Studio ed implementazione della tecnica MSPE per un controllo affidabile della convergenza nei modelli stocastici per il pricing di opzioni

Studio ed implementazione della tecnica MSPE per un controllo affidabile della convergenza nei modelli stocastici per il pricing di opzioni Candidato: Ing. Pier Giuseppe Giribone Dipartimento di Ingegneria DIME - Università di Genova Middle Office - Amministrazione Finanza - Banca CARIGE Relatore: Chiar.mo Prof. Ing. Roberto Mosca Dottorato di Ricerca in Ingegneria Matematica e Simulazione Ciclo XXV

Hai guardato un uomo abile nel suo lavoro? Saprà porsi dinnanzi ai re Antico Testamento - Proverbi 22, 29

Ringraziamenti In primo luogo desidero rivolgere un sentito ringraziamento ai Docenti Universitari della Scuola di Dottorato in Ingegneria Matematica e Simulazione (DIMS) che mi hanno costantemente guidato e consigliato durante l approfondimento delle tematiche di ricerca scelte. In particolare il mio Relatore Chiar.mo Prof. Roberto Mosca e l Ing. Lucia Cassettari per avermi concesso l opportunità di intraprendere studi e ricerche di rilevante interesse scientifico e professionale, come è stato lo sviluppo di questo progetto di ricerca. Desidero porgere un particolare ringraziamento all Ufficio presso il quale ho avuto modo di approfondire e testare sperimentalmente le ricerche effettuate: il Middle Office del Reparto Amministrazione Finanza di Banca CARIGE. Cito preliminarmente i miei tutor aziendali, Dott. Matteo Ferrando, Dott. Alessandro Currao e l Ing. Simone Ventura per avermi seguito in tutte le fasi di sviluppo del lavoro con grande disponibilità ed esperienza, il dirigente Dott. Paolo Boretti, per essere promotore della mia formazione professionale nell ambito della ricerca e sviluppo. Desidero ringraziare in modo speciale Paolo Raviola, mio insuperabile Maestro dell Arte della Programmazione, per i suoi preziosi consigli informatici, oltre ad avermi messo a disposizione la necessaria potenza di calcolo per la verifica sperimentale delle metodologie trattate nell elaborato. Desidero personalizzare i ringraziamenti a tutti i componenti del Middle Office, citando nominalmente i miei colleghi, persone che hanno rappresentato per me costanti riferimenti, indirizzandomi e consigliandomi sempre in modo opportuno: Elena Corallo, Alessandra

Fusco, Fabio Ghiglione, Paolo Goldoni, Simone Ligato ed Elena Sommariva. Infine voglio dire un grazie di cuore e con profondo affetto ai miei genitori, Piero e Giuliana, perchè non potevo aspirare ad avere delle guide migliori nel complesso cammino della vita. Dedico questa tesi ad una persona speciale con la quale ho iniziato a dipingere un meraviglioso quadro e che il Destino non ci ha ancora reso noto come completarlo. Indipendentemente, grazie per i colori che mi hai prestato.

Abstract Nella determinazione del prezzo di derivati complessi, gli uffici di valorizzazione delle banche e degli istituti finanziari fanno riferimento, per pervenire ad un valore degli stessi, a modelli matematici involventi distribuzioni statistiche di frequenza. Per conseguenza l utilizzo del metodo Monte Carlo diventa una metodologia imprescindibile per la valorizzazione stocastica del derivato. Resta, tuttavia, per una corretta determinazione del valore finale, da stabilire il numero di iterazioni replicate sul modello che consentano di pervenire ad un livello accettabile dell errore sperimentale che affligge l output del modello stesso. In questo lavoro si propone come soluzione a questo problema l impiego della metodologia di studio dell evoluzione della Mean Square Pure Error nei lanci replicati. Le applicazioni ai modelli di pricing di derivati non quotati presentati in questo elaborato evidenziano da un lato la validità della metodologia proposta e dall altro evitano gli errori che si possono commettere affidandosi a numeri di lanci standard (da 1.000 a 10.000).

