Modelli dinamici per le decisioni temi di esame svolti

Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Francesco Mason Modelli dinamici per le decisioni temi di esame svolti Quaderno di Didattica n. 34/2010 Marzo 2010

I Quaderni di Didattica sono pubblicati a cura del Dipartimento di Matematica Applicata dell Università di Venezia. I lavori riflettono esclusivamente le opinioni degli autori e non impegnano la responsabilità del Dipartimento. I Quaderni di Didattica vogliono promuovere la circolazione di appunti e note a scopo didattico. Si richiede di tener conto della loro natura provvisoria per eventuali citazioni o ogni altro uso. Quaderno di Didattica n. 34/2010 Marzo 2010

Francesco Mason MODELLI DINAMICI PER LE DECISIONI TEMI DI ESAME SVOLTI 1

PREMESSA Ogni esercizio, salvo poche eccezioni, è contenuto in una pagina, e sono riportati tutti i calcoli indispensabili per arrivare alla soluzione, con qualche dettaglio, per certi versi superfluo, quando lo spazio lo consente. La possibilità di ricavare sempre una soluzione numerica esplicita è subordinata, in parecchi casi, alla disponibilità di una calcolatrice tascabile (tipicamente per radici quadrate e logaritmi), ma questo è un aspetto del tutto secondario. Fondamentale è arrivare a scrivere correttamente le relazioni in gioco. Quando un valore è ottenibile solo con procedimenti un tantino sofisticati (logaritmi con basi particolari, diseguaglianze di terzo grado, ecc.) lo si è indicato tra parentesi. Per contenere il volume del materiale proposto sono stati disegnati solo alcuni grafici, lasciando gli altri alla pazienza del lettore. Altro elemento che potrebbe prestarsi a equivoci sono alcune formule. Per scrivere il più possibile "in linea" è stato adottato sistematicamente il simbolo "/" per indicare la divisione: una adeguata spaziatura indica poi a quali elementi la divisione si riferisce. Così, ad es. (k+3)/5 * 2 k/2 + 8 per maggior chiarezza si sarebbero dovuti scrivere: [(k+3)/5] * 2 (k/2) + 8 con evidente appesantimento, se non altro estetico. Ritengo comunque che un po' di occhio e di... buon senso aiuteranno nei casi specifici. 2

teoria delle utilità e teoria delle decisioni 54 esercizi svolti 3

U-1 Un individuo possiede una ricchezza w = 5 e ha funzione di utilità u(x) = - 2 -x. Gli viene proposto di partecipare ad una lotteria nella quale può vincere 2 (con probabilità 0.5) oppure niente (con prob. 0.5). Quanto è disposto a pagare? Quale deve essere la probabilità di vittoria affinché sia disposto a pagare l'importo 1? Si noti innanzitutto che la funzione di utilità va interpretata come - (2 ) -x, cioè (-1)/(2 ) x, e perciò assume sempre valori < 0. Il primo quesito richiede in sostanza di valutare un confine per il prezzo di acquisto della lotteria: questo dovrà essere tale da rendere indifferenti le due situazioni "ricchezza iniziale, senza lotteria" e "ricchezza + lotteria - prezzo pagato". Il secondo quesito assume come incognite le probabilità e fissa invece il prezzo che si è disposti a pagare. a) sia p il prezzo che si è disposti a pagare. Se il decisore accetta la lotteria può trovarsi con 5 + 2 - p (prob. 1/2),oppure 5 + 0 - p (prob. 1/2). Deve valere: e quindi cioè u(5) = 1/2 * u(7-p) + 1/2 * u(5-p) -1/2 5 = 1/2* (-1/2 7-p ) + 1/2 * (-1/2 5-p ) (I) 1/32 = 1/2 * (2 p /128 + 2 p /32) 1/16 = 2 p (5/128) 2 p = 128/80 = 1.6 e quindi p = log 2 1.6 (= 0.68) (è fondamentale scrivere la relazione (I)). b) Procedendo analogamente, ma indicando stavolta con p la probabilità di vincere 2, si ha: u(5) = p * u(5+2-1) + (1-p) * u(5-1), (perché alla lotteria va sottratto l'importo che si paga). 1/32 = p * 1/64 + (1-p) * 1/16, da cui p = 2/3. (Si osservi che per accettare di pagare 1, la probabilità di vincere 2 deve aumentare, rispetto al caso precedente!). 4

U-2 Dato il problema di decisione in forma normale: d 1 d 2 d 3 3 8 2 p 7 1 8 0.5 9 4 0 0.5-p - determinare la decisione migliore al variare di p, 0 p 0.5; - determinare se è plausibile pagare, quando p = 0.2, una informazione 15 unità monetarie, se il decisore ha utilità u = x 1/2. (N.B. la tabella esprime le utilità). La seconda domanda fa riferimento al valore atteso della informazione perfetta (che, se la tabella rappresenta utilità, è esso pure una utilità, mentre in questo caso si chiede di riconvertirlo in denaro). Poiché non è specificato diversamente, la ricchezza base del decisore, prima della decisione, va posta eguale a zero. a) u(d 1 ) = 8-6p; u(d 2 ) = 4p + 2.5; u(d 3 ) = 2p + 4. Con opportune diseguaglianze (mettendo a confronto a due a due le utilità delle decisioni, oppure anche per via grafica, disegnando le rette che esprimono le utilità rispetto al parametro p), si vede che d 1 è sempre decisione ottima, salvo che per p=0.5, punto in cui sono ottime sia d 1 che d 3. b) Si calcoli innanzitutto il valore atteso della informazione perfetta per p=0.2. Decisione ottima è d 1, con u=6.8. Il valore atteso delle utilità massime risulta: 8 * 0.2 + 8 * 0.5 + 9 * 0.3 = 8.3 ed il valore atteso della informazione perfetta è 8.3-6.8 = 1.5. Il certo equivalente della decisione ottima (senza informazione) è (6.8) 2 (si tenga presente che x = u 2 ), cioè 46.24. Il certo equivalente con informazione è (8.3) 2 = 68.89. L'importo 15 risulta accettabile perché 46.24+15=61.24 < 68.89. Si osservi come il valore atteso 1.5 non sia direttamente rilevante per il risultato finale: sarebbe scorretto elevarlo al quadrato! 5

U-3 Un problema di decisioni con due stati di natura è rappresentato dalla tabella in forma normale: d 1 d 2 d 3 10?? 1-p?? 8 p Tutte le decisioni sono ammissibili. Completare la tabella sapendo che: d 1 è indifferente a d 3 per p=0.6; d 2 è ottima per 0.3 p 0.8; d 2 è indifferente a d 3 per p=0.8, e la utilità attesa in quel punto è 7 (per entrambe). Per una corretta risoluzione del problema occorre utilizzare le informazioni progressivamente in un ordine appropriato. Man mano che si ottengono i vari risultati è utile riportarli su un grafico del tipo "decisioni/segmenti". Si osservi che l'unica informazione che consente da sola di individuare un valore nella tabella è l'ultima (il valore atteso di d 3 per p=0.8). Per d 3 si ha: La tabella risulta ora: u(d 3 ) = 7 = 0.2 * x + 0.8 * 8, da cui x = 3. 10? 3?? 8 Dalla prima informazione (indiff. tra d 1 e d 3 per p=0.6) si ha: 10 * 0.4 + y * 0.6 = 3 * 0.4 + 8 * 0.6 da cui y = 10/3. A questo punto si può osservare che d 1 è preferita a d 3 per p compreso tra 0 e 3/5. Poiché d 2 deve risultare ottima nell'intervallo [0.3, 0.8], occorrerà che nel punto 0.3 essa sia indifferente a d 1 e nel punto 0.8 sia indifferente a d 3 (entro l'intervallo risulterà preferita a entrambe). Diciamo a e b i due valori incogniti delle utilità di d 2, deve essere: Risolvendo si ottiene: 10 * 0.7 + 10/3 * 0.3 = a * 0.7 + b * 0.3 3 * 0.2 + 8 * 0.8 = a * 0.2 + b * 0.8. 0.7 a + 0.3 b = 8 0.2 a + 0.8 b = 7 e quindi a = 301/35 e b = 231/35 = 33/5. 6

