$OHVVDQGUR&RUGHOOL *UDQGH]]HJHRPHWULFKH I concetti di grandezza e di misura appartengono all esperienza quotidiana. Detto in termini molto semplici, misurare una grandezza significa andare a vedere quante volte una seconda grandezza entra nella prima. Affinché sia possibile operare un confronto bisogna che le due grandezze siano dello stesso tipo, ovverosia RPRJHQHH. Risulta pertanto chiaro che non tutti gli enti geometrici sono grandezze. Ad esempio, i punti non possono essere confrontati uno con l altro e non si possono quindi qualificare come grandezze. Per i segmenti invece l operazione è possibile. Anche le superfici sono grandezze, sebbene il confronto non sia immediato come per i segmenti ma richieda l applicazione di un certo numero di teoremi. &ODVVLGLJUDQGH]]H Possiamo rendere rigorose tutte queste considerazioni introducendo il concetto di FODVVH GL JUDQGH]]H. Una classe di grandezze è un insieme in cui sono definite: 1. una relazione di FRQIURQWR, cioè dati due qualsiasi elementi dell insieme è sempre possibile stabilire se il primo è maggiore del secondo, o il secondo maggiore del primo, o se sono uguali;. una operazione di VRPPD, in modo che il risultato di tale operazione sia ancora un ente della classe e che siano rispettate le usuali proprietà della somma tra numeri (in particolare le proprietà associativa e commutativa). I segmenti, ad esempio, costituiscono una classe di grandezze, in quanto dati due segmenti è sempre possibile stabilire se sono uguali o, in caso contrario, quale dei due è maggiore; inoltre anche la somma di segmenti è definita. 0XOWLSOLHVRWWRPXOWLSOLGLJUDQGH]]H Quando ad essere sommata è la stessa grandezza presa più volte, si avrà un PXOWLSOR di tale grandezza. Così, ad esempio, se riportiamo per tre volte un segmento D consecutivamente sulla stessa retta otterremo un segmento E triplo di D, e )LJXUD 0XOWLSOR H VRWWRPXOWLSOR GL XQ scriveremo: E = D. Analogamente diremo che D è VHJPHQWR 1 un VRWWRPXOWLSOR di E secondo il fattore e scriveremo: D = E. Diremo anche che è il UDSSRUWR tra E e D. Più in generale, quando una grandezza è un multiplo di un sottomultiplo dell altra, il rapporto tra le due grandezze sarà espresso da una frazione (ad esempio, se F è il triplo della metà di D, scriveremo: F = D ). Vi è però da aggiungere che questa definizione di rapporto tra grandezze non è quella originale di Euclide (la terza del quinto libro degli (OHPHQWL), la quale in maniera molto più generica affermava solamente che: UDSSRUWR IUD GXH JUDQGH]]H RPRJHQHH q XQ FHUWR PRGRGLFRPSRUWDUVLULVSHWWRDOODTXDQWLWj. 1
RVWXODWRGL$UFKLPHGH Gli enti geometrici che considereremo grandezze devono sottostare ad un altro ulteriore vincolo, vale a dire il SRVWXODWRGL$UFKLPHGH, (o postulato di Eudosso-Archimede) secondo il quale GDWH GXHJUDQGH]]HDSSDUWHQHQWLDOODVWHVVDFODVVHODSULPDPLQRUHGHOODVHFRQGDH QRQQXOODVLSXzVHPSUHWURYDUHXQPXOWLSORGHOODSULPDFKHVXSHUDODVHFRQGD. L enunciato di questo importante postulato lo ritroviamo negli (OHPHQWL come definizione, precisamente la IV del V libro che recita: VL GLFHFKHKDQQRWUDORURUDSSRUWROHJUDQGH]]H OH TXDOLSRVVRQRVHPROWLSOLFDWHVXSHUDUVLUHFLSURFDPHQWH. Può sembrare strano che vi sia necessità di specificare una proprietà così ovvia. In realtà abbiamo un esempio di grandezze che non obbediscono al postulato di Archimede negli angoli curvilinei, cioè quelli in cui almeno un lato è una linea curva. Si può infatti dimostrare (proposizione 16 del terzo libro degli (OHPHQWL) che non esiste alcun sottomultiplo di un angolo rettilineo che sia minore dell angolo di contingenza (cioè dell angolo curvilineo compreso tra il cerchio e la tangente). Quindi, gli angoli sia rettilinei che curvilinei sono grandezze per le quali non vale la proprietà archimedea, e pertanto non si possono costruire rapporti tra di esse. Non così per la classe dei soli angoli rettilinei. )LJXUD$QJRORGLFRQWLQJHQ]D *UDQGH]]HLQFRPPHQVXUDELOL Date due qualsiasi grandezze omogenee, non è sempre possibile trovare una frazione che esprima il rapporto tra di esse. Quando ciò si verifica