Indice Indice 5 1 Descrizione della metodologia MSPE 1 1.1 L approccio metodologico...................... 2 1.2 Sviluppo teorico della metodologia MSPE............. 3 1.3 Esempio di applicazione del metodo................. 5 2 Le opzioni asiatiche 15 2.1 Pricing analitico di un opzione asiatica............... 16 2.2 Pricing numerico di un opzione asiatica............... 25 2.3 Applicazione della metodologia MSPE............... 28 3 Le opzioni barriera 38 3.1 Pricing di una Standard Barrier................... 40 3.2 Pricing di una Double Barrier.................... 51 3.3 Pricing di una Partial-Time Single-Asset.............. 55 3.4 Pricing di una Two-Asset Barrier Option.............. 59 3.5 Pricing di una Partial-Time Two-Asset Barrier Option...... 63 3.6 Pricing di una Look-Barrier Option................. 65 3.7 Pricing di una Discrete Barrier Option............... 67 3.8 Pricing di una Soft Barrier Option................. 69 3.9 Pricing di una Parisian Barrier Option............... 72 4 Le opzioni Forward Start 76 4.1 Pricing di un opzione Forward Start................. 77 5

INDICE 5 Le opzioni Cliquet 83 5.1 Le opzioni Cliquet Europee..................... 83 5.2 Le opzioni Cliquet Asiatiche..................... 86 6 Le opzioni Lookback 90 6.1 Le opzioni Floating-Strike Lookback................. 91 6.2 Le opzioni Fixed-Strike Lookback.................. 94 6.3 Le opzioni Partial-Time Floating-Strike Lookback......... 97 6.4 Le opzioni Partial-Time Fixed-Strike Lookback........... 99 7 Le opzioni binarie 105 7.1 Le opzioni Cash or Nothing..................... 105 7.2 Le opzioni Asset or Nothing..................... 107 7.3 Le opzioni Gap............................ 108 7.4 Validazione della metodologia MSPE................ 109 8 Altre tipologie di opzioni esotiche 113 8.1 Le opzioni Paylater.......................... 113 8.2 Le opzioni Chooser.......................... 114 8.3 Le opzioni Basket........................... 118 8.4 Le opzioni Quanto.......................... 120 8.5 Le opzioni Rainbow.......................... 121 8.6 Le opzioni Compound........................ 128 9 Le opzioni americane 135 9.1 Le formule analitiche approssimate................. 135 9.2 L esercizio anticipato nella metodologia Monte Carlo....... 141 10 Conclusioni 145 Codice Matlab 150 Elenco delle figure 269 Bibliografia 272 6

149

Codice Matlab CAPITOLO 1: Descrizione della Metodologia MSPE 1.A - Generazione delle curve di stazionarietà MSPE - pag. 155 1.B - Formula analitica esatta per la valorizzazione di una call europea plainvanilla (Black-Scholes-Merton 1973) - pag.156 1.C - Valorizzazione di una opzione europea plain-vanilla mediante il metodo Monte Carlo - pag. 156 CAPITOLO 2: Le opzioni asiatiche 2.A - Valorizzazione di un opzione geometrica asiatica di tipo APO con campionamento continuo mediante la formula di Kemna-Vorst (1990) - pag. 157 2.B - Valorizzazione di un opzione aritmetica asiatica di tipo APO mediante il modello di Vorst (1990) - pag. 157 2.C - Valorizzazione di un opzione aritmetica asiatica di tipo APO mediante il modello di Turnbull e Wakeman (1991) - pag. 158 2.D - Valorizzazione di un opzione aritmetica asiatica di tipo APO mediante il modello di Levy (1992) - pag. 159 2.E - Valorizzazione di un opzione aritmetica asiatica di tipo APO mediante il modello di Curran (1992) - pag. 159 2.F - Valorizzazione di una opzione asiatica con campionamento continuo mediante il metodo Monte Carlo - pag. 160 2.G - Valorizzazione di una opzione asiatica con campionamento discreto mediante il metodo Monte Carlo - pag. 161 150