U-4 3x, x 2 Un decisore ha ricchezza iniziale w=8 e utilità u(x) = x+4, 2 < x < 6, x/2+7, x 6. Quanto è disposto a pagare per assicurarsi contro una perdita che può essere 4 (prob. 0.2) oppure 7 (prob. 0.1)? Se la compagnia di assicurazioni ha ricchezza w=10 e funzione di utilità 2x, x 4, u(x) = x+4, 4 < x < 7, (x+15)/2, x 7, accetterà di assicurare il decisore? Si tratta di calcolare un premio di assicurazione per il decisore e poi controllare se tale premio è accettabile per la compagnia. Il decisore eguaglia le utilità senza e con assicurazione; la compagnia valuta se la utilità nel caso in cui accetti di assicurare e incassi il prezzo pagato dal decisore è superiore alla utilità nel caso di non assicurazione. Si segnala il fatto che utilità e ricchezze base (di cui occorre tener conto!) sono diverse per i due soggetti. a) Indichiamo con p l'importo che il DM è disposto a pagare. Se non si assicura, ottiene: u(8)*0.7 + u(4)*0.2 + u(1)*0.1 (I) se si assicura ha una utilità certa: u(8-p). Conviene prima calcolare la espressione (I): (8/2 + 7) * 0.7 + (4+4) * 0.2 + (3 * 1) * 0.1 = 9.6. Questo valore deve coincidere con u(8-p).poiché u(x) ha tre espressioni analitiche in altrettanti sottoinsiemi del dominio, occorre individuare quella opportuna. Poiché u(2)=6, mentre u(6)=10, l'importo x corrispondente a u=9.6 va individuato con la seconda espressione. Perciò u(8-p) = (8-p)+4 = 9.6, da cui p=2.4 (importo massimo che il decisore è disposto a pagare). b) per la compagnia: se non assicura ottiene u(10) = (10+15)/2 = 12.5; se assicura ottiene invece: 0.7 * u(10 + 2.4) + 0.2 * u(10 + 2.4-4) + 0.1 * u(10 + 2.4-7) = = 0.7 * u(12.4) + 0.2 * u(8.4) + 0.1 * u(5.4) = = 0.7 * (12.4+15)/2 + 0.2 * (8.4+15)/2 + 0.1 * (5.4+4)= 12.87, e pertanto accetterà di assicurare. 7

U-5 2x, x 3, Un decisore ha ricchezza iniziale w=5 e utilità u(x) = x+3, 3 < x < 6, x/2+6, x 6. Gli viene proposta una lotteria nella quale può vincere k (prob. 0.6) o perdere k (con prob. 0.4). Determinare il certo equivalente (di w+l) quando k=2.5. Quanto deve essere k affinché il premio di rischio sia >0? Evidentemente k è un parametro positivo. Il testo specifica "certo equivalente di w+l" per evitare ambiguità. E' utile per la risoluzione del problema disegnare il grafico della funzione di utilità e osservare che la funzione stessa risulta lineare a tratti e concava. a) Per k=2.5, il decisore si troverà con ricchezza 2.5 (prob.0.4) e con ricchezza 7.5 (prob. 0.6). L'utilità attesa è: 0.4 * (2 * 2.5) + 0.6 * (7.5/2 + 6) = 7.85 Per invertire tale valore, osserviamo che nei punti ove cambia l'espressione della f. di utilità si ha: u(3) = 6, u(6) = 9 e pertanto il valore va ricercato utilizzando la seconda delle espressioni di u: da cui w + CE + 3 = 7.85 w + CE = 4.85 e CE = -0.15. b) La risposta non richiede calcoli. Infatti, basta osservare che finché i valori 5-k e 5+k cadono nell'intervallo [3, 6] il decisore è indifferente al rischio (in quel tratto la sua funzione di utilità è un unico segmento di retta). Perché si manifesti la avversione al rischio del decisore, occorre che i valori in questione si riferiscano a segmenti diversi della f. di utilità. Perché ciò accada è necessario e sufficiente che k>1. 8

U-6 Partecipando ad una lotteria L si può vincere un premio di 2, estratto a sorte tra tre biglietti. Un decisore possiede una ricchezza di 4 unità monetarie e ha già uno dei biglietti della lotteria: la sua funzione di utilità è u(x) = -2 -x. Qual è il certo equivalente della sua posizione finanziaria? Quanto è disposto a pagare per avere un secondo biglietto della lotteria? E' da osservare che il primo biglietto del decisore non va acquistato (fa già parte del suo patrimonio!). Pertanto la sua posizione iniziale (ricchezza + biglietto) non ha nulla a che fare con esborsi monetari: c'è solo la possibilità di vincere alla lotteria. Nel secondo caso, invece, per avere un altro biglietto occorre pagare, ma in compenso cambia la probabilità di vincere (aumenta, se si possiedono due biglietti su tre!). Per "certo equivalente della posizione finanziaria" si deve intendere la somma della ricchezza e del certo equivalente della lotteria. a) Il certo equivalente si ricava dalla eguaglianza: u(w + CE) = 2/3 * u(4) + 1/3 * u(4+2) = = 2/3 * (-1/16) + 1/3 * (-1/64) = -3/64 da cui il CE risulta: -1/2 w + CE = -3/64 w + CE = log 2 64/3 ( = 6-1.6 = 4.4) b) Se acquista un secondo biglietto, dovrà pagare un prezzo p. La situazione di equilibrio (indifferenza tra acquisto o meno) è data da: u(w + CE) = -3/64 = 1/3 * u(4-p) + 2/3 * u(4+2-p) (se si acquista, la probabilità di vincere passa a 2/3). Si ha Si ricava -3/64 = 1/3 (-2 p /2 4 ) + 2/3 * (-2 p /2 6 ). 2 p = 3/2 da cui p = log 2 3/2 (= 0.6). 9

U-7 Un decisore ha la matrice delle utilità dei risultati seguente: d 1 d 2 d 3 k 3 7 0.2 10 k 1 0.3 3 5 8 0.4 9 2 0 0.1 Determinare il valore atteso della informazione perfetta al variare di k. Determinare quanto è disposto a pagare (in denaro) l'informazione perfetta per k=8 e u(x) = x 1/2. Occorre risolvere il primo quesito per k reale (positivo, negativo o nullo), evitando di procedere per tentativi (che possono servire, se mai, come verifica). Nella seconda parte si tratta di risalire dall'incremento di utilità attesa dovuta alla informazione all'incremento di denaro corrispondente. Poiché non è specificata, la ricchezza base del decisore va considerata nulla. Valori critici di k sono quelli per cui cambiano i massimi per riga (7 e 10) e quelli per i quali cambia la decisione ottima. Poiché u(d 1 ) = 0.2k + 5.1 u(d 2 ) = 0.3k + 2.8 u(d 3 ) = 4.9, le decisioni ottime risultano: d 3 per k -1; d 1 per -1 k 23; d 2 per k 23. Il valore atteso delle utilità massime risulta: 0.2 * k + 0.3 * k + 0.4 * 8 + 0.1 * 9 = 0.5k + 4.1, per k 10; 0.2 * k + 0.3 * 10 + 0.4 * 8 + 0.1 * 9 = 0.2k + 7.1, per 7<k<10; 0.2 * 7 + 0.3 * 10 + 0.4 * 8 + 0.1 * 9 = 8.5, per k 7. Il valore atteso della informazione perfetta è: 0.5k + 4.1 - (0.3k + 2.8) = 0.2k + 1.3, per k 23; 0.5k + 4.1 - (0.2k + 5.1) = 0.3k - 1, per 10 k 23 0.2k + 7.1 - (0.2k + 5.1) = 2, per 7 k 10 8.5 - (0.2k + 5.1) = 3.4-0.2k, per -1 k 7 8.5-4.9 = 3.6, per k -1. Per k=8, si ha: d* = d 1 ; u(d 1 ) = 6.7; val. atteso utilità massime = 8.7. I corrispondenti importi sono: (8.7) 2 = 75.69; (6.7) 2 = 44.89, e quindi il valore monetizzato della informazione perfetta è di 75.69-44.89 = 30.8. 10

