ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE ES. 1 - Due treni partono da due stazioni distanti 20 km dirigendosi uno verso l altro rispettivamente alla velocità costante di v! = 50,00 km/h e v 2 = 100,00 km /h. Dopo quanto tempo si incontrano? Si può ragionare in questo modo: quando i due treni si incontrano lo spazio x 1 percorso dal primo più lo spazio x 2 percorso dal secondo devono dare la distanza totale che separa le due stazioni. In formule: x 1 = v 1 t x 2 = v 2 t All istante dell incontro dei due treni deve risultare: x 1 + x 2 = v 1 t + v 2 t = 20 km Trasformiamo il valore delle velocità in m/s: v 1 = 50 km/h = 13,89 m/s v 2 = 100 km/h = 27,778 m/s 20 000 m = (13,89m/s) t + (27,778 m/s) t t = 20 000 / 41,67 s = 480 s I due treni si incontrano dopo 8 minuti esatti. ES. 2 - Con gli stessi dati dell esercizio precedente sia A la stazione da cui parte il treno più veloce e B quella da cui parte il treno più lento. Supponiamo ora che i due treni viaggino nella stessa direzione e nello stesso verso diretti verso una terza stazione C situata 30 km oltre B, ma dalla parte opposta ad A. Calcolare: a) quanto tempo impiegano i due treni ad arrivare in C b) in che istante e in che punto del viaggio il treno più veloce raggiunge quello più lento. a) La stazione C è posta 30 km oltre B, ad una distanza di 50 km da A. Per calcolare il tempo impiegato da ciascun treno per raggiungerla basta applicare la legge oraria del moto rettilineo uniforme. Per il treno in partenza da A: t A = (50 km) / (100 Km/h) = 1/2 h = 30 min E per quello in partenza da B: t B = (30 km) / (50 km/h) = 0,6 h = 36 min Il treno più lento raggiunge C 6 minuti dopo quello più veloce. b) Si può fare il seguente ragionamento: nell istante in cui il treno più veloce raggiunge il più lento, il primo avrà dovuto percorrere uno spazio x 1 pari alla distanza AB che separa inizialmente i due treni più lo spazio x 2 percorso nel frattempo dal secondo treno. In formule: x 1 = x 2 + AB da cui v 1 t = v 2 t + AB (100 km/h) t = (50 km/h) t + 20 km t = 20 / (100-50) h = 2/5 h = 24 min Il congiungimento dei due treni avviene dopo 24 minuti dalla partenza, in un punto X che si trova alla seguente distanza da A:
X = v 1 t = 100 km/h (2/5 h) = 40 km ES. 3 - Un ciclista vuole diminuire la sua velocità di 5 m/s in un intervallo di tempo di 3 secondi. Che accelerazione deve imprimere alla bicicletta? Sapendo che la velocità iniziale è v 0 = 10 m/s, quanto spazio percorre nel frattempo? Anche senza conoscere i valori iniziali e finali delle velocità, il problema é facilmente risolvibile con la definizione di accelerazione: a = v/ t = (5m/s)/3 s = 1,67 m/s 2 Per calcolare lo spazio percorso facciamo ricorso alla legge oraria del MRUA: S = 1/2 a t 2 + v 0 t = [ 1/2 (1,67)(3) 2 + 10 3 ]m S = 37,5 m ES. 4 - Quanto tempo impiega un ciclista a percorrere 100 m se parte con una velocità iniziale di 10 m/s e con una accelerazione a = 2 m/s 2? Scriviamo la legge oraria dei MRUA: S = 1/2 a t 2 + v 0 t Sostituendo i valori numerici si ottiene un equazione di secondo grado in t: 100 = t 2 + 10 t t 2 + 10 t - 100 = 0 Risolvendo si ottengono due soluzioni: t = - 16,18 s (da scartare perché senza significato) t = 6,18 s (che é il valore cercato) ES. 5 - Una automobile parte dal punto O con velocità iniziale nulla e deve raggiungere un punto B distante 900 m. Con quale accelerazione deve avvenire il moto se l autista non vuole impiegare un tempo superiore a 20 s? E se la velocità iniziale fosse v 0 = 10 m/s? In questo secondo caso, con quale velocità l auto transita da B? Il moto é rettilineo uniformemente accelerato, per cui vale l equazione x = 1/2 a t 2 + v 0 t + x 0 Nel primo caso si ha velocità iniziale e posizione iniziale nulli: lo spazio da percorrere é 900 m. 900 m = 1/2 a (20 s) 2 a = (1800 / 400) m/s 2 = 4,5 m/s 2 Nel secondo caso si ha velocità iniziale non nulla, per cui:
900 m = 1/2 a (20 s) 2 + (10 m/s) (20 s) 2 (900 m - 200 m) / (400 s 2 ) = a a = 1400/400 m/s 2 = 3,5 m/s 2 Possiamo dedurre la velocità finale in B dalla definizione di accelerazione: a = (v 2 - v 1 ) / (t 2 - t 1 ) v 2 = a t + v 1 = (3,5 20 + 10) m/s = 80 m/s ES. 6 - Un motociclista sta procedendo ad una velocità costante di 80 km/h quando vede un ostacolo sulla strada a 50 m. I freni della motocicletta gli consentono di sviluppare una accelerazione a = - 6 m/s 2. Riuscirà ad evitare l ostacolo? Il moto é rettilineo uniformemente accelerato, con accelerazione negativa. Per calcolare lo spazio di frenata S, conosciamo l accelerazione, la velocità iniziale e la velocità finale: quest ultimo valore, misurato nell istante in cui la moto si ferma, é ovviamente nullo. Utilizziamo la terza equazione tra quelle che abbiamo chiamato leggi fondamentali dei MRUA: v 2 fin = v 2 0 + 2aS Trasformiamo la velocità in m/s: v 0 = 80 km/h = 22,222 m/s. L equazione precedente diventa: 0 = (22,222 m/s) 2 + 2 (-6 m/s 2 ) S S = 41,2 m Il motociclista riuscirà a fermarsi in tempo. ES. 7 - Due oggetti si muovono secondo le seguenti leggi orarie: y = 5t - 2 x = 6t 2 +4t +1 Di ognuno di essi si dica: a) tipo di moto e di traiettoria b) posizione iniziale c) velocità iniziale d) accelerazione e) velocità dopo tre secondi. a) la prima equazione é quella di un MRU che avviene sull asse y. L asse y ne è la traiettoria. Il secondo oggetto si muove di MRUA e la traiettoria é l asse delle ascisse. b) la posizione iniziale la si ricava dal termine noto della legge oraria. Nel primo caso si ha y 0 = -2 m (il punto d inizio é posto due metri prima dell origine del sistema di assi cartesiani); nel secondo caso x 0 = 1 m c) la velocità iniziale è data dal coefficiente del termine di primo grado in t. Per il MRU, v 0 = 5 m/s: per il MRUA, v 0 = 4 m/s. d) nel primo caso l accelerazione é nulla. Nel secondo caso si ha:
1/2 a = 6 m/s 2 Da cui: a = 12 m/s 2 e) Nel MRU la velocità rimane costante nel tempo, per cui v 3 = 5 m/s. Nel MRUA essa cambia, e può essere dedotta dalla definizione di accelerazione: v 3 = v 0 + at = 4 m/s + 12 m/s 2 3 s = 40 m/s ES. 8 - Un sasso è lanciato verso l alto lungo la verticale con velocità iniziale v 01 = 25 m/s. a) Calcolare la massima quota raggiunta e il tempo impiegato. Un secondo sasso è lanciato verso l alto e lungo la stessa traiettoria con velocità iniziale v 02 = 15 m/s nell istante in cui il primo raggiunge il punto più alto. b) Dopo quanto tempo dal secondo lancio i due sassi si scontrano? c) A quale quota da terra? d) Qual è la velocità di ciascun sasso nel momento dell impatto? a) Il moto del sasso lungo la verticale é rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione g = - 9,81 j m/s 2. Per calcolare la massima quota raggiunta H, posso usare l espressione v 2 fin = v 2 0 + 2gH essendo la velocità finale nel punto più alto nulla. H = (v 2 fin - v 2 0 )/2g = (0-25 2 )/(- 19,62) m = 31,9 m Per il calcolo del tempo di salita risulta utile la definizione di accelerazione: a = (v 2 - v 1 ) / (t 2 - t 1 ) da cui t = (v 2 - v 1 )/a t = (0-25) / (-9,81) = 2,55 s b) Si può ragionare in due modi diversi affermando che, nel momento dell impatto, la posizione dei due oggetti é la stessa; oppure, analogamente, che la somma dello spazio percorso da entrambi é pari ad H. Usiamo il primo punto di vista. Il moto avviene lungo l asse delle y: il punto origine sia coincidente con la terra (quota nulla) e la direzione positiva sia quella verso l alto. Con questa convenzione la velocità dell oggetto che sale é positiva, mentre quella dell oggetto che scende é negativa. L accele-razione é invece negativa per entrambi perché diretta verso il basso: il suo effetto é quello di ridurre la velocità dell oggetto che sale e di aumentare in modulo, ma verso valori sempre più negativi (e quindi di ridurre), la velocità di quello che cade verso il basso. Quest ultimo oggetto, inoltre, ha una posizione iniziale posta alla quota H. Le equazioni di moto sono: y 1 = - 1/2 g t 2 + H y 2 = - 1/2 g t 2 + v o t per il corpo in discesa per il corpo in salita
