 2 ed N = 6. Se y 0, e quindi y (N) y, la (3.2) implica x < x (N) + 10 N < y. Se y < 0 si ripete il ragionamento precedente sostituendo x con y ed y con x, poi si torna indietro. In conclusione, abbiamo dimostrato la fondamentale proprietà detta di densità di Q in R: Teorema 3.1 Dati comunque x ed y in R con x < y esiste r in Q tale che x < r < y. Più in là (Esercizio 8.3) daremo un altra dimostrazione del Teorema 3.1. La proprietà archimedea dei reali si formula cosı: dato un qualunque numero reale x esiste un numero naturale N tale che x < N. Basta infatti prendere, ad esempio, N = 1 se x 0 e N = x (0) + 1 altrimenti. Nel seguito ci farà comodo utilizzare con qualche disinvoltura i simboli di infinito = + e e di meno infinito. Scriveremo ( ) = ; inoltre x < se x R (nel qual caso potremo anche dire che x è finito, facendo bene attenzione a non confondere questa accezione del termine con quella introdotta nella Sezione 1 per gli insiemi) oppure x = ; infine x > se x <. Il modulo, o valore assoluto, di x R è indicato con x ed è definito cosı: x = x se x 0, x = x se x 0. Dunque x = x è sempre positivo o nullo, ed è nullo se e solo se x = 0; inoltre le disuguaglianze x < b e x b, dove b è un reale positivo o nullo, sono rispettivamente equivalenti alle disuguaglianze b < x < b e b x b. Ecco una lista di termini e notazioni di uso frequente. Siano a, b R. Se a b indichiamo con [a, b] l insieme dei reali x tali che a x b. Se a < b indichiamo con [a, b[ l insieme dei reali x tali che a x < b, con ]a, b] l insieme dei reali x tali che a < x b e con ]a, b[ l insieme dei reali x tali che a < x < b. Indichiamo poi con ], a] ( ], a[) l insieme dei reali a (< a) e con [a, [ (]a, [) l insieme dei reali a (> a). Tutti questi sono degli intervalli, di estremo sinistro a (numero reale o a seconda dei casi) ed estremo destro b (numero reale o a seconda dei casi); gli [a, b], ], b] e [a, [, con < a < b <, nonché ], [, sono intervalli chiusi; gli ]a, b[ (e qui a < b ) sono aperti (e quindi ], [, cioè R, è sia chiuso che aperto); gli [a, b[ e gli ]a, b] sono, rispettivamente, semiaperti a destra e a sinistra. Un punto di R è interno ad S R se è contenuto in un intervallo aperto contenuto in S. Se tutti i punti di S sono interni ad S diciamo che S è un aperto; diciamo che S è un chiuso se è il complementare di un aperto. Un aperto che contiene c R è un intorno di c. Sia S R. Se esiste L R (l R) tale che L x (l x) per ogni x S diciamo che S è limitato superiormente (inferiormente), e che L è un suo maggiorante (che l è un suo minorante). Diciamo che S è limitato se è tanto superiormente che inferiormente limitato, e questo si può riformulare dicendo che esiste un numero reale L > 0 tale che x L per ogni x S. Esercizio 3.1 Far vedere che R è tanto superiormente che inferiormente illimitato. Esercizio 3.2 (i) Come si esprime la richiesta che un numero reale L non sia un maggiorante di S? (ii) Come si esprime con gli L la richiesta che S sia illimitato (cioè, non sia limitato) superiormente? 7