U-8 Dato il problema di decisione d 1 d 2 d 3 d 4 4 4 3 k 15 10 2 8 6 5 25 12 risolvere con i criteri del regret e delle eccedenze, quando k= 7; trovare poi per quali valori k la decisione d 4 è ammissibile (NB: q 3 = 1 - q 1 - q 2 ). Il suggerimento ha lo scopo di indicare una possibilità generale di soluzione di problemi di ammissibilità anche quando vi sono tre stati di natura, per via geometrica: si tratta di individuare la regione del piano q 1 q 2 dove sono verificate certe diseguaglianze. Nel caso specifico la cosa è superabile del tutto se si osserva che in realtà la decisione d 2 è dominata dalla decisione d 1 e quindi può essere esclusa a priori dalle decisioni miste che potrebbero dominare d 4. a) Le matrici dei regret e delle eccedenze risultano rispettivamente: d 1 d 2 d 3 d 4 d 1 d 2 d 3 d 4 3 3 4 0 1 1 0 4 0 5 13 7 13 8 0 6 19 20 0 13 1 0 20 7 max 19 20 13 * 13 * min 1 0 0 4 *, e pertanto vi sono due decisioni ottime (regret), d 3 e d 4, mentre con il criterio delle eccedenze è ottima d 4. b) Conviene individuare quando d 4 è dominata da decisioni miste formate da d 1 e d 3. Posto q 2 = 0, e q 3 = 1 - q 1, si ha il sistema: k 4q 1 + 3 (1-q 1 ); 8 15q 1 + 2(1-q 1 ); 12 6q 1 + 25(1- q 1 ). Dalla seconda e dalla terza condizione si ottiene: 6/13 q 1 13/19 mentre dalla prima risulta q 1 k - 3. Affinché d 4 sia ammissibile, cioè non dominata da decisioni miste, occorre che k-3>13/19, cioè k > 70/19 (in questo modo il sistema non ha soluzioni: se k-3<13/19 ne avrebbe sempre!). 11

U-9 Un decisore ha ricchezza iniziale w=10; funzione di utilità u(x) = log(x+k) ed è titolare di una lotteria in cui può vincere 3 (prob. 1/2) e perdere 3 (prob. 1/2). Qual è il certo equivalente quando k=5? Quanto deve essere k affinché il premio di rischio sia eguale a 1? Si sottolinea come non sia indispensabile, e anzi sia da evitare, il calcolo dei valori numerici dei logaritmi e ricorrere piuttosto a proprietà ben note degli stessi, come si vedrà nella risoluzione. a) per k=5 occorre impostare l'eguaglianza: cioè: u(w + CE) = 1/2 * u(10-3) + 1/2 * u(10+3) log (w + CE + 5) = 1/2 * log (7+5) + 1/2 * log (13+5) da cui, per note proprietà dei logaritmi: e infine: log (w + CE + 5) = log (12 * 18) 1/2 w + CE = (216) 1/2-5 = 9.7, e CE = -0.3. b) Il valore atteso della lotteria è 0, per cui il valore atteso di w + L risulta eguale a 10. Se il premio di rischio è 1, il certo equivalente aumentato della ricchezza risulta 10-1=9. Occorre risolvere: log (w + CE + k) = log (9+k) = 1/2 log (13+k) + 1/2 log (7+k) cioè, procedendo come sopra, eguagliando gli argomenti: 9+k = [(13+k)(7+k)] 1/2 9+k = (91 + 20k + k 2 ) 1/2 81 + 18k + k 2 = 91 + 20k + k 2 da cui k = -5. Il valore finale va sottoposto ad una verifica, perché non sarebbe accettabile determinare il logaritmo di quantità negative (cosa che nel caso non succede). 12

U-10 Un decisore ha ricchezza iniziale w = 5; funzione di utilità u(x) = kx - x 2 ed è titolare di una lotteria in cui può vincere 2 (prob. 0.4) e perdere 2 (prob. 0.6). Qual è il certo equivalente quando k=20? Quanto deve essere k affinché il premio di rischio sia eguale a 1? Si tratta di una variante del problema precedente, al quale si rimanda per la impostazione complessiva. Occorre questa volta tenere conto del fatto che il valore atteso della lotteria non è 0. a) (k=20). u(w + CE) = 0.4 * u(7) + 0.6 * u(3) Posto per brevità w + CE = y, si deve risolvere: 20 y - y 2 = 0.4 (20 * 7-49) + 0.6 (20 * 3-9), 20 y - y 2 = 67. La equazione di secondo grado che ne risulta ha le soluzioni: y' = 4.26 y" = 15.74 delle quali la seconda va scartata perché si riferisce ad un importo superiore a tutti i valori monetari in gioco! Pertanto il certo equivalente è 4.26-5 = -0.74. (Si noti come il valore w + CE sia compreso tra 3 e 7). b) Il valore atteso della lotteria è 0.4 * 2 + 0.6 * (-2) = -0.4. Se il premio di rischio è 1, il certo equivalente è -1.4. Si tratta allora di calcolare per quale k si ha: cioè da cui u(w + CE) = u(5-1.4) = u(3.6) = = 0.4 * u(7) + 0.6 * u(3), k * 3.6-12.96 = 0.4(k * 7-49) + 0.6(k * 3-9) = 4.6k - 25 k = 12.04. 13

U-11 Un decisore A ha ricchezza w = 10 ed è titolare di una lotteria che, con probabilità 0.6 gli fa vincere 4; con probabilità 0.4 gli farà perdere 3. La sua funzione di utilità è u A (x)(v. sotto). Individuare il suo certo equivalente. Un secondo decisore B ha funzione di utilità u B (x) (v. sotto) e ricchezza iniziale r = 16. Determinare se, e con quale contropartita A è disposto a cedere la lotteria a B, e B è disposto ad accettarla. 2 x, x 9 x, x 15 u A (x) = x + 9, 9 < x < 12 u B (x) = x/2 + 7.5, 15 < x <19 x/2 + 15, x 12 x/3 + 32/3 x 19 Il senso della domanda sta nel fatto che può capitare che nella compravendita di una lotteria il venditore (in questo caso A) pretenda una contropartita superiore al massimo che è ritenuto equo da B (a causa delle funzioni di utilità) e quindi non è detto che il prezzo minimo richiesto da uno dei due sia accettabile per l'altro decisore. a) Il decisore A ottiene: 14, (prob. 0.6) e 7 (prob. 0.4). Il suo certo equivalente soddisfa la relazione: u(w + CE) = 0.6 * (14/2 + 15) + 0.4 * (2 * 7) = 18.8. Poiché u(9)=18 e u(12)=21, l'utilità 18.8 si riferisce alla seconda delle espressioni (x+9) e quindi si ha: u(w + CE) = (10+CE+9) = 18.8; CE = -0.2. Pertanto il decisore A è disposto a cedere la lotteria stessa pagando in aggiunta un importo di 0.2. b) Il decisore B, se accetta di ricevere sia la lotteria che l'importo 0.2 ha una utilità attesa: 0.6 * u(16+4+0.2) + 0.4 * u(16-3+0.2) = 0.6 u(20.2) + 0.4 u(13.2) Sostituendo si ottiene u(r + L + 0.2) = 15.72. D'altra parte, la ricchezza r=16 gli comporta una utilità di u(16) = 16/2 + 15/2 = 15.5 e pertanto B, per l'importo 0.2, è disposto a ricevere anche la lotteria. 14