Al momento dell impatto: y 1 = y 2 quindi v 0 t = H Con questo modo di procedere y rappresenta la posizione occupata dai due oggetti in moto. Con il secondo punto di vista si va a calcolare lo spazio percorso, istante dopo istante, dai due oggetti in moto. Per quello in salita, non cambia nulla rispetto al punto precedente: l equazione di moto é y 2 = - 1/2 g t 2 + v o t Per studiare il corpo in discesa si considera il punto di massima quota come origine degli assi e come direzione positiva per la velocità quella diretta verso il basso. Con questa convenzione anche il valore dell accelerazione di gravità risulta essere positivo. L equazione di moto diventa: y 1 = 1/2 g t 2 Nell istante dell impatto lo spazio percorso dai due oggetti dovrà risultare pari alla misura della massima quota H: y 1 + y 2 = H cioé 1/2 g t 2-1/2 g t 2 + v o t = H v 0 t = H che é il risultato già ottenuto in precedenza. In questo caso il significato della coordinata y é quello di spazio percorso. Sostituendo i valori numerici si ottiene: t = H / v 0 = (31,9 / 25,0) s = 1,28 s c) Per determinare a quale distanza da terra i due oggetti si scontrano basta sostituire t = 1,28 s nell equazione di moto di uno dei due. Prendiamo, ad esempio, quello che sale verso l alto: y = -1/2 gt 2 + v 0 t = -1/2 (9,81)(1,28) 2 + 15(1,28) y = 11,2 m d) Per calcolare le velocità dei due oggetti nel momento dell impatto posso usare la definizione di accelerazione. Per il corpo che sale: v fin = v 0 + gt = 15 + (-9,81)(1,28) m/s = 2,44 m/s Per il corpo che scende posso applicare la stessa formula:
v fin = v 0 + gt = 0 + (9,81)(1,28) m/s = 12,6 m/s ES. 9 - Si consideri il seguente grafico orario spazio-tempo. Per ogni tratto si deducano tutte le informazioni possibili. Si calcoli la velocità istantanea nel punto M, la velocità media tra A e C e su tutto il percorso. OA) Il grafico orario é una retta quindi il moto é rettilineo uniforme. La velocità é costante in tutti i punti e il suo valore lo si ottiene dal rapporto tra le coordinate del punto A v = s / t = 10 m / 3 s = 3,33 m/s Tale valore é il coefficiente angolare della retta passante per O e A AB) Ripetendo il ragionamento di cui sopra, si ottiene che la velocità nel tratto AB é nulla. Infatti il valore dello spazio S percorso rimane costante in tutto l intervallo di tempo tra 3 e 5 secondi. BC) Il grafico orario é un ramo di parabola. Il moto é allora rettilineo uniformemente accelerato e la velocità cambia modulo in ogni punto. Posso calcolarne il valore medio, considerando il segmento che unisce i punti B e C. v media = (30-10) m / (7-5) s = 10 m/s Pe determinare la velocità istantanea in M mi riconduco al calcolo della velocità media tra M ed un punto immediatamente vicino. Per valori di t che tendono a zero questi due punti tenderanno a coincidere, e la retta passante per essi si avvicinerà sempre più alla retta tangente alla curva in M. Tutti i triangoli rettangoli che hanno un vertice in M e l ipotenusa coincidente con la direzione di tale retta tangente, sono simili. Il rapporto tra due cateti è costante e uguale al valore cercato della velocità istantanea. Considero, allora, uno di questi triangoli simili che sia sufficientemente grande e che mi renda agevole il conto: v i M = S/ t = (25-0)m/(9-3)s = 25/6 m/s = 4,17 m/s CD) L oggetto è fermo.