parleremo di grandezze tra loro LQFRPPHQVXUDELOL. Poiché negli esempi visti finora il rapporto tra due segmenti era sempre dato da una frazione, non è ovvio che esistano grandezze incommensurabili. Per dimostrare l esistenza di tali grandezze sarà quindi sufficiente far vedere che almeno in un caso particolare il rapporto tra due segmenti non può essere espresso da una frazione. Abbiamo dunque il seguente teorema: /D GLDJRQDOH H LO ODWR GHO TXDGUDWR VRQR VHJPHQWLLQFRPPHQVXUDELOL Questo teorema è una applicazione della proposizione 9 del X libro degli (OHPHQWL, la quale stabilisce che la condizione necessaria e sufficiente affinché due segmenti siano commensurabili è il fatto che il rapporto tra i quadrati costruiti su di essi sia una frazione in cui il numeratore e il denominatore sono due numeri quadrati (notiamo la sottile differenza tra il rapporto tra grandezze omogenee le superfici dei quadrati e il quoziente tra numeri interi quadrati, dati cioè dal prodotto di un numero intero per se stesso). Tale proposizione è molto importante, troviamo traccia di essa nel dialogo )LJXUD,QFRPPHQVXUDELOLWj GHO ODWR H GHOOD GLDJRQDOHGHOTXDGUDWR
platonico 7HHWHWR e negli $QDOLWLFL ULPL di Aristotele, dove viene citata come esempio di dimostrazione per assurdo. Facendo riferimento alla figura, consideriamo quindi il triangolo rettangolo isoscele ottenuto dividendo a metà un quadrato per mezzo della sua diagonale. Supponiamo per assurdo che il lato del quadrato D e la diagonale G siano tra loro commensurabili, abbiano cioè G D un sottomultiplo comune: =, con P e Q primi tra loro (se così non fosse potremmo P Q sempre dividerli per il loro M.C.D.). Detto Z tale sottomultiplo sarà G = PZ e D = QZ, pertanto il quadrato costruito su G si potrà scomporre in P quadrati di lato Z e analogamente il quadrato di lato D si potrà scomporre in Q quadrati di lato Z. Ora, ricordiamo che in base al teorema di Pitagora applicato al nostro caso, il quadrato costruito sulla diagonale deve essere equivalente al doppio del quadrato costruito sul lato, cioè in termini dei quadrati di lato Z deve valere la relazione: = PQ. Questa relazione ci dice che P è un numero pari e quindi anche P deve esserlo (se infatti P non contenesse il tra i suoi divisori come potrebbe contenerlo P?). Sia quindi P = S. Sostituendo abbiamo = 4 SQ, cioè = S. Ripetendo esattamente lo stesso ragionamento arriviamo alla conclusione che anche Q deve essere un numero pari, in contraddizione con l assunto che P ed Q fossero primi tra loro. Questo dimostra che la diagonale e il lato del quadrato non hanno alcun sottomultiplo comune, sono cioè segmenti incommensurabili. Formalizziamo la dimostrazione di questo importante teorema:,srwhvl D e G rispettivamente lato e diagonale di un quadrato tesi negata: esiste Z G D ==, P Q Q e P primi tra loro G = PZ e D = QZ (1) 4( G) = 4( D) (ipotesi, teorema di Pitagora) = PQ (,4) P = S (5) = 4 SQ (5,6) Q = S (7) Q = T (8) contraddizione (, 6, 9) 7HVL il lato e la diagonale del quadrato sono incommensurabili (10). Possiamo rappresentare i passi logici seguiti nella dimostrazione attraverso il seguente schema:
)LJXUD6FKHPDGHOODGLPRVWUD]LRQHGHOOLQFRPPHQVXUDELOLWjWUDODWR H GLDJRQDOHGHOTXDGUDWR 1XPHULUHDOL La scoperta dei rapporti incommensurabili creò non poco sconcerto tra i matematici greci. Infatti, secondo la concezione pitagorica, l essenza di tutte le cose (non solo in geometria) era riconducibile a rapporti tra numeri interi. Oggi questo fatto non crea problemi poiché, usando il linguaggio dell algebra moderna, si indica il rapporto tra due grandezze incommensurabili mediante un numero LUUD]LRQDOH (cioè che non si può esprimere come rapporto di due interi); ad esempio nel caso della diagonale e del lato del quadrato tale rapporto vale, e possiamo ugualmente affermare che avendo dimostrato l incommensurabilità del lato e della diagonale del quadrato abbiamo anche dimostrato che è un numero irrazionale. L unione dei numeri razionali e irrazionali forma l insieme dei numeri UHDOL. 0LVXUDGLXQDJUDQGH]]D Utilizzando i numeri reali possiamo affermare che senza eccezioni il rapporto tra due grandezze è sempre esprimibile da un numero (razionale se le grandezze sono commensurabili, irrazionale altrimenti). Questa osservazione ci permette di stabilire un importante principio: 4