U-12 Un decisore (di ricchezza iniziale convenzionalmente nulla) ha la matrice delle utilità, corrispondenti a tre decisioni, seguente: d 1 d 2 d 3 s 1 7 11 5 0.4 s 2 3 2 12 0.4 s 3 10 3 1 0.2 Un intervento della Pubblica Amministrazione ha l'effetto di raddoppiare le utilità dei risultati corrispondenti al terzo stato di natura. Supposto che la funzione di utilità sia u = x 1/2, trovare: il certo equivalente della decisione ottima (nella tabella originaria); il guadagno medio monetario (incrementale) derivante dalla nuova normativa. Si tratta di valutare di quanto aumenta il certo equivalente con la nuova normativa: in generale, cambiando le utilità di s 3 cambia anche la decisione ottima e quindi ci sarà un nuovo certo equivalente. Tale nuovo valore va confrontato con quello che si aveva in precedenza. a) Le utilità attese per le varie decisioni risultano: u(d 1 ) = 2.8 + 1.2 + 2 = 6; u(d 2 ) = 4.4 + 0.8 + 0.6 = 5.8; u(d 3 ) = 2 + 4.8 + 0.2 = 7; e pertanto la decisione ottima è d 3 con un certo equivalente di 7 2 = 49. b) Dopo il cambiamento dei valori delle utilità nella terza riga, le utilità delle tre decisioni sono: u(d 1 ) = 2.8 + 1.2 + 4 = 8; u(d 2 ) = 4.4 + 0.8 + 1.2 = 6.4; u(d 3 ) = 2 + 4.8 + 0.4 = 7.2; e pertanto la decisione ottima è stavolta la prima, con utilità 8 e certo equivalente 64. Il miglioramento in termini monetari equivalenti è 64-49 = 25. 15

U-13 Due decisori, A e B, hanno entrambi utilità u(x) = log x. A possiede una ricchezza iniziale w=10 e una lotteria L A che con probabilità 1/2 gli fa vincere 4, mentre con probab. 1/2 non vince nulla; B ha w = 8 e una lotteria L B che gli fa vincere 2 (prob. 1/2) oppure 0 (prob. 1/2). Trovare i certi equivalenti per A e per B. Trovare i certi equivalenti se A cede a B metà della eventuale vincita e B cede ad A metà della propria (supporre L A e L B indipendenti). Tutto il problema, come si vedrà, può essere risolto senza calcolare i valori numerici dei logaritmi. Supponendo le lotterie indipendenti, si potranno avere quattro combinazioni di risultati: vincono sia A che B; nessuno dei due vince; vince A, ma non B; vince B ma non A. Ogni caso si presenta ovviamente con probabilità 1/4. Dai risultati finali si può osservare che A non ottiene vantaggi dallo scambio, a causa della minore vincita che si ha nella lotteria di B: in generale, invece, se le vincite sono eguali, per decisori avversi al rischio la ripartizione reciproca di lotterie è conveniente. a) Certo equivalente di A: log (w + CE A ) = 1/2 log (10+4) + 1/2 log (10) = 1/2 log 14 * 10, da cui w + CE A = (140) 1/2 = 11.83, e CE A = 1.83. Certo equivalente per B: log (w + CE B ) = 1/2 log (8+2) + 1/2 log 8 = 1/2 log 80 da cui w+ CE B = (80) 1/2 = 8.94, e CE B = 0.94. b) I risultati possibili (sia per A che per B) sono: +3, +2, +1, 0; tutti con prob. 1/4. Il certo equivalente per A si ricava ora dalla equazione: log(w + CE A ) = 1/4 (log 13 + log 12 + log 11 + log 10) = 1/4 log 17160, e quindi si ottiene: w+ CE A = (17160) 1/4 = 11.45, cioè CE A = 1.45. Il certo equivalente per B si ottiene invece da: log (w + CE B ) = 1/4 (log 11 + log 10 + log 9 + log 8) = 1/4 log 7920, e quindi: w+ CE B = (7920) 1/4 = 9.43, cioè CE B = 1.43. 16

U-14 Un decisore ha ricchezza iniziale w=10 e funzione di utilità u(x) = (x + k) 1/2. a) per k=0, quale prezzo è disposto a pagare per ottenere la lotteria L con cui perde 2 (prob. 0.5) e vince 3 (prob. 0.5)? b) supponendo che egli sia già titolare della lotteria, quanto deve valere k affinché il premio di rischio sia 0.1? Si noti la diversità delle due situazioni. Se il decisore deve entrare in possesso della lotteria, dovrà confrontare la ricchezza 10 con 10 + lotteria - prezzo che paga; se è già titolare, deve individuare il certo equivalente di ricchezza + lotteria, come punto di partenza per fissare il premio di rischio. a) k = 0. Diciamo p il prezzo. Deve valere: u(10) = 0.5 * u(10+3-p) + 0.5 * u(10-2-p) e quindi (10) 1/2 = 0.5 (13-p) 1/2 + 0.5 (8-p) 1/2. Elevando al quadrato una prima volta si ottiene: 40 = 21-2p + 2 [(13-p)(8-p)] 1/2. Isolando a secondo membro la radice ed elevando ancora al quadrato, si ottiene: da cui p = 55/160 = 0.34. 361 + 4p 2 + 76p = 4(p 2-21p + 104), b) Calcoliamo innanzitutto il valore atteso della lotteria: E(L) = 3 * 0.5 + (-2) * 0.5 = 0.5. Poiché il premio di rischio deve essere 0.1, il certo equivalente della lotteria è 0.4, che, aumentato della ricchezza iniziale dà w + CE = 10.4. Deve essere allora: u(10.4) = 0.5 * u(13) + 0.5 * u(8), cioè (10.4 + k) 1/2 = 0.5 [ (13 + k) 1/2 + (8 + k) 1/2 ]. Un primo elevamento al quadrato porta a 20.6 + 2k = 2 [(13 + k)*(8+k)] 1/2. Con un secondo elevamento al quadrato: 424.36 + 82.4k + 4k 2 = 416 + 84k + 4k 2. Infine si ottiene: k = 5.23. 17

U-15 Un decisore ha ricchezza iniziale w=5; perde 6 con prob. 0.2, perde 4 con prob. 0.3, vince 3 con prob. 0.5. La sua funzione di utilità è u(x) = x 1/3. Trovare certo equivalente e premio di rischio. Dire qual è l'atteggiamento verso il rischio nel caso della lotteria specificata e, più in generale, considerata la funzione di utilità nel suo complesso. La funzione di utilità u(x) = x 1/3 risulta concava per valori positivi della x, ma convessa per valori negativi (v. grafico seguente): questo ha evidenti conseguenze sull'atteggiamento del decisore (v. la risoluzione). a) Il DM, tra ricchezza e lotteria, ottiene nel complesso: -1 (prob. 0.2); 1 (prob. 0.3); 8 (prob. 0.5). Il valore atteso del risultato finale è: -0.2 + 0.3 + 4 = 4.1; l'utilità attesa è invece: u(w + L) = 0.2 * (-1) + 0.3 * 1 + 0.5 * 2 = 1.1 e l'importo w + CE corrispondente è 1.1 3 = 1.331. Pertanto il premio di rischio risulta: 4.1-1.331 = 2.769. b) Poiché il premio di rischio della lotteria proposta è positivo, il decisore si manifesta quale avverso al rischio, nella circostanza specifica. Poiché la funzione di utilità è concava per x > 0 e convessa per x < 0, più in generale, il decisore è localmente avverso al rischio per importi positivi e propenso al rischio per importi negativi. 18