CAPITOLO 3: Le opzioni barriera 3.A - Valutazione analitica di una Standard Barrier Option - pag. 164 3.B - Approssimazione numerica alla distribuzione cumulativa normale - pag. 168 3.C - Valorizzazione di una opzione barriera standard mediante il classico schema di integrazione stocastica (Crude Monte Carlo) - pag. 170 3.D - Valorizzazione di una opzione barriera standard mediante il metodo Monte Carlo di El Babsiri e Noel (Conditional Monte Carlo) - pag. 175 3.E - Valutazione analitica di una Double Barrier Option - pag. 176 3.F - Valutazione numerica di una Double Barrier Option mediante il Crude Monte Carlo method - pag. 179 3.G - Valutazione numerica di una Double Barrier Option mediante il Conditional Monte Carlo method - pag. 180 3.H - Approssimazione numerica alla distribuzione cumulativa normale bivariata - pag. 181 3.I - Valutazione analitica di una Partial-Time Single-Asset Barrier Option - pag. 184 3.L - Valutazione numerica di una Partial-Time Single-Asset Barrier Option - pag. 186 3.M - Valutazione analitica di una Two-Asset Barrier Option - pag. 189 3.N - Valutazione numerica di una Two-Asset Barrier Option mediante il Crude Monte Carlo method - pag. 191 3.O - Valutazione numerica di una Two-Asset Barrier Option mediante il Conditional Monte Carlo method - pag. 194 3.P - Valutazione analitica di una Partial-Time Two-Asset Barrier Option - pag. 195 3.Q - Valutazione numerica di una Partial-Time Two-Asset Barrier Option - pag. 196 3.R - Valutazione numerica di una Look-Barrier Option - pag. 199 3.S - Correzione di Broadie - Glasserman - Kou (1995) per il monitoraggio discreto della barriera. - pag. 203 151

3.T - Valutazione analitica di una Soft Barrier - pag. 203 3.U - Valutazione numerica di una Soft-Barrier Option - pag. 205 3.V - Valutazione numerica di una Parisian Barrier Option - pag. 208 CAPITOLO 4: Le opzioni Forward-Start 4.A - Valutazione analitica di una Forward Start Option - pag. 215 4.B - Valutazione numerica di una Forward Start Option mediante metodo Monte Carlo con variabili antitetiche - pag. 216 CAPITOLO 5: Le opzioni Cliquet 5.A - Valutazione analitica di una Cliquet Option Europea - pag. 217 5.B - Valutazione numerica di una Cliquet Option Europea con tecnica di riduzione della varianza - pag. 218 5.C - Valutazione analitica di una Cliquet Option Asiatica - pag. 221 5.D - Valutazione numerica di una Cliquet Option Asiatica con tecnica di riduzione della varianza - pag. 223 CAPITOLO 6: Le opzioni Lookback 6.A - Valutazione analitica di una Floating Strike Lookback - pag. 226 6.B - Valutazione numerica di una Floating Strike Lookback mediante il Crude Monte Carlo method - pag. 227 6.C - Valutazione numerica di una Floating Strike Lookback mediante il Conditional Monte Carlo method - pag. 228 6.D - Valutazione analitica di una Fixed Strike Lookback - pag. 229 6.E - Valutazione numerica di una Fixed Strike Lookback mediante il Crude Monte Carlo method - pag. 231 6.F - Valutazione numerica di una Fixed Strike Lookback mediante il Conditional Monte Carlo method - pag. 232 6.G - Valutazione analitica di una Partial-Time Floating-Strike Lookback - pag. 233 152

6.H - Valutazione numerica di una Partial-Time Floating-Strike Lookback mediante Monte Carlo - pag. 235 6.I - Valutazione analitica di una Partial-Time Fixed-Strike Lookback - pag. 236 6.L - Valutazione numerica di una Partial-Time Fixed-Strike Lookback mediante Monte Carlo - pag. 237 CAPITOLO 7: Le opzioni Binarie 7.A - Valutazione analitica di una opzione binaria Cash-or-Nothing - pag. 238 7.B - Valutazione numerica di una opzione binaria Cash-or-Nothing mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 238 7.C - Valutazione analitica di una opzione binaria Asset-or-Nothing - pag. 239 7.D - Valutazione numerica di una opzione binaria Asset-or-Nothing mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 239 7.E - Valutazione analitica di una opzione binaria Gap - pag. 240 7.F - Valutazione numerica di una opzione binaria Gap mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 240 CAPITOLO 8: Altre tipologie di opzioni esotiche 8.A - Valutazione analitica di una PayLater Option. - pag. 241 8.B - Valutazione numerica di una PayLater Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 241 8.C - Valutazione analitica di una Simple Chooser Option. - pag. 242 8.D - Valutazione numerica di una Simple Chooser Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 242 8.E - Valutazione analitica di una Complex Chooser Option. - pag. 243 8.F - Valutazione numerica di una Complex Chooser Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 245 8.G - Valutazione numerica di una Basket Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 246 8.H - Valutazione analitica di una Quanto Option. - pag. 247 8.I - Valutazione numerica di una Quanto Option mediante tecnica Monte Carlo. 153

