Pitagora e la scoperta delle grandezze incommensurabili

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1 Pitagora e la scoperta delle grandezze incommensurabili

2 Periodo della scoperta: V sec. a.c. Autore della scoperta: Pitagora? Pitagora iniziò la trattazione delle grandezze irrazionali (Proclo). Ippaso da Metaponto? Si tratta comunque di una scoperta di scuola pitagorica, e segna un punto di inizio della matematica greca.

3 Matematica greca: nulla di scritto fino a Platone ( 428 a.c 348 a.c.), nelle cui opere compaiono solo cenni criptici. Prima opera specifica: gli Elementi di Euclide (circa 300 a.c.)

4 Giamblico: Di Ippaso si racconta che fosse dei Pitagorici ma che, per aver divulgato per primo la sfera di dodici pentagoni, perisse in mare come empio. Giamblico: Colui che per primo rivelò per primo la natura delle grandezze incommensurabili agli indegni di partecipare a tali cognizioni, si dice che incorresse in tanto odio, che non solo fu escluso da ogni compagnia,ma anche gli fu costruita una tomba.

5 Il problema Una premessa di carattere linguistico: in matematica l espressione x è incommensurabile non ha senso; ha senso l espressione x è incommensurabile con y.

6 Parlando di numeri intendiamo, come ancora oggi nel linguaggio comune, i numeri naturali: 1, 2, 3, 4, 5,. I numeri negativi non entrano in questa storia. I numeri razionali e quelli irrazionali (positivi) c entrano di nascosto, ma non in modo esplicito.

7 Aritmetica Somma : (6,3) (2,9) Prodotto: (6,2) (2,9) Differenza: (6,2) (2,9) Quoziente: (6,2) (2,9) (9,4) ? 3? (2,1)

8 (9,4) 2,25 (numero decimale) NO (9,4) 9/4 (frazione) NO (9,4) : rapporto

9 Definizione esplicita di rapporto: Euclide, Elementi, Definizione V.3: Rapporto tra due grandezze omogenee è un certo modo di comportarsi rispetto alla quantità.

10 Definizione implicita: uguaglianza di rapporti definita tramite il concetto di proporzione e verificata tramite prodotto di medi ed estremi 9 : 4 = 27 : 12 Si: 9 x 12 = 4 x 27 Rapporto (9:4): ciò che hanno in comune le coppie (9,4), (18,8), (27,12),

11 Rapporto tra grandezze geometriche, ad esempio segmenti: A B

12 Procedura empirica abituale: misurarli con una unità di misura comune predefinita, con grado di precisione desiderata: quanto più piccola è l unità prescelta, tanto più accurata si presume sia la misura. A B M

13 Rapporto tra segmenti A B (misurazione) Rapporto tra numeri /16 19/8 2,375 A : B = 19 : 8

14 Nel caso di coppie di segmenti qualunque non ha senso richiedere il rapporto esatto. Esistono però coppie di segmenti che sono legati tra loro indipendentemente dalla loro misurazione: A B A A B A B B

15 Per queste coppie di segmenti ha senso chiedersi quale è il rapporto esatto; e i Greci, per primi, se lo chiesero. Il risultato fu sorprendente: scoprirono che esistono coppie di segmenti per i quali il rapporto esatto non è un rapporto di numero a numero. Esistono coppie di segmenti A e B tali che

16 Il rapporto tra A e B non è esprimibile mediante una coppia di numeri che rappresentino il numero di volte che una unità di misura è contenuta in ciascuno di essi. Per quanto piccola sia la unità di misura M impiegata, se M misura esattamente A allora non misura esattamente B. A e B non hanno una misura comune: sono incommensurabili

17 La prima dimostrazione pervenutaci ( Citata negli Analitici di Aristotele e presente negli Elementi di Euclide )

18 La diagonale e il lato di un quadrato sono incommensurabili A B Il rapporto tra A e B non è esprimibile mediante una coppia di numeri a e b che rappresentino il numero di volte che l unità di misura prescelta M è contenuta in ciascuno di essi. Procediamo per assurdo

19 A B a: numero di volte che l unità di misura è contenuta in A b: numero di volte che l unità di misura è contenuta in B Se a e b non sono primi tra loro semplifichiamo il rapporto a/b. Possiamo quindi supporre che a e b siano primi tra loro. (Semplificando il rapporto non cambia)

20 A B a 2 = 2 b 2 a 2 è pari a è pari b è dispari a = 2c (2c) 2 = 2b 2 4c 2 = 2b 2 assurdo 2c 2 = b 2 b 2 è pari b è pari

21 La diagonale e il lato di un quadrato sono incommensurabili A B Il rapporto tra A e B non è esprimibile mediante una coppia di numeri che rappresentino il numero di volte che l unità prescelta è contenuta in ciascuno di essi.

22 = a/b (a/b):1 = a:b 2 è un numero irrazionale

23 Perché così rilevante? E in palese contrasto con la filosofia pitagorica dell atomismo numerico Evidenzia il carattere astratto degli enti matematici Risultato negativo : richiede una dimostrazione (nascita del concetto)

24 A B Tornando alla scoperta Diagonale-lato del quadrato: esempio più semplice per dimostrare l esistenza di grandezze incommensurabili, non per suggerirne l esistenza. Probabilmente la scoperta è avvenuta con riferimento ad altre grandezze.

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27 l 1 d 2 d 3 l 3 d 1 : l 1 = l 2 d 1 d 2 : l 2 = d 3 : l 3 =..