U-16 Un problema di decisione con due stati di natura ammette la rappresentazione geometrica seguente: 8 7 4 d 3 d 4 5 2 1 d 1-2 d 2-1 p a) Scrivere la tabella in forma normale; b) costruire una decisione mai ottima che domini d 4 ; c) trovare il valore atteso della informazione perfetta al variare di p. Il secondo quesito non ha risposta univoca (e pertanto se ne proporrà una, ribadendo che non si tratta della sola possibile); il terzo quesito va riferito alla sola situazione iniziale (a prescindere quindi dalla soluzione alla seconda domanda). a) d 1 d 2 d 3 d 4 s 1-1 8 7 5 p s 2 4-2 2 1 1-p b) Una possibile decisione d 5 è: (6,2). c) Le utilità attese delle varie decisioni sono: u(d 1 ) = 4-5p; u(d 2 ) = 10p - 2; u(d 3 ) = 5p + 2; u(d 4 ) = irrilevante (perché dominata!). La decisione ottima risulta (dal grafico, ad es.!): d 1, per 0 p 0.2; d 3, per 0.2 p 0.8; d 2, per 0.8 p 1. Il valore atteso delle utilità massime (per ogni stato di natura) è: 8p + 4(1-p) = 4p + 4. 19

Il valore atteso della informazione perfetta è: - per p compreso tra 0 e 0.2: 4p + 4-4 + 5p = 9p; - per p compreso tra 0.2 e 0.8: 4p + 4-5p-2 = 2-p; - per p compreso tra 0.8 e 1: 4p + 4-10p +2 = 6-6p. (negli estremi comuni agli intervalli, p = 0.2 e p = 0.8 le due espressioni corrispondenti si equivalgono). 20

U-17 Dato il problema di decisione con due stati di natura: d 1 d 2 d 3 d 4 3 9 6 A 8 4 7 0 a) risolvere con il metodo del regret al variare di A; b) supposti gli stati di natura equiprobabili, dire per quali valori di A il criterio mediavarianza con k=1 fa preferire d 4. Si tratta di calcolare la matrice dei regret a seconda dei vari valori che può assumere il parametro A. Per il secondo quesito, si osserva che, a priori, d 4 può non risultare mai ottima. a) Occorre distinguere due casi: A>9 e A 9. Per A > 9 si ha la matrice dei regret: b) A-3 A-9 A-6 0 0 4 1 8 Il max per colonna (tenuto conto che A>9) è: A-3 max(a-9, 4) A-6 8. Si tratta di individuare ora il minimo tra tali valori. Occorre stabilire, per prima cosa, quanto vale max(a-9, 4). Esso risulta: A-9, se A>13; 4 se A 13. Dato poi che A-3 > A-6, qualunque sia A, nella ricerca del minimo tra i massimi, la prima decisione può essere sempre trascurata. Perciò: - per A > 13, occorre individuare il min tra A-9, A-6, e 8, (cioè tra A-9 e 8): questi è 8, quando A>17; è A-9, per A 17; - per 9 < A 13 occorre individuare il minimo tra A-3, 4, A-6, e 8, cioè, in pratica, tra 4 e A-6: esso sarà 4, per A compreso tra 10 e 13, sarà invece A-6 per A compreso tra 9 e 10. In conclusione, la decisione ottima può essere indicata come segue: 9 10 13 17 d 3 d 2 d 2 d 4 Per A 9 la matrice dei regret risulta: il massimo (per colonna) risulta: 6 0 3 9-A 0 4 1 8 6 4 3 max (9-A,8) 21

Il max tra 9-A e 8 risulta: 9-A, per A<1, 8 per 1 A 9. In ogni caso, però, il minimo dei massimi è sempre 3 e la decisione ottima è d 3. b) per applicare il criterio media-varianza, calcoliamo i valori attesi delle utilità delle decisioni e le varianze: Eu(d 1 ) = 5.5; σ 2 (d 1 ) = 6.25; Eu(d 2 ) = 6.5; σ 2 (d 2 ) = 6.25; Eu(d 3 ) = 6.5; σ 2 (d 3 ) = 0.25; Eu(d 4 ) = A/2; σ 2 (d 4 ) = A 2 /4. Le valutazioni delle decisioni sono, nell'ordine: -0.75; 0.25; 6.25; A/2-A 2 /4. Si constata che la decisione d 4 non è mai ottima in quanto non risulta mai migliore della d 3 (che è la migliore tra le rimanenti). 22

U-18 Dato il problema di decisione: d 1 d 2 d 3 3+M 6 2 0.2 10 4 7 0.5 1 3 5 0.3 risolvere con il criterio media/varianza per k=1 e valore del parametro M=2; trovare per M=2 il valore atteso della informazione perfetta; dire se esistono M per i quali il valore atteso della informazione perfetta è eguale a 0. In generale, il terzo quesito può avere anche risposta negativa (che va, ovviamente, giustificata!) a) Per applicare il criterio media - varianza, calcoliamo i valori attesi delle utilità delle decisioni e le varianze: u(d 1 ) = 6.3; u(d 2 ) = 4.1; u(d 3 ) = 5.4; σ 2 (d 1 )= 15.61; σ 2 (d 2 )= 1.09; σ 2 (d 3 )= 3.64. Le valutazioni delle decisioni sono, nell'ordine: -9.31; 3.01; 1.76. La decisione ottima è quindi d 2. b) Per calcolare il valore atteso della informazione perfetta, individuiamo il valore atteso delle utilità massime per ogni riga. Questo è: 6 * 0.2 + 10 * 0.5 + 5 * 0.3 = 7.7. Pertanto il V.A.I.P. è 7.7-6.3 = 1.4. c) Il valore atteso della informazione perfetta è 0 se e solo se il massimo delle utilità compare sempre nella stessa colonna (quando una decisione domina tutte le altre). Poiché il massimo sulla seconda e terza riga cade in colonne diverse, non vi è alcun valore di M per il quale si verifichi quanto richiesto. 23

U-19 Dato il problema di decisione d 1 d 2 d 3 2 10 4 0.2 4 8 2 0.5 7-5 6 0.3 a) determinare se d 3 è dominata da decisioni miste tra d 1 e d 2 ; b) supponendo che il valore 8 sia stimato con un margine del ± 25%,dire se ciò è rilevante ai fini della scelta in base al criterio della utilità attesa. Il secondo quesito richiede di esaminare due casi estremi: un errore del 25% in eccesso ed un errore in difetto di altrettanto. A seconda dei risultati di queste due valutazioni, si potranno fare poi considerazioni ulteriori. a) Per studiare la dominanza, impostiamo il sistema: 4 2q + 10(1-q) = 10-8q 2 4q + 8(1-q) = 8-4q 6 7q -5(1-q) = 12q - 5. Le tre condizioni risultano incompatibili: dalla prima, q 3/4; dalla seconda q 6/4, cosa sempre vera essendo q una probabilità, mentre dalla terza q 11/12. Perciò d 3 non è mai dominata da decisioni miste. c) Nei due casi estremi (vero valore 6, cioè il 25% in meno, oppure vero valore 10, il 25% in più) si ha che u(d 2 ) varia da 3.5 a 5.5. Essendo u(d 1 ) = 4.5 u(d 3 ) = 3.6 si può concludere che la scelta ottimale in effetti cambia. 24

U-20 Un decisore A ha ricchezza iniziale 10 e deve subire una lotteria L che gli fa ottenere 2 (prob. 0.2), oppure perdere 4 (prob. 0.8). La sua funzione di utilità è: u(x) = x, x 8 x/2 + 4, x > 8. Trovare l'importo p che A è disposto a pagare per evitare L. Un secondo decisore B ha ricchezza 16 e utilità u(x) = x 1/2. Stabilire se B è disposto ad accettare la lotteria L insieme con la ricompensa p che gli propone A. Il problema è in sostanza una questione di convenienza di assicurazione, dove l'assicurato A stabilisce il premio di assicurazione, mentre B funge da compagnia assicuratrice. (Dovrebbe essere evidente che la ricompensa p del secondo quesito è il valore determinato nella prima domanda!) Si noti poi che l'utilità coincide con l'importo monetario, per x 8; per x > 8 rimane crescente ma con un tasso di crescita inferiore. a) importo di assicurazione di A: il decisore A ottiene complessivamente 12 (prob. 0.2) e 6 (prob. 0.8) e una utilità attesa di: u(w+l) = 0.2*u(12) + 0.8*u(6) = 0.2*(12/2 + 4) + 0.8*6 = 6.8. Poiché il valore della utilità è inferiore a 8, esso coincide con l'importo monetario, e quindi il certo equivalente complessivo (ricchezza + lotteria) è 6.8. Se A si assicura, non ha né vincite né perdite, ma deve pagare p. Deve essere allora u(10-p) = u(w + CE) = 6.8, da cui si ricava p = 3.2. b) Se B accetta la lotteria, egli ottiene: 16 + 2 + 3.2 (prob. 0.2); 16-4 + 3.2 (prob. 0.8) mentre se non accetta rimane con la ricchezza 16. Occorre vedere quale situazione gli procura maggiore utilità (attesa). Nel primo caso si ha: u = 0.2 * (21.2) 1/2 + 0.8 * (15.2) 1/2 = 0.921 + 3.119 = 4.04, mentre nel secondo la utilità è 4. Pertanto B accetta la lotteria. 25