- pag. 248 8.L - Valutazione analitica di una Rainbow Option. - pag. 249 8.M - Valutazione numerica di una Rainbow Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 253 8.N - Valutazione analitica di una Compound Option. - pag. 254 8.O - Valutazione numerica di una Compound Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 257 CAPITOLO 9: Le opzioni americane 9.A - Il modello di valutazione Roll-Geske-Whaley. - pag. 258 9.B - Il modello di valutazione Barone-Adesi-Whaley. - pag. 260 9.C - Il modello di valutazione Bjerksund-Stensland. - pag. 264 9.D - L algoritmo di Longstaff-Schwartz per il metodo Monte Carlo. - pag. 266 154

Elenco delle figure 1.1 Curve di evoluzione MSPE MED e MSPE V AR........... 9 1.2 Curve MSPE MED di quattro campagne sperimentali differenti a parità di condizioni iniziali...................... 10 1.3 Campionamento dei dati sperimentali................ 10 1.4 Soluzione grafica della SDE descritta dal moto diffusivo (Eq.1.5). 11 1.5 Grafico (i, MSPE MED ) con i = 1,...,5 10 5 per un opzione Call plain-vanilla.............................. 11 1.6 Grafico (j, Price) con i = 1,...,10000 e j = 1,...,2000...... 12 1.7 Grafico (j, Price) con i = 1,...,30000 e j = 1,...,2000...... 12 1.8 Grafico (i, MSPE MED ) con i = 1,...,5 10 5 con soglia massima di errore accettabile.......................... 13 1.9 Grafico (j, Price) con i = 1,...,1 10 5 e j = 1,...,2000...... 13 1.10 Distribuzione discreta delle y.................... 14 1.11 Curve (i, MSPE MED ) con i = 1,...,2 10 5............. 14 2.1 Grafico M SP E per un opzione asiatica Put con media geometrica di tipo APO con campionamento continuo............. 34 2.2 Distribuzione discreta delle y per un opzione asiatica Put con media geometrica di tipo APO con campionamento continuo... 35 2.3 Grafico (j, Price) con i = 1,...,2 10 4 e j = 1,...,2000 per un opzione asiatica Put con media geometrica di tipo APO con campionamento continuo....................... 35 269

ELENCO DELLE FIGURE 2.4 Grafico (i, MSPE MED ) con i = 1,...,2.5 10 5 per un opzione asiatica Call con media aritmetica di tipo APO con campionamento continuo................................ 36 2.5 Grafico (i, MSPE MED ) con i = 1,...,2.5 10 5 per un opzione asiatica Call con media aritmetica di tipo ASO con campionamento continuo................................ 36 2.6 Distribuzione discreta delle y per un opzione asiatica Call con media geometrica di tipo APO con campionamento discreto... 37 2.7 Grafico (i, MSPE MED ) con i = 1,...,2 10 5 per un opzione asiatica Call con media aritmetica di tipo APO con campionamento discreto................................ 37 3.1 Grafico MSPE per un opzione barriera standard......... 73 3.2 Grafico (j, P rice) per un opzione barriera standard........ 73 3.3 Grafico MSPE per un opzione Double Barrier........... 74 3.4 Grafico (j, Price) per un opzione Double Barrier.......... 74 3.5 Curve di stazionarietà per un opzione Partial-Time Single-Asset Barrier................................. 75 3.6 Grafico (j, Price) per un opzione Look Barrier........... 75 4.1 Grafico MSPE per un opzione forward start............ 82 4.2 Grafico (j, Price) per un opzione forward start........... 82 5.1 Grafico (j, P rice) per un opzione Cliquet europea, N sim = 2.000.000 88 5.2 Grafico (j, Price) per un opzione Cliquet europea, Nsim = 10.000 89 5.3 Grafico (j, Price) per un opzione Cliquet asiatica, Nsim = 100.000 89 6.1 Grafico (j, P rice) per un opzione Floating-Strike Lookback Put, Nsim = 2.700.000........................... 101 6.2 15 Curve (i, MSPE) con i = 1,...,10.000 per un opzione Floating- Strike Put............................... 102 6.3 Grafico (j, P rice) per un opzione Floating-Strike Lookback Put, Nsim = 10.000............................ 102 6.4 Grafico (j, P rice) per un opzione Fixed-Strike Lookback Call, N sim = 10.000.000............................... 103 270