Diciamo che una successione reale è (il)limitata, inferiormente (il)limitata o superiormente (il)limitata a seconda che sia tale l insieme S dei valori da essa assunti. Supponiamo che S non solo sia limitato superiormente (limitato inferiormente), ma in più contenga un elemento M (un elemento m) tale che M x (tale che m x) per ogni x S. Diciamo allora che M è il massimo max S (che m è il minimo min S) di S. Esercizio 3.3 Dimostrare che [0, 1[ è privo di massimo. 4 Le quattro operazioni in R Come si eseguono le quattro operazioni in R? In altri termini: dati due numeri reali x e y, quanto valgono i numeri reali x + y, x y = x + ( y), xy, x/y = x(1/y) (quest ultimo, s intende, con y 0)? Quando sia x che y sono in particolare dei numeri razionali non c è nessun problema: li scriviamo come quozienti di interi (con denominatori 0), e procediamo con le regole viste nella Sezione 1. Ma se anche uno soltanto di essi è irrazionale questa strada ci è preclusa. Tuttavia, siccome i numeri razionali x (n) e y (n) approssimano rispettivamente x e y, dobbiamo aspettarci che i risultati delle quattro operazioni relative ad x (n) e y (n) approssimino i corrispondenti risultati relativi ad x e y; in particolare, nella divisione per un numero reale y 0 si tiene presente che dev essere y (n) 0 per ogni valore n sufficientemente grande, diciamo n n 0, e quindi l inverso 1/y, o y 1, di y è approssimato dalla successione {1/y (n) } degli inversi degli y (n) con n n 0. Ma allora: visto che dobbiamo sempre e comunque ricondurci ad eseguire i nostri calcoli sui numeri razionali, e che anzi sono essi gli unici che possiamo compiutamente conoscere, perché preoccuparci di un entità metafisica come sono i numeri irrazionali? Una risposta immediata è che i razionali non ci bastano se vogliamo essere in grado di attribuire una misura perlomeno alle cose del mondo che ci sono più familiari, come, in un quadrato di lato 1, la diagonale. Ebbene, la lunghezza c di quest ultima deve verificare c 2 = 2 in conseguenza del Teorema di Pitagora, e non esiste nessun numero razionale c con questa proprietà. Vediamo perché. Esempio 4.1 Supponiamo che esista un numero razionale c = m/n, dove m, n N, tale che c 2 = 2. Possiamo sempre ricondurci ad m ed n primi tra di loro, dal momento che se non fossero tali già in partenza dovremmo solo dividerli per ogni loro fattor comune. In particolare escludiamo che m ed n possano essere tutti e due pari. Ora, m 2 n 2 = 2 m2 = 2n 2, e questo significa che m 2 è pari. Dunque è pari anche m (altrimenti il suo quadrato sarebbe dispari), ovvero m = 2p per un p N. Ne segue che m 2 = 4p 2 = 2n 2, cioè n 2 = 2p 2. Quindi n 2 è pari, e ciò significa che anche n, come m, è pari. Ma questo era stato escluso. Abbiamo cosı mostrato che l avere assunto l esistenza di un razionale di quadrato uguale a 2 porta ad una contraddizione, e quindi che un tale razionale non può esistere. Parlando delle quattro operazioni in R abbiamo sorvolato su un punto delicato, che è come, preliminarmente, esse si definiscono. Vien fatto di rispondere che si definiscono attraverso la maniera in cui si eseguono: in altri termini, i risultati delle quattro operazioni relativi ad x e y sono 8