U-21 Un decisore ha funzione di utilità: x, per x k; u(x) = x/2 + k/2, per x>k. Determinare k in modo che il certo equivalente della lotteria: avere 6 (prob. 0.5) oppure 12 (prob. 0.5) sia 8.5. Fissato k=7, supponendo ricchezza iniziale 10, quanto è disposto a pagare per assicurarsi contro una perdita di 5 (prob. 0.1)? La funzione di utilità è lineare a tratti, rappresentata graficamente da due semirette aventi un punto in comune. Occorre a questo punto tenere presente che se i valori di una lotteria si collocano tutti in corrispondenza della stessa semiretta, il decisore è indifferente al rischio. Poiché invece, il certo equivalente (8.5) è inferiore al valore atteso di L (che è 9), il decisore manifesta avversione al rischio: questo significa che i valori 6 e 12 devono corrispondere ciascuno ad una diversa semiretta e che quindi k deve essere compreso tra 6 e 12. a) Deve essere u(8.5)=0.5*u(6)+0.5*u(12)=0.5*6 + 0.5*(12+k)/2, cioè Si distinguono due casi: u(8.5) = 6 + 0.25*k. k 8.5: u(8.5) = 8.5 = 6 + 0.25*k da cui k = 10; k < 8.5: u(8.5) = (8.5 + k)/2 = 6 + 0.25*k da cui k=7. Entrambe le soluzioni sono accettabili. d) Per k = 7 e non assicurandosi, il decisore si ritrova con la lotteria L: Se non la cede, la sua utilità attesa è: 10 (prob. 0.9) 5 (prob. 0.1). u(l) = 0.1*5 + 0.9*(10+7)/2 = 8.15. Se paga una assicurazione p ottiene 10-p con certezza; il valore massimo di p è individuato da: u(l) = 8.15 = u(10-p) = (10-p+7)/2, da cui p = 0.7. 26

U-22 Un decisore ha funzione di utilità 1-1/x e capitale iniziale 20 che investe con rendimento: 10% (prob. 0.6), 20% (prob. 0.4). Trovare il premio di rischio. Individuare inoltre il rendimento (tasso) certo equivalente. Evidentemente occorre aggiungere i rendimenti alla ricchezza (capitale iniziale) e valutare valore atteso e certo equivalente della lotteria che ne risulta. Si consiglia di calcolare con un adeguato numero di cifre le utilità, perché altrimenti i risultati perdono di significato, in quanto i valori numerici in gioco differiscono assai poco tra di loro! a) Il decisore deve valutare, in sostanza, una lotteria L nella quale ottiene 22 con prob. 0.6 mentre ottiene 24 con prob. 0.4. Il valore atteso di L è 22.8. Il valore atteso dell'utilità risulta: u(l) = 0.6*(1-1/22) + 0.4*(1-1/24) = 0.572727 + 0.383333 = 0.956060. Pertanto il certo equivalente di L si ricava risolvendo l'equazione: Il premio di rischio è allora b) Il tasso equivalente risulta 1-1/x = 0.956060, che fornisce x = 22.7583. 22.8-22.7583 = 0.0417. (2.7583/20)*100 = 13.79 27

U-23 Per un decisore D il certo equivalente della lotteria L 1 : avere 10 (prob. 1-p) oppure 20 (prob. p) è 13, per p = 0.6, mentre è 16, per p = 0.8. Trovare per quale valore di q la lotteria L 2 : avere 13 (prob. 1-q) oppure 20 (prob. q) è indifferente alla lotteria L 3 : avere 10 (prob. 0.2) oppure 16 (prob. 0.8). Anche se non essenziale per la risoluzione del problema, è utile per semplificare i calcoli imporre due valori di utilità (è assai comoda la posizione u(10)=0 e u(20)=1). Questo è sempre fattibile perché le utilità (cardinali) sono definite a meno di una trasformazione lineare crescente. Posto u(10)=0 e u(20)=1, (vedi il ) la prima lotteria L 1 ha valore atteso delle utilità (1-p)*0+p*1 = p. Per p=0.6, si ha: u(13) = u(l 1 ) = p = 0.6. Per p=0.8, invece: u(16) = u(l 1 ) = p = 0.8. Ciò consente di scrivere (eguagliando le utilità delle ultime due lotterie L 2 ed L 3 del testo): da cui: Si ricava infine, (1-q)*u(13) + q*u(20) = 0.2*u(10) + 0.8*u(16) (1-q)*0.6 + q*1 = 0.2*0 + 0.8*0.8 = 0.64. q = 0.1. 28

U-24 Un decisore dotato di ricchezza iniziale nulla e con u(x) = x 1/2, deve scegliere tra le decisioni d 1, d 2 e d 3 della tabella delle utilità dei risultati che segue: d 1 d 2 d 3 5 8 0 0.3 7 3 k 0.3 15 10 12 0.4 Determinare il valore atteso della informazione perfetta al variare di k. Dire quanto è disposto a pagare l'informazione perfetta quando k = 10. Va tenuto presente che la matrice del testo contiene delle utilità e che quindi, nella risposta al secondo quesito, occorrerà risalire a importi monetari (solo allora interviene la espressione della funzione di utilità u(x)). a) Le utilità attese delle tre decisioni sono: u(d 1 ) = 1.5 + 2.1 + 6 = 9.6; u(d 2 ) = 2.4 + 0.9 + 4 = 7.3; u(d 3 ) = k * 0.3 + 4.8. La decisione ottima dipende dal valore di k, ma va scelta comunque tra d 1 e d 3. Si tratta di risolvere la disequazione: k*0.3 + 4.8 9.6 che dà k 16. Pertanto la decisione ottima è d 1 per k 16; è invece d 3 per k 16. Il valore atteso delle utilità massime è: 8*0.3 + 7*0.3 + 15*0.4 = 10.5, per k 7; 8*0.3 + k*0.3 + 15*0.4 = 8.4 + k*0.3, per k 7. Il valore atteso della informazione perfetta risulta: 8.4 + k*0.3 - k*0.3-4.8 = 3.6, per k 16; 8.4 + k*0.3-9.6 = k*0.3-1.2, per 7 k 16; 10.5-9.6 = 0.9, per k 7. b) Per k = 10 la decisione ottima è d 1, con utilità 9.6; l'importo certo equivalente è 9.6 2 = 92.16. Con l'informazione perfetta, l'utilità complessiva è 8.4 + k*0.3 = = 8.4 + 10*0.3 = 11.4, con un equivalente certo di 11.4 2 = 129.96. Il vantaggio equivalente monetario è 129.96-92.16 = 37.80. 29