ELENCO DELLE FIGURE 6.5 15 Curve (i, MSPE) con i = 1,...,10.000 per un opzione Fixed- Strike Lookback Call......................... 103 6.6 Grafico (j, P rice) per un opzione Fixed-Strike Lookback Call, N sim = 10.000................................. 104 6.7 Grafico (j, P rice) per un opzione Fixed-Strike Lookback Call, N sim = 1.000.................................. 104 7.1 Curve (i, M SP E) con i = 1,..., 1.000 per un opzione put digitale 110 7.2 Grafico (j, P rice) per un opzione put digitale, N sim = 1.000... 111 7.3 Curve (i, M SP E) con i = 1,..., 10.000 per un opzione put digitale 111 7.4 Grafico (j, Price) per un opzione put digitale, Nsim = 10.000.. 112 7.5 Grafico (j, Price) per un opzione put digitale, Nsim = 49.000.000 112 8.1 Curva (i, MSPE) con i = 1,...,8 10 5 per un opzione Complex Chooser................................ 131 8.2 Grafico (j, y ) per una opzione Complex Chooser, i = 1,...,8 10 5, j = 1,...,100............................. 131 8.3 Curva (i, MSPE) con i = 1,...,5 10 5 per un opzione Basket.. 132 8.4 Grafico (j, y ) per una opzione Basket, i = 1,...,5 10 5, j = 1,...,100............................... 132 8.5 Curve (i, M SP E) con i = 1,..., 80.000 per un opzione Rainbow. 133 8.6 Grafico (j, y ) per una opzione Rainbow, i = 1,...,80.000, j = 1,...,200............................... 133 8.7 Curve (i, MSPE) con i = 1,...,500.000 per un opzione Compound Put su Call.......................... 134 8.8 Grafico (j, y ) per una opzione Compound Put su Call, i = 1,...,500.000, j = 1,...,140............................. 134 9.1 Curva (i, M SP E) con i = 1,..., 10.000 per un opzione americana 144 9.2 Grafico (j, y ) per un opzione americana, i = 1,...,38000, j = 1,...,1000............................... 144 271

Bibliografia [1] R. Mosca, P. Giribone, Optimal Length in O.R. Simulation Experiments of Large Scale Production System, Proc. IASTED International Symposium Applied Modelling and Simulation, AMS 82, Paris, 78-82, 1982. [2] E.G. Haug, The complete guide to option pricing formulas, McGraw-Hill, New Jork, USA, ISBN 0-7863-1240-8, 1998. [3] D. C. Montgomery, Design and analysis of experiments, John Wiley and Sons, Inc., 1997. [4] A. Hacura, M. J. Hacura, A. Kocot, Risk analysis in investment appraisal based on Monte Carlo simulation technique, Eur. Phys. J. B 20, 551-553, 2001. [5] D. Nawrocki, The problems with simulation, Journal of Financial Planning, 14, 11:92-108, 2001. [6] C.F. Kelliher, L.S. Mahoney, Using Monte Carlo simulation to improve longterm investment decisions, The Appraisal Journal, vol. 68, pp. 44-56, 2000. [7] M. Di Franco, F. Polimeni, M. Proietti, Opzioni e titoli strutturati, Il Sole 24 Ore, Milano, ISBN 88-8363-292-3, 2002. [8] Fixed-Income Toolbox 1 User s Guide, The MathWorks, Natick, MA, USA, 2009. [9] Econometrics Toolbox 1 User s Guide, The MathWorks, Natick, MA, USA, 2009. 272