definiti come quei numeri che vengono approssimati dai corrispondenti risultati relativi ad x (n) e y (n). Ebbene, questa risposta è sostanzialmente corretta, ma andrebbe appoggiata su argomentazioni abbastanza sottili che rimandiamo in appendice (Sezione 20). Grazie ad esse si potrebbe poi dimostrare con le approssimazioni che si trasferisce da Q ad R la proprietà di essere un campo totalmente ordinato. Accettiamo questo risultato: indicando con x, y, z numeri reali, abbiamo x + y = y + x, (x + y) + z = x + (y + z), xy = yx, (xy)z = x(yz), x + 0 = x, x + ( x) = 0, x0 = 0, x1 = x, xx 1 = 1 per x 0, (x + y)z = xz + yz, x y = x + z y + z, x y = xz bz per z 0. Alla prima riga troviamo la commutatività e l associatività dell addizione; alla seconda quelle della moltiplicazione; alla quinta la distributività dell addizione rispetto alla moltiplicazione. Altre proprietà delle operazioni sui reali si deducono facilmente dalle precedenti. Ad esempio, quando un prodotto è 0 almeno uno dei fattori dev essere 0. Se, infatti, xy = 0 con x 0 basta applicare le proprietà di campo (per la precisione, l associatività della moltiplicazione e l esistenza di x 1 ) per ottenere y = x 1 xy = 0. Da qui si deduce poi il seguente rafforzamento dell ultima riga (relativo all unico caso non banale): (4.1) x < y = xz < yz per z > 0. Infatti basta tener conto che dev essere xz yz e che (distributività) xz = yz equivale ad (x y)z = 0, cosa impossibile nel caso presente. E cosı via. Osservazione 4.1 Adesso che disponiamo della divisione in R possiamo riformulare la proprietà archimedea cosı: dati comunque due numeri reali positivi a e b esiste un numero naturale N tale che (N > a/b e quindi) Nb > a. Ciò significa tra l altro che, preso comunque un segmento di lunghezza b (non importa quanto piccola purché positiva) come unità di misura lineare, possiamo servircene per misurare la lunghezza a di ogni altro segmento (non importa quanto grande purché finita). Esercizio 4.1 Trovare l insieme dei reali x tali che 1 x < 3. Esercizio 4.2 Caratterizzare le coppie di numeri reali non nulli x e y che verificano x < y ma non verificano 1/x > 1/y. Lo svolgimento del prossimo esercizio potrebbe utilmente appoggiarsi su uno studio grafico. 9

Esercizio 4.3 Determinare l insieme dei reali x tali che 1 3x x + 7. Le potenze x k sono definite quando x R esattamente come quando x Q. Se y è il valore di x k diciamo che x è una radice k esima di y. Esiste un numero irrazionale di quadrato uguale a 2, cioè una radice quadrata di 2? Sı: ci torneremo su tra breve. Importantissima è l identità (4.2) 1 + x 2 + + x n = 1 xn+1 1 x, valida per ogni x R diverso da 1 e per ogni n N. Esercizio 4.4 Dimostrare la (4.2). Si vede subito che il modulo della somma verifica la disuguaglianza triangolare (4.3) x + y x + y per x, y R. Infatti sommando membro a membro le disuguaglianze si ottengono le disuguaglianze che si riassumono nella (4.3). La (4.3) è equivalente alla x x x e y y y ( x + y ) x + y x + y, x y x y per x, y R. 10

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI Esercizio 1.1 Quali sono le coppie di insiemi S e T tali che S \ T = T \ S? Svolgimento. Tutte e sole quelle con S = T e quindi con S \ T = T \ S =. Esercizio 1.2 Dire quali delle disuguaglianze sono vere: Svolgimento. Tutte e tre. 3 3, 3 < 4, 3 4. Esercizio 1.3 Sia {b n } la successione ottenuta dalla successione {a n } dei naturali scambiando il primo termine col secondo, il terzo col quarto, e cosı via. (i) Scrivere la legge di formazione della successione appena descritta qualitativamente, cioè determinare il valore di b n in corrispondenza al generico n N. (ii) Confrontare tra di loro {a n }, {b n } e gli insiemi dei valori rispettivamente assunti. Svolgimento. (i) Due modi: o a n = n + 1 se n è dispari, a n = n 1 se n