U-25 Un decisore ha funzione di utilità -2 -x e ricchezza iniziale 4. Con probabilità 0.2 subisce un danno di 1; con prob. 0.1, invece, la perdita è di 2. Quanto è disposto a pagare per evitare qualsiasi perdita? Quanto è disposto a pagare per essere risarcito solo del danno più elevato (quello di 2 unità)? I termini "danno" e "perdita" vanno intesi come sinonimi. Si tratta di risolvere un problema di assicurazione totale (primo quesito) o parziale (secondo quesito). La probabilità di non subire danni (perdite) è 0.7. a) Dai dati del problema, il decisore, considerata la ricchezza iniziale, può avere tre risultati: 4 (prob. 0.7); 3 (prob. 0.2); 2 (prob. 0.1). Nel caso di assicurazione totale deve valere: u(4-p) =0.7*u(4) + 0.2*u(3) + 0.1*u(2) = -(7/160 + 2/80 + 1/40) = -1.5/16. Il valore monetario corrispondente a -1.5/16 si trova risolvendo -2 -x = -1.5/16 da cui x = log 2 16/1.5 (= 3.415). L'importo p è dunque 4 - log 2 16/1.5 (= 4-3.415 = 0.585). b) Se il DM si assicura solo contro la perdita più elevata, indicando con p l'importo pagato, egli ottiene: 4-p, con prob. 0.7+0.1=0.8; 3-p, con prob. 0.2. Per individuare p occorre risolvere: 0.8 * u(4-p) + 0.2 * u(3-p) = 0.7 * u(4) + 0.2 * u(3) + 0.1 * u(2), cioè (-2 -(4-p) * 0.8) + (-2 -(3-p) * 0.2) = -1.5/16. Semplificando si ottiene: 2 p * (0.8/16 + 0.2/8) = 2 p *3/40 = 1.5/16. Si ricava infine: 2 p = (1.5/16)*(40/3) = 5/4. (Si può specificare, proseguendo nei calcoli, p = log 2 5/4 = 0.322). 30

U-26 Si consideri la lotteria L =(4, p; 12, (1-p)). Sia u(4) = 2 e u(12) = 6. Si chiede: a) per quale p il CE di L è 8, se u(8) = 5? b) quali devono essere i valori di p e di u(8) affinché il premio di rischio π sia 1 (essendo ancora 8 il CE di L)? Il problema è ricollegabile alla tecnica atta a individuare la funzione di utilità di un decisore, mediante domande sulle preferenze di esiti collegati ad una particolare lotteria. Si noti poi che nella prima domanda u(8) è un dato noto (vale 5), mentre nella seconda domanda si tratta di un'incognita, da determinare! a) Se 8 è il Certo Equivalente CE della lotteria L, vale la eguaglianza: u(8) = p*u(4) + (1-p)*u(12). Sostituendo i valori delle varie utilità si ottiene: 5 = p*2 + (1-p)*6, da cui 4*p = 1, e quindi p = 1/4. b) Se il premio di rischio è 1, il certo equivalente è inferiore di una unità rispetto al valore atteso della lotteria, E(L). Calcoliamo intanto quest'ultimo valore E(L) = 4*p + 12*(1-p) = 12-8*p. Poiché il certo equivalente è 8, allora dalla relazione si ricava Infine, dalla relazione 8 = CE = E(L) - π = 12-8*p - 1 = 11-8*p, p = 3/8. u(8) = p*u(4) + (1-p)*u(12), sostituendo ancora le utilità note e il valore p=3/8 appena trovato si ottiene: u(8) = p*2 + (1-p)*6 = 6-4*p = 6-3/2 = 4.5. 31

U-27 Data la tabella di decisioni: d 1 d 2 d 3 s 1 3+k 5 7-k/2 p s 2 4-k 3 4-k/2 1-p individuare la decisione migliore per k = -1 e p = 0.05; determinare, al variare di k, quando d 2 è ammissibile, non ammissibile, dominata. Per rispondere alla seconda domanda, conviene individuare su di un grafico le traiettorie percorse dalle decisioni d 1 e d 3 al variare di k (grafico decisioni / punti), mettendo in evidenza alcuni valori di k (in particolare k = 0) e studiare innanzitutto le dominanze, in modo da ridurre l'insieme di valori k per cui esaminare l'ammissibilità. Per individuare i casi di non ammissibilità, tra i vari procedimenti, si suggerisce (e viene seguito nella risoluzione) quello che sfrutta il fatto che se una decisione d' cade al di sotto del segmento congiungente altre due decisioni d A e d B, con d A situata alla sinistra di d B (vedi la figura che segue), allora la retta congiungente d A con d' ha un coefficiente angolare inferiore a quello della retta congiungente d' con d B. Si noti che entrambi i coefficienti angolari sono < 0 per i valori di k per i quali non si ha dominanza tra decisioni pure. d A d B d m 2 m 1 < m 2 (< 0) m 1 a) Le utilità attese delle decisioni, per k = -1 e p = 0.05, sono: u(d 1 ) = 4.85; u(d 2 ) = 3.10; u(d 3 ) = 4.65; e quindi la decisione migliore risulta la prima. b) Individuiamo i valori di k per i quali d 2 è dominata. Per confrontare d 2 con d 1, si può risolvere il sistema (di diseguaglianze): 3 + k 5 4 - k 3 32

che ha come soluzioni i valori per cui, simultaneamente, k 2 e k 1: il sistema quindi risulta impossibile; viceversa, risolvendo il sistema ottenuto da quello appena scritto sostituendo ' ' al posto di ' ', si vede che per 1 k 2 d 2 domina d 1. Per confrontare d 2 con d 3, impostiamo il sistema: 5 7 - k/2 3 4 - k/2. Da questo si deduce che: per k 2 d 3 domina d 2 ; per k 4 d 2 domina d 3. Si può concludere, per adesso, che d 2 è dominata per k<2, mentre è certamente ammissibile per k>4. Per 2<k<4, in corrispondenza ad s 2 le utilità delle decisioni d 1 e d 3 (4-k e 4-k/2) sono sempre a quella della decisione d 2, che è 3 (ciò si vede facilmente, ad es, per via grafica). Quindi non è possibile che in tale intervallo d 2 sia dominata da decisioni miste: è una decisione ammissibile. 33

U-28 Data la tabella di decisioni: d 1 d 2 d 3 s 1 3+k 5 8-k/2 p s 2 4+k 5 4+k/2 1-p individuare la decisione migliore per k = 2 e p = 0.1; determinare, al variare di k, quando d 2 è ammissibile, non ammissibile, dominata. Questo problema, variante numerica del precedente, viene riportato per illustrare una situazione con caratteristiche in parte differenti. Per il resto, valgono le osservazioni già presentate per U-27. a) Le utilità attese delle decisioni per k = 2 e p = 0.1 sono: u(d 1 ) = 5.9; u(d 2 ) = 5; u(d 3 ) = 5.2; e quindi la decisione migliore risulta la prima. b) Individuiamo i valori di k per i quali d 2 è dominata. Confrontandola con d 1, si tratta di risolvere il sistema: 3 + k 5 4 + k 5 che fornisce k 1 e k 2: per k 2, d 2 è dominata da d 1, mentre per k 1 d 2 domina d 1. Confrontandola con d 3 : 5 8 - k/2 5 4 + k/2. Se ne ricava che per 2 k 6 d 2 è dominata da d 3. Pertanto, per k 1 d 2 è ammissibile; per k 2 è dominata: resta da studiare l'intervallo 1 < k < 2. Perché d 2 sia ammissibile occorre (v. commento U-27) che i coefficienti angolari delle rette (d 1, d 2 ), m 12, e (d 2, d 3 ), m 23, soddisfino la relazione m 12 m 23 : [(4+k)-5]/[(3+k)-5] [5-(4+k/2)]/[5-(8-k/2)]. Si ottiene: (k-1)/(k-2) (2-k)/(k-6) da cui, sapendo che 1<k<2, si ha: 2k 2-11k + 10 0, che ha soluzioni k 1.14922 e k 4.35075. Pertanto, anche per 1 < k 1.14922 la decisione d 2 è ammissibile. 34