BIBLIOGRAFIA [10] J. Hull, Futures and other derivatives, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1997. [11] H. T. Huynh, V. S. Lai, I. Soumaré, Stochastic simulation and applications in finance with Matlab programs, Wiley, Chichester, West Sussex, England 2008. [12] P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer, New York, 2003. [13] M. Gabbrielli, S. De Bruno, Capire la finanza, Il Sole 24 ore, Milano, 2008. [14] L. Cassettari, P.G. Giribone, M. Mosca, R. Mosca, The Stochastic Analysis of Investments in Industrial Plants by Simulation Models with Control of Experimental Error: Theory and Application to a Real Business Case, Applied Mathematics Sciences, Vol. 4, 2010. [15] R. Mosca, L. Cassettari, P.G. Giribone, MSPE e Monte Carlo Pricing Method: tecniche di controllo della convergenza nei modelli finanziari, AIFIRM (Associazione Italiana Financial Industry Risk Managers) Magazine, anno 5, numero 1, 2010. [16] P.G. Giribone, S. Ventura, Studio della convergenza dei modelli di pricing discreti multinomiali azionari: Teoria e applicazioni con tecniche di controllo dell errore, AIFIRM (Associazione Italiana Financial Industry Risk Managers) Magazine, anno 6, numero 1, 2011. [17] P.G. Giribone, S. Ligato, Analisi critica delle metodologie di generazione di matrici di correlazione valide: Teoria e confronti nei sistemi di pricing basati sulla metodologia Monte Carlo, AIFIRM (Associazione Italiana Financial Industry Risk Managers) Magazine, anno 7, numero 1, 2012. [18] P. Jäckel, Monte Carlo Methods in Finance, Wiley & Sons, New York, 2001. [19] D. J. Duffy, Finite Difference Method in Financial Engineering - A Partial Differential Approach, Wiley & Sons, West Sussex, 2006. 273

BIBLIOGRAFIA [20] A. Kemna, A. Vorst, A Pricing Method for Options based on Average Asset Values, Journal of Banking and Finance, 14, 113-129, 1990. [21] S. M. Turnbull, L. M. Wakeman, A Quick Algorithm for Pricing European Average Options, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 26, 377-389, 1991. [22] E. Levy, Pricing European Average Rate Currency Options, Journal of International Money and Finance, 11, 474-491, 1992. [23] E. Levy, S. Turnbull Average Intelligence, Risk Magazine, 5(2), 1992. [24] M. Curran, Beyond Average Intelligence, Risk Magazine, 5(10), 1992. [25] E. Reiner, M. Rubinstein, Breaking Down the Barriers, Risk Magazine, 4(8), 1991. [26] M. El Babsiri, G. Noel, Simulating path-dependent options: a new approach, Journal of Derivatives, Winter, 65-83, 1998. [27] M. Ikeda, N. Kunitomo, Pricing Options with Curved Boundaries, Mathematical Finance, 2, 275-298, 1992. [28] R. S. Bhagavatula, P. P. Carr, Valuing Double Barrier Options with Time-Dependent Parameters, Discussion Paper, Cornell University: Johnson Graduate School of Management, 1995. [29] H. Geman, M. Yor, Pricing and Hedging Double-Barrier Options: a Probabilistic Approach, Mathematical Finance, 6(4), 365-378, 1996. [30] R. C. Heynen, H. M. Kat, Partial Barrier Options, Journal of Financial Engineering, 3, 253-274, 1994. [31] R. C. Heynen, H. M. Kat, Crossing Barriers, Risk Magazine, 7, 1994. [32] H. P. Bermin, Time and Path Dependent Options: The Case of Time Dependent Inside and Outside Barrier Options, Third Nordic Symposium on Contigent Claims Analysis in Finance, Iceland, 1996. 274

BIBLIOGRAFIA [33] M. Broadie, P. Glasserman, S. Kou, A Continuity Correction for Discrete Barrier Options, Working Paper, 1995. [34] I. Hart, M. Ross, Striking Continuity, Risk Magazine, 7(6), 1994. [35] J. Hart, Algorithm 5666 for the error function, Computer Approximations, Wiley, 1968. [36] M. Stegun, I. A. Abramowitz, Handbook of Mathematical Functions, with formulas, graphs and Mathematical Tables, Dover, 1974. [37] Z. Drezner, Computation of the bivariate normal integral, Mathematics of Computation, 32, 277-279, 1978. [38] Z. Drezner, G. Wesolowsky, On the computation of the bivariate normal integral, Journal of Statistics Computing and Simulation, 35, 101-107, 1989. [39] M. Chesney, M. Picqué, M. Yor, Brownian Excursions and Parisian Barrier Options, Journal of Advanced Applied Probability, 1997. [40] A. Basso, P. Pianca, Introduzione alla valutazione delle opzioni esotiche, Il Risparmio, n.6, novembre-dicembre 1996. [41] M. Rubinsten, Pay Now, Choose Later, Risk Magazine, 1990. [42] B. M. Goldman, H. B. Sosin, M. A. Gatto, Path Dependent Options: Buy at Low, Sell at the High, Journal of Finance, 1979. [43] M. B. Garman, Recollection in Tranquillity, Risk Magazine, 2(3), 1989. [44] A. Conze, Viswanathan, Path Dependent Options: The Case of Lookback Options, Journal of Finance, 46, 1991. [45] R. C. Heynen, H. M. Kat, Selective Memory, Risk Magazine, 7, 11, 1994. [46] E. Reiner, M. Rubinstein, Unscrambling the Binary Code, Risk Magazine, 4, 9, 1991. [47] J. C. Cox, M. Rubinstein, Innovations in Options Markets, Options Markets, Prentice-Hall, New Jersey, 1985. 275