7UD OH JUDQGH]]H GL XQD FODVVH H L QXPHUL UHDOL QRQ QHJDWLYL HVLVWH XQD FRUULVSRQGHQ]D ELXQLYRFD Ricordiamo che FRUULVSRQGHQ]D ELXQLYRFD significa che ad ogni elemento della classe possiamo far corrispondere uno e un solo numero reale e viceversa ad ogni numero reale non negativo possiamo far corrispondere uno e un solo elemento della classe. Operativamente, la corrispondenza si stabilisce nel seguente modo. Per prima cosa scegliamo un elemento X della classe che sarà la nostra XQLWj GLPLVXUD. Data poi una qualsiasi grandezza D della classe, sia U il numero reale che esprime il rapporto tra D e X, cioè D = UX. Al numero reale U daremo il nome di PLVXUD di D rispetto a X, e scriveremo: U 0 X ( D). Come conseguenza di questo principio abbiamo il seguente corollario, di immediata dimostrazione:,oudssruwrwudgxhjudqgh]]hrprjhqhhqlghqwlfrdoudssruwrwudohorurplvxuhlqrowuh WDOHUDSSRUWRqLQGLSHQGHQWHGDOO XQLWjGLPLVXUDVFHOWD Osserviamo che grazie a questo corollario possiamo sostituire il rapporto tra due grandezze (cioè due enti geometrici) con quello tra le loro misure (cioè due numeri). Potremo apprezzare appieno l utilità di questo fatto quando introdurremo la proporzionalità e vedremo quale semplificazione comporti il poter trattare con rapporti tra numeri anziché tra grandezze geometriche. Vogliamo infine enunciare (senza dimostrarla) una importante proprietà della misura: 'DWHWUHJUDQGH]]HRPRJHQHH$ % H X ODPLVXUDULVSHWWRDGXGHOODVRPPDGL$ H % q GDWD GDOOD VRPPD GHOOH PLVXUH GL $ H % ULVSHWWR DOOD VWHVVD XQLWj GL PLVXUD X $ + % = 0 $ 0 % ( ) ( ) ( ) 0 X X + X 9HULILFKHGLFRPSUHQVLRQHHGLFRQRVFHQ]D 1. Che cosa significa PLVXUDUH nel linguaggio quotidiano?. Che cosa significa JUDQGH]]HRPRJHQHH?. Fai un esempio di enti geometrici che sono grandezze e uno di enti che non lo sono. 4. Le superfici sono grandezze? 5. Che cos è una UHOD]LRQHGLFRQIURQWR tra grandezze omogenee? 6. Che cos è una RSHUD]LRQHGLVRPPD tra grandezze omogenee? 7. Che cos è una FODVVHGLJUDQGH]]H? 8. Che cos è il PXOWLSOR di una grandezza? 9. Che cos è il VRWWRPXOWLSOR di una grandezza? 10. Come si definisce il rapporto tra due grandezze omogenee? 11. Come viene definito negli (OHPHQWL di Euclide il rapporto tra due grandezze omogenee? 1. Che cosa afferma il postulato di Eudosso-Archimede? 1. Fai un esempio di grandezze non archimedee. 14. Che cosa significa che due grandezze omogenee sono LQFRPPHQVXUDELOL? 15. Che cosa asserisce la proposizione 9 del X libro degli (OHPHQWL? 16. Enuncia e dimostra il teorema dell incommensurabilità della diagonale e lato del quadrato. 17. Che cosa sono i QXPHUL LUUD]LRQDOL? 18. Che cosa sono i QXPHUL UHDOL? 5
19. Che cosa si intende per FRUULVSRQGHQ]DELXQLYRFD? 0. Enuncia il principio di corrispondenza tra numeri reali e grandezze di una classe. 1. Come si realizza la corrispondenza tra grandezze di una classe e numeri reali?. Definisci il concetto di PLVXUD.. Che cos è l XQLWjGLPLVXUD? 4. Enuncia il corollario del principio di corrispondenza tra numeri reali e grandezze di una classe. 5. Enuncia la proprietà relativa alla misura della somma di grandezze omogenee. UREOHPL 5 1. Dato un segmento D costruisci con riga e compasso il segmento D. 4. Dato un angolo acuto α costruisci con riga e compasso l angolo α.. Dimostra che il lato e l altezza del triangolo equilatero sono segmenti incommensurabili. 4. Utilizzando un procedimento analogo a quello con cui si dimostra l irrazionalità di attraverso l incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, dimostra l irrazionalità di 5. 5. Utilizzando un procedimento analogo a quello con cui si dimostra l irrazionalità di attraverso l incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, trova una costruzione geometrica per dimostrare l irrazionalità di.(6xjjhulphqwrfrqvlghud OH GLDJRQDOLGLXQHVDJRQRUHJRODUH). 6