U-29 Un decisore D ha funzione di utilità u = x 1/2. Può incorrere in una perdita di 10 con prob. 0.5. Quale importo p è disposto a pagare se la sua ricchezza è 100? Quale deve essere la ricchezza della società assicuratrice, che ha utilità u = log x, perché essa accetti di assicurare il decisore ricevendo l'importo p? E' un classico problema di assicurazione, nel quale il secondo quesito, anziché riguardare se la compagnia accetta o meno, ha a che vedere con quale deve essere la sua ricchezza per poter accettare: è evidente che deve trattarsi di una ricchezza sufficientemente elevata (ma non è detto a priori sia > 100, dato che la compagnia ha una funzione di utilità diversa da quella del decisore). a) Il decisore deve confrontare le due possibili decisioni: non assicurarsi e assicurarsi pagando un premio. L'indifferenza si ha quando: cioè quando da cui u(100-p) = 0.5*u(100) + 0.5*u(90), (100-p) 1/2 = 0.5*10 + 0.5*9.487 = 9.743 p = 100-9.743 2 = 5.074. b) Diciamo w la ricchezza della compagnia assicuratrice. Quest'ultima confronta le due situazioni: w, con certezza; Passando ai logaritmi, deve valere: w + 5.074 (prob. 0.5), w - 10 + 5.074 (prob. 0.5). cioè log w = 1/2 [log (w + 5.074) + log (w - 4.926)] w = [(w + 5.074) * (w - 4.926)] 1/2. Si ricava, elevando al quadrato e semplificando: cioè 5.074w - 4.926w = 24.995 w = 168.882. 35

U-30 Due decisori, A e B, entrambi con ricchezza iniziale nulla, devono risolvere un problema di decisione ciascuno. Sono date le due matrici dei risultati in forma normale e le funzioni di utilità di A e B, nell'ordine: d 1 d 2 d 3 d 1 d 2 d 3 16 9 25 1/3 2 3 5 1/3 64 81 49 1/3 6 4 1 1/3 9 4 1 1/3 3 8 4 1/3 u 1 (x)= x 1/2 u 2 (x)=x 2 Stati di natura e probabilità coincidono per i due decisori. Essi si coalizzano per ottenere informazioni dallo stesso esperto, pagando, insieme, 5. Calcolare: il valore atteso della informazione perfetta di ciascuno; l'incremento del risultato monetario atteso di ciascuno; come ripartire la spesa in proporzione al vantaggio che si ottiene. Occorre passare dalle matrici dei risultati in forma normale alle matrici delle utilità dei risultati, per calcolare a partire da queste il valore atteso della informazione perfetta. a) Le matrici delle utilità dei risultati sono, rispettivamente: d 1 d 2 d 3 d 1 d 2 d 3 4 3 5 1/3 4 9 25 1/3 8 9 7 1/3 36 16 1 1/3 3 2 1 1/3 9 64 16 1/3 Le decisioni ottime sono: d 1, per il decisore A, con utilità 5; d 2 per il decisore B, con utilità 89/3. Il valore atteso delle utilità massime risulta: 17/3, per A; 125/3 per B. Il valore atteso della informazione perfetta risulta quindi 17/3-5 = 2/3 (per A); 125/3-89/3 = 12 (per B). b) L'incremento monetario equivalente risulta (monetizzando le utilità attese prima e dopo l'informazione perfetta): (17/3) 2-5 2 = 7.111 (per A); [125/3] 1/2 - [89/3] 1/2 = 0.998 (per B) c) Poiché il vantaggio complessivo equivalente dei due è 7.111 + 0.998 = 8.109, la spesa andrebbe divisa: (5 * 7.111)/8.109 = 4.385 per A, 0.615 (cioè il complemento a 5) per B. 36

U-31 Dato il problema di decisione d 1 d 2 d 3 5 6 8 7 3-2 4 2 1 determinare se la decisione d 2 è ammissibile. Determinare quindi il valore atteso della informazione perfetta supponendo i tre stati di natura equiprobabili. Si tratta di applicare la definizione di ammissibilità, cioè verificare se vi è dominanza da parte di decisioni miste, anche se non è possibile (o comunque agevole) una rappresentazione geometrica del problema. a) d 2 non è dominata né da d 1, né da d 3. La decisione d 2 è dominata da decisioni miste tra d 1 e d 3 se ha soluzioni il sistema: 6 5q + 8(1-q) 3 7q - 2(1-q) 2 4q + 1(1-q) con almeno una diseguaglianza verificata in senso stretto. Dal sistema si ottengono le tre condizioni: q 2/3; q 5/9; q 1/3. Pertanto il sistema ha per soluzione 5/9 q 2/3, e quindi si può concludere che d 2 è non ammissibile, perché dominata appunto dalle decisioni miste corrispondenti a 5/9 q 2/3. b) Le utilità attese delle varie decisioni risultano: u(d 1 ) = 16/3, u(d 2 ) = 11/3, u(d 3 ) = 7/3, mentre il valore atteso delle utilità massime risulta 19/3. Pertanto il valore atteso della informazione perfetta è VAIP = 19/3-16/3 = 1. 37

U-32 Si considerino le due funzioni di utilità u 1 (w) = w 1/2 e u 2 (w) = log w ed il gioco L = {4, prob. 1/2; 9, prob. 1/2}. Confrontando i certi equivalenti, dire quale funzione di utilità rappresenta un comportamento maggiormente avverso al rischio. Il paragone tra due funzioni di utilità si può condurre anche attraverso la funzione di avversione al rischio (r(w) = -u"/u'), ma in ogni caso si può controllare per una specifica lotteria, come in questo caso, per quale delle due funzioni di utilità il premio di rischio è maggiore (o il certo equivalente inferiore): si tratta allora della f. di utilità che presenta avversione al rischio maggiore, almeno localmente, cioè per gli importi interessati dalla lotteria. Si osservi, inoltre, che la ricchezza iniziale si presuppone nulla. Calcoliamo i certi equivalenti, attraverso le utilità, con la relazione: Nei due casi, rispettivamente, si ha: u(ce) = 0.5 u(4) + 0.5 u(9). da cui e: da cui CE 1/2 = 0.5 * 2 + 0.5 * 3 = 2.5, CE = 6.25; log CE = 0.5 * log4 + 0.5 * log 9 = 0.5 log 36 CE = 6. La funzione di utilità più avversa al rischio è quella che presenta il CE più piccolo, e quindi si tratta della funzione u(x) = log x. 38

U-33 Dato il problema di decisione d 1 d 2 d 3 d 4 5 6-1 4 p 1 3 4 7+k 5-k p 2 6 1 3 10 p 3 risolvere con il criterio del regret e delle eccedenze per k=-1; discutere poi con il criterio della utilità attesa per k variabile da -2 a 2 e p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3. Il secondo quesito è impostato secondo una logica di analisi di sensitività (supponendo che il parametro k indichi una qualche forma di incertezza sui dati del problema). Si tratta di confrontare delle espressioni in k solo per un limitato campo di variazione di k stesso. a) Per k = -1 le matrici dei regret e delle eccedenze risultano: (regret) 1 0 7 2 (eccedenze) 6 7 0 5 3 2 0 0 0 1 3 3 4 9 7 0 5 0 2 9 max 4 9 7 2 min 0 0 0 3 La decisione migliore con entrambi i criteri è d 4. b) Le utilità delle varie decisioni risultano: min max = 2 max min = 3 u(d 1 ) = 4.3; u(d 2 ) = 3.5; u(d 3 ) = 4.2 + 0.5*k; u(d 4 ) = 6.3-0.5*k. Innanzitutto è da scartare d 2 (sempre peggiore di d 1 ); per quanto riguarda invece le altre decisioni, confrontandole a due a due, si ha: u(d 1 ) > u(d 3 ) per 4.3 > 4.2 + 0.5*k, cioè per k < 1/5; u(d 1 ) > u(d 4 ) per 4.3 > 6.3-0.5*k, cioè per k > 4; u(d 3 ) > u(d 4 ) per 4.2 + 0.5*k > 6.3-0.5*k, cioè per k > 2.1. Complessivamente, nell'intervallo [-2, 2] si constata che la decisione migliore è sempre d 4. 39