BIBLIOGRAFIA [48] U. Cherubini, G. Della Lunga, S. Mulinacci, P. Rossi, Fourier transform methods in finance, Wiley Finance, 2010. [49] M. Rubinsten, Options for the Undecided, Risk Magazine, 4, 1991. [50] I. Nelken, Square Deals, Risk Magazine, 6, 1993. [51] E. Reiner, Quanto Mechanics, Risk Magazine, 5, 1992. [52] M. Rubinsten, Somewhere over the Rainbow, Risk Magazine, 4, 1991. [53] M. Rubinsten, Return to OZ, Risk Magazine, 7, 1994. [54] R. M. Stulz, Options on the Minimum or the Maximum of Two Risky Assets, Journal of Financial Economics, 10, 1982. [55] H. Johnson, Options on the Maximum or the Minimum of Several Assets, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 22, 1987. [56] P. P. Boyle, J. Evnine, S. Gibbs, Numerical Evaluation of Multivariate Contingent Claims, Review of Financial Studies, 2, 1989. [57] P. P. Boyle, Y. K. Tse, An Algorithm for Computing Values of Options on the Maximum or Minimum of Several Assets, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 25, 1990. [58] D. R. Rich, D. M. Chance, An Alternative Approach to the Pricing of Options on Multiple Assets, Journal of Financial Engineering, 2, 1993. [59] E. Kirk, Correlation in the Energy Markets, Managing Energy Price Risk, 71-78, 1995. [60] R. Geske, The Valuation of Corporate Liabilities as Compound Options, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 541-552, 1977. [61] R. Geske, The Valuation of Compound Options, Journal of Financial Economics, 7, 1979. [62] S. D. Hodges, M. J. P. Selby, On the Evaluation of Compound Options, Management Science, 33, 1987 276

BIBLIOGRAFIA [63] M. Rubinstein, Double Trouble, Risk Magazine, 5, 1991 [64] R. Roll, An Analytic Valuation Formula for Unprotected American Call Options on Stocks with Known Dividends, Journal of Financial Economics, 5, 1977 [65] R. Geske, A Note on an Analytical Formula for Unprotected American Call Options on Stocks with Known Dividends, Journal of Financial Economics, 7, 1979 [66] R. E. Whaley, On the Valuation of American Call Options on Stocks with Known Dividends, Journal of Financial Economics, 9, 1981 [67] G. Barone-Adesi, R. E. Whaley, Efficient Analityc Approximation of American Option Values, Journal of Finance, 42, 1987 [68] P. Bjerksund, G. Stensland, Closed-Form Approximation of American Options, Scandinavian Journal of Management, 9, 1993 [69] F. Longstaff, E. Schwartz, Valuing American Options by simulation: A simple least-squares approach, Review of Financial Studies, 113-147, 2001 [70] Middle Office CARIGE, Manuale di installazione ed utilizzo delle librerie di MATFIN 1.0, Procedure per la valorizzazione degli strumenti finanziari, 2011 [71] P.G. Giribone, S. Ligato, S. Ventura, La correzione del bias di simulazione mediante la tecnica del Monte Carlo condizionato: Analisi ed Implementazione in un sistema automatizzato di pricing, AIFIRM (Associazione Italiana Financial Industry Risk Managers) Magazine, in fase di pubblicazione [72] O. Caligaris, P. A. Zanghì Equazioni Differenziali Stocastiche ed Applicazioni, Dispense del Corso di Dottorato in Ingegneria Matematica e Simulazione dell Università di Genova, 2010 [73] P. E. Kloeden, E. Platen Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer Verlang, 1992 277