28 l l 1 : l 2 = l 2 : l 3 = l 3 : l 4 = l 1.. l 2 = 2:1 l 3

29 A AB = AH HC = HK B AC = AH + HC AC = AB + HK K H d 1 = l 1 + d 2 d 1 l 1 = d 2 C

30 A F B d 1 - l 1 = d 2 AB = AH AF = FB = BH =HC = KH K H AH = AF + FH AB = KH + FH l 1 = d 2 + l 2 C l 1 d 2 = l 2

31 d 1 - l 1 = d 2 l 1 l 1 - d 2 = l 2 d 1 d 2 - l 2 = d 3 d 2 l 2 l 2 d 3 = l 3

32 Se M misura d 1 e l 1 allora misura d 12 - l 1 d 1 - l 1 = d 2 Se M misura l 1 e d 2 allora misura l 2 l 1 - d 2 = l 2 Se M misura d 2 e l 2 allora misura d 3 d 2 - l 2 = d 3 A l 2 d 3 = l 3 M A-B B Se M misura A e B allora misura A-B

33 Se M misura d 1 e l 1 allora misura d 2 d 1 - l 1 = d 2 Se M misura l 1 e d 2 allora misura l 2 l 1 - d 2 = l 2 Se M misura d 2 e l 2 allora misura d 3 d 2 - l 2 = d 3 l 2 d 3 = l 3 Se M misura d 1 e l 1 allora misura d 2, l 2, d 3, l 3, d 4, l 4,. Impossibile Non esiste una misura comune a d 1 e l 1 d 1 e l 1 sono incommensurabili

34 Il rapporto tra d 1 ed l 1 è chiamato rapporto aureo. Definizione. Il rapporto tra a e b è aureo se a : b = b : (a-b)

35 A AB = AH HC = HK B AC = AH + HC AC = AB + HK H D C I triangoli ACD e DHC sono simili AC : DC = DC : HK d : l = l : (d l)

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37 b a b a a : b = b : (a b) x : 1 = 1 : (x 1) b x 2 x = 1 x 2 x 1 = 0 x = = 1,618

38 A (A B) B B Se M misura A e B allora misura (A B) B Dati A e B con A > B, si sottragga reiteratamente B da A fino a che ciò è possibile (cioè fino a ciò che resta è maggiore o uguale a B). Se al termine non rimane alcun resto, allora B misura A. Altrimenti, indicando il resto con r(a,b), vale che: se M misura A e B allora misura r(a,b) B M

39 A, B, con A < B. A B B... B = r(a,b) Se M misura A e B allora misura r(a,b) B r(a,b) r(a,b)... r(a,b) = r(b,r(a,b)) Se M misura B e r(a,b) allora misura r(b,r(a,b)) r(a,b) r(b,r(a,b))...

40 A, B, con A < B. A B B... B = r(a,b) Se M misura A e B allora misura r(a,b) B r(a,b) r(a,b)... r(a,b) = r(b,r(a,b)) Se M misura B e r(a,b) allora misura r(b,r(a,b)) r(a,b) r(b,r(a,b))... Se il processo di sottrazioni successive ( antanairesi ) procede indefinitamente allora A e B sono incommensurabili

41 Se invece.

42 A, B, con A > B. A B B... B = r(a,b) B r(a,b) r(a,b)... r(a,b) = r(b,r(a,b)) r(a,b) r(b,r(a,b)) r(b,r(a,b)) = 0 r(a,b) = r(b,r(a,b)) + + r(b,r(a,b)) r(b,r(a,b)) misura r(a,b)

43 A, B, con A > B. A B B... B = r(a,b) B r(a,b) r(a,b)... r(a,b) = r(b,r(a,b)) B = r(a,b) + r(a,b) r(a,b) + r(b,r(a,b)) r(b,r(a,b)) misura B r(b,r(a,b)) misura r(a,b)

44 A, B, con A > B. A B B... B = r(a,b) A = B + B B + r(a,b) r(b,r(a,b)) misura A r(b,r(a,b)) misura B r(b,r(a,b)) misura r(a,b)

45 Se il processo di sottrazioni successive tra A e B si arresta, allora l ultimo dei resti non nulli è una misura comune per A e B, che dunque sono commensurabili. r(b,r(a,b)) misura A r(b,r(a,b)) misura B r(b,r(a,b)) misura r(a,b)

46 Se il processo di sottrazioni successive tra A e B si arresta, allora l ultimo dei resti non nulli è una misura comune per A e B, che dunque sono commensurabili. Se il processo di sottrazioni successive procede indefinitamente allora A e B sono incommensurabili Abbiamo trovato una condizione necessaria e sufficiente: Il non arresto nel processo delle sottrazioni successive è equivalente alla incommensurabilità.

47 A B M A e B commensurabili: ad esempio, l unità di misura M sta esattamente 124 volte in A e 36 in B. (Quindi A : B = 124 : 36) M = 4 è una misura comune ad A e B. Ed è la prima che si incontra partendo dall alto. Dunque è la massima misura comune. In termini numerici: 4 = MCD(124, 36)

48 Aristotele. Topici VIII.3 158b Pare che anche nelle scienze matematiche non si dimostri facilmente, per la mancanza di una definizione; così avviene, ad esempio quando si afferma che la retta parallela al lato di un parallelogramma, e condotta sul piano di questo, divide in modo simile il lato e la superficie. Tuttavia, una volta enunciata la definizione, diventa senz'altro chiaro quanto si vuol dire. Infatti, le aree tra loro hanno la stessa antanairesi che hanno tra loro i lati: orbene, questa è appunto la definizione della proporzionalità. y x Ay Ax x : y = Ax : Ay

49 Proporzionalità Stessa antanairesi

50 Proporzionalità Stessa antanairesi : 36 = 93 :

51 : 36 = 93 : : 36 = 31 : 9

52 : 36 = 93 : / 36 = 31 / 9

53 N ed M sono primi tra loro se e soltanto se l ultimo resto non nullo è 1.