è pari, oppure a 2m 1 = 2m, a 2m = 2m 1. (ii) Per ogni n si ha a n n, ma l insieme dei valori assunti sia dall una che dall altra successione è N. Esercizio 1.4 Trovare dei valori di n per i qual è senz altro vero che (1/3) n < 10 57. Svolgimento. La disuguaglianza in questione equivale alla 3 n > 10 57, e siccome 3 3 > 10 basta prendere n = 3 57. Esercizio 2.1 A quale numero razionale m/n va identificato 0, 3 7 2? Svolgimento. Trattando il decimale 0, 3 7 2 con le regole di calcolo che valgono per i razionali constatiamo che 372, 3 7 2 è uguale sia al prodotto 10 3 0, 3 7 2 che alla somma 372 + 0, 3 7 2. Questo significa 10 3 m n = 372 + m n e quindi Ne segue (10 3 1) m n = 372. m n = 372 999. Esercizio 2.2 Scrivere 36, 106 7 0 3 4 sotto la forma (2.1) esplicitando h, k, l. Svolgimento. 36, 106 7 0 3 4 = 36, 106 0, 000 7 0 3 4 = 36106 10 3 + 7034 10 3 9999. 11

Dunque h = k = 3, l = 4. Esercizio 3.1 Far vedere che R è tanto superiormente che inferiormente illimitato. Svolgimento. Se un numero reale L > 0 verificasse L x per ogni x R verificherebbe anche L n per ogni n N, e dalla proprietà archimedea segue che questo è impossibile. Esercizio 3.2 (i) Come si esprime la richiesta che un numero reale L non sia un maggiorante di S? (ii) Come si esprime con gli L la richiesta che S sia illimitato (cioè, non sia limitato) superiormente? Svolgimento. (i) Esiste un x S (dipendente da L) tale che x > L. (ii) S è illimitato superiormente se, dato comunque un numero reale L, questo non è un maggiorante di S, cioè esiste un x S (dipendente da L) tale che x > L. Esercizio 3.3 Dimostrare che [0, 1[ è privo di massimo. Svolgimento. Un qualunque x [0, 1[ non può verificare x x per ogni x [0, 1[ perché verifica x < x per ogni x ]x, 1[ [0, 1[. Esercizio 4.1 Trovare l insieme dei reali x tali che 1 x < 3. Svolgimento. Innanzitutto dobbiamo imporre x 0 perché il primo membro abbia senso. A questo punto dobbiamo distinguere tra x > 0 ed x < 0. Quando x > 0 possiamo applicare la (4.1) moltiplicando prima per x e poi per 1/3, ottenendo cosı x > 1/3. Ma non basta: non dobbiamo dimenticare di occuparci degli x < 0, che verificano tutti la disuguaglianza richiesta. La risposta è dunque ], 0[ ]1/3, [. Esercizio 4.2 Caratterizzare le coppie di numeri reali non nulli x e y che verificano x < y ma non verificano 1/x > 1/y. Svolgimento. È necessario e sufficiente che x < 0 < y. Esercizio 4.3 Determinare l insieme dei reali x tali che 1 3x x + 7. Svolgimento. I punti x = 1/3 ed x = 7 sono quelli dove si annullano, rispettivamente, gli argomenti dei moduli del primo e del secondo membro. Per x 1/3 bisogna imporre la disuguaglianza 3x 1 x + 7 ovvero x 4; l intersezione dei due intervalli [1/3, [ e ], 4] è [1/3, 4]. Per 7 < x < 1/3 va richiesto che 1 3x x + 7 ovvero x 3/2; l intersezione dei due intervalli ] 7, 1/3[ e [ 3/2, [ è [ 3/2, 1/3[. Infine per x 7 la disuguaglianza diventa 1 3x x 7 ovvero x 4; 12

l intersezione dei due intervalli ], 7] e [4, [ è l insieme vuoto. In conclusione, la disuguaglianza in questione è soddisfatta se e solo se 3/2 x 4. Esercizio 4.4 Dimostrare la (4.2). Svolgimento. Grazie alla distributività risulta (1 x)(1 + x 2 + + x n ) = 1 + x 2 + + x n x(1 + x 2 + + x n ) = 1 + x 2 + + x n (x 2 + x 3 + + x n+1 ) = 1 x n+1, e l uguaglianza tra il primo e l ultimo membro è effettivamente la (4.2). 13