DE) Il grafico orario é un arco di parabola. Il moto é rettilineo uniformemente accelerato con velocità negativa. L oggetto torna verso l origine degli assi: v media = S/ t = (20-30)m / (10-9)s = - 10 m/s EF) L oggetto continua il suo moto di avvicinamento all origine. La velocità è quindi negativa e di valore costante perché in questo tratto il grafico orario è una retta. v = - 10 m / 1 s = - 10 m/s FG) In questo tratto il moto è vario. Velocità ed accelerazione cambiano istante per istante. In G l oggetto è tornato al punto di partenza. Si chiede, inoltre, di determinare la velocità media (scalare) tra A e C. Dalla definizione: v AC = 30/7 m/s = 4,29 m/s Su tutto il percorso, si ha: v AG = 60 m / 14 s = 4,29 m/s I due valori coincidono solo per caso. Se, invece, volessi calcolare la velocità vettoriale su tutto il cammino, otterrei un valore nullo perché il punto in moto ritorna in G al punto di partenza e il suo spostamento totale é nullo. Il calcolo della velocità istantanea in M viene eseguito tracciando la retta tangente al grafico e considerando il suo coefficiente angolare m = tg α = (30 0) metri / (9 5)secondi v ist = 30/4 m/s = 7,5 m/s ES. 10 - Dal seguente grafico orario velocità-tempo, ricavare tutte le informazioni possibili. Calcolare lo spazio percorso nei primi 10 secondi AB) Velocità costante v = 3 m/s. Moto rettilineo uniforme.
BC) La velocità aumenta linearmente con il tempo. Il moto é rettilineo uniformemente accelerato. Il valore dell accelera-zione può essere dedotto dalle coordinate di B e C: a = v / t = 3/2 m/s 2 = 1,5 m/s 2 CD) Velocità costante v = 6 m/s. Il moto é rettilineo uniforme. DE) Il moto è accelerato in modo non uniforme. Si può calcolare un valore medio dell accelerazione che risulta dato da: a = 6/5 m/s 2 ES. 11 - Due auto si muovono di moto rettilineo uniforme con velocità date da v 1 = 90 km/h e v 2 = 60 km/h. La seconda auto parte con un vantaggio di 20 km. Dopo quanto tempo l auto più veloce raggiunge quella più lenta? Rappresentiamo in un piano cartesiano spazio-tempo le leggi orarie dei due oggetti in moto. Le due curve hanno le seguenti equazioni di moto: S 1 = 90 t S 2 = 60 t + 20 Nel punto di intersezione l auto più veloce avrà raggiunto quella più lenta perchè lo spazio S percorso da entrambe avrà lo stesso valore: S 2 = S 1. Per ricavare il valore t* in cui ciò avviene é sufficiente mettere a sistema le due equazioni: sostituendo la prima nella seconda si ottiene S = 60 S/90 + 20 1/3 S = 20 S = 60 km Il punto in cui si incontrano le due auto é a 60 km dall origine. Sostituendo questo valore in una qualunque delle due equazioni si ha: t = 2/3 h = 40 min. ES. 12 - Un piano inclinato ha una base AB = 16 m e una altezza AO = 10 m. Un oggetto è posto nel punto O ed è lasciato cadere lungo il lato OB con velocità iniziale v 0 = 2 m/s. Calcolare la velocità finale in B e il tempo impiegato per scendere. Confrontare questi valori con quelli che si otterrebbero se l oggetto fosse lasciato cadere dalla stessa quota e con l identica velocità iniziale lungo la verticale.
Il moto dell oggetto in caduta è rettilineo uniformemente accelerato sia lungo il piano inclinato che lungo la verticale. Prendiamo come origine il punto O e come direzione di moto, nel primo caso, il segmento OB, e nel secondo caso il segmento verticale OA. Primo caso : Con il teorema di risoluzione applicato al triangolo OAB ricavo l inclinazione α: OA = AB tg α α = artg OA/AB = artg (10/16) = 32,00 Calcolo la lunghezza di OB: OB = OA/sen α = 18,87 m Durante il suo moto verso il basso il corpo é soggetto all accelerazione di gravità g, ma se la direzione lungo la quale si muove non è verticale bisogna considerare la componente di g lungo tale direzione. Nel nostro caso si ha che il modulo dell accelerazione lungo OB vale: a = g sen α = 9,806 sen (32,00) = 5,196 m/s 2 Per calcolare la velocità finale in B posso scrivere: v 2 B = v 2 0 + 2(g sen α) S v 2 B = 4 + 2(5,196) 18,87 m 2 /s 2 v B = 14,15 m/s Il tempo di discesa è deducibile dalla definizione di accelerazione: a = (v B - v i )/ t t = (v B - v i )/ g sen α t = (14,15-2) / 5,196 s = 2,338 s Secondo caso: Analizziamo il moto lungo la verticale OA. Lo spazio da percorrere é ora OA = 10 m, l accelerazione é g = 9,806 m/s 2 diretta lungo la retta di moto, e la velocità iniziale é sempre data da: v 01 = 2 m/s. Per calcolare la velocità finale in A posso quindi scrivere: v 2 A = v 2 01 + 2g S v 2 A = 4 + 2 9,806 10 m 2 /s 2
v A = 14,15 m/s Per calcolare il tempo di caduta lungo la verticale possiamo affidarci, come nel punto precedente, alla definizione di accelerazione. Questa volta, però, usiamo un metodo diverso. Scriviamo la legge oraria del moto lungo OA: S = 1/2 g t 2 + v 01 t Sostituendo i valori numerici si ottiene la seguente equazione di secondo grado in t: 4,903 t 2 + 1,06 t - 10 = 0 Risolvendo si ottiene t = s (la soluzione negativa é da scar-tare perché senza significato fisico) ES. 13 - Un oggetto viene lanciato su una rampa inclinata di 45 con una velocità iniziale di 30 m/s. Dopo quanto tempo si ferma? A che altezza dal suolo arriva? Prendiamo O come punto origine e come direzione di moto positiva quella di OA verso l alto (tale scelta é convenzio-nale: assumere positiva la direzione di AO verso il basso non cambierebbe il discorso che segue) Con tale scelta la velocità iniziale risulta positiva e l accelerazione di gravità (diretta verso il basso) negativa. Dobbiamo calcolare la componente dell accelerazione lungo la direzione di moto, che risulta essere: a = g sen α = - 6,94 m/s 2 Per calcolare il tempo che occorre all oggetto per fermarsi devo ricordarmi che la velocità finale, in questo caso, é nulla, e poi usare la definizione di accelerazione: a = (v fin - v iniz )/ t Nel nostro caso: g sen α = (v fin - v iniz )/ t - 6,94 m/s 2 = (0-30 m/s) / t t = 4,32 s Per calcolare lo spazio S percorso sulla rampa, ho a disposizione due espressioni: S = 1/2 a t 2 + v 0 t oppure v 2 fin = v 2 iniz + 2a S
Usiamo la prima delle due e sostituiamo i valori numerici. Si ottiene: S = 1/2 (- 6,94) (4,32) 2 + 30 4,32 S = 64,8 m La quota H raggiunta sul livello del suolo la si ricava dai teoremi di risoluzione, per i quali posso scrivere: H = S sen α = 64,8 m sen 45 = 45,8 m